Hai tổ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong.. Hỏi mỗi tổ làm riêng công việc đó trong bao lâu thì xong?. Biết rằng năng suất mỗi tổ không thay đổi trong quá trình làm việc.. b Đư
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN - CẤP THCS
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
P
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh P 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho hệ phương trình 3 2 1 1
, trong đó x và y là ẩn, m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm x y sao cho ; 2 2
S x y đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tìm các số thực x, y thỏa mãn (x1)22xy2y y 2 2x 3y 3 0.
Câu 3 (1,0 điểm).
Hai tổ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong Nếu tổ I làm trong 3 giờ và tổ
II làm trong 5 giờ thì họ làm được 25% công việc Hỏi mỗi tổ làm riêng công việc đó trong bao lâu thì xong? Biết rằng năng suất mỗi tổ không thay đổi trong quá trình làm việc
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn O R và dây cung cố định AB < 2R Gọi K là điểm chính giữa của;
cung nhỏ AB; N là điểm tùy ý trên đoạn thẳng AB (N khác A, B) Nối KN và kéo dài cắt
O R tại điểm thứ hai là M Chứng minh rằng;
a) Tam giác AKN và tam giác MKA đồng dạng.
b) Đường thẳng AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
c) Tổng bán kính 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và tam giác BMN không phụ thuộc vào vị trí điểm N.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho dãy số a n được xác định bởi 2
1 1, n 1 2 n 3 n 2 ,
a a a a với n là số
nguyên dương Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số a n đều là số nguyên
Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2016 -2017 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN – CẤP THCS
P
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh P 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Điều kiện: 0
4
x
:
P
0,25
:
1
2
x
x x
2
x P
x x
Với 0
4
x
P
Do x 0 x 3 0 mà 2 0 3 0
2
x
x x
x x P 1 0 P1 0,50
TH 1: Nếu 0 x 1 0 x 1 1 x 1 0 mà x+ x 2 0 P0 (1) 0,25
TH 2: x x14
0,25
Do x1 àv x4 nên x1 0 và 4 0
1
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta được:
7 1
P x
Từ (1) và (2) ta suy ra 1
7
P
0,25
1
1
9 7
Trang 3Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho hệ phương trình 3 2 1 1
, trong đó x và y là ẩn, m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm x y sao cho ; S x2y2 đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tìm các số thực x, y thỏa mãn (x1)22xy2y y 2 2x 3y 3 0
1
x m
y m
Thay
1
x m
y m
vào biểu thức S x2y2 m2m12 2m22m1 0,25
2
S m m m
Vậy min
S m
0,25
Điều kiện: 2x 3y 3 0(*)
PT x22x 1 2xy2y y 2 2x 3y 3 0 0,25
2
2
Do
2
x y
x y
1 0
x y
x y
0
1
x
y
Câu 3 (1,0 điểm) Hai tổ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong Nếu tổ I làm
trong 3 giờ và tổ II làm trong 5 giờ thì họ làm được 25% công việc Hỏi mỗi tổ làm riêng công việc đó trong bao lâu thì xong? Biết rằng năng suất mỗi tổ không thay đổi trong quá trình làm việc.
Gọi thời gian tổ I làm một mình xong công việc là x (giờ, x 15)
Gọi thời gian tổ II làm một mình xong công việc là y (giờ, y 15)
Khi đó Năng suất của tổ I là 1
x (công việc)
Năng suất của tổ II là 1
y (công việc)
Năng suất của cả 2 tổ là 1
15 (công việc)
0,25
Trang 41 giờ cả hai tổ làm được là 1 1x y (công việc)
Theo bài ra ta có phương trình 1 1 1
15
x y (1)
0,25
Trong 3 giờ tổ I làm được 3
x (công việc)
Trong 5 giờ tổ II làm được 5
y (công việc)
Theo đầu bài tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ được 25% công việc = 1
4
(công việc) ta có hệ phương trình
15
3 5 1
4
x y
x y
Đặt
1 1
u x v y
0,25
24
1
3 5
40 4
y v
u v
Vậy tổ I làm một mình trong 24 giờ và tổ II làm trong 40 giờ thì xong công việc
0,25
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cố định AB < 2R Gọi K là điểm chính
giữa của cung nhỏ AB; N là điểm tùy ý trên đoạn thẳng AB (N khác A, B) Nối KN và kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là M Chứng minh rằng
a) Tam giác AKN và tam giác MKA đồng dạng.
b) Đường thẳng AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
c) Tổng bán kính 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và tam giác BMN không phụ thuộc vào vị trí điểm N.
O2
Q L O1
P
M
K
O
N
Trang 5Ta có 1 1
Kết hợp với AKN AKM suy ra tam giác AKN đồng dạng với tam giác MKA 0,50
Trên nửa mặt phẳng bờ AN có chứa tia AK kẻ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác AMN Ta có:
xAN AMN
xAN AMN KAN AMN
0,50
Do Ax, AK cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AN nên Ax trùng với AK Mà Ax là tiếp
tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔAMN, suy ra đpcm.AMN, suy ra đpcm 0,50
Gọi , ,L P Q lần lượt là trung điểm của AB AN BN và , , O O lần lượt là tâm đường1, 2
tròn ngoại tiếp tam giác AMN BMN Khi đó ta có,
1
2
AO P AO N AMN AO PAMN (1)
0,25
KAL sd KB sd KAAMN KALAMN
Từ (1) và (2) suy ra
1
AO PKAL, kết hợp với 0
APO ALK suy ra tam giác
1
AO P đồng dạng với tam giác KAL
0,25
1
3 2
O A
4 2
KB BQ KA BN O
0,25
Do , , ,A B K L cố định nên O A O B1 2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm N
0,25
Câu 5 (1,0 điểm) Cho dãy số a được xác định bởi n 2
a a a a với n
là số nguyên dương Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số a đều là số nguyên. n
Chứng minh bằng quy nạp ta được a n 1, n * Từ giả thiết ta được
a a a a n a a n (1) 0,25
Ta có a n1 2a n2 3a n2 2 a n21 4a a n1 na n2 2 0 (2)
Trong (2) thay n bởi n 1 ta được
a a a a (3)
0,25
Từ (2) và (3) ta được
a a a a a n21 4a a n1 n a n22
Suy ra a n22 a n2 4a a n2 n1 4a a n1 n
a n2 a n a n2a n 4a n1a n2 a n (4)
a a a n a a a n
0,25
Ta có a11,a2 3, kết hợp với (5) và phương pháp quy nạp ta được mọi số hạng
Hết