Đa thức đối xứng và ứng dụng

CHUYÊN ĐỀ 3: ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG. MỤC LỤC I.Kiến thức chuẩn bị. 2 1. Đa thức một ẩn. 2 2. Đa thức nhiều ẩn................................................................................4 II.Đa thức đối xứng. 5 1.Định nghĩa đa thức đối xứng. 5 2.Các kiến thức liên quan. 6 III.Ứng dụng của đa thức đối xứng 9 1.Phân tích đa thức thành nhân tử 9 2. Trục căn thức ở mẫu số 11 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng. 13 4. Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai và phương trình quy về phương trình bậc hai. 17 5. Giải hệ phương trình nhiều ẩn. 20 6. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 24 7. Một số ứng dụng đối với các đa thức có chứa tham số. 26 I.Kiến thức chuẩn bị. 1. Đa thức một ẩn. 1.1.Định nghĩa. Cho A là vành giao hoán có đơn vị. Đa thức một ẩn thuộc A biểu diễn dưới dạng: Trong đó: thuộc A gọi là hệ tử. là những số nguyên không âm. gọi là hạng tử (hay còn gọi là đơn thức nếu A là vành số và ) được gọi là bậc của hạng tử thứ i. Ta có thể cho rằng tất cả các hạng tử trong cách viết trên không đồng bậc vì nếu có những hạng tử đồng bậc thì ta nhóm chúng thành một hạng tử. Ta thường viết theo chiều tăng (hoặc giảm) những bậc của các hạng tử. Do đó thuộc A thường biểu diễn dưới dạng: Trong đó A 1.2. Nghiệm của đa thức: Cho đa thức P có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. K A, gọi là nghiệm của đa thức P nếu . 1.3. Phép chia với d: + Định lí: Cho hai đa thức , A là một trường và . Khi đó tồn tại duy nhất những đa thức và thoar mãn điều kiện sau: , trong đó nếu . + Nhận xét: Cho là một đa thức bậc n trên A. Khi đó luôn tồn tại trường để có n nghiệm trong K. 1.4. Công thức Viet: Cho thuộc là một đa thức bất kì và là những nghiệm của đa thức . Khi đó Đồng nhất các hệ tử ta có: Công thức trên gọi là công thức Viet. 1.5. Đa thức đồng dạng + Định nghĩa: Cho thuộc là một đa thức khác không. Ta nói rằng đa thức là đồng dạng theo modun đa thức nếu: . Nếu đồng dạng theo modun thif ta kí hiệu là: . + Tính chất: Trong vành đa thức , cho là một đa thức khác không. Khi đó ta có: 1, Với mọi đa thức 2, Với hai đa thức và bất kì, nếu thì . 3, Với mọi đa thức và , nếu và thì . 4, Với mọi đa thức và , nếu thì . 5, Cho những đa thức bất kì và , nếu thì . 6, Với các đa thức bất kì và , nếu thì . 7, Cho những đa thức bất kì vaf nếu 8, Với hai đa thức bất kì và mọi số tự nhiên t, nếu thì . 9, Với các đa thức , nếu thì 2. Đa thức nhiều ẩn 2.1. Định nghĩa Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn Cho R là vành giao hoán, có đơn vị . Đặt: Trên A xét hai phép toán như sau: Khi đó là vành giao hoán có đơn vị . Với mọi ta có: Đặt Theo quy tắc nhân ta có: Tương tự: …. . Xét ánh xạ r a Ta có f là đơn cấu vành nên đồng nhất mỗi phần tử . Tức là Thế thì với mọi ta có: . Suy ra: Định nghĩa: được gọi là vành đa thức một biến x với hệ số trong R. Kí hiệu: Lặp lại quá trình xây dựng vành đa thức một biến thay R bằng ta có vành đa thức hai biến tức là với với Lặp lại quá trình trên n lần, ta có vành đa thức n biến tức là Mỗi phần tử của là một đa thức n ẩn lấy hệ tử trong R. 2.2. Bậc của đa thức Kí hiệu Khi đó với mọi ta có: Biểu thức được gọi là một đơn thức. Khi đó số được gọi là bậc của đơn thức. Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các đơn thức có . Kí hiệu là . Nếu các hạng tử của có bậc bằng nhau và bằng k thì f được gọi là đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k. ta gọi là dạng tuyến tính ta gọi là dạng toàn phương ta gọi là dạng lập phương. II.Đa thức đối xứng. 1.Định nghĩa đa thức đối xứng. Định nghĩa 1: Trong vành đa thức , đa thức gọi là đa thức đối xứng nếu với mọi hoán vị của các số đều thỏa mãn đẳng thức sau: Nói cách khác một đa thức là đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi vai trò của biến cho nhau trong dạng khai triển của nó. Định nghĩa 2: Những đa thức sau đây gọi là những đa thức đối xứng cơ bản: P là một đa thức n biến bất kì thì là một đa thức đối xứng và mỗi đa thức đối xứng có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản. Phương pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản 2.Các kiến thức liên quan. a, Cách sắp xếp đa thức của n ẩn theo thứ tự từ điển Cho hai đơn thức và Ta nói đơn thức cao hơn đơn thức nếu và chỉ nếu tồn tại k sao cho Bằng cách này ta có thể sắp xếp các hạng tử của đa thức từ cao đến thấp. Cách sắp xếp như thế gọi là sắp xếp theo thứ tự từ điển. Ta kí hiệu C(f) là hạng tử cao nhất của f. Ta có một số kết quả sau: Hạng tử cao nhất của một tích hai đa thức là tích các hạng tử cao nhất của các nhân tử, tức là Nếu là hạng tử cao nhất của một đa thức đối xứng thì các số mũ của hạng tử cao nhất thỏa mãn bất đẳng thức b, Định lí : Mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản với các hệ tử trong A. Phuơng pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản Cách 1 : Phương pháp hạng tử cao nhất Giả sử cho là một đa thức đối xứng . Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo thứ tự từ điển. Giả sử hạng tử cao nhất của nó là . Bước 1: xét và Nếu thì . Ta đã biểu diễn xong. Nếu thì ta chuyển qua bước 2. Bước 2: là một đa thức đối xứng. Hạng tử cao nhất của nó là suy ra theo cách sắp xếp theo thứ tự từ điển của P. Xét và Nếu thì . Ta đã biểu diễn xong. Nếu thì từ ta có thể tiến hành tương tự như trên . Cuối cùng ta nhận được dãy đẳng thức : Ở đây là những đơn thức của những đa thức đối xứng cơ bản và hạng tử cao nhất của mỗi đa thức , theo cách sắp xếp theo thứ tự từ điển nằm trước hạng tử cao nhất của đa thức Quá trình này không thể tiếp tục mãi, giả sử với một m nào đó ta có . Khi đó

CHUYÊN ĐỀ 3:

ĐA THỨC ĐỐI XỨNG

VÀ ỨNG DỤNG.

MỤC LỤC

I.Kiến thức chuẩn bị 2

1 Đa thức một ẩn 2

2 Đa thức nhiều ẩn 4

II.Đa thức đối xứng 5

1.Định nghĩa đa thức đối xứng 5

2.Các kiến thức liên quan 6

III.Ứng dụng của đa thức đối xứng 9

1.Phân tích đa thức thành nhân tử 9

2 Trục căn thức ở mẫu số 11

3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng 13

4 Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai và phương trình quy về phương trình bậc hai 17

5 Giải hệ phương trình nhiều ẩn 20

6 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 24

7 Một số ứng dụng đối với các đa thức có chứa tham số 26

a x gọi là hạng tử (hay còn gọi là đơn thức nếu A là vành số và a i � )0

i

n được gọi là bậc của hạng tử thứ i.

Ta có thể cho rằng tất cả các hạng tử trong cách viết trên không đồng bậc vì nếu có những hạng

tử đồng bậc thì ta nhóm chúng thành một hạng tử Ta thường viết f x  theo chiều tăng (hoặc

là một đa thức bậc n trên A Khi đó luôn tồn tại trường K �A để f x 

Khi đó P x  0x1 x2  xnĐồng nhất các hệ tử ta có:

a a a a

a a

a a

Trong vành đa thức A x 

, cho  x là một đa thức khác không Khi đó ta có:

1, Với mọi đa thức P x P x   , �P x  mod x 

2, Với hai đa thức P x 

6, Với các đa thức bất kì P x Q x   , và R x  , nếu P x  Q x  �R x  mod x  thì

8, Với hai đa thức P x Q x   ,

bất kì và mọi số tự nhiên t, nếu P x  �Q x  mod x 

Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

Cho R là vành giao hoán, có đơn vị 1R Đặt:

Khi đó A, ,.  là vành giao hoán có đơn vị 1 ,0,0R .

Với mọi aa a0, , ,a , 1 n �A

n n

r a r,0,0, 

Ta có f là đơn cấu vành nên đồng nhất mỗi phần tử a A f a� ,  �P

Tức là a f a   a,0, ,0, 

Lặp lại quá trình xây dựng vành đa thức một biến thay R bằng R x 

ta có vành đa thức hai biến

ta có:

 1, , ,2    i,   ,   0

Biểu thức x i x x i1 .i2 x i n được gọi là một đơn thức.

Khi đó số i1   được gọi là bậc của đơn thức.i2 i n

Bậc của đa thức f �R x x 1, , ,2 x n  \ 0 là số lớn nhất trong các bậc của các đơn thức có a i �0 Kí hiệu là deg f 

Nếu các hạng tử của f x x 1, , ,2 x n

có bậc bằng nhau và bằng k thì f được gọi là đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k

Phương pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản

2.Các kiến thức liên quan

a, Cách sắp xếp đa thức của n ẩn x x1, , ,2 x theo thứ tự từ điển n

Cho hai đơn thức 1 1 2 2 n

Bằng cách này ta có thể sắp xếp các hạng tử của đa thức f x x 1, , ,2 x n từ cao đến thấp Cách

sắp xếp như thế gọi là sắp xếp theo thứ tự từ điển

Ta kí hiệu C(f) là hạng tử cao nhất của f

b, Định lí : Mọi đa thức đối xứng f x x 1, , ,2 x n�A x x 1, , ,2 x n

đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một đa thức    1, , ,2 ncủa các đa thức đối xứng cơ bản  1, , ,2  với các n

hệ tử trong A

Phuơng pháp biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản

Cách 1 : Phương pháp hạng tử cao nhất

Giả sử cho P x x 1, , ,2 x n �A x x1, , ,2 x n

là một đa thức đối xứng Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo thứ tự từ điển

Giả sử hạng tử cao nhất của nó là ax1 1 2 2 n

n

x x

.Bước 1: xét 1 1k k1 2 2k2 k3 k n

n

Q a     và P1 P Q1

Nếu P1  thì 0 P Q Ta đã biểu diễn xong.1

Nếu P1 � thì ta chuyển qua bước 2.0

Bước 2: P là một đa thức đối xứng Hạng tử cao nhất của nó là 1 1 2

1L 2L L n

n

x x x

 suy ra theo cách sắp xếp theo thứ tự từ điển của P

Xét Q2 1L L1 22L2L3 L n và P2  P Q1 2   P Q Q1 2

Nếu P2  thì 0 P Q 1 Ta đã biểu diễn xong.Q2

Nếu P2 � thì từ 0 P ta có thể tiến hành tương tự như trên Cuối cùng ta nhận được dãy đẳng 2

Sắp xếp các biến theo thứ tự từ điển

Hạng tử cao nhất của đa thức P là x x x13 22 3

Đặt Q1   1 2 3

Ví dụ sau sẽ cụ thể hóa phương pháp này:

Ví dụ : Biểu diễn đa thức sau theo những đa thức đối xứng cơ bản

Ta biểu diễn đa thức P P qua các đa thức đối xứng cơ bản.1, 2

Đối với đa thức P1

1,1,1 x x x1 2 3 3

Do vậy P biểu diễn dưới dạng 1 3

P      Bước 3: Lập bảng

III.Ứng dụng của đa thức đối xứng

111Equation Chapter 1 Section 11.Phân tích đa thức thành nhân tử

1.1.Cơ sở lí luận

Ta có thể phân tích thành nhân tử các đa thức đối xứng này bằng cách biểu diễn đa thức

đó qua các đa thức đối xứng cơ bản Việc phân tích các đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản thường đơn giản hơn nên việc phân tích mới thành nhân tử sẽ đơn giản hơn

1.2 Phương pháp giải

- Đưa đa thức đối xứng đã cho về đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản

- Phân tích đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản thành nhân tử

- Thay trở lại sau đó xét các nhân tử mới, tiếp tục như thế cho đến khi không phân tích được nữa thì dừng

Mỗi thừa số lại là một tam thức bậc hai nên ta lần lượt phân tích các đa thức này.

Coi 2x25xy2y2 là tam thức bậc hai của biến x ta sẽ có nghiệm làx 12 y x;  2y

Vì thế 2x25xy2y2 2x y x   2y

Coi 5x226xy5y2 là tam thức bậc hai của biến x ta sẽ có nghiệm là

1

; 55

x y z t

xy yz zt xz xt yt xyz xyt yzt xzt xyzt

a) Đối với phương trình hai biến

Xét phương trình mà mà biểu thức hai vế có dạng đa thức đối xứng của các biến, tùy theo từng bài toán cụ thể mà ta làm như sau:

Đặt:

1 2

Cách 1: Từ (*) và (1) ta suy ra được x,y là nghiệm của phương trình bậc hai: t21t2 0 với

điều kiện  � Từ đó suy ra điều kiện của 0  1

Cách 2: Do x, y là số nguyên nên x,y là số thực Do đó cần kết hợp với (1) ta tìm được điều kiện của  Tìm x,y theo 1  ,1  2

b) Đối với phương trình có ba biến

Ta biểu diễn phương trình ban đầu theo phương trình của    1, 2, 3

Thông thường trong quá trình tính toán một biến  nào đó sẽ bị triệt tiêu Khi đó ta có thể làm i

tương tự trường hợp phương trình hai biến

3.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình:

x y   xy

Lời giải:

Đặt:

1 2

2

(1)� �3 (�x y ) 3xy��7(x y )

Đặt:

1 2

409

223

989

1369

20

Đặt:

1 2 3

x

y z y

x z z

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x y x  2 xy y2

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2y2  x y 8

Bài 3 Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: 3 3 2

Bài 1

Đặt:

1 2

Bài 2:

Đặt:

1 2

Bài 3:

Đặt:

1 2

2

000

Ví dụ 1: Cho phương trình bậc hai x25x 7 0 Hãy lập 1 phương trình bậc hai mà các

nghiệm là các lập phương của các nghiệm của phương trình đã cho

Lời giải:

Gọi các nghiệm của phương trình đã cho là x x 1; 2

Các nghiệm của phương trình cần tìm là y y và các hệ số của nó là S, P.1; 2

Áp dụng hệ thức Vi-ét có:

57

Bài 2: Lập phương trình bậc hai z2 pz q 0( ,p q�� mà các nghiệm là)

z x  x z x  x

Trong đó x x là nghiệm của phương trình 1; 2 x2  x 3 0

Bài 3: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm x x thỏa mãn: 1; 2 4 4

x x  ;x1 x2 2Bài 4: Cho x x là nghiệm của phương trình 1; 2 x26x 1 0 Chứng minh rằng:

Bài 4: Chứng minh s n�� bằng phương pháp quy nạp

4.2 Phương trình đối xứng và phương trình hồi quy

So sánh (*) và (**) ta thấy hệ thức (2) xảy ra khi và chỉ khi a0 a a n; 1a n1;

Nghĩa là f z( )là đa thức đối xứng (dpcm)

Khi   thì đa thức hồi quy trở thành đa thức hệ số đối xứng 1

Ví dụ: Phương trình: 2x56x42x34x248x64 0 là phương trình hồi quy có    2

Định lí 4.2 Mọi đa thức hồi quy bậc chẵn 2k :

, h( ) là một đa thức nào đó theo biến  và có bậc k

Mọi đa thức hồi quy bậc lẻ f z( ) đều có dạng f z( ) ( z ) ( )g z , trong đó g z( ) là đa thức hồi quybậc chẵn

Chứng minh:

Trước hết ta xét đa thức hệ đối xứng f z( ) có bậc 2k Với z� ta biến đổi 0 f z( )như sau:

1 1

k k k

x y xy

, nghĩa là chỉ theo biến 

Lại xét đa thức đối xứng bậc lẻ 2k :1

Phương trình đã cho là phương trình đối xứng bậc 6.

Nhận thấy z không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình cho 0 z ta 3

1 103

1 103

z z z z z z

z z z

Bài 1: Giải phương trình: 2x89x720x633x546x466x380x272x32 0

Bài 2: Hãy xác định tất cả các tham số a sao cho phương trình: 16 -axx4 3(2a17) -ax+16=0x2 có 4 nghiệm lập thành một cấp số nhân

Hướng dẫn:

Bài 1: Đây là phương trình bậc 8 truy hồi với 2

Nhận thấy x không là nghiệm của phương trình Chia cả 2 vế của phương trình cho 0 x4 ta

Hệ phương trình naày thường đơn giản hơn, dễ giải hơn, sau đó ta giải hệ phương trình đại số bậcnhất n ẩn

Trong trường hợp có hai ẩn thì phép giải đưa đến một phương trình bậc hai

b) Phương pháp giải:

 Biểu diễn từng vế của phương trình trong hệ qua các đa thức đối xứng cơ bản ( i i 1, )n

 Ta thu được hệ mới với ẩn là ( i i 1, )n Giải hệ tìm i

 Vận dụng công thức Viet tìm ra nghiệm của hệ ban đầu

Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm: (1, 2,3);(1,3, 2)(2,1,3);(2,3,1);(3,1, 2);(3, 2,1)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình sau:

Giải hệ phương trình này ta tìm được là nghiệm của phương trình

Nghiệm của phương trình này là Từ đó suy ra nghiệm của hệ đãcho là các bộ

Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:

6.2.1 Cơ sở lí luận và phương pháp giải:

*Xét trường hợp hai biến: Ta có thể áp dụng kết quả của đa thức đối xứng để chứng minh nhiều bất đẳng thức Cơ sở của phương pháp này cần chú ý, giả sử   là những số thực.1, 2

7 Một số ứng dụng đối với các đa thức có chứa tham số.

7.1 Giải phương trình dựa vào cơ sở Vi-ét

7.1.1 Cơ sở lí luận:

Dùng Vi-ét, ta tìm được mối liên hệ giữa các nghiệm, từ đó kết hợp với giả thiết bài toán ta tìm được nghiệm cửa phương trình

7.1.2 Phương pháp giải:

- Dựa vào Vi-ét xác định nghiệm của phương trình.

- Đối với phương trình chứa tham số thay x x vào phương trình, sau đó tìm giá tị tham số.0

2 5

2 5

x x

x x

13

x x

31

x x



�

� 

�+Với x x1 2  và 3 x x3 4  ta có:1

1 2

43

13

x x

31

x x

2 5

2 5

x x

2 5

x x

m m



�

� �  �Vậy m hoặc 1 m  thỏa mãn điều kiện đề bài.2

- Đưa các biểu thức đã cho về dạng biểu thức của các đa thức đối xứng cơ bản.

- Tính  theo hệ số của đa thức.i

7.2.3 Ví dụ:

Cho x x x là những nghiệm của phương trình 1, ,2 3 x3 px2qx r  với 0 p q r, ,  �,r 0 Hãy

biểu diễn thông qua p q r, , những hàm của các biến x x x 1, ,2 3

Ta có x x x là những nghiệm của phương trình 1, ,2 3 x3 px2   với qx r 0 p q r, ,  �,r 0.

Do đó theo công thức Vi-ét:

Biểu diễn biểu thức B thông qua p q r, ,

Do (i 1, 2,3)x i  là nghiệm của phương trình x3px2qx r  nên:0

Biểu diễn biểu thức C thông qua p q r, ,

Do (i 1, 2,3)x i  là nghiệm của phương trình x3px2qx r  nên:0

Vậy C p44p q2 2q24rp.

7.3 Xác định đa thức

7.3.1 Cơ sở lí luận:

Ta thường gặp các bài toán xác định đa thức khi giải phương trình hàm trên tập các đa

thức Để xác định đa thức, trước hết ta xác định bậc rồi lần lượt xác định các hệ số của đa thức

7.3.2 Phương pháp giải:

Để xác định đa thức, ta đi tìm hệ số của đa thức này, ta làm như sau:

- Xác định dạng tổng quát của đa thức cần xác định bằng cách dùng công thức Vi-ét tìm mối liên

hệ giữa các đa thức đối xứng cơ bản với các hệ số của đa thức

- Từ điều kiện của đề bài toán tìm giá trị của các đa thức đối xứng cơ bản

- Từ giá trị của các đa thức đói xứng cơ bản tim giá trị của các hệ số của đa thức cần xác định, từ

đó tìm được đa thức thỏa mãn đề bài