lý thuyết tương đối rộng phương trình einstein

Trong vật lý tiền tương đối người ta giả sử rằngkhông gian có cấu trúc đa tạp của R3 sự liên hệ của điểm trong không gian liên hệ với thành phầnx1, x2, x3 của R3 có thể được thực hiện bằ

LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG PHƯƠNG TRÌNH EINSTEINSVTH: NGUYỄN MINH QUÂN

Ngày 25 tháng 12 năm 2011

Hình học không gian tiền tương đối

Trong vật lý tiền tương đối người ta giả sử rằng

không gian có cấu trúc đa tạp của R3

sự liên hệ của điểm trong không gian liên hệ với thành phần(x1, x2, x3) của R3 có thể được thực hiện bằng cách xây dựng

"mạng thẳng cứng" theo thước đo

chất nội tại của không gian

metric của không gian có dạng:

ds2= (dx1)2+ (dx2)2+ (dx3)2 (2)hay viết trong hệ tạo độ Descartes:

hab =X

µ,ν

hµν(dxµ)a(dxν)b (3)

Với: hµν = diag(1,1,1)

đường trắc địa là đường thẳng trong hệ tọa độ Descartes.

có 1 đường trắc địa duy nhất nối 2 điểm, độ lớn của đườngtrắc địa này cho bởi phương trình (1)

Không gian là đa tạp R3 với một metric Riemannian phẳng

Hai nguyên lý hiệp biến

Nguyên lý hiệp biến tổng quát

Metric của không gian là đại lượng duy nhất gắn liền với không

gian mà có thể xuất hiện trong các định luật vật lý

Đúng trong lý thuyết tiền tương đối, lý thuyết tương đối hẹp và lýthuyết tương đối rộng

Nguyên lý hiệp biến hẹp

Metric của không gian, có một nhóm các isometry - nhóm 6 tham

số của các phép quay và dịch chuyển của R3 cùng với đối xứng

parity (x, y, z → −x, −y, −z) rời rạc

Đúng trong lý thuyết tiền tương đối

Lý thuyết tương đối hẹp

Trong lý thuyết tương đối hẹp, người ta giả thuyết rằng:

Không thời gian có cấu trúc đa tạp R4

Điểm được xác định bằng 3 tọa độ không gian x1, x2, x3 vàthời gian t = x0

Khoảng giữa 2 sự kiện x và ¯x được xác định bởi:

I = −(x0− ¯x0)2+ (x1− ¯x1)2+ (x2− ¯x2)2+ (x3− ¯x3)2

(6)metric không thời gian ηab

Theo nguyên lý hiệp biến rộng nói rằng chỉ có metric của khôngthời gian ηab là đặc tính duy nhất của không gian xuất hiện trongcác định luật vật lý.

Thực nghiệm chứng tỏ rằng có sự vi phạm đối xứng parity và đốixứng nghịch đảo thời gian Điều này dẫn đến có thêm 2 tính chấtcủa không thời gian xuất hiện trong các định luật vật lý: sự địnhhướng thời gian và không gian

Các định luật vật lý trong thuyết tương đối hẹp được tin rằng phảithõa mãn nguyên lý hiệp biến hẹp liên quan đến các phép "biến đổiPoincare thích hợp" : phép dịch chuyển, quay, và đẩy của khôngthời gian nhưng không thỏa đối với sự đối xứng thời gian, biến đổiparity và sự kết hợp của chúng

Lý thuyết tương đối hẹp xác định rằng đường đi cuả hạt trong

không thời gian luôn có dạng timelike Điều này tương đương với:

"không có gì di chuyển nhanh hơn ánh sáng"

Định nghĩa thời gian proper τ đối với một đường cong (tham sốhóa đường cong timelike):

cong này Hai đường cong timelike khác nhau cùng nối 2 sự kiện

có thể có thời gian khác nhau (nghịch lý anh em sinh đôi), giốngnhư hai đường nối 2 điểm có thể có độ dài khác nhau Thời giantối đa nối 2 sự kiện cho bởi di chuyển trên đường trắc địa

Vector tiếp tuyến ua của một đường cong timelike được tham sốhóa bởi τ được gọi là 4-vận tốc của đường cong Ta có:

Hạt không chịu lực tác dụng sẽ di chuyển theo đường trắc địa

4-vận tốc của nó sẽ thỏa phương trình chuyển động:

Chú ý!!!: Do ηab là phẳng và dẫn đến dịch chuyển song songkhông phụ thuộc vào đường cong nên chúng ta có thể định

nghĩa được năng lượng của hạt do bởi người quan sát KHÔNG

di chuyển trên quỹ đạo của hạt là năng lượng của hạt đo bởingười quan sát nằm tại qũy đạo của hạt và có 4-vận tốc songsong với 4-vận tốc của người quan sát ở xa

Phân bố vật chất liên tục trong thuyết tương đối hẹp được mô tảbởi tensor suất-năng-xung đối xứng Đối với người quan sát có

4-vận tốc va, số hạng Tabvavb được xem là mật độ năng lượng

(năng khối lượng trong một đơn vị diện tích) Đối với vật chất

bình thường:

Vậy tensor áp suất đã được gom với mật độ năng lượng và xunglượng để tạo thành tensor suất-năng-xung trong thuyết tương đốihẹp

Một chất lỏng lý tưởng được xem là phân bố liên tục của vật chấtvới tensor suất-năng-xung có dạng:

Tab= ρuaub+ P (ηab+ uaub) (15)

ρ là mật độ năng-khối lượng và P là áp suất của chất lỏng được

đo ở trạng thái nghỉ của nó

Phương trình chuyển động của chất lỏng lý tưởng khi không có lựcngoài là:

Ý nghĩa vật lý của phương trình (16)

Xét một họ quan sát viên quán tính với 4-vận tốc va, ∂va= 0

Hai ví dụ - trường scalar và trường điện từ

Trường scalar thỏa phương trình Klein-Gordon:

Trường điện từ có tensor là Fab - tensor phản đối xứng Đối với

quan sát viên di chuyển với vận tốc va số hạng

được xem là từ trường

abcd là tenso hoàn toàn phản xứng, abcdabcd= −24, trong hệ cơ

sở trực chuẩn tay phải ta có 0123= 1

Tensor suất-năng-xung của trường điện từ là:

Tab= 14π

Ta áp dụng điều kiện gauge Lorentz:

Với Ca là hằng số trường vector, hàm S là pha của sóng Để thỏa

ja= 0, pha phải thỏa:

Lý thuyết tương đối rộng

Giả thuyết

Metric không thời gian không phẳng như được giả sử trong thuyếttương đối yếu Đường thế giới của vật rơi tự do trong trường hấpdẫn chính là đường trắc địa của metric không thời gian (cong)

Hấp dẫn không phải là trường lực mà là một đặc tính cấu trúc củakhông thời gian

Không thời gian là một đa tạp M trên đó xác định một Lorentz

Do thuyết tương đối rộng chỉ khác thuyết tương đối hẹp ở chổ nócho phép đa tạp khác R4 và metric không phẳng nên ta có thể

tiếp tục biểu thị các đại lượng vật lý bằng các trường tensor trongthuyết tương đối hẹp

chuyển động của hạt mô tả bởi đường cong timelike (trongmetric gab);

chất lỏng lý tưởng được mô tả bởi 4-vận tốc ua, mật độ ρ, ápsuất P;

trường điện từ được mô tả bởi tensor phản xứng Fab

Chỉ có những phương trình cho các trường này phải thay đổi 2

nguyên lý trên cho ta một quy tắc đơn giản: trong các phương

trình của thuyết tương đối hẹp thay metric ηab bằng gab và thayđạo hàm ∂a của ηab bằng đạo hàm ∇a của gab

Vậy, trong thuyết tương đối rộng, ta tiếp tục định nghĩa 4-vận tốc

ua của hạt là tiếp tuyến đơn vị của đường thế giới Hạt tự do thỏaphương trình trắc địa:

Nếu gia tốc ab= ua∇aub khác không thì ta nói hạt sẽ chịu tác

dụng của một lực fb = mab Ví dụ như nếu hạt có khối lượng m

và điện tích q đặt trong trường điện từ Fab thì nó sẽ thỏa mãn

điều kiện Lorentz:

ua∇aub= q

mF

b

4-xung lượng của hạt được định nghĩa:

Năng lượng của hạt được đo bởi người quan sát tại sự kiện trênđường thế giới của hạt

Chú ý rằng do không thời gian bị cong, không có định nghĩa cho

sự song song giữa 2 vector tại 2 điểm khác nhau; Không có họ

tổng quát các người quan sát quán tính; người quan sát trên

nguyên tắc không thể xác định năng lượng của hạt ở xa

Tensor suất-năng-xung (tensor áp suất) của chất lỏng lý tưởng:

Ta xét trường hợp trường scalar Ta sẽ biến đổi phương trình

Klei-Gordon bằng cách biến đổi ηab→ gab và ∂a→ ∇a

Bây giờ ta sẽ đi tìm phương trình cho metric không thời gian Lýthuyết tương đối rộng cho rằng cấu trúc hình học không thời gian

bị ảnh hưởng bởi sự phân bố vật chất trong vũ trụ (theo ý tưởngcủa Mach) Phương trình nào sẽ biểu thị sự liên hệ giữa hình họccủa không thời gian và sự phân bố vật chất? Ta xem lại trong

phương trình Newton, trường hấp dẫn được biểu thị bởi một thế φ

và gia tốc triều của hai hạt gần nhau được cho bởi −(~x ~∇)~∇φ, với

~x là vector khoảng cách giữa hai hạt Mặt khác trong thuyết tươngđối rộng, từ phương trình (3.3.18) gia tốc triều của 2 hạt gần nhauđược cho bởi −Rcbdavcxbvd với va là 4-vận tốc của hạt và xa làvector khoảng cách Điều này dẫn đến sự tương ứng:

Rcbdavcvd↔ ∂b∂aφ (56)

mặt khác phương trình Poisson cho ta:

Nếu chúng ta thay phương trình trên bằng phương trình sau:

Phương trình Einstein

Gab= Rab−1

Thì mọi suy luận của chúng ta trên đều thỏa và sẽ không có sự

mâu thuẫn ở trên nữa Đây chính là phương trình trường của

thuyết tương đối rộng

Lấy trace của phương trình Einstein ta có:

Kết luận

Không thời gian là một đa tạp M trên đó định nghĩa một metricLorentz gab Độ cong của metric gab được liên hệ với sự phân bốcủa vật chất thông qua phương trình Einstein