lý thuyết trường hấp dẫn chương 4 phương trình einstein

Thuyết tương đối rộng GV: TS Võ Thành VănLÝ THUYẾT TRƯỜNG HẤP DẪN Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN 4.4 Thuyết hấp dẫn tuyến tính: Giới hạn của lý thuyết Newton và Bức xạ hấp dẫn.. Chúng t

Thuyết tương đối rộng GV: TS Võ Thành Văn

LÝ THUYẾT TRƯỜNG HẤP DẪN

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH

EINSTEIN

4.4 Thuyết hấp dẫn tuyến tính: Giới hạn của lý thuyết Newton và Bức xạ hấp dẫn

Mục đích của phần này là để điều chỉnh xấp xỉ, trong đó trường hấp dẫn là "yếu" Trong thuyết tương đối rộng điều này có nghĩa rằng metric không-thời gian là gần như phẳng Trong thực tế, đây là một xấp xỉ tuyệt vời trong tự nhiên, ngoại trừ với các hiện tượng độc lập với sự sụp đổ hấp dẫn và các lỗ đen và các hiện tượng độc lập với cấu trúc quy mô lớn của

vũ trụ

Ở đây, chúng ta chỉ đơn giản giả định rằng độ lệch, γab, của metric không-thời gian thực tế

gab = ηab+ γab (1)

từ một metric phẳng ηab là "nhỏ." (Khi không có metric chuẩn xác định dương trong

không-thời gian, không có định chuẩn chuẩn mà "smallness" của các tensor có thể được đo Một định nghĩa đầy đủ của "smallness" trong bối cảnh này là các số hạng γµν của γab là nhỏ hơn nhiều so với 1 trong một số hệ tọa độ quán tính cầu của ηab.) Chúng ta dịch nghĩa

"trường hấp dẫn tuyến tính" là phép xấp xỉ với lý thuyết tương đối rộng cái thu được bằng cách thay thế phương trình (1) cho gab trong phương trình của Einstein và chỉ giữ lại các vế tuyến tính trong γab

Chúng ta ký hiệu toán tử đạo hàm bởi ∂a liên kết với các metric phẳng ηab Để không

có γab ẩn trong một chỉ số được nâng lên hoặc hạ xuống, việc nâng cao và hạ thấp các chỉ số tensor với ηab và ηab chứ không phải gab và gab là thuận tiện Chúng ta sẽ áp dụng quy ước ký

hiệu này cho phần còn lại của mục này với một ngoại lệ: tensor gab vẫn sẽ biểu thị metric nghịch đảo, không phải ηacηbdgcd Cần lưu ý rằng trong phép xấp xỉ tuyến tính chúng ta có

gab = ηab− γab (2) khi vế bên phải của phương trình (1) và (2) các các toán tử đồng nhất chỉ khác bởi các điều kiện bậc hai của γab

Các phương trình Einstein tuyến tính có thể thu được một cách đơn giản như sau Trong một

hệ tọa độ quán tính toàn cục, để bậc tuyến tính trong γab kí hiệu Christoffel là

Γcab = 1

2η

cd(∂aγbd+ ∂bγad− ∂dγab) (3)

để bậc tuyến tính trong γab, tensor Ricci (3.4.5) là

R(1)ab = ∂cΓcab− ∂aΓccb = ∂c∂(bγa)c−1

2∂

c

∂cγab−1

2∂a∂bγ (4) trong đó γ = γc

c

CM : R(1)ab = ∂cΓc

ab− ∂aΓc

cb

= ∂c



1

2ηcd(∂aγbd+ ∂bγad− ∂dγab)− ∂a



1

2ηcd(∂cγbd+ ∂bγcd− ∂dγcb)

= 12ηcd∂c∂aγbd+ 12ηcd∂c∂bγad−1

2ηcd∂c∂dγab− 1

2ηcd∂a∂cγbd−1

2ηcd∂a∂bγcd+ 12ηcd∂a∂dγcb

= 12∂d∂aγbd+ 12∂d∂bγad−1

2∂d∂dγab−1

2∂d∂aγbd− 1

2∂a∂bγ + 12∂c∂aγcb

= 12∂c∂bγac− 1

2∂c∂cγab− 1

2∂a∂bγ + 12∂c∂aγcb

=12∂c∂bγac+12∂c∂aγcb



−1

2∂c∂cγab− 1

2∂a∂bγ

= ∂c∂(bγa)c− 1

2∂c∂cγab−1

2∂a∂bγ (4)

Do đó, các tensor Einstein với bậc tuyến tính là

G(1)ab = R(1)ab − 1

2ηabR(1)

= ∂c∂(bγa)c− 1

2∂c∂cγab− 1

2∂a∂bγ − 1

2ηab∂c∂dγcd− ∂c∂cγ (5)

CM : G(1)ab = R(1)ab − 1

2ηabR(1)

R(1)ab = ∂c∂(bγa)c−1

2∂c∂cγab− 1

2∂a∂bγ

R(1) = ηabRab(1) = ηab∂c∂(bγa)c− 1

2∂c∂cγab− 1

2∂a∂bγ

= ηab1

2∂c∂bγac+ 12∂c∂aγbc− 1

2∂c∂cγab−1

2∂a∂bγ

= 12∂c∂aγac+ 12∂c∂bγcb−1

2∂c∂cγ −12∂b∂bγ

= 12∂c∂dγdc+12∂c∂dγcd−1

2∂c∂cγ − 12∂c∂cγ

= ∂c∂dγcd− ∂c∂cγ

⇒ G(1)ab = R(1)ab −1

2ηabR(1)

= ∂c∂(bγa)c− 1

2∂c∂cγab−1

2∂a∂bγ − 12ηab



∂c∂dγcd− ∂c∂cγ (5)

Biểu thức này có thể được đơn giản hóa bằng cách định nghĩa

γab = γab−1

2ηabγ (6) Trong điều kiện của γab, phương trình Einstein tuyến tính được tìm thấy là

G(1)ab = −1

2∂

c

∂cγab+ ∂c∂(bγa)c− 1

2ηab∂

c

∂dγcd = 8πTab (7)

CM : G(1)ab = −12∂c∂c¯ab+ ∂c∂(b¯a)c− 1

2ηab∂c∂d¯cd = 8πTab (7)

= ∂c∂(bγa)c+ 1

4∂c∂bηacγ + 1

4∂c∂aηbcγ −1

2∂c∂cγab− 1

4∂c∂cηabγ

−1

2∂a∂bγ − 12ηab∂c∂dγcd+ 12ηcdγ− ∂c∂cγ

= ∂c∂(bγa)c− 1

2∂c∂cγab− 1

2ηab∂c∂dγcd+ 1

4∂a∂bγ +1

4∂b∂aγ

−1

4ηab∂c∂cγ − 12∂a∂bγ −14ηab∂cηcd∂dγ +12ηab∂c∂cγ

= ∂c∂(bγa)c− 1

2∂c∂cγab− 1

2ηab∂c∂dγcd+ 1

4∂a∂bγ +1

4∂b∂aγ

−1

4ηab∂c∂cγ − 12∂a∂bγ −14ηab∂c∂cγ + 12ηab∂c∂cγ

= ∂c∂(bγa)c− 1

2∂c∂cγab− 1

2ηab∂c∂dγcd+ 1

2∂a∂bγ

−1

2ηab∂c∂cγ − 12∂a∂bγ +12ηab∂c∂cγ

= ∂c∂(bγa)c− 1

2∂c∂cγab− 1

2ηab∂c∂dγcd Như đã thảo luận chi tiết trong phụ lục C, có một gauge tự do trong lý thuyết tương đối rộng tương ứng với nhóm vi (đồng) phôi: Nếu φ : M → M là một vi (đồng) phôi của không thời gian, các metric gab và φ ∗ gab biểu diễn đường trắc địa giống nhau, trong đó φ∗ là ánh xạ trên các trường tensor gây ra bởi φ(xem phụ lục C) Trong phép xấp xỉ tuyến tính, điều này ám chỉ rằng hai nhiễu loạn γab và γab0 biểu diễn cùng một nhiễu loạn vật lý nếu (và chỉ nếu) chúng khác nhau bởi tác động của "vi (đồng) phôi vô cùng bé" trên metric phẳng

ηab Như đã thảo luận trong phần 2.2, một" vi phôi vô cùng bé" được tạo ra bởi một trường vector, ξa, và, như được thảo luận trong phụ lục C, sự thay đổi trong một trường tensor gây

ra bởi một vi phôi vô cùng bé định nghĩa đạo hàm Lie Điều này có nghĩa là γab và γab+ £ξηab

mô tả cùng nhiễu loạn vật lý Từ phụ lục C, chúng ta thấy rằng chúng ta có thể biểu diễn

£ξηab trong điều kiện của toán tử đạo hàm phẳng ∂a như

£ξηab = ∂aξb+ ∂bξa (8) Điều này có nghĩa là lực hấp dẫn tuyến tính có một gauge tự do được đưa ra bởi

γab → γab+ ∂aξb+ ∂bξa (9)

Điều này là tương tự chặt chẽ với gauge điện từ tự do Aa → Aa+ ∂aX Gauge tự do này của

γab cũng có thể được dẫn xuất mà không cần sử dụng công cụ của phụ lục C từ định luật biến đổi tensor (2.3.8) Theo phương trình (2.3.8), các thành phần của γab và γab+ ∂aξb+ ∂bξa khác nhau, với bậc đầu tiên, giới hạn bởi một phép biến đổi tọa độ và, do đó, biểu diễn cùng nhiễu loạn vật lý Chúng ta có thể sử dụng gauge tự do này để đơn giản hóa phương trình Einstein tuyến tính Bằng cách giải phương trình

∂b∂bξa = −∂bγab (10) với ξa, chúng ta có thể tạo một phép biến đổi gauge, phương trình (9), để có được

∂bγab = 0 (11) cái tương tự điều kiện gauge Lorentz Trong gauge này, phương trình Einstein tuyến tính đơn giản hóa để trở thành

∂c∂c¯ab = −16πTab (12)

CM : ∂c∂cγab= −16πTab (12)

T a c :∂bγab = 0 (7) ⇒ G(1)ab = −12∂c∂c¯ab+ ∂c∂(b¯a)c− 1

2ηab∂c∂d¯cd = 8πTab

⇔ −1

2∂c∂c¯ab+12∂c∂b¯ac+12∂c∂a¯bc− 1

2ηab∂c∂d¯cd

| {z }

=0

= 8πTab

⇔ −1

2∂c∂c¯ab+12∂b∂c¯ac

| {z }

=0

+12∂a∂c¯bc

| {z }

=0

= 8πTab

⇔ −1

2∂c∂c¯ab = 8πTab

⇔ ∂c∂c¯ab = −16πTab

và là tương tự chặt chẽ với phương trình Maxwell (4.2.32)

Trong chân không (Tab = 0) phương trình (11) và (12) là chính xác các phương trình viết ra bởi Fierz và Pauli (1939) để mô tả một trường spin-2 không khối lượng đang lan truyền trong không-thời gian phẳng (xem chương 13) Như vậy, trong xấp xỉ tuyến tính, thuyết tương đối rộng trở về lý thuyết của một trường spin-2 không khối lượng Lý thuyết đầy

đủ của thuyết tương đối rộng do đó có thể được xem như là một trường spin-2 không có khối lượng trải qua một tự tương tác phi tuyến Tuy nhiên, cần lưu ý, khái niệm về khối lượng và spin của một trường đòi hỏi sự hiện diện của một metric nền phẳng ηab mà nó có trong trong xấp xỉ tuyến tính nhưng không phải trong lý thuyết đầy đủ, vì vậy trong thuyết tương đối rộng, trường hấp dẫn được giải quyết như một trường spin-2 không khối lượng không phải là một cái có thể được hiểu chính xác bên ngoài phép xấp xỉ tuyến tính

4.4a Các giới hạn Newton

Lý thuyết của thuyết tương đối rộng có thể có sức thu hút mỹ học tuyệt vời, nhưng điều này không có nghĩa là các tiên đoán của nó phù hợp với thiên nhiên Chúng ta biết rằng

lý thuyết Newton về lực hấp dẫn cho những dự đoán tuyệt vời dưới một loạt các điều kiện Vì vậy, các kiểm tra quan trọng đầu tiên của thuyết tương đối rộng cho thấy các dự đoán của nó dẫn về những dự đoán của thuyết hấp dẫn Newton trong các trường hợp khi lý thuyết

Newton được biết đến là đặc biệt giá trị, khi trường hấp dẫn yếu, các chuyển động tương đối của các nguồn chậm hơn nhiều so với tốc độ của ánh sáng c, và ứng suất vật chất nhỏ hơn nhiều so mật độ khối lượng-năng lượng (trong hệ đơn vị khi c = 1)

Khi trường hấp dẫn là yếu, xấp xỉ tuyến tính với thuyết tương đối rộng sẽ có giá trị Các giả định về các nguồn sau đó có thể được cải tiến chính xác hơn như sau: Có tồn tại một

hệ tọa độ quán tính toàn cục của ηab như

Tab≈ ρtatb (13) Trong đó ta=∂x∂0



là "hướng thời gian" của hệ tọa độ này (Eq [13] khẳng định rằng Tab chỉ

có một thành phần "thời gian-thời gian"; sự bỏ qua các thành phần "không-thời gian" về bản chất là rằng các vận tốc [và do đó, các mật độ xung lượng] là nhỏ trong khi sự bỏ qua các thành phần "không gian-không gian" là rằng ứng suất nhỏ) Khi các nguồn "thay đổi chậm," chúng ta hy vọng không thời gian hình học thay đổi chậm, và do đó chúng ta tìm kiếm các lời giải của phương trình (12) trong đó các đạo hàm thời gian của γab là không đáng kể

Với những giả định này, các số hạng của phương trình (12) trong hệ tọa độ quán tính toàn cục của chúng ta trở thành

∇2γµν = 0 (14)

CM : ∇2¯µν = 0 (14) (12) : ∂c∂c¯ab = −16πTab

µ = ν = 0 : ∂0∂0¯00

| {z }

=0

+∂1∂1¯00+ ∂2∂2¯00+ ∂3∂3¯00= −16πρ

⇔ ∂1∂1¯00+ ∂2∂2¯00+ ∂3∂3¯00= −16πρ

⇔ ∇2¯00 = −16πρ

µ, ν 6= 0 : ∂0∂0¯µν + ∂1∂1¯µν + ∂2∂2¯µν+ ∂3∂3¯µν = 0

⇔ ∇2¯µν = 0 Với tất cả µ, ν ngoại trừ µ = ν = 0, khi

∇2γ00= −16πρ (15) Trong đó ∇2 biểu thị toán tử Laplace thông thường của không gian Lời giải duy nhất của phương trình (14) cái hành xử tốt ở vô cực là γµν = 0 (Các lời giải γµν = hằng số cũng được chấp nhận, nhưng chúng có thể được loại bỏ bởi một phép biến đổi gauge sau đó.) Do đó, trong giới hạn Newton lời giải của chúng ta với metric bị nhiễu γab là

γab = γab− 1

2ηabγ = − (4tatb+ 2ηab) φ (16) Trong đó φ = −14γ00 thỏa mãn phương trình Poisson,

∇2φ = 4πρ (17)

CM : ∇2φ = 4πρ (17) (15) ⇒ ∇2¯00= −16πρ; φ = −14¯00

⇔ ∇2(−4φ) = −16πρ

⇔ ∇2φ = 4πρ Chuyển động của các hạt thử trong hình học không-thời gian cong này bị chi phối bởi phương trình đường trắc địa,

d2xµ

dτ2 +X

ρ,σ

Γµρσ dx

ρ

dτ

!

dxσ

dτ

!

= 0 (18) trong đó xµ(τ ) là đường thế giới của các hạt trong các tọa độ quán tính toàn cầu Đối với chuyển động chậm hơn nhiều so với tốc độ của ánh sáng, chúng ta có thể gần đúng dxdτα như (1,0, 0, 0) trong vế thứ 2, và thời gian riêng τ có thể được xấp xỉ bằng thời gian tọa độ Do

đó, chúng ta thấy

d2xµ

dτ2 = −Γµ00 (19)

CM : ddτ2x2µ = −Γµ00 (19)

v << c ⇒ dxdτα ≈ (1, 0, 0, 0)

dx0

dτ = d(cτ )dτ = 1 v c = 1

dx 1

dτ = dxdτ2 = dxdτ3 = 0

d2xµ

dτ 2 +P

ρ,σΓµρσdxdτρ dxdτσ= 0 (18)

ρ, σ 6= 0 : P

ρ,σΓµ ρσ

 dx ρ

dτ

  dx σ

dτ



= 0

⇒ d 2 x µ

dτ 2 + Γµ00= 0 ⇔ ddτ2x2µ = −Γµ00

Từ lời giải của chúng ta, phương trình (16), chúng ta có, với µ = 1, 2, 3:

Γµ00 = −1

2

∂γ00

∂xµ = ∂φ

Trong đó , một lần nữa, các đạo hàm thời gian của φ đã bị bỏ qua Như vậy, chuyển động của các hạt thử bị chi phối bởi phương trình,

−

→a = −−→∇φ (21)

trong đó ~a = d2−→x /dt2

là gia tốc của hạt tương đối so với hệ tọa độ quán tính toàn cục của ηab Phương trình (17) và (21), tất nhiên, là các phương trình cơ bản của lý thuyết hấp dẫn Newton, và do đó thuyết tương đối rộng thực sự rút về lý thuyết hấp dẫn Newton trong giới hạn thích hợp Tuy nhiên, lưu ý rằng mặc dù các dự đoán của thuyết tương đối rộng đồng ý với những dự đoán của lý thuyết hấp dẫn Newton, nhưng quan điểm cơ bản là hoàn toàn khác nhau Trong quan điểm của Newton, Mặt trời tạo ra một trường hấp dẫn gây nên một lực lên Trái đất làm cho nó quay quanh Mặt trời chứ không phải là di chuyển trên một đường thẳng Trong quan điểm thuyết tương đối rộng, khối lượng-năng lượng của Mặt Trời tạo ra một độ cong của không-thời gian hình học Trái đất chuyển động tự do (không có lực tác động lên nó) và nó di chuyển trên một đường trắc địa của metric không-thời gian, nhưng vì không-thời gian cong nên nó quay quanh mặt trời Từ quan điểm Newton, Trái đất chuyển động dưới gia tốc, từ quan điểm thuyết tương đối rộng, các quan sát viên quán tính của metric phẳng, ηab, là người phải tăng tốc

Đây là hướng dẫn để kiểm tra những dự đoán của trường hấp dẫn tuyến tính khi các hiệu ứng bậc thấp nhất của chuyển động của các nguồn được đưa vào báo cáo Nếu chúng ta tiếp tục

bỏ qua ứng suất, tensor năng lượng ứng suất là xấp xỉ với bậc tuyến tính trong vận tốc bởi

Tab = 2t (aJb) − ρtatb (22) trong đó Jb = −Tabta là 4-vector mật độ dòng năng lượng-khối lượng Phương trình Einstein tuyến tính một lần nữa dự đoán rằng các số hạng không gian-không gian của γab thỏa phương trình sóng nguồn tự do, nhưng bây giờ các số hạng không-thời gian và thời gian-thời gian thỏa

∂a∂aγ0µ= 16πJµ (23)

Do đó, Aa ≡ −1

4γabtb thỏa mãn một cách chính xác các phương trình Maxwell trong gauge Lorentz với nguồn Ja Nếu chúng ta trở lại giả thuyết rằng các đạo hàm thời gian của γab là không đáng kể, sau đó các số hạng không gian-không gian của γab triệt tiêu, và chúng ta thấy

rằng với bậc tuyến tính trong vận tốc của hạt thử, bây giờ phương trình đường trắc địa mang lại

−

→a = −−→E − 4−→v ×−→B (24)

trong đó −→

E và−→

B được xác định trong các điều kiện của Aa bởi các công thức giống nhau như trong điện từ học Điều này là đồng nhất với phương trình lực Lorentz của điện từ học (với q=m) ngoại trừ với một dấu trừ toàn phần và một chỉ số của 4 trong số hạng "lực từ" Do đó, trường hấp dẫn tuyến tính dự đoán rằng chuyển động của các khối tạo các hiệu ứng từ hấp dẫn rất đồng dạng với các hiệu ứng của điện từ học

Trên đây, chúng ta chỉ ra rằng thuyết tương đối rộng dẫn về thuyết hấp dẫn Newton trong một giới hạn thích hợp, nhưng nói một cách chặt chẽ, chúng ta đã vượt quá xấp xỉ tuyến tính để chỉ ra điều này Lý do phải làm với việc sử dụng phương trình đường trắc địa để

có được chuyển động của hạt thử Như đã đề cập ở phần cuối của mục 4.3, "giả thuyết đường trắc địa" theo như một hệ quả của điều kiện ∇aTab = 0, lần lượt theo như một hệ quả của phương trình của Einstein Tuy nhiên, trong xấp xỉ tuyến tính, phương trình Einstein (7) hoặc (12) thực sự biểu thị điều kiện ∂aTab= 0 (Điều này là lí do trong xấp xỉ tuyến tính, Tab

là "nhỏ", do đó, độ lệch của toán tử đạo hàm từ toán tử đạo hàm phẳng ∂a chỉ đóng góp tới bậc cao hơn.) Tuy nhiên, điều kiện ∂aTab = 0 biểu thị rằng hạt thử di chuyển trên đường trắc địa của metric phẳng ηab , nếu nó đứng vững trong xấp xỉ tuyến tính, nó dự đoán rằng hạt thử không bị ảnh hưởng bởi trường hấp dẫn Như vậy, trong việc thu được phương trình (21) chúng ta thực sự đã đi quá xấp xỉ tuyến tính Điều này, tất nhiên, không làm mất hiệu lực bài viết của chúng ta Tuy nhiên, nó minh họa những khó khăn xảy ra khi chúng ta cố gắng để đạt được phương trình chuyển động của các hạt từ phương trình của Einstein thông qua một

sự mở rộng nhiễu loạn trong độ lệch từ độ phẳng Để có được một xấp xỉ tốt với một lời giải cho một bậc nhất định, chúng ta phải sử dụng một số dạng của các phương trình bậc cao hơn

4.4b Bức xạ hấp dẫn.

Một trong những thay đổi quan trọng nhất xảy ra khi một người đi từ lý thuyết của Coulomb về tĩnh điện đến lý thuyết điện từ của Maxwell là trường điện từ sẽ trở thành một thực thể động lực học Bức xạ điện từ có thể lan truyền một cách tự do thông qua không-thời gian Một sự thay đổi tương tự xảy ra khi một người đi từ lực hấp dẫn Newton đến thuyết tương đối rộng: bức xạ hấp dẫn tồn tại; nghĩa là, những gợn sóng trong độ cong của

không-thời gian có thể lan truyền qua không-thời gian Trong xấp xỉ tuyến tính, sự lan truyền

của bức xạ hấp dẫn được quản lý bởi các nguồn tự do, phương trình Einstein được tuyến tính hoá (xem các phương trình [11] và [12] ở trên),

∂a¯ab = 0 (25)

∂c∂c¯ab = 0 (26)

Để thu được những phương trình này ở đầu của phần này, sự lựa chọn gauge (25) đã được thực hiện Tuy nhiên, vẫn còn tự do để thực hiện thêm những biến đổi gauge

γab → γab+ ∂aξb+ ∂bξa được chứng minh rằng

∂b∂bξa = 0 (27) miễn là những biến đổi như vậy để phương trình (25) không thay đổi Đây là sự tương tự chặt chẽ với thực tế cái mà trong điện từ học điều kiện gauge Lorentz không sửa chữa một cách duy nhất vectơ thế năng Aa , chúng ta hạn chế gauge tự do với Aa→ Aa+ ∂aχ với

∂a∂aχ = 0 (28) Khi xử lí bức xạ điện từ, thuận tiện để sử dụng gauge tự do còn lại để thiết lập thành phần

A0 trong một số hệ toạ độ cầu quán tính bằng không trong một khu vực nguồn tự do (ja = 0) Điều kiện gauge này, được gọi là gauge Coulomb hoặc gauge bức xạ, có thể đạt được như sau Trên bề mặt hằng số thời gian t = t0 của hệ toạ độ quán tính toàn cục, chúng ta chỉ ra

∇2χ = − ~∇ ~A (29) Chúng ta định nghĩa χ thông qua không-thời gian là nghiệm của phương trình (28) cái mà giá trị ban đầu của nó trên bề mặt t = t0 được cho bởi phương trình (29), và đạo hàm thời gian ban đầu của nó là ∂χ∂t = −A0 (Đó là một nghiệm duy nhất của ptrình [28] xuất hiện cho các giá trị đầu một cách tuỳ ý của χ và ∂χ∂t theo từ kết quả của phần 10.1 dưới đây.) Sau đó, hàm

f được định nghĩa bởi

f = ∂χ

sẽ thỏa

∂a∂af = −4πj0 (31) bởi các phương trình (32) và (28) Hơn nữa, trên mặt ban đầu t = t0 chúng ta có

∂f

∂t = ∂A0

∂t + ∂∂t2χ2 = ∇2χ + ~∇ ~A = 0 (33)

Do đó, nếu không có mặt các nguồn trong khu vực đang được xem xét (hoặc, chính xác hơn, nếu đối với mỗi điểm p, chúng ta có j0 = 0 trên hình nón ánh sáng của p giữa nó và bề mặt

t = t0), nghiệm duy nhất của phương trình (31) với dữ liệu ban đầu (32) và (33) là f = 0, và biến đổi gauge Aa → Aa+ ∂aχ đạt được những điều kiện mong muốn A0 = 0 trong khi vẫn duy trì các điều kiện gauge Lorentz

Theo một cách rất tương tự, trong trường hợp hấp dẫn được tuyến tính hoá chúng ta có thể sử dụng gauge freedom bị hạn chế, phương trình (27), để đạt được gauge bức xạ

γ = 0, γ0µ = 0 với µ = 1, 2, 3 trong một khu vực nguồn tự do (Tab = 0) Khi một sự tăng thêm, chúng ta cũng có được γ00 = 0 nếu không có mặt nguồn thông qua không-thời gian (tức

là không chỉ trong khu vực của chúng ta) và giả định hành xử tốt ở vô cực Để đạt được gauge bức xạ, chúng ta giải các phương trình bề mặt ban đầu t = t0

2(−∂ξ0

∂t + ~∇.~ξ) = −γ (34a) 2[−∇2ξ0+ ~∇.(∂~∂tξ)] = −∂γ∂t (34b)

∂ξ µ

∂t + ∂ξ0

∂x µ = γ0µ (µ = 1, 2, 3) (34c)

∇2ξµ+∂x∂µ(∂ξ0

∂t ) = −∂γ0µ

∂t (µ = 1, 2, 3) (34d)

để có được các giá trị ban đầu của ξ0, ξ1, ξ2, ξ3, và các đạo hàm theo thời gian đầu tiên của chúng Sau đó, chúng ta xác định ξa là nghiệm của phương trình (27) với những dữ liệu ban đầu này Bằng cách lập luận tương tự như được sử dụng trong trường hợp điện từ, phép biến đổi gauge tạo ra bởi ξa sẽ đạt được γ = 0, γ0µ = 0 (µ = 1, 2, 3) trong một khu vực nguồn tự

do trong khi vẫn giữ các điều kiện gauge, phương trình (25) Phần thêm của chúng ta,

γ00 = 0, trở thành như sau Bởi vì γ = 0, chúng ta có γab = ¯γab Vì γ0µ = 0 với µ = 1, 2, 3, điều kiện gauge, phương trình (25), sinh ra

∂γ00

Phương trình Einstein tuyến tính (12) sau đó tạo trường

∇2γ00 = −16πT00 (36) Nhưng nếu T00= 0 thông qua không thời gian, giải pháp duy nhất của phương trình (36) cái

mà cũng cư xử tốt ở vô cực là γ00= const Một biến đổi gauge xa hơn nữa sau đó đạt được

γ00 = 0 mà không vi phạm bất kỳ điều kiện nào trước đó

Chúng tôi sử dụng gauge bức xạ này để tìm kiếm các nghiệm của phương trình Einstein của nguồn tự do được tuyến tính hóa Các sóng phẳng,

γab = Habexp(i

3

X

µ=0

kµxµ) (37)