Với ý nghĩa đó , phương pháp sai phân trung tâm ở đây còn gọi là “phương pháp tích phân tường minh +Theo phương pháp này , việc tính toán U ttphụ thuộc vào giá trị chuyển vị đã biết
Trang 1ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH BIỂN SINH VIÊN THỰC HIỆN : TRƯƠNG VĂN HÂN-3423.58
NGUYỄN VĂN ĐỨC -4442.58
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN :TH.S LƯƠNG CAO LINH
I, Phương pháp định thức
Giả sử dao động riêng của kết cấu là điều hòa với tần số góc là w và biên độ U0
{ } {U }.cos tU 0 (1)
Đạo hầm bậc 2 theo biểu thức (1) và thay vào biểu thức sau [ ]{ } ([K]{M U U O} {0} ,
ta có :
2
([K] [M]){U O} {0}
Phương trình (2) là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và nó có nhiệm không tầm thường (tức tồn tại U0
# 0
khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số
2
2
2
(3) Đặt 2 và gọi là trị riêng , phương trình (3) trở thành [K] [ ] 0M (4)
Khai triển phương trình 4 , phương trình trị riêng có dạng
Phương trình 5 có n nhiệm dương với : 12 n
Tần số dao động riêng : 2 : 12 n
Chu kì dao động riêng:
2
T
: T1T2 T n
Ứng với mỗi trị riêng kxcs định được một véctơ dạng dao động riêng ktheo hệ phương trình :
¿ (6)
Véc tơ dao động riêng thứ k :k
Trang 2
1 2
k k nk
Ma trận các dạng dao động riêng : [ 1 2 ]k n
11 12 1
21 22 2
31 32
n n nn
Bài tập:
Xác định dạng dao động riêng của kết cấu theo phương pháp định thức , bỏ qua lực cản ta có ma trận khối lượng và ma trận độ cứng như sau :
79.800 0.000 0.000
0.000 93.800 0.000
0.000 0.000 98.500
M
7799.682 178270844 13370.883 17827.844 49026.57 51255.050 13370.883 51255.050 89139.218
K
0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000
C
78.925 ( ) 473.552 sin(1.515) 1894.208
F t
Phương trinh trị riêng : [K] [ ] 0M , thay số vào ta được
Khai triển ta được
Phương trình có 2 nghiệm :
1 2 3
4.965 192.340 1328.06
Tần số dao động riêng :
1 2 3
2.228( / ) 13.869( / ) 36.443( / )
rad s rad s rad s
Trang 3Chu kì dao động riêng :
1
1 2
2 3
3
2
2.820(s)
2
0.172(s)
T T T
Dạng dao động riêng thứ nhất, tương ứng với trị riêng 1 4.965
7403.475 17827.844 13370.883 0
17827.844 48560.853 51255.050 0
13370.883 51255.050 88650.166 0
Giả sử 11 1.000
17827.844 13370.883 7403.475
48560.852 51255.050 17827.844
13370.883 51255.05 88650.166 0
11 21 31
1.000 0.533 0.158
7549.05 17827.844 13370.883 0
17827.844 75545.458 51255.050 0
13370.883 51255.050 70193.728 0
Giả sử 12 1.000
17827.844 13370.883 7549.05
75545.458 51255.050 17827.844
13370.883 51255.05 70193.728 0
12 22 32
1.000 -1.251 -1.1047
Tính dao động riêng thứ 3, tương ứng với trị riêng 3 1328.06
98179.506 17827.844 13370.883 0
17827.844 2571755.6 51255.050 0
13370.883 51255.050 41674.692 0
Giả sử 13 1.000
17827.844 13370.883 98179.506
75545.458 52571755.6 17827.844
13370.883 51255.05 70193.728 0
12 22 32
1.000 -2.740 3.690
Trang 4Ma trận các dạng dao động :
1.000 1.000 1.000
0.533 1.251 2.740
0.158 1.1047 3.690
Modal1 Modal2 Modal3
II Tính chuyển vị động theo phương ngang tại các nút theo phương pháp sai phân trung tâm
A, Lý thuyết
Phương trính ĐLH tổng quát
M U t( ) CU t( ) KU t( ) F t( )
1000
-1.251
-1.047
1000
-2.740
3.69
Trang 5 Kí hiệu : U t; Ut t;U ttcác giá trị chuyển vị U(t) tại các thời điểm rời rạc : t ;
;
t t t t(có bước chia t
Ta có :
2
2
2 2
t t
t t
t t t
U
U U
Vận tốc tại thời điểm t :
2
t
U U
U U
Gia tốc tại thời điểm t:
2
2
t
Thay thế các phương trình trên vào phương trình (1) và viết được phương trình dưới dạng phương trình tuyến tính như sau :
t t
M U F (4) Trong đó :
^ 2
^
2
2
2
F F KU M U U CU
t t
Nhận xét nghiệm của phương trình sẽ tìm được bằng cách giải phương trình (8)
+Là phương trình cân bằng động lấy tại thời điểm t Với ý nghĩa đó , phương pháp sai phân trung tâm ở đây còn gọi là “phương pháp tích phân tường minh +Theo phương pháp này , việc tính toán U ttphụ thuộc vào giá trị chuyển vị
đã biết tại 2 thời điểm trước đó tức là U U t; t t Do vậy ở thời điểm ban đàu phải biết trước .Mặt khác nhờ hệ thức (7.1);(7.2) , ta tính được U t t:
2
2
t
t
U U tU U
Trang 6+Nhược điểm chủ yếu của phương trình này là tính ổn định có điều kiện của thuật toán Dể phương pháp cho lời giải hữu hạn với bước chia thời gian t, phải
thực hiện điều kiện nhỏ hơn bước chia giới hạn t cr
n cr
T
t t
Trong đó: T n Chu kì nhỏ nhất của hệ phương trình rời rạc;
Thực tế , có những kết cấu không thỏa mãn được điều kiện này
1 T Chuẩn bị số liệu
1.1Thiết lập các ma trận K,M và C ( trong hệ tọa độ chung ), Fo
1.2Chọn các điều kiện ban đầu U U U; ; ;
1.3Chọn bước phân chia thời gian t t cr, và tính toán các hệ số tích phân :
2
2
1.4Tính chuyển vị ở thời điểm t
U t U0 tU 0a U3 0
1.5Lập ma trận khối lượng tương đương :
^
M a M a C
2 Các bước tính truy hồi
2.1Tính tải trọng tương đương ở thời điểm t:
^
F F K a M a M a C
2.2Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t t:
M U F
Trang 72.3Tính vận tốc và gia tốc tại hời điểm t:
0 1
BÀI TẬP
1 Các ma trận K,M, C, F(t);
7799.682 178270844 13370.883 17827.844 49026.57 51255.050 13370.883 51255.050 89139.218
K
79.800 0.000 0.000 0.000 93.800 0.000 0.000 0.000 98.500
M
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
C
;
78.925 ( ) 473.552 sin(1.515) 1894.208
F t
2 Chọn các điều kiện ban đầu
0
0 0 0
U
;
0
0 0 0
U
; Suy ra :
0.989 5.049 19.231
U
(Vì tại t= 0 ta có :
0
78.925 473.6 1894.2
F
suy ra U M1 F0
3 Chọn bước thời gian
0.0172
T
, các hệ số tích phân
1
3
2
1
3364.015 (0.0172)
1
29.000
2 0.0172
0.0002 6728.031
a
a
a
a
4 Tính chuyển vị ở thời điểm :
Trang 80 0 0.989 0.0001
0 0.0172 0 0.00012 5.049 0.0008
t
U
5 Lập ma trận khối lượng tương đương
^
M a M a C
3364.15 0 93.8 0 29.0 0 0 0
M
^ 268448.42 0.000 0
0.000 315544.63 0 0.000 0.000 331355.50
M
Tính truy hồi
1.Tính tải trọng tương đương:
^ 78.925 529097.12 17827.844 13370.883 268448.419 0.000 0.000
473.552 (1.515 ) 17827.844 582062.696 51255.05 0.000 315544.6 0.000
1894.208 13370.883 51255.05 573571.792 0.000 0.000 3313
t
t t
U
2.Giải phương trình để tìm chuyển vị tại từng thời điểm :
Ta được các kết quả như trên bảng sau( bảng tính excel)
t
1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t
t
U
0 0
0.00002 -0.00008
0.00005 -0.00026
0.00009 -0.00055
0.00015 -0.00142
0.00014 -0.00198
Trang 90 0.00001 0.00003 0.00002 -0.00022 -0.00052
t
t
U
0.00008
-0.00262
-0.00093
-0.00004 -0.00335 -0.00145
-0.00023 -0.00418 -0.00203
-0.00051 -0.00513 -0.00264
-0.0009 -0.00620 -0.00323
-0.00141 -0.00739 -0.00380
t
t
U
-0.00208
-0.00866
-0.00435
-0.00293 -0.00998 -0.00489
-0.00400 -0.01131 -0.00544
-0.00530 -0.01265 -0.00602
-0.00686 -0.01397 -0.00661
-0.00868 -0.01530 -0.00720
3 Xác định chuyển vị ngang trong hệ tọa độ tổng thể tại các nút của hệ kết cấu
13516820123426730033336639943246549853156459763066369672976279582886189492796099310261059
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Chuyển vị động :
d
0.856 0.474 0.144
U
(m) Chuyển vị tĩnh : U t K F 0
Trang 10
0.212 0.142 0.071
t
U
(m)
Hệ số
t d
d
U K
U
d
max 4.03
d
K
4.NHẬN XÉT VÀ SO SÁNH KẾT QUẢ TÍNH
a, nhận xét nhiệm của phương trình
+là phương trình can bằng động lấy tại thời điểm t Nghiệm của phương trình sẽ tìm được bằng cách giải phương trình :
^ ^
t t
M U F
+Việc tính toán U tt
phụ thuộc vào 2 giá trị chuyển vị trước đó Tức là U t
,U t t
Do vậy ở thời điểm ban đầu phải biets trước