Quỹ tích hình chiếu của một điểm cố định trongkhông gian http://violet.vn/toan_cap3/ Trước khi đọc bài viết này các bạn nên có 1 tờ giấy nháp để vẽ hình.. DẠNG TOÁN 1: Quỹ tích hình chiế
Trang 1Quỹ tích hình chiếu của một điểm cố định trong
không gian http://violet.vn/toan_cap3/
Trước khi đọc bài viết này các bạn nên có 1 tờ giấy nháp để vẽ hình
DẠNG TOÁN 1: Quỹ tích hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di động
Phương pháp : Để tìm quỹ tích hình chiếu của một điểm A cố định trên đường thẳng
di động, ta thực hiện các bước sau :
-Trước tiên xem đường thẳng thuộc mặt phẳng cố định nào?
-Xem đường thẳng đi qua điểm cố định nào ?
-Tìm xem hình chiếu của A liên hệ với các phần tử cố định như thế nào? (Ta hãy vẽ thêm hình chiếu của A trên mặt phẳng cố định chứa đường di động)
Bài toán 1 : Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm M và trên tia At vuông góc với mp(ABCD) lấy S Gọi I là trung điểm của SC và H là hình chiếu của I trên CM Tìm quỹ tích điểm H khi M chạy trên AD và S chạy trên At ?
Phân tích : Đường thẳng CM luôn thuộc mp(ABCD) cố định, do vậy H luôn nằm trên mp(ABCD) Đường thẳng CM này luôn đi qua 1 điểm cố định là điểm C Như vậy ta sẽ tìm mối liên hệ giữa H(hình chiếu của I) với các yếu tố cố định trên Ta sẽ tìm thêm hình chiếu của I trên mp(ABCD) cố định Dự đoán : Đó sẽ là giao điểm O của 2 đường chéo AC và BD
Từ đó ta có bài giải cụ thể như sau :
Giải : Gọi O là giao điểm của AC và BD => O là trung điểm AC
Mà I là trung điểm SC => OI là đường trung bình của tam giác SAC => OI // SA
Mà SA vuông góc với mp(ABCD) => OI vuông góc với mp(ABCD) => O là hình chiếu của I lên mp(ABCD)
=> IH có hình chiếu trên mp(ABCD) là OH => CM vuông góc với OH (định lý 3 đường vuông góc)
Rõ ràng O cố định, C cố định, góc OHC=1v và H thuộc mp(ABCD) cố định => H thuộc đường tròn đường kính OC Ta tìm được quỹ tích điểm M
Bài toán 2 (bài tập tự luyện): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a SA vuông góc (ABCD), SA=a Gọi O là tâm hình vuông Trên SD lấy điểm M di động Tìm tập hợp các hình chiếu của O trên CM
Trang 2DẠNG TOÁN 2 : Quỹ tích hình chiếu của 1 điểm cố định trên mặt phẳng di động.
Phương pháp: Muốn tìm quỹ tích của hình chiếu 1 điểm cố định trên mặt phẳng di động Ta thực hiện các bước sau:
- Xem mặt phẳng chứa đường cố định nào ? (Ta tìm 2 điểm cố định)
- Từ điểm cố định (gọi là điểm A) dựng đường AK vuông góc với đường cố định (K thuộc đường cố định đó) Khi đó hình chiếu của A trên mp di động thuộc đường tròn đường kính AK cố định
Bài toán 3 : Một mặt phẳng (P) di động quay quanh đường thẳng d cố định và H là hình chiếu của A trên (P) Tìm quỹ tích của H khi (P) quay quanh d
Phân tích : Ta dễ dàng nhận thấy mặt phẳng (P) luôn chứa một đường thẳng cố
định đó là đường thẳng d Ta sẽ dựng AK vuông góc với đường thẳng d đó (K thuộc d) Khi đó H sẽ thuộc đường tròn đường kính AK cố định Từ đó ta có bài giải cụ thể sau :
Giải : Gọi K là hình chiếu của A trên d Vì A, d cố định => K cố định
H là hình chiếu của A trên mp (P) => AH vuông góc với mp (P)
=> AH vuông góc với HK Vậy góc AHK vuông
Mà mp (AHK) qua A và vuông góc với d => mp(AHK) cố định Vậy H thuộc
mp(AHK) cố định
Quỹ tích của H là đường tròn đường kính AK
Các bài toán sau các bạn hãy tự luyện tập để thành thạo :
Bài toán 4 : Trong mp(P) cho đường tròn (T) đường kính AB Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại A lấy 1 điểm cố định C 1 điểm M di động trên (T) Gọi H là hình chiếu của A trên CM Tìm quỹ tích điểm H ?
Bài toán 5 : Cho 2 điểm cố định A, B I là trung điểm của AB d là đường thẳng thay đổi trong không gian sao cho d cách đều A, B
1) Chứng minh rằng : Hình chiếu M của I lên d thuộc 1 mp cố định
2) Gọi O là 1 điểm cố định nằm ngoài (P) Giả sử d luôn đi qua O Tìm quỹ tích giao điểm của đường thẳng d với mp(P)
Chúc các bạn thành công!!