Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.. Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng.. c Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc v
Trang 1PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 4 TRƯỜNG THCS NGA THẮNG NĂM HỌC 2017-2018
MÔN TOÁN LỚP 8
Ngày 23/3/2018
Thời gian làm bài 150 phút, không kể giao đề
Câu 1: (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 2018 2 2017 2018
x
b) Cho đa thức: Ax y y z z x xyz
Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên và x + y + z chia hết cho 6 thì A - 3xyz
chia hết cho 6
Câu 2: (4 điểm):
1 Cho biểu thức
:
P
x x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P 1
2 Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0
Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6)
Câu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng:
c
a a
b b
c a
c c
b b
a
2
2 2
2 2 2
b) Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2
Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1
a bc b ca c ab
Câu 4: (6 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P
a) Tứ giác AMDB là hình gì?
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD Chứng minh ba điểm E,
F, P thẳng hàng
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P
d) Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, 9
16
PD
PB Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD
Câu 5: (2 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:
3 2
a b b c c a Với a b c 0
Trang 2
-HẾT -HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 8 LẦN 4
Câu 1: 4đ
a) 2đ
x4 + 2018x2 + 2017x + 2018 = x4 + x2 + 2017x2 + 2017x + 2017 +1
= x4 + x2 + 1+ 2017(x2 + x + 1) 0,5
= (x2 + 1)2 - x2 + 2017(x2 + x + 1) 0,5
= (x2 + x + 1)( (x2 - x + 1) + 2017(x2 + x + 1) 0,5
= (x2 + x + 1)( x2 – x + 2018) 0,5
b) 2đ Ta có: Ax y y z z x xyz
= (x + y + z)(xy + yz + zx 0,75
Vì x, y, z là các số nguyên và x + y + z 6 nên A 6
Mặt khác: x + y + z 6 nên trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số chẵn, suy ra: xyz
2 0,5
=> 3xyz 6 0,25
=> A - 3xyz chia hết cho 6 0,5
Câu 2: 4đ
1 2đ
a) 1đ Điều kiện: x 0;x 1;x 1 0,25
3
3
3
2
:
1
.
.
1
1
P
x
x
0,5
0,25 b) 1 đ Vì P 1 nên P = 1 hoặc P = -1
2
2
1
1
x
x
hai giá trị này không thỏa mãn điều kiện 0,5
+ Nếu: P = -1 thì 1
1
1
2
x
x
1
2
x = - x - 1 x2 + x + 2 = 0
Mà x2 + x + 2 = (x + 12 )2 + 47 > 0 với mọi x
Trang 3Vậy khụng cú giỏ trị nào của x để P 1 0,5
2 2đ Ta cú P(x) là đa thức bậc 4 cú hệ số bậc cao nhất là 1 và P(x)(x-1),
P(x)(x-3), P(x) (x-5)
Nờn P(x) cú dạng P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a)
Khi đú: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a)
= -105.(-2+a) +105.(6+a)
= 105.( 2 –a +6 +a) = 840
Cõu 3 4đ
a) 2đ Áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu bằng khi x=y 0,5
Ta cú:
c
a c
b b
a c
b
b
a
2 2 2
2 2
2
b
c a
c b
a a
c b
a
2 2 2
2 2
2
a
b c
b a
c c
b a
c
2 2 2
2 2
2
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trờn ta cú:
a
b b
c c
a ( 2 ) a
c c
b b
a
(
2 2 2 2
2
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
2 2 2 2 2
2
0,75
b) 2đ Từ: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 => ab + bc + ca = 0 0,25
=> a2 + 2bc = a2 + bc – ab – ca = ( a – b)( a – c)
Tương tự: b2 + 2ca = ( b – c)( b – a) ; c2 + 2ab = ( c – a)( c - b) 0,5
P
Thay vào ta được: P =
1
a b c b c a c a b
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
1
a bc b ca c ab 0,25
Cõu 4 6đ
Vẽ hỡnh, ghi GT, KL đỳng 0,5
a) 1,5 đ Gọi O là giao điểm 2 đường chộo của hỡnh chữ nhật ABCD
PO là đường trung bỡnh của tsm giỏc CAM
AM//PO
C D
O M
P
I E
F
Trang 4 tứ giác AMDB là hình thang 1,5 b) 1,5 đ Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB 0,5
Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở
I nên góc IAE = góc IEA
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 0,5
Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng 0,5 c) 1đ MAF DBA g g nên MF AD
FA AB không đổi 1
16
PD
Nếu CPBD thì CBD DCP g g CP PB
do đó CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 0,25
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm)
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16
do đó BC = 4 (cm)
CD = 3 (cm) 0,75 Câu 5 2đ
Gọi vế trái là A, ta có:
A
0,5
.
.
a b
b c a b c a
a b
Do a b c
b c
1
Vậy 3
2
A 0,5