1) Để chứng minh phương trình có nghiệm không phụ thuộc giá trị của k có hai cách giải. Cách 1 (Đã nói ở lời bình sau câu 2(1) Đề 24) Xem k(x2 4x 3) + 2(x 1) = 0 (*) là phương trình đối với ẩn k . Thế thì (*) có nghiệm không phụ thuộc k khi và chỉ khi x2 4x 3 = 2(x 1) = 0 x = 1. Cách 2 (Phương pháp cần và đủ) + Phương trình (*) có nghiệm với mọi x ắt phải có nghiệm với k = 0. + Với k = 0 ta có k(x2 4x 3) + 2(x 1) x = 1. Thay x = 1 vào (*) có 0k + 0 = 0 nghĩa là x = 1 là nghiệm của (*) với mọi k. Ta có điều phải chứng minh. 2) Kết quả một bài toán đâu phải chỉ có là đáp số. Cái quan trọng hơn là cách nghĩ ra lời giải chúng như thế nào, có bao nhiêu con đường (cách giải) để đi đến kết quả đó : Câu V : 1) Mấu chốt của bài toán là chuyển hoá hình thức bài toán. Cụ thể ở đây là biết thay thế việc chứng minh ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm bằng cách chứng minh 1 + 2 0. Sự chuyển hoá này đã giúp kết nối thành công với giả thiết a1 + a2 2(b1 + b2). 2) Một cách hiểu khác của bài toán là : Chứng minh cả hai phương trình không thể cùng vô nghiệm. Với cách hiểu này ta chuyển hoá thành chứng minh khả năng 1 + 2 < 0 không thể xảy ra. Thật vậy: Nếu 1 < 0 và 2 < 0 suy ra 1 + 2 < 0. Điều này sẽ dẫn tới mâu thuẫn với a1 + a2 2(b1 + b2). Bài toán được chứng minh. 3) Các cách chứng minh bài toán trên cũng là cách chứng minh trong nhiều phương trình bậc hai, ít nhất có một phương trình có nghiệm. 4) Cùng một kiểu tư duy ấy bạn dễ dàng chứng minh : Với mọi giá trị của m, phương trình x2 mx + m = 0 không thể có hai nghiệm cùng dương. Thật vậy : + Nếu m = 0, phương trình có nghiệm x = 0. + Nếu m < 0, phương trình có nghiệm hai nghiệm trái dấu (do ac < 0). + Nếu m > 0, nếu cả hai nghiệm x1, x2 đều âm thì x1+ x2 < 0 suy ra (!). Mâu thuẫn với m > 0. Vậy là bài toán được chứng minh.
Trang 1ĐỀ SỐ 14 Câu 1: Cho biểu thức
P =
x + 1 2 x 2 + 5 x
4 - x
x - 2 x + 2 với x ≥ 0, x ≠ 4
1) Rút gọn P
2) Tìm x để P = 2
Câu 2: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình:
y ( m 1 x n ) .
1) Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox
2) Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A(1; - 1) và có hệ số góc bằng -3
Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
1) Giải phương trình với m = -3
2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x + x12 22 = 10
3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ
BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F Chứng minh:
1) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật
2) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn
3) EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính BH và HC
Câu 5: Các số thực x, a, b, c thay đổi, thỏa mãn hệ:
2 2 2 2
x + a + b + c = 7 (1)
x + a + b + c = 13 (2)
�
�
�
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x
ĐÁP ÁN
Câu 1: 1) Ta có :
x + 1 2 x 2 + 5 x
P = + -
x - 4
x - 2 x +2
P =
( x +1) ( x +2) + 2 x ( x - 2) - 2 - 5 x
( x - 2) ( x + 2) =
=
x + 3 x +2 + 2x - 4 x - 2 - 5 x
( x +2) ( x - 2)
Trang 2=
3x - 6 x 3 x ( x 2) 3 x
( x + 2) ( x - 2) ( x + 2) ( x - 2) x +2
2) P = 2 khi
3 x = 2 3 x = 2 x +4 x = 4 x = 16
Câu 2: 1) d song song với trục Ox khi và chỉ khi
�
2) Từ giả thiết, ta có:
�
Vậy đường thẳng d có phương trình: y 3x 2
Câu 3: 1) Với m = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0 � x (x + 8) = 0 �
x = 0
x = - 8
�
�
� 2) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆’ � �0 (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0 �m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0
�m2 - m + 4 > 0 �
2
đúng m Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m
Theo hệ thức Vi ét ta có:
x + x = 2(m - 1) (1)
x - x = - m - 3 (2)
�
�
�
Ta có x + x12 22 = 10 � (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 �4 (m - 1)2 + 2 (m + 3) = 10
� 4m2 - 6m + 10 = 10
m = 0 2m (2m - 3) = 0 3
m = 2
�
�
�
� 3) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8
� x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m
Câu 4: 1) Từ giả thiết suy ra
CFH = 90 , HEB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn)
Trong tứ giác AFHE có: A = F = E = 90 � $ � 0 � AFHE
là hình chữ nhật
2) Vì AEHF là hình chữ nhật � AEHF nội tiếp � AFE = AHE� � (góc nội tiếp chắn AE� ) (1)
Ta lại có AHE = ABH� � (góc có cạnh tương ứng ) (2)
Trang 3Từ (1) và (2)
� �AFE = ABH � mà CFE + AFE = 180� � 0
CFE + ABH = 180
3) Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn đường kính HB và đường kính HC
Gọi O là giao điểm AH và EF Vì AFHE là hình chữ nhật � OF = OH � FOH
cân tại O � OFH = OHF� � Vì ∆ CFH vuông tại F � O2C = O2F = O2H � ∆ HO2F cân tại O2.� O FH = O HF�2 �2 mà � � 0
2
2
O FH + HFO = 90
tuyến của đường tròn tâm O2
Chứng minh tương tự EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O1
Vậy EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn
Câu 5: Tìm GTLN, GTNN của x thoả mãn.
x + a + b + c = 7 (1)
x + a + b + c = 13 (2)
�
�
�
Từ (1) � a + b + c = 7 - x Từ (2) � a2 + b2 + c2 = 13 - x2
Ta chứng minh: 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2
� 3a2 + 3b2 + 3c2 - a2 - b2 - c2 - 2ab - 2ac - 2bc ≥ 0
� (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0 (đpcm)
Suy ra 3 (13 - x2) ≥ (7 - x)2 � 3 (13 - x2) ≥ 49 - 14x + x2
�4x2 - 14x + 10 ≤ 0 � 1 ≤ x ≤
5
2
x khi a b c , x 1 khi a b c 2
Vậy max x =
5
2, min x = 1