cac dang toan thi dh

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  Tìm tập xác định của hàm số.. + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định..  Vẽ đồ thị của hàm số: + Tìm điểm

Chuyền đề : Hàm số

Vấn đề 1: Khảo sát hàm số

1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định

 Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

 Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y – Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

2 Hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d a ( 0):

Các dạng đồ thị:

3 Hàm số trùng phương y ax 4bx2c a( 0)

Các dạng đồ thị:

I y

x 0

I

4 Hàm số nhất biến y ax b (c 0,ad bc 0)

Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)

Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số

– Tính y Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại

– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên TXĐ – trên một khoảng

1) Lý thuyết :

+) Nếu y'ax2bx c thì:



00' 0,

00

a b c

00

a b c

+) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

Cho hàm số y f x m ( , ), m là tham số, có tập xác định D

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D

 Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D

Từ đó suy ra điều kiện của m

a

 

 

 Biến đổi x1x2 d thành (x1x2)24x x1 2 d2 (2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Vấn đề 3: Cực trị hàm số

Lý thuyết

1) Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D  R) và x0  D

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho

f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f

2) Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

3) Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

 Tìm f (x)

 Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi

Qui tắc 2: Dùng định lí 2

 Tính f (x)

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …)

 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …)

Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi

Dạng 2: Đường thẳng đi qua các điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x ( )ax3bx2cx d

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B

 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:

( )( )

 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B

2) Hàm số phân thức ( ) ( ) 2

2) Hàm số 2

ax bx c y

Q x (aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có

hai nghiệm phân biệt khác '

'

b a

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

 Tính f (x)

 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

1) Hệ phương trình  x D f x( ) có nghiệm  m    M

2) Hệ bất phương trình  x D f x( ) có nghiệm  M  

3) Hệ bất phương trình  x D f x( ) có nghiệm  m  

4) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  m  

5) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  M 

Vấn đề 5: Giới hạn, tiệm cận

1 Định nghĩa:

 Đường thẳng x x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x ( )

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

 Đường thẳng y y 0được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x ( )

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

  là hàm số phân thức hữu tỷ

 Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x 0

 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

 Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:

Vấn đề 6: Biện luận số nghiệm của PT bằng đồ thị

+) Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) (nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x))

+) Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

1) F(x, m) = 0  f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m

 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

2) F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

3) F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3)

(k: không đổi)

Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

d: y = kx + m

 Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)

 Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)

có hệ số góc k

 Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, …

để biện luận

( Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó)

2) Cho hai đồ thị (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) Để tìm hoành độ giao

điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

3) Đồ thị hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d a ( 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

 Phương trình ax3bx2cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt

 Hàm số y ax 3bx2cx d có cực đại, cực tiểu và y CĐ CT.y 0

4) Sự tương giao hàm bậc 3

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3bx2cx d 0(a  0) (1) Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y f x ( )ax3bx2cx d

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3

 Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và Ox có 1 điểm chung

x (H.2)

 Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu

 Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt

 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

 Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt

 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

 Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0 = f (x0).(x – x0)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số

góc k cho trước

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm Tính f (x0)

  có hệ số góc k  f (x0) = k (1)

 Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0) Từ đó viết phương trình của 

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

 Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m

  tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( )'( )

 Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của 

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau: +  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan

+  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

+  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k = 1

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua

điểm A x y ( ; )A A

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm Khi đó: y0 = f(x0), y0 = f (x0)

 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y0 = f (x0).(x – x0)

  đi qua A x y nên: yA( ; )A A – y0 = f (x0).(xA – x0) (2)

 Giải phương trình (2), tìm được x0 Từ đó viết phương trình của 

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

 Phương trình đường thẳng  đi qua A x y và có hệ số góc k: ( ; )A A

 Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đó viết phương trình tiếp tuyến 

Bài tốn 4: Tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số y=f(x) (𝑪𝟏), y=g(x) (𝑪𝟐)

1 Gọi : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

Vì tiếp tuyến tiếp xúc với hai đồ thị nên hệ:

 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM

  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)

 Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Bài tốn 6: Tìm điểm M mà từ đĩ kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thi (C): y=f(x) sao cho 2 tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau

Gọi M(xM; yM)

 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM

  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)

 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f (x1).f (x2) = –1

Từ đó tìm được M

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía

với trục hoành thì

(3) 2( ) ( ) 0có nghiệm phân biệt

f x f x





Vấn đề 9: Hàm số cĩ chứa dấu trị tuyệt đối

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

 Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối

 Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y f x( )

Đồ thị (C) của hàm số y f x( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành + Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x  

Đồ thị (C) của hàm số y f x   có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

Vấn đề 10: Điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số

Dạng 1: Điểm cĩ tọa độ nguyên

Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( )

( )

P x y

 Thử lại các giá trị tìm được và kết luận

Dạng 2: Tìm cặp điểm thuộc đồ thị (C ): y=f(x) đối xứng nhau qua đường thẳng d: y=ax+b

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn

 Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 điểm

phân biệt A, B Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1)

 Tìm toạ độ trung điểm I của AB

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm

được m  xA, xB  yA, yB  A, B

(d) (C) ()

B

A I

Chú ý:  A, B đối xứng nhau qua trục hoành  A B

Dạng 3: Tìm cặp điểm thuộc đồ thị (C ): y=f(x) đối xứng nhau qua I(a, b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB

 Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),

có hệ số góc k có dạng: y k x a b (  )

 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

f(x) = k x a b(  ) (1)

 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

A, B khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1)

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được

 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

+ Dạng 1: (1)  Am + B = 0, m  0

0

A B

A B C

 Giải hệ ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định

Chú ý: Các hệ trên là các hệ phương trình có 2 ẩn x0, y0

Dạng 5: Điểm mà của họ đồ thị 𝑪𝒎 : 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒎) khơng bao giờ đi qua

 Gọi M(x0; y0) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua

M(x0; y0)  (Cm), m  y0 = f(x0, m) vô nghiệm m (1)

 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

+ Dạng 1: (1)  Am + B = 0 vô nghiệm m  0

0

A B

A B C A

 Kết quả là một tập hợp điểm

 Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua

Vần đề 11: Tập hợp (quỹ tích) điểm

Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất 

Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợp điểm đó

Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M

Bước 2: Tính toạ độ điểm M theo tham số m

Có các trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: M  x f m y g m( )( )

Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:

F(x, y) = 0 (gọi là phương trình quĩ tích)

Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng x = a

Trường hợp 3: M  x f m y b( )(hằng số)

Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b

Bước 3: Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm

được điều kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y) Đó là giới hạn của quĩ tích

Bước 4: Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a,

hoặc y = b) với điều kiện của x hoặc y (ở bước 3)

Dạng 2: Trong trường hợp ta không thể tính được toạ độ của điểm M theo tham

số m mà chỉ thiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm được hệ thức dạng F(x, y) = 0

Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương

trình

F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích

Vấn đề 12: Bài tốn khoảng cách

Lý thuyết:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (x Bx A)2(y By A)2

2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0:

a b

a ab a

a a

a

a a

(

;)

(

;

;

II Định nghĩa và tính chất của căn thức

 Căn bậc n của a là số b sao cho b n a

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n an b

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a n b

Chú ý:

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a

+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau

III CT Logarit

1 Định nghĩa

 Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: log a b  a b