Chuong 4 TCN bai toan van tai

Định nghĩa AmđếnntrạmthuB1,B2, ...,Bn.Lượnghàng cần chuyển đitương ứnglàa1, a2,.... ,bn.Chi phívận chuyển 1 đơnvịhànghoá từ trạmphátAiđếntrạmthuBjlà cij.. Hãy lập kếhoạch vận chuyển saoc

CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI

4.1 Giới thiệu bài toán

Bài toán vâ ̣n tải là mô ̣t da ̣ng đă ̣c biê ̣t của bài toán quy hoa ̣ch tuyến tính giải quyết vấn đề phân phố i hàng hóa từ mô ̣t số đi ̣a điểm cung cấp (điểm nguồn) đến mô ̣t số đi ̣a điểm tiêu thu ̣ (điểm đích) sao cho tổng cước chi phí ít nhất, cự ly vâ ̣n chuyển nhỏ nhất Cũng có thể áp du ̣ng bài toán

vận tải để xác đi ̣nh vi ̣ trí đă ̣t nhà kho, cửa hàng hay nhà xưởng mới khi xem xét mô ̣t số phương án về đi ̣a điểm xây dựng

4.1.1 Định nghĩa

AmđếnntrạmthuB1,B2, .,Bn.Lượnghàng cần chuyển đitương ứnglàa1, a2, ,am;yêucầucủa cáctrạmthu tương ứnglàb1,b2, ,bn.Chi phívận chuyển 1 đơnvịhànghoá từ trạmphátAiđếntrạmthuBjlà cij Hãy lập kếhoạch vận chuyển saocho tổng chiphíthấp nhất vàđồngthời đảmbảo cácyêu cầu của trạmthuvàphát

Phát\Thu b 1 b 2 … b j … b n

Gọixijlàlượng hàng chuyển từ Aiđến Bj

Tổngchiphítheokếhoạch vậnchuyểnx={ xij}mxnlà

1 1

( )

ij ij

Mô hình toán học:

1 1

ij ij

 

1

1

( 1 )

( 1 ) 0( 1 , 1 )

n

j

n

j

ij























4.1.2 Điều kiện cân bằng thu phát

Đặt:

1

m

i i



 gọi là tổng phát

1

n

j j



 gọi là tổng thu

Bài toán vận tải dạng chính tắc cân bằng thu phát (a=b) luôn luôn có nghiệm Đây gọi là bài toán vận tải kín

4.2 Phương pháp giải

Xét bài toán vận tải sau:

Tổng công ty xây dựng XaToCo có 3 cơ sở sản xuất đá dăm (A1, A2, A3) và 3 công trường

xây dựng (B1, B2, B3) Công suất sản xuất đá hàng tuần của các cơ sở lần lượt là 50, 60,70m3 Nhu cầu tiêu thụ đá hàng tuần của ba công trường lần lượt là 40, 85, 55m3

Cước phí vâ ̣n chuyển 1m3 đá từ các cơ sở sản xuất đá đến các công trường tiêu thu ̣ đá không phụ thuô ̣c vào khối lượng đá vâ ̣n chuyển như sau (đơn vi ̣ tính 10.000 đồng):

Hãy xác đi ̣nh phương án vâ ̣n chuyển đá từ nơi cung cấp đến nơi tiêu thu ̣:

Hình 0.1.Đồ thị minh họa bài toán vận tải

Trước hết thiết lập bài toán vận tải ở dạng bảng

- Thiết lập mô ̣t bảng da ̣ng ma trâ ̣n với các dòng tương ứng với các điểm cung cấp (điểm nguồ n), các cô ̣t tương ứng với các điểm tiêu thu ̣ (điểm đích)

- Ở góc phải trên cùng của từng ô thể hiê ̣n chi phí vâ ̣n chuyển cho mô ̣t đơn vi ̣ hàng hóa giữa điểm nguồn và điểm đích tương ứng

- Giá tri ̣ của từng ô sẽ thể hiê ̣n lươ ̣ng hàng hóa vâ ̣n chuyển từ điểm nguồn đến điểm đích

C¬ së A1 C«ng tr-êng B1

C¬ së A2 C«ng tr-êng B2

C¬ së A3 C«ng tr-êng B3

50m2

60m2

70m2

40m2

85m2

55m2

tương ứng

- Bổ sung một cô ̣t sau cùng của bảng biểu thi ̣ khả năng cung cấp giới ha ̣n của từng điểm nguồn

và bổ sung mô ̣t dòng dưới cùng biểu thi ̣ nhu cầu tiêu thu ̣ cho từng điểm đích

Bảng 0.1Dạng bảng của bài toán vận tải

4.2.1.Phương pháp góc Tây Bắc

Bản chất:Ưu tiên phân phối cho ô (1,1), ô ở góc Tây Bắc

Để tìm lời giải ban đầu cho bài toán vâ ̣n tải, phương pháp góc tây bắc bắt đầu phân phối lượng

hàng vâ ̣n chuyển từ ô trên cùng bên trái (ô ở góc tây bắc của bảng) theo quy tắc như sau:

- Tận du ̣ng tối đa khả năng cung cấp của mỗi điểm nguồn tương ứng với mỗi dòng trước khi chuyển sang dòng tiếp theo

- Đáp ứng tối đa như cầu của mỗi điểm đích tương ứng với mỗi cô ̣t trước khi chuyển sang cô ̣t tiếp theo

- Đảm bảo tâ ̣n du ̣ng hết khả năng cung cấp và đáp ứng đủ nhu cầu tiêu thu ̣

• Và bây giờ chúng ta áp dụng phương pháp góc tây bắc để tìm nghiê ̣m khả dĩ ban đầu cho bài toán trên

- Bắt đầu từ ô trên cùng bên trái, phân phối 40m3 đá từ cơ sở sản xuất A1 và B1 Nhu cầu tiêu thụ của công trường B1 đã được đáp ứng đủ nhưng cơ sở sản xuất đá A1 còn thừa 10m3 đá, vâ ̣y tiếp tục phân phối cho cô ̣t tiếp theo

- Phân phố i 10m3 đá của cơ sở sản xuất A1 cho công trường B2 Do đã tâ ̣n du ̣ng hết khả năng cung cấp củ a A1, chuyển sang dòng thứ hai để tiếp tu ̣c phân phối

- Phõn phụ́ i 60m3 đá của cơ sở sản xuṍt A2 cho cụng trường B2 Do đã tõ ̣n du ̣ng hờ́t khả năng cung cṍp củ a A2, tiờ́p tu ̣c chuyờ̉n sang dòng thứ ba

- Phõn phụ́ i 15m3 củ a cơ sở sản xuṍt A3 đờ̉ đảm bảo đáp ứng đủ nhu cõ̀u tiờu thu ̣ của cụng trường B2 là 80m3 Như võ ̣y cơ sở sản xuṍt đá A3 còn 55m3 chưa được võ ̣n chuyờ̉n

- Phõn phụ́ i 55m3 đá từ A3 đờ́n B3 Sự phõn phụ́i cuụ́i cùng này đã tõ ̣n du ̣ng hờ́t khả năng cung cṍp củ a các điờ̉m nguụ̀n, và đáp ứng đủ nhu cõ̀u tiờu thu ̣ của điờ̉m đích

Bảng 0.2Mẫu phõn phối theo phương phỏp gúc tõy bắc

Tụ̉ng cướ c phí võ ̣n chuyờ̉n của mõ̃u phõn phụ́i này được tính như sau:

Lộ trỡnh Lượng vận

chuyển

Đơn giỏ cước phớ vận chuyển Tổng cước phớ

A1

A1

A2

A3

A3

B1 B2 B2 B3 B3

40

10

60

15

55

2

1

4

6

6

80

10

240

90

330 Tổng cước phớ: 750

Lờ i giải này là nghiờ ̣m ban đõ̀u chṍp nhõ ̣n đươ ̣c vì đã thỏa mãn các ràng buụ ̣c vờ̀ nhu cõ̀u tiờu thụ và khả năng cung cṍp Tuy nhiờn hiờ́m khi mõ̃u phõn phụ́i theo phương pháp góc tõy bắc là

lờ i giải tụ́i ưu bởi vì phương pháp này hoàn toàn khụng ý tro ̣ng gì đờ́n cước phí võ ̣n chuyờ̉n trờn

các tuyờ́n đường

4.2.2 Phương phỏp chi phớ nhỏ nhất

Bản chất:Ưu tiờnphõn phối choụcúchiphớ cijnhỏ nhất

Vì khụng lưu ý đờ́n các giá tri ̣ chi phí võ ̣n chuyờ̉n nờn phương pháp góc tõy bắc thường đưa ra

Cơ sở sản xuất đá

Công tr-ờng B1 B2 B3 A1

A2 A3 nhu cầu tiêu thụ

2

40 85 55 180

khả năng cung cấp

1 5

3 4 3

4 6 6

50 60 70

sản xuất đá A3 đến công tr-ờng B3

Có nghĩa là vận chuyển 15m3 đá từ cơ sở

40 10

60

15 55

lờ i giải khả dĩ ban đầu cách xa lời giải tối ưu làm kéo dài thời gian tìm nghiê ̣m tối ưu của bài toán vâ ̣n tải Phương pháp số nhỏ nhất trong bảng (hay còn go ̣i là phương pháp cước phí bé nhất)

có thể đươ ̣c dùng để tìm lời giải ban đầu gần tối ưu hơn cho bài toán vâ ̣n tải theo các quy tắc sau:

- Ưu tiên phân phố i cho ô có giá tri ̣ nhỏ nhất (cước phí vâ ̣n tải mô ̣t đơn vi ̣ hàng hóa thấp nhất) Trường hợp khả năng cung cấp của điểm nguồn tương ứng với ô đó lớn hơn nhu cầu tiêu thu ̣ của điểm đích tương ứng thì đáp ứng tối đa nhu cầu Trường hợp ngược la ̣i thì tâ ̣n du ̣ng hết khả năng cung cấp củ a điểm nguồn

- Loại bỏ dòng tương ứng với điểm nguồn đã hết khả năng cung cấp hay cô ̣t tương ứng với điểm đích đã được đáp ứng đủ nhu cầu tiêu thu ̣ Xác đi ̣nh la ̣i ô có giá tri ̣ nhỏ nhất để tiếp tu ̣c ưu tiên phân phố i

- Thực hiê ̣n lă ̣p la ̣i hai bước trên cho đến khi tâ ̣n du ̣ng hết khả năng cung cấp của các điểm nguồ n và đáp ứng đủ nhu cầu tiêu thu ̣ của các điểm đích

• Và bây giờ chúng ta áp dụng phương pháp số nhỏ nhất trong bảng để tìm nghiê ̣m khả dĩ ban đầu cho ví du ̣ trên

- Bắt đầu ưu tiên phân phố i cho ô (A1B2) là ô có giá tri ̣ cước phí vâ ̣n chuyển 1m3 đá là nhỏ nhất Khố i lượng đá vâ ̣n chuyển từ A1 đến B2 là 50m3 bằ ng vớ i khả năng cung cấp tối đa của A1

Cở sở sản xuất A1 đã hết khả năng cung cấp nên ô (A1B1) và ô (A1B3) của dòng thứ nhất bi ̣ loại bỏ

- Sau khi đã loa ̣i bỏ dòng thứ nhất tương ứng với điểm nguồn A1 đã được tâ ̣n du ̣ng hết khả năng cung cấp thì ô giá tri ̣ cước phí nhỏ nhất được ưu tiên phân phối là ô (A2B1) và ô (A2B3) Phân phố i 40m3 đá từ A2 đến B1 bằng với nhu cầu tiêu thu ̣ tối đa của điểm đích B1 Ô B3 có nhu cầu tiêu thụ tối đa đến 55m3 nhưng ô A2 chỉ còn có thể đáp ứng đươ ̣c 20m3 nên lượng phân phố i từ A2 đến B3 là 20m3 Cơ sở sản xuất A2 đã hết khả năng cung cấp nên ô (A2B2) và (A2B3) không đươ ̣c xem xét tiếp Công trường B1 đã được đáp ứng đủ nhu cầu tiêu thu ̣ nên ô (A3B1)

cũng bi ̣ loa ̣i bỏ

- Cuố i cù ng còn la ̣i ô (A3B2) và ô (A3B3), các giá tri ̣ lươ ̣ng hàng vâ ̣n chuyển phân phối vào hai ô này đều là 35m3 Như vâ ̣y điểm nguồn A3 đã tâ ̣n du ̣ng hết khả năng cung cấp là 70m3 , điểm đích B2 tiếp nhâ ̣n 50 +35 = 85m3 và B3 tiếp nhâ ̣n 20 + 35 = 55m3 theo đúng nhu cầu

Tổng cướ c phí vâ ̣n chuyển của mẫu phân phối này được tính như sau:

Lộ trình Lượng vận

chuyển

Đơn giá cước phí vận chuyển Tổng cước phí

A1

A2

A2

A3

A3

B2 B1 B3 B2 B3

50

40

20

35

35

1

3

3

6

6

50

120

60

210

210

Tổng cước phớ: 650 Bảng 0.3Mẫu phõn phối theo phương phỏp số nhỏ nhất trong bảng

Như võ ̣y, so sánh cước phí võ ̣n chuyờ̉n của hai mõ̃u phõn phụ́i theo phương pháp góc tõy bắc

và phương pháp sụ́ nhỏ nhṍt trong bảng, ta có thờ̉ thṍy nghiờ ̣m khả dĩ ban đõ̀u của phương pháp

này tụ́t hơn

4.2.3 Phương phỏp xấp xỉ Volgel-VAM

Bản chất:Ưu tiờn phõn phối ở ụ cú cước phớ nhỏ nhất thuộc hàng (cột) cú chờnh lệch lớn nhất

giữa cước phớ nhỏ nhất và nhỡ

Phương pháp xṍp xỉ Vogel (VAM) khụng đơn giản hay tương đụ́i dờ̃ thực hiờ ̣n như các phương pháp đã nờu nhưng la ̣i xác đi ̣nh lời giải khả dĩ ban đõ̀u tụ́t nhṍt mà thường khi la ̣i là lời giải tụ́i ưu cho bài toán võ ̣n tải

Sáu bước đờ̉ tìm lời giải khả dĩ ban đõ̀u theo phương pháp VAM như sau:

Bước 1 Xác đi ̣nh chờnh lờ ̣ch cước phí võ ̣n tải giữa hai ụ có chi phí thṍp nhṍt ứng với mụ̃i dòng

và cụ ̣t Giá tri ̣ này là chi phí cơ hụ ̣i do khụng cho ̣n tuyờ́n đường võ ̣n tải tụ́t nhṍt thờ̉ hiờ ̣n chờnh

lợ̀ch cước phí giữa tuyờ́n đường võ ̣n tải tụ́t nhṍt và tuyờ́n đường võ ̣n tải tụ́t thứ hai

Bước 2 Xác đi ̣nh dòng hoă ̣c cụ ̣t có chi phí cơ hụ ̣i lớn nhṍt

Bước 3 Phõn phụ́i tụ́i đa lượng hàng có thờ̉ võ ̣n chuyờ̉n cho ụ có cước phí võn chuyờ̉n nhỏ

nhṍt ứ ng với dòng hoă ̣c cụ ̣t đã cho ̣n

Bước 4 Loa ̣i bỏ dòng đã tõ ̣n du ̣ng hờ́t khả năng cung cṍp hay cụ ̣t đã được đáp ứng đủ nhu cõ̀u

tiờu thụ

Bước 5 Tính toán la ̣i chi phí cơ hụ ̣i cho bảng võ ̣n tải sau khi đã loa ̣i bỏ dòng hay cụ ̣t ở bước 4 Bước 6 Trở la ̣i bước 2 và thực hiờ ̣n lă ̣p la ̣i các bước trờn cho đờ́n khi tõ ̣n du ̣ng hờ́t khả năng

cung cṍp củ a các điờ̉m nguụ̀n và đáp ứng đủ nhu cõ̀u tiờu thu ̣ của các điờ̉m đích đờ̉ có được lời

Cơ sở sản xuất đá

Công tr-ờng

A1

A2

A3 nhu cầu tiêu thụ

2

khả năng cung cấp

50

60

70

50

40

20

giải ban đõ̀u

Và bõy giờ chúng ta áp du ̣ng phương pháp xṍp xỉ Vogel đờ̉ tìm nghiờ ̣m khả dĩ ban đõ̀u cho ví

dụ ở trờn

- Bướ c 1 đươ ̣c thực hiờ ̣n ở bảng dưới Các con sụ́ trình bày bờn tay phải và cuụ́i cùng thờ̉ hiờ ̣n giá tri ̣ chờnh lờ ̣ch cước phí võ ̣n tải giữa hai ụ có cước phí thṍp nhṍt ứng với mụ̃i dòng và cụ ̣t Ví

dụ như ở dòng A1, cước phí võ ̣n chuyờ̉n đơn vi ̣ lõ̀n lượt là 2, 1 và 5 (10.000 đụ̀ng) Giá tri ̣ cước phí thṍp nhṍt là 2 và 1, võ ̣y chờnh lờ ̣ch cước phí là 1 (xem bảng)

Bảng 0.4Bảng vận tải trỡnh bày cỏc giỏ trị chi phớ cơ hội

Bảng 0.5Mẫu phõn phối VAM tận dụng khả năng cung cấp của B1

- Ở bảng trờn, giá tri ̣ chi phí cơ hụ ̣i lớn nhṍt là 3 tương ứng với cụ ̣t B2 được cho ̣n

- Bướ c 3 đươ ̣c thực hiờ ̣n trong bảng Tuyờ́n đường đươ ̣c ưu tiờn phõn phụ́i là từ A1 đờ́n B2 với giá tri ̣ cước phí đơn vi ̣ là 1 Lượng hàng phõn phụ́i vào ụ (A1B2) là 50 khụng vượt quá khả năng

xuất đá

Công tr-ờng B1 B2 B3 A1

A2 A3 nhu cầu tiêu thụ

2

40 85 55 180

khả năng cung cấp

1 5

3 4 3

4 6 6

50 60 70

1 1 2

1 3 2 Cơ sở sản

Cơ sở sản xuất đá

Công tr-ờng B1 B2 B3 A1

A2 A3 nhu cầu tiêu thụ

2

40 85 55 180

khả năng cung cấp

1 5

3 4 3

4 6 6

50 60 70

1 1 2

1 3 2

50 x x

1 2 3

cung cṍp củ a A1

- Bướ c 4 đươ ̣c thực hiờ ̣n trong bảng 5.5 Các ụ của dòng A1 khụng đươ ̣c xem xét nữa Sử du ̣ng

ký hiờ ̣u X đờ̉ đánh dṍu các ụ loa ̣i

- Phõ̀n tính toán la ̣i chi phí cơ hụ ̣i cho bảng võ ̣n tải cũng đươ ̣c trình bày ở bảng 5.5 Giá tri ̣ chi phí cơ hụ ̣i ở cụ ̣t B1, B2 và B3 thay đụ̉i, dòng A1 đươ ̣c loa ̣i bỏ và dòng A2, A3 khụng đụ̉i

- Lọ̃p la ̣i quá trình tính toán, khi này thì cụ ̣t B3 có giá tri ̣ chi phí cơ hụ ̣i lớn nhṍt Phõn phụ́i 55m3 vào ụ có cước phí võ ̣n chuyờ̉n nhỏ nhṍt khụng có đánh dṍu X của cụ ̣t B3 là ụ (A2B3) (bảng 5.6) Do nhu cõ̀u tiờu thụ của điờ̉m đích B3 đã được đáp ứng nờn ụ (A3B3) khụng được xem xét

nữa Chi phí cơ hụ ̣i được tính toán la ̣i như bảng 5.7

Bảng 0.6Mẫu phõn phối VAM đỏp ứng nhu cầu tiờu thụ B3

Bảng 0.7Mẫu phõn phối cuối cựng theo VAM

- Cụ̣t B2 hay dòng A3 có giá tri ̣ chi phí cơ hụ ̣i lớn nhṍt như nhau Ta cho ̣n dòng A3 và ụ (A3B1) đờ̉ cho lươ ̣ng hàng hóa phõn phụ́i được nhiờ̀u nhṍt (nờ́u cho ̣n cụ ̣t B2 và ụ (A2B2) thì chỉ

Cơ sở sản xuất đá

Công tr-ờng B1 B2 B3 A1

A2 A3 nhu cầu tiêu thụ

2

40 85 55 180

khả năng cung cấp

1 5

3 4 3

4 6 6

50 60 70

1 1 2

1 3 2

50 x x

1 2 3

1

2 x

55

Cơ sở sản xuất đá

Công tr-ờng B1 B2 B3 A1

A2 A3 nhu cầu tiêu thụ

2

40 85 55 180

khả năng cung cấp

1 5

3 4 3

4 6 6

50 60 70

1 1 2

1 3 2

50 x x

1 2 3

1

2 x

55

40 30

5

có thể phân phối 5m3) Phân phố i 40m3 đá vâ ̣n chuyển theo tuyến đường đi từ A3 đến B1 Ô (A2B1) bị loa ̣i bỏ

- Thực hiê ̣n phân phối lươ ̣ng hàng vâ ̣n chuyển cho hai ô (A2B2) và (A3B2) bằng cách xem xét khả năng cung cấp của từng điểm nguồn (tương ứng với dòng) và nhu cầu tiêu thu ̣ của từng điểm đích (tương ứng với cô ̣t) Phân phối 5m3 vào ô (A2B2) và 30m3 vào ô (A3B2) để hoàn tất bảng (bảng 5.7)

- Tổng cướ c phí vâ ̣n chuyển của mẫu phân phối này được tính như sau:

Bảng 0.8 Bảng cước phí

Lộ trình Lượng vận

chuyển

Đơn giá cước phí vận chuyển Tổng cước phí

A1

A2

A2

A2

A3

B2 B2 B3 B1 B2

50

5

55

40

30

1

4

3

4

6

50

20

165

160

180 Tổng cước phí: 575

Ví dụ 1

Giải bài toán vận tải sau bằng cách xác định phương án vận chuyển (số lượng bàn trên mỗi tuyến) theo các phương pháp trên

Từ dữ liệu bài toán ta thiết lập bài toán ở dạng bảng

100

300

300

300

200

200

$5

Nhµ m¸y F2

Nhµ m¸y F3

$4

$3

$8

$4

$3

$5

Nhµ kho T2

Nhµ kho T3

1 Phương pháp góc Tây Bắc

Bảng chi phí theo phương pháp góc Tây Bắc

Lộ trình Lượng vận

chuyển

Đơn giá cước phí vận chuyển Tổng cước phí

F1 F2 F2 F3 F3

T1 T1 T2 T2 T3

100

200

100

100

100

5

8

4

7

5

500

1600

400

700

1000 Tổng cước phí: 4200

2 Phương pháp chi phí nhỏ nhất

Nhµ m¸y

Kho

F1

F2

F3 Nhu cÇu

5

Cung cÊp

100

300

300

Nhµ m¸y

Kho T1 T2 T3 F1

F2 F3 Nhu cÇu

5

300 200 200 700

Cung cÊp

4 3

8 4 3

9 7 5

100 300 300

100

200 100

100 200

Bảng chi phí theo phương pháp góc Tây Bắc

Lộ trình Lượng vận

chuyển

Đơn giá cước phí vận chuyển Tổng cước phí

F1 F2 F2 F3 F3

T1 T1 T2 T2 T3

100

200

100

100

100

5

8

4

7

5

500

1600

400

700

1000 Tổng cước phí: 4200

3 Phương pháp xấp xỉ Volgel-VAM

Bước 1

Bước 2

Nhµ m¸y

Kho T1 T2 T3 F1

F2 F3 Nhu cÇu

5

300 200 200 700

Cung cÊp

4 3

8 4 3

9 7 5

100 300 300

100

200 100 300

Nhµ m¸y

Kho

T1 T2 T3

F1

F2

F3

Nhu cÇu

5

300 200 200 700

Cung cÊp

4 3

8 4 3

9 7 5

100

300

300 x

3 0 0

1

1

2 x

100