Chuong 1 TCN tong quan bai toan quy hoach tuyen tinh

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.1 Giới thiệu tổng quan về quy hoạch tuyến tính 1.1.1 Tổng quan a Giới thiệu bài toán quy hoạch tuyến tính - Quản l

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG

PHÁP GIẢI 1.1 Giới thiệu tổng quan về quy hoạch tuyến tính

1.1.1 Tổng quan

a) Giới thiệu bài toán quy hoạch tuyến tính

- Quản lý tốt và sử dụng hiệu quả nhất nguồn lực của công ty sẽ tạo nên lợi nhuận tối ưu cho công ty Nguồn lực thông thường bao gồm: máy móc, thiết bị, lao động, tiền, thời gian, không gian (kho bãi) và nguyên vật liệu Các tài nguyên này để sản xuất tạo ra sản phẩm (ví dụ máy móc, vật liệu trang trí nội thất, thức ăn hay quần áo) hoặc cũng có thể tạo ra các dịch vụ

- Làm sao để tạo ra lợi nhuận tối ưu cho công ty?

- Chúng ta phải sử dụng các hình thức quản lý hiệu quả, trong đó xây dựng mô hình quản lý bằng các mô hình toán là một trong những số đó

- Quy hoạch tuyến tính (QHTT) là gì? QHTT là một phương pháp toán được sử dụng rất rộng rãi giúp cho người quản lý trong công việc hoạch định và quyết định liên quan đến việc phân bổ các nguồn lực một cách hiệu quả Nó là một trong những phương pháp của quy hoạch toán học thường sử dụng máy tính rất nhiều vì những bài toán thực tế thường rất lớn và phức tạp nên không thể giải được bằng tay

b) Lịch sử phát triển quy hoạch tuyến tính

- QHTT đã được phát minh trước thế chiến thứ II bởi nhà toán học Liên Xô tên là A.N Kolmogorow Sau đó được nhà toán học, Leonid Knatorovich, đã đạt giải thưởng Nobel kinh tế

1975 và cùng với Tjalling Koopmas đặt nền tảng cho những khái niệm của bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu trong những nghiên cứu của họ trong những năm 1940 Và một ứng dụng đầu tiên của QHTT, phát minh vào năm 1945 bởi Stigler, dựa trên các giải thuật kinh nghiệm để tìm lời giải tối ưu bởi vì thời đó chưa có phương pháp nào để tìm lời giải tối ưu

- Sự phát triển của QHTT chỉ thực sự bùng nổ sau khi Geogre D.Dantzig, được mệnh danh

là cha đẻ của QHTT, phát triển một thủ tục để giải bài toán QHTT thường được gọi là phương pháp đơn hình Mặc dù ban đầu được ứng dụng ở trong quân sự, QHTT cũng đã phát triển vô cùng nhanh chóng trong các lĩnh vực công nghiệp và quản lý khi có sự ra đời của máy tính trong kinh doanh

- Hiện nay với sự phát triển của khoa học máy tính chúng ta có thể sử dụng các phần mềm như Excel, LINGO, vv để giải bài toán QHTT

c) Các bước nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính

1 Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu

2 Lập mô hình toán

3 Xây dựng các thuật toán

5 Áp dụng giải các bài toán thực tế

4 Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần

Hình 1.1 Các bước nghiên cứu và ứng dụng bài toán QHTT 1.1.2 Thành phần bài toán QHTT

Dù đa dạng, các bài toán QHTT đều có 4 thành phần và đặc điểm chính như sau

- Người quản lý muốn xác định số lượng sản phẩm cần phải tính từ các nhà máy vận chuyển đến nơi tiêu thụ sao cho chi phí vận tải là thấp nhất

Chúng ta gọi thành phần này gọi là hàm mục tiêu của bài toán QHTT Ví dụ như:

- Mục tiêu chính của các nhà sản xuất thông thường là cực đại hóa lợi nhuận ( Maximization)

- Với các hệ thống phân phối thì mục tiêu có thể là cực tiểu hóa chi phí vận chuyển (Minimization)

Trong bất kỳ trường hợp nào, mục tiêu đều cần phải được định nghĩa một cách rõ ràng và

được xác định bằng các công thức toán Không quan tâm đến lợi nhuận hay chi phí đo được bằng đơn vị tiền tệ gì, USD, VND, TWD, …

- Số lượng sản phẩm sẽ sản xuất ra ở một công ty sẽ bị giới hạn bởi máy móc và nhân sự huy động của công ty cũng như nhu cầu khác hàng

- Việc lựa chọn một chính sách quảng cáo hay một tập danh mục đầu tư sẽ bị giới hạn bởi tổng tiền sẵn có để đầu tư

- Lựa chọn phương án thi công các công trình sao cho tổng chi phí không vượt quá một giới hạn

- Trong bài toán vận tải, việc cực tiểu hóa chi phí vận tải sẽ bị ràng buộc bởi khả năng cung cấp của các nhà máy cũng như nhu cầu tại các nơi tiêu thụ

Do đó, chúng ta thường cực đại hóa hay cực tiểu hóa các đại lượng ( hàm mục tiêu) trong điều kiện giới hạn về tài nguyên (các điều kiện ràng buộc)

Có một công ty sản xuất 3 loại sản phẩm khác nhau Có thể công ty tập trung sản xuất chủ yếu một trong 3 sản phẩm hay sản xuất đều 3 loại sản phẩm, hoặc phân bổ ở một tỷ lệ bất kỳ nào đó? Nhà quản lý có thể sử dụng QHTT để xác định tỷ lệ phân bổ của chúng trong điều kiện giới hạn

về tài nguyên sản xuất (máy móc, công nhân, …) để cực đại lợi nhuận Nếu chỉ một phương án thì không cần QHTT

1.1.3 Các giả thiết cơ bản QHTT

Thông thường các mô hình toán ứng dụng trong kinh tế đều có các giả thiết đi kèm

Có 5 giả thiết/ yêu cầu cơ bản cần nắm khi giải các bài toán QHTT

1 Tính chắc chắn: Các con số trong hàm mục tiêu và các điều kiện ràng buộc được biết đến

chắc chắn và không thay đổi trong suốt quá trình nghiên cứu

2 Tính tỷ lệ: Chúng ta phải giả thiết có tính tỷ lệ tồn tại trong hàm mục tiêu và các ràng

buộc Nghĩa là sự đóng góp với hàm mục tiêu và giá trị tài nguyên trong mỗi ràng buộc phải tỷ lệ với giá trị của các biến quyết định

3 Tính cộng dồn: Giá trị của hàm mục tiêu và tổng tài nguyên sử dụng được tính toán bằng

cách lấy tổng hàm mục tiêu đóng góp và tài nguyên sử dụng của tất cả các biến quyết định Nghĩa là tổng các hoạt động sẽ bằng kết quả cộng dồn của từng hoạt động riêng lẻ

4 Tính chia được: Biến quyết định là biến liên tục Giả thiết này được chấp nhận các

nghiệm ở dạng thập phân (Lời giải không nhất thiết phải là số nguyên)

5 Tính không âm: Tất cả các biến phải không âm Sử dụng các con số âm để đếm là không

thể

Bảng 1.2Các đặc điểm và giả thiết cơ bản của bài toán QHTT

buộc là hàm tuyến tính 5 Tính không âm

1.1.4 Thành lập bài toán QHTT

Thành lập một bài toán QHTT liên quan đến việc xây dựng một mô hình toán để diễn tả vấn

đề quản lý Vì vậy, để thành lập một bài toán QHTT, chúng ta cần phải hiểu một cách sâu sắc vấn đề quản lý đang phải đối mặt Khi đã nắm rõ, có thể bắt đầu xây dựng mô hình toán cho vấn

đề Quy trình lập bài toán quy hoạch tuyến tính như sau:

1 Hiểu rõ vấn đề quản lý đang phải đối mặt

2 Xác định hàm mục tiêu và các ràng buộc

3 Định nghĩa các biến ra quyết định

4 Sử dụng các biến ra quyết định để viết các mô hình toán cho hàm mục tiêu và các ràng buộc

Hình 1.2 Các bước thành lập bài toán QHTT

Ví dụ 1:

Công ty Nam Việt sản xuất các loại bàn và ghế gỗ Quy trình sản xuất mỗi sản phẩm đều có

điểm chung là cùng trải qua hai công đoạn đóng mộc và sơn, đánh bóng:

• Mỗi cái bàn cần 4 giờ đóng mộc, 2 giờ sơn và đánh bóng

• Mỗi cái ghế cần 3 giờ đóng mộc, 1 giờ sơn và đánh bóng

Trong giai đoạn sản xuất hiện tại, chu kỳ là một tuần, với lực lượng công nhân lao động hiện

có, công ty Nam Việt có tổng cộng 240 giờ đóng mộc và 100 giờ sơn, đánh bóng (được ước tính bằng số công nhân x giờ công mỗi ngày) Mỗi cái bàn và ghế khi công ty đem bán sẽ đem lại lợi nhuận tưng ứng là 70 USD và 50 USD

Vấn đề đặt ra cho công ty này là trong giới hạn về giờ đóng mộc và giờ sơn như trên, công ty cần sản xuất bao nhiêu cái bàn và bao nhiêu cái ghế là đem lại lợi nhuận cao nhất

Đầu tiên chúng ta tóm tắt qua bảng

Bảng 1.3Dữ liệu của công ty Nam Việt

Thời gian (giờ) Số giờ cần thiết để sản xuất một cái Tổng thời gian

• Biến: x1 số lượng bàn sẽ sản xuất trong một tuần

x2 số lượng bàn sẽ sản xuất trong một tuần

• Điều kiện biên (hay còn gọi là ràng buộc mặc định):

Để bài toán có ý nghĩa thì x1 và x2 phải là số không âm nghĩa là

 ( Số lượng bàn, ghế trong một tuần)

Tóm lại ta có mô hình toán học về vấn đề lập kế hoạch sản xuất cho công ty Nam Việt như sau:

Bảng 1.4Dữ liệu của công ty bánh mì

Thời gian (giờ) Số lượng đường và bột mì để sản xuất Giới hạn

Khi bài toán QHTT có nhiều hơn hai biến, chúng ta không thể biểu diễn lời giải bằng đồ thị trong hệ tọa độ phẳng hai chiều mà phải sử dụng các phương pháp khác (Phương pháp đơn hình) Tuy nhiên, phương pháp đồ thị là phương pháp cơ bản giúp chúng ta hiểu rõ được bản chất của bài toán QHTT và trên cơ sở đó nghiên cứu các phương pháp giải khác

Các bước giải bài toán QHTT bằng phương pháp đồ thị

Bước 1: Biểu diễn ràng buộc lên đồ thị

Bước 2: Tìm nghiệm tối ưu, áp dụng 1 trong hai phương pháp sau

✓ Phương pháp đường đẳng trị

✓ Phương pháp các điểm góc

1.2.1.1 Biểu diễn lên đồ thị

Để tìm lời giải tối ưu cho một bài toán QHTT, trước tiên chúng ta phải xác định miền nghiệm khả thi, còn gọi là miền thỏa mãn các điều kiện ràng buộc (miền ràng buộc) Để thực hiện điều này, bước đầu tiên ta biểu diễn từng điều kiện ràng buộc lên đồ thị

Trong ví dụ công ty Nam Việt, biến x1 (số lượng bàn sản xuất trong 1 tuần) được thể hiện trên trục hoành của đồ thị và biến x2 ( số lượng ghế sản xuất trong 1 tuần) được thể hiện trên trục tung của đồ thị Không nhất thiết không phải quy định như vậy chúng ta có thể làm ngược lại (x1 trục tung, x2 trục hoành)

Để bài toán có ý nghĩa thì giá trị x1 và x2 phải là số không âm

1 2

4x 3x 240Tìm 2 điểm A và B thỏa mãn phương trình trên và vẽ đường thẳng nối hai điểm đó:

Hình 1.3.Góc phần tư thứ I chỉ gồm các giá tri ̣ không âm

Xác đi ̣nh miền nghiê ̣m của ràng buô ̣c thứ nhất: Vùng phía dưới đường thẳngAB, phần gạch chéo củ a Hình 1.4

Hình 1.4.Biểu diễn đồ thị cho ràng buô ̣c thứ nhất (Giới ha ̣n về giờ đóng mô ̣c)

x2

Trôc tung biÓu diÔn rµng buéc x1>=0

Trôc hoµnh biÓu diÔn rµng buéc x2>=0

Hình 1.5.Biểu diễn đồ thị cho ràng buô ̣c 2 (Giới ha ̣n về giờ sơn và đánh bóng)

C Xác đi ̣nh miền nghiê ̣m khả thi thỏa mãn cả 2 ràng buô ̣c: Phần tô đâ ̣m

Chú ng ta biết rằng để sản xuất ra bàn hoă ̣c ghế thì đều phải trải qua 2 công đoa ̣n đóng mô ̣c và sơn, đánh bóng Với bài toán QHTT, chúng ta cần phải tìm tâ ̣p hợp các điểm lời giải đồng thời thỏa mãn tất cả các ràng buô ̣c cùng mô ̣t lúc Vì vâ ̣y, 2 đường giới ha ̣n phải vẽ trên cùng mô ̣t đồ thị (xem Hình 1.6) Vùng tô đâ ̣m thể hiê ̣n các sự kết hợp của lượng bàn và ghế sản xuất đồng thờ i thỏa mãn cả 2 điều kiê ̣n ràng buô ̣c về thời gian đóng mô ̣c và sơn, đánh bóng Ta go ̣i đó là miền nghiệm khả thi hay go ̣i tắt hơn là miền khả thi của bài toán Miền khả thi của bài toán QHTT là tâ ̣p hơ ̣p các điểm thỏa mãn tất cả các điều kiê ̣n ràng buô ̣c của bài toán, vì vâ ̣y nó cũng chính là phần trùng lă ̣p của tất cả các điều kiê ̣n ràng buô ̣c

Hình 1.6.Miền nghiệm khả thi cho vấn đề của công ty Nam Viê ̣t

- Bất cứ điểm nào nằm bên trong miền khả thi sẽ cho ta mô ̣t nghiê ̣m khả thi

- Bất cứ điểm nào nằm ngoài miền khả thi sẽ cho ta mô ̣t nghiê ̣m không khả thi

Ta xét 3 điểm sau đây để minh ho ̣a

+ Điểm M (x1 = 30, x2 = 20), nghĩa là sản xuất 30 cái bàn và 20 cái ghế trong 1 tuần

Ta có:

• Thời gian đóng mô ̣c là: 4*30 + 3*20 = 180 giờ < 240 giờ nên thỏa mãn điều kiê ̣n ràng buộc thứ nhất:

• Thời gian sơn và đánh bóng: 2*30 + 1*20 = 80 giờ < 100 giờ nên thỏa mãn điều kiê ̣n

ràng buô ̣c thứ hai:

+ Điểm N (x1 = 70, x2 = 40), nghĩa là sản xuất 70 cái bàn và 40 cái ghế trong 1 tuần

Ta có:

• Thời gian đóng mô ̣c là: 4*70 + 3*40 = 400 giờ > 240 giờ nên không thỏa mãn điều kiê ̣n

ràng buô ̣c thứ nhất:

• Thời gian sơn và đánh bóng: 2*70 + 1*40 = 180 giờ > 100 giờ nên không thỏa mãn điều kiện ràng buô ̣c thứ 2:

+ Điểm P (x1 = 50, x2 = 5), nghĩa là sản xuất 50 cái bàn và 5 cái ghế trong 1 tuần

Chú ý: Điểm nào đó chỉ cần không thỏa mãn mô ̣t trong các điều kiê ̣n ràng buô ̣c thì điểm ấy

cũng nằm ngoài miền khả thi Chẳng ha ̣n như điểm P (x1 = 50, x2 = 5) nằ m trong giớ i ha ̣n về thời gian đóng mô ̣c nhưng la ̣i vượt quá về thời gian sơn, đánh bóng cho phép nên điểm P nằm ngoài miền khả thi

1.2.1.2 Tìm nghiệm tối ưu

Ca ́ ch 1: Phương pháp đường đẳng tri ̣

Sau khi vẽ miền khả thi, chúng ta tiến hành tìm nghiê ̣m tối ưu của bài toán Nghiê ̣m tối ưu là điểm nằm trong miền khả thi cho ta giá tri ̣ hàm mu ̣c tiêu tốt nhất (lợi nhuâ ̣n cao nhất) Nhưng có rất nhiều điểm trong miền khả thi, vâ ̣y chúng ta phãi làm như thế nào để tìm ra điểm tốt nhất, điểm cho ta lơ ̣i nhuâ ̣n cao nhất? Bởi vì có vô số điểm nằm trong miền khả thi của bài toán, nên không thể dù ng phương pháp thử và sai để đánh giá hàm mu ̣c tiêu của tất cả các nghiê ̣m khả thi để xác đi ̣nh nghiê ̣m tối ưu

Có rất nhiều các khác nhau để tìm được nghiê ̣m tối ưu sau khi miền khả thi đã được vẽ trên đồ thị Trong đó, mô ̣t trong những cách nhanh nhất để tìm nghiê ̣m tối ưu là ứng du ̣ng phương pháp đường đẳng tri ̣ Chúng ta bắt đầu phương pháp bằng cách cho lợi nhuâ ̣n bằng 1 số bất kì nào đó (một số tiền lơ ̣i nhuâ ̣n nhỏ), nghĩa là ta gán mô ̣t tri ̣ bất kì cho vế phải của phương trình lợi nhuâ ̣n: giả sử là 2100 USD Đây là mức lợi nhuâ ̣n có thể dễ dàng đa ̣t được mà vẫn thỏa mãn các điều kiện ràng buô ̣c Khi đó ta có hàm mu ̣c tiêu:

210070x 50x

Phương trình đường thẳng này được go ̣i là đường thẳng lợi nhuận, vì nó thể hiê ̣n tất cả các sự

kết hợp của (x1, x2) cho ra lợi nhuâ ̣n tổng cô ̣ng là 2.100 USD Để vẽ đường đẳng lợi nhuâ ̣n

càng xa gốc to ̣a đô ̣ thì thu được lợi nhuâ ̣n càng cao Mô ̣t đă ̣c điểm quan tro ̣ng nữa là các đường

đẳng lơ ̣i nhuâ ̣n đều song song với nhau Điều này giúp ta có thể tìm được nghiê ̣m tối ưu cho bài

Phương trình (*) thể hiê ̣n đô ̣ dốc (hê ̣ số góc) của hàm mu ̣c tiêu thông qua x1 và x2 Trong đó,

hệ số của biến là x1 = - 1,4 là đô ̣ dốc của đường thẳng hàm mu ̣c tiêu; còn hê ̣ số của biến x2 = 0,02 là giá tri ̣ chắn của x2, tứ c là giá tri ̣ của biến x2 khi đườ ng thẳng hàm mu ̣c tiêu tương ứng có phương trình (*) đi tru ̣c x2 Thay thế các giá tri ̣ lơ ̣i nhuâ ̣n Z tương ứng là 2100, 2800, 3500 USD,

các đường xa dần gốc to ̣a đô ̣

Hình 1.7.Bốn đường đẳng lợi nhuận

70*x1 + 50*x2=3500 70*x1 + 50*x2=4200

Hình 1.8.Nghiệm tối ưu của công ty Nam Việt

Vẽ mô ̣t chuỗi các đường thẳng song song bằng cách di chuyển cẩn thâ ̣n cây thước vẽ song song vớ i phương của đường đẳng lơ ̣i nhuâ ̣n ban đầu và dần xa gốc to ̣a đô ̣ Đường lơ ̣i nhuâ ̣n cao nhất là đường cách xa gốc to ̣a đô ̣ nhất và vẫn có điểm chung với miền khả thi (đến khi tiếp xúc

vớ i các điểm biên, ta có lời giải tốt nhất) Chúng ta nhâ ̣n thấy đường đẳng lơ ̣i nhuâ ̣n 4.200 USD thì quá cao (không có điểm chung với miền khả thi) nên không xét Đường đẳng lơ ̣i nhuâ ̣n cao nhất được trình bày trong Hình 1.8 Đường này tiếp xúc với điểm góc của miền nghiê ̣m ta ̣i điểm

I (x1 = 30, x2 = 40) và đa ̣t lơ ̣i nhuâ ̣n cao nhất là Z = 70*30 + 50*40 = 4.100 USD Trong đó điểm

I (x1 = 30 , x2 = 40) chính là giao điểm của 2 đường ràng buô ̣c nên to ̣a đô ̣ của nó chính là nghiê ̣m

củ a hê ̣ phương trình:

Lý thuyết toán ho ̣c về QHTT đã chứng minh đươ ̣c rằng điểm tối ưu chỉ đa ̣t được trên các điểm

cực biên (các điểm góc) của miền khả thi

Lưu ý rằng đối với 2 trường hợp đă ̣c biê ̣t của bài toán QHTT là không khả thi và không bi ̣ chặn thì phát biểu trên không áp du ̣ng được Do đó, chúng ra chỉ cần xác đi ̣nh to ̣a đô ̣ các điểm

góc và kiểm tra xem điểm nào đa ̣t giá tri ̣ tối ưu về lơ ̣i nhuâ ̣n bằng cách tính toán và so sánh hàm

mục tiêu ta ̣i từng điểm góc

Hình 1.9.Phương pháp điểm góc

Quan sát miền khả thi của bài toán, chúng ta thấy miền khả thi là 1 đa giác lồi có 4 góc( 4 đỉnh) OAID Ta tìm to ̣a đô ̣ từng điểm góc và tính mức lợi nhuâ ̣n ta ̣i các điểm đó như sau:

+ Điểm O (0;0): Z = 70*0 + 50*0 = 0 USD

+ Điểm D (50;0): Z = 70*50 + 50*0 = 3500 USD

+ Điểm A (0;80): Z = 70*0 + 50*80 = 4000 USD

+ Điểm I (30;40): Z = 7*30 + 5*40 = 4100 USD (Max)

Trong đó, để tìm to ̣a đô ̣ của điểm I, chúng ta cần giải hê ̣ phương trình sau:

Như vâ ̣y, điểm tối ưu là I (x1= 30 bàn, x2 = 40 ghế) vì nó cho công ty mức lơ ̣i nhuâ ̣n cao nhất

Z = 4.100 USD Kết quả này hoàn toàn giống như khi chúng ta dùng phương pháp đường đẳng

lợi nhuâ ̣n ở trên

Tóm la ̣i, để giải bài toán QHTT đơn giản chỉ có 2 biến theo phương pháp đồ thi ̣, chúng ta có thể dù ng phương pháp đường đẳng tri ̣ hoă ̣c phương pháp điểm góc Các bước thực hiê ̣n hai phương pháp này được tóm tắt trong bảng 2.3 sau đây:

Bảng 1.5Tóm tắt cách giải bài toán QHTT bằng phương pháp đồ thi ̣

Phương pháp đồ thi ̣ (giải bài toán QHTT có 2 biến) Phương pháp đường đẳng tri ̣ Phương pháp điểm góc

1 Biểu diễn ca ́c ràng buô ̣c lên đồ thi ̣ và tìm miền nghiê ̣m khả thi

I(30; 40) A(80; 0)

O(0; 0)

2 Ve ̃ mô ̣t đường đẳng lơ ̣i nhuâ ̣n (hoă ̣c đường

đẳng chi phí)

3 Di chuyển cây thươ ́ c vẽ song song với phương

cu ̉ a đường đẳng lợi nhuâ ̣n (hoă ̣c đẳng chi phí)

ban đầu theo hướng tăng dần lợi nhuâ ̣n (hoă ̣c

giẩm dâ ̀n chi phí) cho đến khi tiếp xúc với các

điểm biên của miền khả thi, ta có nghiê ̣m tối

ưu

4 Ti ̀m các to ̣a đô ̣ điểm tối ưu và tính toán lơ ̣i

nhuâ ̣n (hay chi phí)

2 Ti ̀m to ̣a đô ̣ các điểm góc của miền nghiê ̣m khả thi

3 Ti ́nh lơ ̣i nhuâ ̣n (hoă ̣c chi phí) tương ứng

ta ̣i mỗi điểm góc mới vừa tìm được

4 Cho ̣n điểm góc ở bước 3 cho ta giá tri ̣ cực

đa ̣i lơ ̣i nhuâ ̣n (hoă ̣c cực tiểu chi phí) Đây chi ́nh là nghiê ̣m tối ưu bài toán

Bảng 1.6Dữ liê ̣u về bài toán của nông tra ̣i gà Tây Tân Dâ ̣u

Tha ̀nh phần dinh dưỡng /kG Thư ́ c ăn B1 Thư ́ c B2 Yêu cầu tối thiểu (g)

+ x1 – Số lượng thức ăn B1 (kG) sẽ được mua

+ x2 – Số lượng thức ăn B2 (kG) sẽ được mua

Mô hình toán ho ̣c cua bài toán QHTT này đươ ̣c thành lâ ̣p như sau:

- Hàm mu ̣c tiêu: Min Z = 2x1 + 3x2 (USD)

- Các ràng buô ̣c:

+ Ràng buô ̣c về thành phần dinh dưỡng A: 5x110x2 90

+ Ràng buô ̣c về thành phần dinh dưỡng B: 4x13x248

+ Ràng buô ̣c về thành phần dinh dưỡng C: 0.5x10x2 1.5

- Điều kiện biên (Ràng buô ̣c mă ̣c đi ̣nh):

Để bài toán có ý nghĩa thì giá tri ̣ x1 và x2 phãi là số không âm, nghĩa là: x10; x2 0

Điều kiê ̣n ràng buô ̣c (3): 0.5x10x2 1.5x1  Như vậy ta có bài toán QHTT như sau 3

Hình 1.10 Miền nghiệm khả thi của bài toán nông trại Tân Dậu

Ca ́ ch 1: Phương pháp đường đẳng tri ̣

Như đã đề câ ̣p ở trên, phương pháp đường đẳng chi phí có thể được áp du ̣ng để giải các bài toán QHTT cực tiểu hóa hàm mu ̣c tiêu Tương tự như phương pháp đường đẳng lơ ̣i nhuâ ̣n, ta không cần tính to ̣a đô ̣ ta ̣i các điểm góc như phương pháp điểm góc, nhưng thay vào đó chúng ta phãi vẽ mô ̣t chuỗi các đường đằng chi phí song song với nhau Đường đẳng chi phí thấp nhất (gần gố c tọa đô ̣ nhất) mà vẫn có điểm chung với miền nghiê ̣m khả thi (ta ̣i điểm góc biên) sẽ cho chú ng ta mức chi phí thấp nhất Đây chính là điểm tối ưu của bài toán

Hình 1.11 Đường đẳng trị chi phí của bài toán nông trại

5*x1 + 10*x2=90 4*x1 + 3*x2=48

5*x1 + 10*x2=90 4*x1 + 3*x2=48

2*x1 +

*x2

=60

2*x1 +

*x2

=3 1.2

a

b

c

Ta vẽ đường đẳng chi phí ở mức 60 USD có phương trình:

60 = 2x1 + 3x2

Rõ ràng có rất nhiều điểm trong miền nghiê ̣m có thể cho ra chi phí thấp hơn Ta tiến hành di ̣ch chuyển đườ ng đẳng chi phí về phía dưới bên trái đến khi có mô ̣t điểm chung giữa đường đẳng chi phí và miền nghiê ̣m khả thi, đó chính là điểm b (8,4; 4,8) với mức chi phí tương ứng 31,2 USD

Trong bài toán này có 3 điểm góc là a, b và c

+ Đối với điểm a, ta tìm to ̣a đô ̣ bằng cách giải hê ̣ phương trình của hai đường giới ha ̣n thành phần B và C:

1

(3;12)3

a x

+ Tọa đô ̣ điểm C(18;0) => Z = 2*18 + 3*0 = 36 USD

Vậy, số lươ ̣ng thức ăn tối ưu cần mua là 8,4 kG thức ăn B1 và 4,8 kG thức ăn B, với chi phí đa ̣t

cực tiểu là 31,2 USD

Hình 1.12 Các ràng buộc trên đồ thị

Biểu diễn các ràng buộc lên đồ thị ta có:

A, B, C, D, O là các điểm cực biên Giá trị hàm mục tiêu tại đó là:

Phương án tối ưu của bài toán đạt được tại B: x1 = 4 và x2 = 5

1.2.1.4 Các trường hợp đặc biệt trong QHTT

Khi giải các bài toán QHTT bằng phương pháp đồ thi ̣, chúng ta có thể đôi khi gă ̣p mô ̣t trong 4 trường hợp đă ̣c biê ̣t sau:

A Không khả thi

B Không giớ i ha ̣n lời giải/ Lời giải không bi ̣ chă ̣n

C Dư ràng buô ̣c

D Nhiều lờ i giải tối ưu

• Không khả thi (Bài toán vô nghiệm)

Không khả thi là 1 tình huống xảy ra khi không có lời giải nào của bài toán QHTT thỏa mãn tất cả các ràng buô ̣c đã cho, kể cả các ràng buô ̣c các biến không âm Nghĩa là trên đồ thi ̣ sẽ không xác đi ̣nh đươ ̣c miền nghiê ̣m khả thi, nói cách khác, không có điểm thỏa mãn tất cả các điều kiê ̣n ràng buô ̣c mô ̣t cách đồng thời Đây là mô ̣t tình huống xảy ra nếu bài toán dược thành

lập với các ràng buô ̣c mâu thuẩn với nhau Điều này rất hay xảy ra trong các bài toán thực tế phứ c ta ̣p có kích thước lớn, bao gồm hàng trăm đến hàng nghìn ràng buô ̣c

x1 C(2; 6)

*x23

x1 +2*x2

=14