Chủ đề 1.4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường thắng y= y, là đường tiệm cận ngang hay tiệm cận ngang của đồ thị ham sé y= fx nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn lim ƒ%= yạ, lim ƒx= yạ e© Nhận xét: Như vậy để

Trang 1

Chuyên để I Ứng dung đạo hàm để xét tính biên thiên uà 0 đổ thị hàm đố BTN 1 4

A KIEN THUC CO BẢN

1 Đường tiệm cận ngang

e© Cho hàm số y= ƒ(zx) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (z;+e),(—œ;b) hoặc

(—œ;+eo)) Đường thắng y= y, là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị

ham sé y= f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

lim ƒ(%)= yạ, lim ƒ(x)= yạ

e© Nhận xét: Như vậy để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chỉ cần tính giới hạn của hàm

số đó tại vô cực

2 Đường tiệm cận đứng

e Đường thang x= *¿ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

y=f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

lim ƒ(x)=+, lim ƒ(x)=-œ, lim ƒ(x)=-œ, lim ƒ(x)=+œ

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tich f (x).g(x)

Nếu lim ƒ(z)=L#0 và lim g(x)= + (hoặc—œ ) thì lim ƒ(x).g(x) được tính theo quy tắc cho

(Dâu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x # xạ)

2 Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các truéng hop x 3 x,*,x 9 x, ,x—>-+©o Và x —> —

Ví dụ 1 Tìm lim (+) —2*)

x——o

Giải

Trang 2

Ta có lim(xÌ—2x)= lim x” li-2)=—

C KY NANG SU DUNG MAY TINH

©Y twéng gia str can tinh lim f(x) ta ding chic ning CALC để tính giá trị của f(x) tại các giá

trị của x rat gan A

1 Gidi han cia hàm số tại một điểm

# lim ƒ(z) thì nhập ƒ(z) và CALC x=a+10”

“ lim ƒ(z) thì nhập f(x) vaCALC x=a-10”

# lim ƒ(z) thì nhập ƒ(x) và CALC x=øz~+10 hoặc x=—10

2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

lim f(x) thinhap f(x) va CALC x=10"

Trang 3

Trang 4

Ấn r máy hỏi X? ẫn p10^10= máy hiện 2

Ấn r máy hỏi X? ẫn 10^10= máy hiện 2

Ấn r máy hỏi X? ẫn 2+10^p9= máy hiện 3000000001

Ấn r máy hỏi X? ấn 2p10^p9= máy hiện -2999999999,

Nên lim 2%! = 400, lim 221 =

Câu 5 Đô thịhàm sô y =— 3 g— có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lân lượt là:

A y=2 va x=0 B.x=2 và y=0 € x=2 và y=3 D y=2 và x=3

Câu 6 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y= Ivx la:

3+2x

Trang 5

Chuyên để ï Ứng dụng đạo hàm để 2ét tính biên thiên uà uẽ đổ thị hàm aố

A Dé thi hàm số có tiệm cận đứng x= 3 B Hàm số nghịch biến trén R\{3}

C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=1 OD Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là 7(3;1)

Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận 2

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có l tiệm cận ngang y =—3

C Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang y = —1

D Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, có tiệm cận ngang

Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng:

Trang 6

Cóu 16 Đồ thị hỏm số y= cụ đường tiệm cận ngang lỏ

A Khi m=3 thớ (C) khừng cụ đường tiệm cận đứng

cụ đồ thị (C) Kết luận nỏo sau đóy đỷng ?

B Khi zm=—3 thớ (C) khừng cụ đường tiệm cận đứng

C Khi m# +3 thi (C)c6 tiđờm cận đứng x = —m:, tiệm cận ngang y =7

D Khi m=0 thớ (C) khừng cụ tiệm cận ngang

Trang 7

A Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng 1 tiệm cận ngang

C Đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang

D Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng và | tiệm cận ngang

Tìm tất cả các giá trị thực của tham sé m sao cho đồ thị của hàm số y= _—_ có hai tiệm

mx” +1 cận ngang

Trang 8

Tim tat cả các giá trị thực của tham sô z sao cho đô thị của hàm sô y= có tiệm cận

x—m đứng

Tìm tât cả các giá trị thực của tham sO m sao cho đô thị của hàm sô y —— có đúng

x—3xˆ—m một tiệm cận đứng

x— có đồ thị (C) Gọi M là một điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của

(C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Goi J là giao điểm của các đường tiệm cận của (C) Tính diện tích của tam giác JAB

Trang 9

Chuyên dé 1 Ung dụng đạo hàm để xét tính biên thiên uù 0 đổ thị hàm aố BTN 1 4

Trang 10

E ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Trang 11

x =1 Tinh tuong ty voi x =2

Ta có lim _ =0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=0

x¬+e x“ —3x+ 2 Phương pháp tự luận

Tương tự câu 3,4 nên tự tính kiểm tra

Tương tự câu 3

Trang 12

pA gn tn ge at 3 2 ` 1 Tìm tương tự các câu trên ta được tiệm cận đứng là x= “5 và tiệm cận ngang là y = ¬5

Tìm được tiệm cận đứng là x= —l, x= 4 và không có tiệm cận ngang (Vì lim y=#đeœ )

+x—œ

—= Số đường tiệm cận là 2

Câu 10 |ẾW@WWf

Tìm được tiệm cận đứng là x =3 và tiệm cận ngang là y = 1

Giao điểm của hai đường tiệm cận /(2;1) là tâm đối xứng của đồ thị

Trang 13

Câu 15

Cau 16

Cau 17

Cau 18

Từ đồ thị ta thấy có tiệm cận đứng là x=1 và y=1 = loại A,B

Xét tiếp thấy giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0;-2) => Chọn C

Tiếp tục CALC —102 ta được kết quả là 1

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = I

Nhập vào máy tính biêu thức

Tiếp tục CALC —10'? ta được kết quả là 2

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2

Tiếp tục ân CALC -2+10”? ta được kết quả là —5.10?, ấn CALC -2—10”? ta được kết quả

là 5.10 nên có Jim 2%! sco: tim 2*—! =

x>2' x+2 x2 x+2

Do đó ta được x = —2 là tiệm cận đứng của dé thi ham sé

Vay đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận

Phương pháp tự luận

Ta có: lim —2*—" _ =o, im 2%" _ =

x¬-= x“ —=3x+2 x¬+= x“—3x+2

Do đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y =0

lạ có xo x =3x+2 tim ee petim 2 =.e xl" x“ =3x+2 và x>27 x“—=3x+2 lm— =e

lim — 1 =+œo nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x = l;x = 2

Trang 14

Câu 19

Cau 20

Cau 21

Tiép tuc CALC -10” ta duoc két quá là 0

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y =0

Tiếp tục ấn CALC 1+10””? ta được kết quả là —1.10, ấn CALC 1—107” ta được kết quả là

1.10 nên có lim 2" = foo; im — 221 _ =—œ do đó ta được x=1 là tiệm cận đứng xa x —3x+2 xo x —3x+2

của đồ thị hàm số

Tiếp tục ấn CALC 2+10” ta được kết quả là 3.102, ấn CALC 1—107? ta được kết quả là

-3.10 nên có im— TU = lim 2%" _ = 400 do đó ta được x=2 là tiệm cận

Kiểm tra thấy với m=+3 thì hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Khi m + +3 hàm số luôn có tiệm cận đứng x=rm hoặc x=—m và tiệm cận ngang y =m

Phương pháp trắc nghiệm

XY+9 Nhập vào máy tính biểu thức xay ấn CALC X =-3+10”'°;y =~—3

+

ta được kết quả —3

Tiếp tục ấn CALC X =—3—10”':Y =~3 ta được kết quả -3

Vậy khi m=—3 đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng

Tương tự với =3 ta cũng có kết quả tương tự

Vậy các đáp án A và B không thỏa mãn

Tiếp tục ấn CALC X =—10';Y =0 ta được kết quả 9x10 '°, ấn CALC X =10;Y =0 ta được kết quả 9x10”,

Do đó hàm số có tiệm cận ngang y=0

Vậy đáp an D sai

Phương pháp tự luận

Vì TXÐ của hàm số là IR nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Lại có lim ———— x-xtee = him ——— ¬I và lim ——— x¬—= = fim

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y = +I

lta

Phương pháp trắc nghiệm

Nhập vào máy tính biểu thức x+3 an CALC 10°° ta được kết quả là 1

Vx +1

Tiếp tục ấn CALC —10'' ta được kết quả là —1

Vậy có hai tiệm cận ngang là y = +I

Trang 15

Đề đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng thì zz” +2 +0 luôn đúng với moi m

Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x= 5

A Agta A r ` Ä ` m

Đề hàm số có đường tiệm cận ngang thì m+ø # Ö

Khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y=mdo đó ta có m= 2

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm 7(2;1) nénc6 2m+n=1>n=-3

Vay m+n=-1

Điêu kiện xác định

Vx°-9#4 'x +1—x at Vx’ +1—-x

Khi đó có: lin—————— =; lim ——————=2 nên đô thị hàm sô có hai đường tiệm cận

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận

Xét m0 thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng

Mặt khác lim y = 2; lim y=0 nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

Nếu phương trình không có nghiệm x =1 thi đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x=1

Nếu phương trình có nghiệm x=lhay m=—1

Trang 16

Khi đó xét 916i han: lim —————_—-_ ma Ăn = lim ——————- = —— nn trong truong hop ro Jong] tx ma nay do ney

thị hàm số không có đường tiệm cận đứng

Suy ra duong thing x=—1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi zx—>(—1) và x—>(—1)'

Vì lim y không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

lim y = lim —— = lim ——=2 nén duong thắng y=2 là tiệm cận ngang của đô thị hàm sô

z—>—o x y—[| xo—= 1— 1

x

khi x 4-0,

lim y= lim = lim ,jI+-y =l nên đường thăng y =1 là tiệm cận ngang của đồ thị

x—+eo X—+co xX X—+co x

hàm sô khi x —> +eo

Trang 17

- Với 0<mm<1 thì lim y= lim s[1 rd oe lim y= lim s[1- 5 ]-— nén

X—>+eo x—>+oo Xx X——0e x—->—eo xX

đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Suy ra đường thắng y =0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x —› —œ

- Voi m>1 thi lim y= lim s[re ord

X—+co X—-+00 Xx

1 A rn ° ` AK ^ 4 cA A

lim y= lim [1 [m ¬ =+œ nên đô thị hàm sô không có tiệm cận ngang

x x->—= x——œo°

Trang 18

Suy ra đường thắng x=1 1A tiém cn dtmg cua dé thi ham s6 khi x 91

lim y không tồn tại

Suy ra đường thắng x=m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi x —>m” và x—>m_

Vậy m <1 thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 37 (ØW@Wf

Trang 19

Chuyên để ï Ứng dụng đạo hàm để xét tinh bién thién vd vé dé thi hàm aố

Câu 38

Câu 39

Câu 40

THỊ : Phương trình x°—3x”—zz=0 có một nghiệm đơn x= —l và một nghiệm kép

Tập xác định D = R\{1} Dao ham y= veal

Trang 20

vI-z? m 1= + lim YIC#*” im

x4 x — 2 _= x-2 ae X-2 xt x—2

Do đó đồ thị hàm sô không có tiệm cận

Câu 43 (ØWW{

Tập xác định D = R

Ta có lim (x-* -4x+2] - lim“ “=2 —— = Jim x—+s

lim [x-x°-4x+2]= lim Ij-$+2]*—

Do M thuéc dd thi ham s6 y =22*! nen [221] voi x, #1

Trang 21

Trang 22

Câu 52

Tọa độ điểm M bất kì thuộc đồ thị có dạng M l5; 2% 2) với xạ #2

Xo - X—% „ 2o 3 (A)

Do đó phương trình tiếp tuyến tại M 1A y=— 7

(x)-2) ~2 Tinh d(M,A)<2

Toa d6 diém M bat kì thudc dé thicé dang M l5; 24 =) VỚI xạ # 2

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	5,57 MB