Chủ đề 2.3. Điểm đặc biệt của họ đường cong

Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong Xét họ đường cong C„ có phương trình y= ƒx,zm, trong đó ƒ là hàm đa thức theo bién x với mm là tham số sao cho bậc của m khong quá 2.. Hãy tì

Trang 1

Chuyên đẻ 2 Các bài toán liên quán dén đồ thị hàm aố BTN_2_3

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (C„) có phương trình y= ƒ(x,zm), trong đó ƒ là hàm đa thức theo bién x

với mm là tham số sao cho bậc của m khong quá 2 Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường

cong khi 7n thay đôi?

s* Phương pháp giải:

o Bước 1: Đưa phương trình y= ƒ(x,zm) về dạng phương trình theo ân m có dạng sau:

Am+B=0 hoặc Am” + Bm + C =0

o Bước 2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

A=0

| 7 hoac « B=0

o Bước3: Kết luận

*ˆ Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C„) không có điểm cố định

ˆ Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cô định của (C,)

II Bai todn tim điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) (ham phân thức) Hãy tìm những điểm có tọa độ

nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều

là số nguyên

o Bước1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

o Bước2: Lí luận để giải bài toán

HI Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) có phương trình y = ƒ(x) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thắng

Bai todn 1: Cho dé thi (C): y = Ax’ + Bx’ +Cx+D trén do thi (C) tim nhitng cap diém doi xung nhau qua diémI (Xạ; yr)

Y Goi M(a;Aa’ + Ba’ +Ca+D), N(b;Ab’ + Bb’ +Cb+ D) 1a hai diém trên (C) đối xứng

nhau qua điểm 7

a+b=2x,

A(a°+b})+ B(a?+b?)+C(a+b)+2D =2y,`

Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị (C): y= Ax` + Bx” +Cx+D Trên đồ thị (C) tìm những cặp

Trang 2

Y Goi M (a, Aa’ + Ba’ +Ca+D),N(b, Ab’ + Bb’ +Cb+D) 1a hai diém trên (C) đối xứng

nhau qua gốc tọa độ

a+b=0

of +b°)+B(a’ +b’)+C(a+b)+2D=0

* Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm dugce toad6 M,N

Bai todn 3: Cho dé thi (C): y = Ax’ + Bx”+Cx+ D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm đối

xứng nhau qua đường thẳng d: y = AxtB,

Y Goi M(a;Aa’ + Ba’ +Ca+D), N(b;Ab’ + Bb’ +Cb+ D) 1a hai diém trên (C) đối xứng

nhau qua đường thắng đ

¥ Tacé: 4 (với J là trung diém cua MN va uz là vectơ chỉ phương của

MN.ua =0 (2)

đường thẳng đ)

Giải hệ phương trình tìm được M, N

IV Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:

1 Lí thuyết:

Loại I Cho hai điểm P(x;:y):0(;;y,)= PO =4|(x—x, +(y;~ y,Ÿ

Cho điểm M(x,;y)) và đường thắng đ: Ax+ By+C =0, thì khoảng cách từ M

đến đ là n(M-d) = ot Bo Cl

VA? +B?

Loại 2 Khoảng cách từ M (xạ; yạ) dén tiém can dimg x=a la h=|x,-a]

Loại 3 Khoảng cách từ M (xạ; yạ) đến tiệm cận ngang y= là ù=|yạ —b|

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một đường

thắng với một đường cong (C) nào đó Vì vậy trước khi áp dụng công thức, ta cần phải tìm

tìm điêu kiện tôn tại rôi tìm tọa độ của chúng

2 Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số y= “1P 7 (c0, ad—bc #0) có đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) hai

của tiệm cận đứng Nên gọi hai số œ, đ là hai số đương

Nếu A thuộc nhánh trái thi x, <4 x, -4 ge_4, yY,=Ff(%,)-

Trang 3

Nếu Ö thuộc nhánh phải thì x; _ -4, 85-4 y; = ƒGg)

v Sau đó tính AB’ =(x,—x,) +(ys—y,) =[(a+/8)—(a—#) Ï +(y; — vụ) -

* Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả

Bài toán 2: Cho đô thị hàm số (C) có phương trình y= ƒ(x) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất

& » Phương pháp giải:

¥ Goi M (x; y)va tong khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thi d= x|+|y]

* Xét các khoảng cach tir M dén hai truc toa d6 khi M nam ở các vị trí đặc biệt: Trên truc hoanh, trén truc tung

* Sau đó xét tong quát, những điểm # có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến

Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = ƒ (x) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy

¥ Su dung phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả

Bài toán 5: Cho đô thị hàm số (C) có phương trình y= ƒ(x) và đường thẳng d:Ax+By+C =0 Tìm điển I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất

Trang 4

Biết đồ thị (C„) của hàm số y= x*—2mmx”+3 luôn di qua mét diém M cố định khi mm thay

đôi, khi đó tọa độ của điêm M Ia

A M (-1;1) B M (1;4) C M (0;-2) D M (0;3)

Biết đồ thị (C„„) của hàm số y = “= (m#0) luôn đi qua một điểm M có định khi zm

thay đổi Tọa độ điểm M khi đó là

Trang 5

Cho hàm số y=—x” +?nmx”—x—4m có đồ thị (C„) và A là điểm cố định có hoành độ âm của

(C,,) Gia tri cua m để tiếp tuyến tại A của (C,,) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất là

Trang 6

>

hoành độ lớn hơn tung độ là

x+2 Cho hàm sé y= ; có đồ thị (C) Gọi 7 là giao điểm hai đường tiệm cận của (C) Biết tọa

độ điểm # (x„; y„ ) có hoành độ dương thuộc đồ thị (C) sao cho ấM7 ngăn nhất Khi đó giá trị x„ — y„ bằng

Các giá trị thực của tham số m dé d6 thi (C,,) cua hàm số y= x°—3x?+m có hai điểm phân

biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là

A -l<m<0O B m#0 C m>-3 D m>0

Trang 7

Chuyén dé 2 Các bài toán liên quán đến đồ thị hàm aố BTN_2 3

Câu 31 Cho hàm số y= — có đồ thị (C) Gọi đ là khoảng cách từ một điểm M trên (C) đến giao

x+

điểm của hai tiệm cận Giá trị nhỏ nhất có thể có của đ là

Câu 32 Cho hàm số y= a có đồ thi (C) va 7 là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Tiếp xX —

tuyến tại một điểm M bat ky cha (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A và 8 Diện tích của tam giác ABI bằng

Câu 33 Cho điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y= —, biết M có hoàng độ z và khoảng cách

x+

tir M đến trục Ox bang ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy Gia tri cé thể có của ø là

A a=1 hoac a= B a=-—1 hoặc x=—

C a=-1 hoặc a=, D a=1 hoặc a=-

Câu 34 Cho hàm số y=—^ có đồ thị (C) Goi M là một điểm thuộc đồ thị (C) và đ là tổng

Câu 36 Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y= cách đều hai trục tọa độ 2

Câu 37 Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y= có tọa độ nguyên ?

x+2x+2

Câu 38 Biét dé thi (C,,) cua ham sé y =x°-3(m—-1)x’ -3mx+2 luén lu6n di qua hai diém cé dinh

P(xpsyp) va O(z¿: ve) khi m thay đổi, khi đó giá trị của y„ + y„ bằng

Câu 39 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y=“”—ˆ sao cho khoảng cách từ điểm /(—1;2)

x+1

đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.là

Trang 8

Cho ham s6 y=2271 x+l1

tiệm cận của (C) đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

có đồ thị (C) Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc (C) đến hai

Wildy

Goi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị (C) của hàm số y= x13

x — , độ dài

Trang 9

Cho hàm số y= có đồ thị (C) Tống khoảng cách từ một điểm M thuộc (C) đến hai

Cho ham số y=—+x'+2mx”—2mm+1 có đồ thị (C„) Gọi A là điểm cố định có hoành độ

dương của (C,) Khi tiếp tuyến tại A của (C,.) song song với đường thang d: y=16x thi gid

Trang 10

Điều kiện của tham số mm để trên đồ thị (C„) của hàm số y= xÌ —(3m—1)x” +2mx+m+1 có

ít nhất hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua trục Oy là

x

A M (-1;1);N(-45-6)

M(~13);N (-33)

Tọa độ hai điểm trên đồ thị (C) của hàm số y=_—x”°+3x+2 sao cho hai điểm đó đối xứng

nhau qua điểm M (-1; 3) là

Trang 11

Có bao nhiêu diém M thuộc đô thị (C) của ham so y= *** sao cho khoảng cách từ điểm

M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ #⁄ đến tiệm cận đứng?

Trang 12

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I- ĐÁP ÁN

11213145 |6 |7 |8 |9 |101| 11|12|113| 14 | 15 16 | 17 | 18 | 19 | 20 BỊ|ỊC|B|ID|BIC|A|B|C|C|IA|A|A|IDIC|D|ID|IDỊIA|IB

21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 DỊA |B|AIA|AIC|DIC|IDID|IA|LDIC|B|IC|IC|BỊIỊẠC|D

41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 DỊC|C|B|A|ID|IB|IDI|IBIA|B|AIDIC|B|A|C|IC|B|I|B

Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số

luôn đúng với mọi zn thì điểm đó là điểm cố định

Chúng ta có thê thế từng đáp án đề kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm Ä⁄ vào phương trình hàm số

luôn đúng với mọi zn thì điểm đó là điểm cố định

Chúng ta có thê thế từng đáp án đề kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số

luôn đúng với mọi zn thì điểm đó là điểm có định

Trang 13

Chúng ta có thê thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi thì điệm đó là điệm cô định

Trang 14

Tiệm cận đừng và tiệm cận ngang của (C) lần lượt có phương trình x=1, y=2

Trang 15

Chuyên đê 2 Các bài toán liên quán đến đổ thị hàm aố BTN_2 3

Lại có y=—3x? +2mx—1— y(—2) =—4m—13

Phương trình tiếp tuyến của (C,„) tại A(-2;10) có dạng y=(-4m—13)(x+2)+10 hay

Trang 16

Gọi Masts le (C); a>0 và a#2, ta có đ =|a—2|+ ETrnnira

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ¡~2Ï~4esla-=2Ð| =2

a=

Két luan M(4;3)

Trang 17

Vậy có tất cả một cặp điểm thuộc đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu đề bài

Gọi MĨ (xạ; Yạ) VỚI xạ € Z,y,€ Z

chọn a= V3+1, suy ra M (V3 +1;V3 +1) nên x„ — y„ =0

Gọi A(x,;x) +3x„T—2), B(x,;x2 +3x„T—2) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua /(2;18)

Vậy cặp điểm cần tìm là A(;2), 8Q;34)

Gọi A(x,;x; —4x2+9x, +4), B(x„;x; —4x2 +9x„ +4) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Trang 18

Vậy cặp điểm cần tìm là A(;10), B(—1;—10)

Gọi A(a;a°+a), B(b,b”+b) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua đường thẳng

=> a’ +ab+b* -1=0 (4) (Vi a#b)

a=-l—b-l Vậy cặp điểm cần tìm là A(1;2), B(—1;—2)

Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang là y =1

D6 thi ham sé (C,,) c6 hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tồn tại

xX, #0 sao cho Y(%) =—-Y(-%) c tồn tại xạ #0 sao cho

xạ 3x) +m=—| (x) -3(-x,) +m | <= ton tai x, #0 sao cho 3x; =m = m>0

Giao điểm của hai tiệm cận là 7 (—1;1), gọi M [a ˆ

at } (C) với a#—1 ta có

Trang 19

Gọi M [ai ) vi a#-—1 Theo đề ta có: — =3)o| 7

Goi A Xài— 54 +x¿ +3x, —a B Xp?—a *p +x; +3xp 3 la hai diém trên (C) đôi xứng

nhau qua trục tung

Ta có J2 T3» =0 a CO ve A (1)

Trang 20

Thay (1) vao (2) ta được:

Vậy có hai cặp điểm cần tìm là A|s `) ,B [- SỈ

Trang 21

Chuyên dé 2 Các bài toán liên quán đến đổ thị hàm aố BTN_2 3

Khoảng cách từ /(—1;2) tới tiếp tuyến

Câu 40 (ØW@WWể

Đồ thị hàm số (C,„) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tồn tại

X) #2 và xạ #0 sao cho y(%¿) =—y(—*ạ)

Giao điểm của đ với tiệm cận đứng là A|2 2+ 2 ) m—

Giao điểm của đ với tiệm cận ngang là 8(2m—2;2)

Ta có "Ninh rl>® suy ra AB>22 Dấu “=” xảy ra khi (m—2)” =1,

m—2 nghĩa là m= 3 hoặc m=—1

Câu 42 (ØW@Wf

Phương trình đường trung trực đoạn AB là y= x

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của phương trình :

Trang 22

1—x/5 mHiiEre ns)

Hai điểm trên đồ thị thỏa yêu cầu bài toán là 5 5 5

Vay AB? =(x,-x,) +(¥s-Ya) -[(3+6)-(-a)} «|[1+5)-(1-$}

Trang 23

g;8)=(ø+ 8) 2) =(œ+ØŸ`+(6} (x+ØŸ (2]

36 a’ B

=(0? + B+ 2a) 1+

Dùng bất đăng thức Cauchy, ta có

£(G/)>(258+2a8)| 1+ a) sap +2 dad = 48

a B Vay AB > V48 =42/3 Dấu đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi

Câu 47 (ØW@WW

Điểm M năm trên trục Óx : M(—2;0) > d,, =|-2/+0=2

Diém M nằm trên trục tung : đ„ =0+

-7|-2<2 3| 3

Xét những điểm 3 có hoành độ lÌ>=4 =lx|+|| >=

Xét những điểm Ä⁄ có hoành độ thỏa mãn |x| <ãiy<-5 = | >30

" Trường hợp : 0<x<= Do (*) cho nên : đ„ =bl*lb|>2

Trang 24

Xét những điểm ⁄ có hoành độ lớn hơn = =>d =|x|+|y| >=

Xét những điểm M có hoành độ nhỏ hơn si

«Với 0<x<<=y>_ =đ=|x|*|y|>= 2 2 2

Vậy tọa hai điểm cần tìm là (1;—5) và (—1;—1)

X —l—y=0 y=0 |y=0

Vậy họ đồ thị có hai điểm có định là (—1;0), (1;0)

Trang 25

Chuyên đẻ 2 Các bài toán liên quán đốn đồ thị ham sé BIN_2_3

[3x+ y+6| — 1

1

1 3x+6+x+2+ x+6+x =-=|4|x+2)+ + (x42)+L

Trang 26

Gọi É (xạ; yạ) là điểm có định của họ đồ thị (C,,), ta c6

Yo =(m+2) x, -3(m—2) x, +m+7,Vm

x, —3x, +1=0

i +6x,+7-—y, =0

Vì hệ có 3 nghiệm phân biệt nên họ đồ thị có 3 điểm có định

Gọi M (x,y),N(—x, y) là hai điểm thuộc đồ thị (C„) đối xứng nhau qua trục tung Ta có

Ta có y'=6x?+2mmx—12 Điều kiện <= m=0 Vay m=0

S=0

m=0

Trang 27

atl a+2

a=1 3"

at e(0) với a#2.Tacb d=|a—2|4|2** -1] =|a—2]+ >_> 03,

Gọi Ma S5 Jeo voi a#2

a-

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	6,68 MB