Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này.. Chứng minh rằng KH song song với DC.. Câu 12: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H
Trang 1ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(ĐỀ THI GỒM 01 TRANG)
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
Câu 1: Một quyển sách có 560 trang Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các
trang của quyển sách này
Câu 2: Chứng minh rằng số có dạng: 4 3 2
n n n n chia hết cho 24 với n N�
Câu 3: Tìm n N� biết: 2 4 6 ��2n210
Câu 4: Tính tổng: 10 10 10 10
Câu 5: Tính 49 12 5 49 12 5
Câu 6: Giải phương trình: 2 2
Câu 7: Giải hệ phương trình sau:
�
�
�
Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 2
x y Biết 2 2
4
x y xy
Câu 9: Cho a, b, c là các số không âm thỏa: a b c 1 Chứng minh b c � 16abc
Câu 10: Cho hình thang vuông ABCD � �A D 900, tia phân giác của góc C đi qua trung điểm
I của AD
a) Chứng minh BC là tiếp tuyến của (I; IA)
b) Gọi H là tiếp điểm của BC với (I; IA), K là giao điểm của AC và BD
Chứng minh rằng KH song song với DC
Câu 11: Tính độ dài phân giác AM của tam giác ABC, biết AB = 12cm, AC=15cm,
BC = 18 cm
Câu 12: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H chứng minh rằng:
2
BH BD CH CE BC� �
===================== Hết =====================
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:……….
Chữ ký giám thị 1:……… Chữ ký giám thị 2:………
SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG
PHÒNG GD&ĐT CÁT TIÊN
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN – Khối THCS
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )
Trang 2SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG
PHÒNG GD&ĐT CÁT TIÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN – Khối THCS
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN
Câu 1 :
2 điểm
Số các số có một chữ số từ 1 đến 9 là : 9 – 1 + 1 = 9 ( số )
Số các số có hai chữ số từ 10 đến 99 là : 99 – 10 + 1 = 90 ( số )
Số các số có ba chữ số từ 100 đến 560 là : 560 – 100 + 1 = 461 ( số )
Số chữ số để đánh số các trang của quyển sách là :
9 1 + 90 2 + 461 3 = 1572 Chữ số
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Câu 2:
2 điểm
4 6 3 11 2 6
n n n n = n ( n3 + 6n2 + 11n + 6 )
= n ( n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6n + 6 )
= n ( n + 1) ( n2 + 5n + 6 )
= n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 )
Vì n, n + 1, n + 2, n + 3 là 4 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết
cho 3, có hai số chẵn liên tiếp nên một số chia hết cho 2 và một số chia
hết cho 4
Suy ra n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) M 24 hay n46n311n26nM 24
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 3:
2 điểm
(2 2 )
2
n n
Ta có n ( n + 1) = 210
Ta phân tích số 210 ra thừa số nguyên tố rồi ghép các thừa số lại để
được tích của hai số tự nhiên liên tiếp
210 = 2 3 5 7 = ( 2 7) ( 3 5) = 14 15
Vậy n ( n + 1) = 14 15
Suy ra n = 14
0,25 điểm 0,25 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Câu 4:
2 điểm
5 14
A
A
A
A
A
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm
Câu 5:
2 điểm 49 12 5 49 12 5
= 2 2
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5điểm
Trang 3= 2 3 5 3 5 2 = 4 0,5 điểm
Câu 6
2 điểm
2
Ta có: 2 2
Đặt x2 3x 7 y y�0
Ta có: x2 3x 7 y2
Pt trở thành: y y220� y2 y 20 0
2 5 4 20 0
�
5 4 0
5 0
4 0
y y
�
�
5 4
y y
�
2 3 7 5 2 3 7 25
2 3 18 0
�
x6 x 3 0
�
6 3
x x
�
6; 3
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 7
1 điểm
�
�
�
Điều kiện: , , 1
4
Nhân mỗi phương trình với 2 rồi cộng lại, ta có:
4x2 4x 1 4y2 4y 1 4z2 4z 1 0
4x 1 1 4y 1 1 4z 1 1 0
�
1
2
x
z
�
�
Vậy nghiệm của hệ là: 1
2
x y z
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 8
( loại )
Trang 41 điểm
�x2y2x2y22xy8
Ta có 2 2 2
Dấu “=” xảy ra � x y �2
Vậy giá trị lớn nhất của 2 2
x y bằng 8 Mặt khác: 2 2
2x 2y 2xy8
�
2
2 2 8
x y
�
Ta có 2 2 8
3
Dấu “=” xảy ra 2 3
3
x y
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 9
1 điểm
Ta có
2
Áp dụng (*) ta có:
2
1 a b c �4a b c ; , ,a b c�0
Do đó 2
4
b c �a b c
Mà 2
Vậy b c � � � 4 4a bc b c � 16abc
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Câu 10
2 điểm
a)
Kẻ đường vuông góc IH từ I đến BC Theo tính chất của tia phân giác,
ta có: IH = ID = IA
Vậy A, D, H nằm trên (I; IA)
Do BC vuông góc với IH tại H nên BC là
tiếp tuyến của (I; IA)
b) AB, DC là tiếp tuyến của (I; IA)
- Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta
có
BA = BH và CD = CH (1)
Do AB // CD, theo định lý Ta let, ta có
2
Từ (1) và (2) suy ra KA BH
Theo định lý ta lét đảo suy ra KH //DC
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5điểm
0,5 điểm
Câu 11
2 điểm Kẻ đường cao AH Áp dụng tính chất đường phân giác trong của tam giác ta có: 0,25 điểm
Trang 54 5
Suy ra 4 8
9
MB
ĐặtBH x, ta có:
2
6,75 2
BC
8 6,75 1, 25
Trong � 0 2 2 2
Trong � 0 2 2 2
Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2
Vậy AM = 10 cm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Câu 12
1 điểm
Vẽ HF BC F BC, �
Xét BFH F�900 và
�
900
BDC D
�
B (chung)
Do đó BFH BDC
Suy ra BF BH
BH BD BC BF
� �
Chứng minh tương tự, ta có:
CH CE BC FC
� �
Mà BC BF BC FC BC BF FC� � BC2
Do đó BH BD CH CE BC� � 2
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Ghi chú : Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng Giám khảo vẫn cho điểm tối đa.