Kẻ đường kính PQ của đường tròn O sao cho PQ vuông góc với AI điểm P nằm trên cung 1 AM không chứa điểm M2.. Chứng minh rằng nếu PM QM1, 2 không song song thì các đường thẳng AI PM,
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (3,0 điểm).
1 Cho 3 2
1 3 3
x
f x
x x
Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A f f f f
2 Cho biểu thức 2 1 1 22 2
1
P
Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.
Câu 2 (1,5 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y; thỏa mãn 3 2
6
x y x y
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho a b c d, , , là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2012
abc bcd cda dab a b c d
Chứng minh rằng: a2 1b2 1c2 1d2 1 2012
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho ba đường tròn O1 , O2 và O (kí hiệu X chỉ đường tròn có tâm là điểm X) Giả sử
O1 , O2 tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và O1 , O2 lần lượt tiếp xúc trong với O tại
1 , 2
M M Tiếp tuyến của đường tròn O1 tại điểm I cắt đường tròn O lần lượt tại các điểm
, '
A A Đường thẳng AM1 cắt lại đường tròn O1 tại điểm N1, đường thẳng AM2 cắt lại đường tròn O2 tại điểm N2
1 Chứng minh rằng tứ giác M N N M1 1 2 2 nội tiếp và đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng N N1 2
2 Kẻ đường kính PQ của đường tròn O sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên cung
1
AM không chứa điểm M2) Chứng minh rằng nếu PM QM1, 2 không song song thì các đường thẳng AI PM, 1 và QM2 đồng quy
Câu 5 (1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
Trang 2Câu 1
1 Chứng minh: thì f(x) + f(1-x) = 1, trong đó 3 2
1 3 3
x
f x
x x
Mà f(1006/2012) = f(1/2) = 1/2
Từ đó: A = 2011/2
2 Cho biểu thức 2 1 1 22 2
1
P
ĐKXĐ: x 0 ;x 1
Rút gọn:
1
2
x x
x
1
1
x x
x
Dễ thấy 0 P 2 Từ đó P = 1 hoặc P = 2, từ đó x = 0 hoặc x = 1 (Loại)
Vậy không tồn tại x để P nhận giá trị nguyên
Câu 2:
Vì x , y nguyên dương nên luôn tồn tại số n thỏa mãn 2 3
6
x y n
ta suy ra được n 1
Đặt –n = a ta tìm được a = 2 suy ra 4 1
Vậy cặp số nguyên dương cần tìm là (x,y) = (1,3)
Bài 3:
Ta có:
2012 abc bcd cda dab a b c d ab 1 c d cd 1 a b
2 2 2 2
a b2 2 a b2 2 1c d2 2 c2 d2 1 a2 1b2 1c2 1d2 1
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Bài 4:
Câu a:
Áp dụng tính chất của đoạn tiếp tuyến và cát tuyến cắt nhau:
+ Trong (O1): AI2 = AN1.AM1
+ Trong (O2): AI2 = AN2.AM2
Do đó: AN1.AM1= AN1.AM1 nên tứ giác M1N1N2M2 nội tiếp
Gọi H là giao của OA với N1N2 Ta suy ra góc A N1N2 = 900 suy
b) Gọi K là giao điểm của PM1 với QM2 ta chứng minh được PQ // O1O2 Suy ra
O1M1I’ = O1I’M1 nên tam giác O1M1I’ cân ( I’ là giao điểm của QM1 và O1O2)
Suy ra O1I’ = O1M1 Suy ra I I’ nên Q, I, M1 thẳng hàng suy ra QM1 PK
Vậy PM1, QM2, AI đồng quy tại K khi QM2 không song song với PM1
Bài 5:Cách 1: Vẽ ngũ giác đều ABCDE Theo nguyên lý Dirichle luôn tồn tại 2 đỉnh cung màu.
Gỉa sử đó là 2 đỉnh A và B cùng màu xanh
+ nếu 1 trong 3 đỉnh B,C,D có màu xanh thì suy ra điều phải chứng minh
+ Nếu cả ba đỉnh B,C,D không tô xanh mà tô cùng một màu thì suy ra đpcm
Trang 3+ Nếu trong 3 đỉnh B, C, D có hai đỉnh cùng màu ( Giả sử D,C tô đỏ B tô tím) thì tam giác DEB thoa mãn đkđb
Ta có điều phải chứng minh
Cách 2: Vẽ Hình vuông ABCD có tâm là O Lập luận tương tự cách 1 với 5 điểm A,B,C,D,O Ta được đpcm