Phu,o,ng tr`ınh tr`ung phu,o,ng... Phu,o,ng tr`ınh h.ê qu,a cƠo thê,cƠo nghi.êm ngo.ai lai,không phai l`a nghi.êm c, ua phu,o,ng tr`ınh ban ốdâ`u... BâƠt ốd ˘ang thƠu,c,.. CƠac tƠınh châ
Trang 1M.uc l.uc
M.uc l.uc 2
Chu,o,ng 1 M.ênh ¯dê` v`a t.âp h.o,p 11
1.1.M.ênh ¯dê` 11
1.2.T.âp h.o,p 11
1.2.1.C´ac t.âp h.o,p sô´ 11
1.2.2.Phâ`n tu, c, ua t.âp h.o,p, 12
1.2.3.C´ac t.âp h.o,p con cua R, 12
1.2.4.C´ac ph´ep to´an v´o,i t.âp h.o,p 12
1.3 Sô´ gâ`n ¯d´ung - Sai sô´ 14
Chu,o,ng 2 H`am sô´ b.âc nhâ´t v`a b.âc hai 15
2.1.Kh´ai ni.êm co, b,an vê` h`am sô´ 15
2.1.1 ´Anh x.a 15
2.1.2.Kh´ai ni.êm h`am sô´ 16
2.1.3.Ðô` th.i cua h`am sô´, 17
2.1.4.C´ac t´ınh châ´t co, ban c, ua h`am sô´, 17
2.2.H`am sô´ b.âc nhâ´t 18
2.2.1.H`am sô´ b.âc nhâ´t 18
2.2.2.H`am sô´ h`˘ang y b v´o,i b P R 18
2.2.3.H`am sô´ y |x| 19
2.3.H`am sô´ b.âc hai 19
2.3.1.Co, ban vê` h`am sô´ b.âc hai, 19
2.3.2.Ðô` th.i 19
2.3.3.Bang biê´n thiên, 20
2.3.4.C´ach v˜e ¯dô` th.i 20
3
Trang 24 Sô,
tay ¯d ai sô´ v `a gi,
ai t´ıch 10-11-12
Chu,o,ng 3 Phu,o,ng tr`ınh v`a h.ê phu,o,ng tr`ınh 21
3.1 Ð.ai cu,o,ng vê` phu,o,ng tr`ınh 21
3.1.1.C´ac kh´ai ni.êm co, ban, 21
3.1.2.Phu,o,ng tr`ınh tu,o,ng ¯du,o,ng v`a phu,o,ng tr`ınh h.ê qu,a 22
3.1.3.Biê´n ¯dô,i tu,o,ng ¯du,o,ng c´ac phu,o,ng tr`ınh 22
3.2.Phu,o,ng tr`ınh qui vê` b.âc nhâ´t, b.âc hai 23
3.2.1.Giai v`a bi.ên lu.ân phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t, 23
3.2.2.Gi,ai v`a bi.ên lu.ân phu,o,ng tr`ınh b.âc hai 23
3.2.3.Ð.inh l´y vê` tô,ng v`a t´ıch hai nghi.êm cua phu,o,ng tr`ınh b.âc hai, 24 3.2.4.Phu,o,ng tr`ınh tr`ung phu,o,ng 24
3.2.5.Phu,o,ng tr`ınh ch´u,a dâ´u gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i 24
3.2.6.Phu,o,ng tr`ınh ch´u,a dâ´u c˘an th´u,c 25
3.3.Phu,o,ng tr`ınh, h.ê phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t nhiê`u â,n 27
3.3.1.Phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t hai â,n 27
3.3.2.H.ê hai phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t 2 â,n 27
3.3.3.D.ang tam gi´ac cua h.ê 3 phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t ba â, ,n 27
3.3.4.H.ê ba phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t 3 â,n 28
3.3.5.M.ôt sô´ h.ê phu,o,ng tr`ınh kh´ac 28
Chu,o,ng 4 Bâ´t ¯d,˘ang th´u,c v`a bâ´t phu,o,ng tr`ınh 30
4.1.Bâ´t ¯d,˘ang th´u,c 30
4.1.1.Ð.inh ngh˜ıa 30
4.1.2.C´ac t´ınh châ´t bâ´t ¯d,˘ang th´u,c co, b,an 31
4.1.3.Bâ´t ¯d,˘ang th´u,c ch´u,a dâ´u gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i 31
4.1.4.Bâ´t ¯d,˘ang th´u,c Cauchy 31
4.1.5.Bâ´t ¯d,˘ang th´u,c Bunhiacopski 32
4.1.6.Gi´a tr.i l´o,n nhâ´t, nho nhâ´t c, ua m.ôt h`am sô´, 33
4.2.Bâ´t phu,o,ng tr`ınh v`a h.ê bâ´t phu,o,ng tr`ınh m.ôt â,n 33
4.2.1.Ðiê`u ki.ên cua m.ôt bâ´t phu,o,ng tr`ınh, 33
Trang 3M uc l uc 5 4.2.2.Hai bâ´t phu,o,ng tr`ınh (h.ê bâ´t phu,o,ng tr`ınh) tu,o,ng ¯du,o,ng 33
4.2.3.C´ac ph´ep biê´n ¯dô,i bâ´t phu,o,ng tr`ınh 33
4.2.4.Ch´u ´y 34
4.3.Dâ´u cua nh.i th´u,c b.âc nhâ´t, 34
4.4.Bâ´t phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t 2 â,n 34
4.4.1.Bâ´t phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t 2 â,n 34
4.4.2.H.ê bâ´t phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t 2 â,n 35
4.4.3.B`ai to´an tô´i u,u trong kinh tê´ 35
4.5.Dâ´u cua tam th´u,c b.âc hai, 36
4.5.1.Ð.inh l´y vê` dâ´u cua tam th´u,c b.âc hai, 36
4.5.2.M.ôt sô´ ¯diê`u ki.ên tu,o,ng ¯du,o,ng 36
Chu,o,ng 5 Thô´ng kê 38
5.1.Bang phân bô´ tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t, 38
5.1.1.Tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t cua m.ôt gi´a tr.i, 38
5.1.2.Tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t cua m.ôt l´o,p, 38
5.2.Sô´ trung b`ınh c.ông 39
5.2.1.Sô´ trung b`ınh c.ông 39
5.2.2.Sô´ trung v.i 39
5.2.3.Mô´t 40
5.2.4.Ch.on ¯d.ai di.ên cho c´ac sô´ li.êu thô´ng kê 40
5.3.Phu,o,ng sai v`a ¯d.ô l.êch chuâ,n 40
5.3.1.Công th´u,c t´ınh phu,o,ng sai 40
5.3.2 ´Y ngh˜ıa v`a c´ach s,u, d.ung phu,o,ng sai 41
5.3.3.Ð.ô l.êch chuâ,n 41
Chu,o,ng 6 Cung v`a g´oc lu,.o,ng gi´ac 43
6.1.Cung v`a g´oc lu,.o,ng gi´ac 43
6.1.1.Quan h.ê gi˜u,a ¯d.ô v`a radian 43
6.1.2.Ð.ô d`ai cua cung tr`on, 44
6.1.3.Sô´ ¯do cua cung lu,.o,ng gi´ac, 44
6.1.4.Biê,u di˜ên cung lu,.o,ng gi´ac 44
Trang 46 Sô,
tay ¯d ai sô´ v `a gi,
ai t´ıch 10-11-12
6.2.Gi´a tr.i lu,.o,ng gi´ac cua m.ôt cung, 45
6.2.1.C´ac kiê´n th´u,c co, ban, 45
6.2.2.C´ac h`˘ang ¯d,˘ang th´u,c lu,.o,ng gi´ac co, b,an 46
6.2.3.Gi´a tr.i lu,.o,ng gi´ac cua c´ac cung ¯dô´i nhau, 46
6.2.4.Gi´a tr.i lu,.o,ng gi´ac cua c´ac cung b`u nhau, 46
6.2.5.Gi´a tr.i lu,.o,ng gi´ac cua c´ac cung ph.u nhau, 46
6.2.6.Gi´a tr.i lu,.o,ng gi´ac cua c´ac cung ho,n k´em π, 46
6.3.Công th´u,c lu,.o,ng gi´ac 46
6.3.1.Công th´u,c c.ông 46
6.3.2.Công th´u,c nhân ¯dôi 47
6.3.3.Công th´u,c nhân ba 47
6.3.4.Công th´u,c h.a b.âc 47
6.3.5.Công th´u,c t´ınh theo t tanx 2 47
6.3.6.Công th´u,c tô,ng th`anh t´ıch 47
6.3.7.Công th´u,c t´ıch th`anh tô,ng 47
6.3.8.M.ôt sô´ công th´u,c kh´ac 48
Chu,o,ng 7 H`am sô´ lu,.o,ng gi´ac 49
7.1.H`am sô´ lu,.o,ng gi´ac 49
7.1.1 H`am sô´ sin 49
7.1.2.H`am sô´ cos 50
7.1.3.H`am sô´ tang 51
7.1.4.H`am sô´ cotang 51
7.2.Phu,o,ng tr`ınh lu,.o,ng gi´ac co, ban, 52
7.2.1.Phu,o,ng tr`ınh co, b,an theo sin 52
7.2.2.Phu,o,ng tr`ınh co, ban theo cos, 53
7.2.3.Phu,o,ng tr`ınh co, ban theo tan, 53
7.2.4.Phu,o,ng tr`ınh co, ban theo cot, 54
7.3.Phu,o,ng tr`ınh lu,.o,ng gi´ac thu,`o,ng g.˘ap 54
7.3.1.Phu,o,ng tr`ınh lu,.o,ng gi´ac ¯du,a vê` d.ang ¯d.ai sô´ 54
7.3.2.Phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t ¯dô´i v´o,i sin v`a cos 55
Trang 5M uc l uc 7 7.3.3.Phu,o,ng tr`ınh ch´u,a tô,ng (hay hi.êu) v`a t´ıch cua sin v`a cos, 55
7.3.4.Phu,o,ng tr`ınh ¯d,˘ang câ´p ¯dô´i v´o,i sin va cos 56
Chu,o,ng 8 Tô,h.o,p v`a x´ac suâ´t 57
8.1.Quy t´˘ac ¯dê´m 57
8.1.1.Quy t´˘ac c.ông 57
8.1.2.Quy t´˘ac nhân 58
8.2.Ho´an v.i, ch,ınh h.o,p, tô,h.o,p 58
8.2.1.Ho´an v.i 58
8.2.2.Ch,ınh h.o,p 59
8.2.3.Tô,h.o,p 59
8.3.Nh.i th´u,c Newton 59
8.3.1 Công th´u,c nh.i th´u,c Newton 59
8.3.2.C´ac t´ınh châ´t 59
8.4.L´y thuyê´t co, b,an vê` x´ac suâ´t 60
8.4.1.Ph´ep th,u, v`a biê´n cô´ 60
8.4.2.X´ac suâ´t cua biê´n cô´, 60
Chu,o,ng 9 D˜ay sô´ 62
9.1.Phu,o,ng ph´ap quy n.ap to´an h.oc 62
9.2.D˜ay sô´ 64
9.2.1.Co, ban vê` d˜ay sô´, 64
9.2.2.C´ach cho m.ôt d˜ay sô´ 64
9.2.3.D˜ay sô´ t˘ang, d˜ay sô´ giam, 65
9.2.4.D˜ay sô´ b.i ch.˘an 65
9.3.Câ´p sô´ c.ông 65
9.3.1.Co, ban vê` câ´p sô´ c.ông, 65
9.3.2.Sô´ h.ang tô,ng qu´at 66
9.3.3.T´ınh châ´t 66
9.3.4.Tô,ng n sô´ h.ang ¯dâ`u 66
Trang 68 Sô,
tay ¯d ai sô´ v `a gi,
ai t´ıch 10-11-12
9.4.Câ´p sô´ nhân 66
9.4.1.Co, ban vê` câ´p sô´ nhân, 66
9.4.2.Sô´ h.ang tô,ng qu´at 67
9.4.3.T´ınh châ´t 67
9.4.4.Tô,ng n sô´ h.ang ¯dâ`u 67
Chu,o,ng 10 Gi´o,i h.an 68
10.1.Gi´o,i h.an cua d˜ay sô´, 68
10.1.1.Gi´o,i h.an h˜u,u h.an 68
10.1.2.Gi´o,i h.an vô c.u,c 69
10.1.3.C´ac gi´o,i h.an ¯d.˘ac bi.êt 69
10.1.4.Ð.inh l´y vê` gi´o,i h.an h˜u,u h.an 69
10.1.5.Liên h.ê gi˜u,a gi´o,i h.an h˜u,u h.an v`a vô c.u,c 69
10.1.6.Câ´p sô´ nhân l`ui vô h.an 69
10.2.Gi´o,i h.an cua h`am sô´, 70
10.2.1.Gi´o,i h.an h˜u,u h.an 70
10.2.2 Gi´o,i h.an vô c.u,c 70
10.2.3.C´ac gi´o,i h.an ¯d.˘ac bi.êt 71
10.2.4.C´ac ¯d.inh l´y vê` gi´o,i h.an h˜u,u h.an 71
10.2.5.C´ac quy t´˘ac vê` gi´o,i h.an vô c.u,c 72
10.3 H`am sô´ liên t.uc 72
10.3.1.H`am sô´ liên t.uc 72
10.3.2.C´ac ¯d.inh l´y 73
Chu,o,ng 11 Ð.ao h`am 74
11.1.C´ac l´y thuyê´t vê` ¯d.ao h`am 74
11.1.1.Ð.inh ngh˜ıa 74
11.1.2.Quy t´˘ac t´ınh ¯d.ao h`am b`˘ang ¯d.inh ngh˜ıa 74
11.1.3.Quan h.ê gi˜u,a t´ınh liên t.uc v`a s.u, c´o ¯d.ao h`am 75
11.1.4 ´Y ngh˜ıa h`ınh h.oc cua ¯d.ao h`am, 75
11.1.5 ´Y ngh˜ıa v.ât l´y cua ¯d.ao h`am, 75
Trang 7M uc l uc 9
11.2.C´ac qui t´˘ac t´ınh ¯d.ao h`am 75
11.2.1.C´ac công th´u,c 75
11.2.2.B,ang c´ac ¯d.ao h`am co, b,an 76
11.3.Vi phân 77
Chu,o,ng 12 Kh ao s´at h`am sô´, 78
12.1.T´ınh ¯dô`ng biê´n - ngh.ich biê´n cua h`am sô´, 78
12.2.C.u,c tr.i c,ua h`am sô´ 78
12.3.Gi´a tr.i l´o,n nhâ´t, nho nhâ´t c, ua h`am sô´, 79
12.3.1.C´ach t`ım gi´a tr.i l´o,n nhâ´t, gi´a tr.i nho nhâ´t trên m.ôt ¯do.an, 79 12.3.2.C´ach t`ım gi´a tr.i l´o,n nhâ´t, nho nhâ´t trên m.ôt kho, ang, 79
12.4 Ðu,`o,ng ti.êm c.ân 80
12.4.1.Ðu,`o,ng ti.êm c.ân ¯d´u,ng 80
12.4.2.Ðu,`o,ng ti.êm c.ân ngang 80
12.5.C´ac bu,´o,c kh,ao s´at h`am sô´ 80
12.5.1.So, ¯dô` khao s´at h`am sô´ y fpxq, 80
12.5.2.Tu,o,ng giao cua hai ¯dô` th.i, 81
Chu,o,ng 13 L˜uy th`u,a v`a logarit 83
13.1.L˜uy th`u,a 84
13.1.1.L˜uy th`u,a v´o,i sô´ m˜u nguyên 84
13.1.2.C˘an b.âc n 84
13.1.3.L˜uy th`u,a v´o,i sô´ m˜u h˜u,u t,ı 84
13.1.4.L˜uy th`u,a v´o,i sô´ m˜u vô t,ı 84
13.1.5.C´ac t´ınh châ´t l˜uy th`u,a 85
13.2.H`am sô´ l˜uy th`u,a 85
13.2.1.Co, b,an vê` h`am sô´ l˜uy th`u,a 85
13.2.2.T.âp x´ac ¯d.inh 85
13.2.3.Ð.ao h`am 85
13.2.4.T´ınh châ´t 85
13.2.5.Ðô` th.i 86
Trang 810 Sô,
tay ¯d ai sô´ v `a gi,
ai t´ıch 10-11-12
13.3.Logarit 86
13.3.1.Co, ban vê` logarit, 86
13.3.2.C´ac t´ınh châ´t 86
13.3.3.C´ac quy t´˘ac t´ınh 86
13.3.4.Logarit th.âp phân v`a logarit t.u, nhiên 87
13.4.H`am sô´ m˜u v`a h`am sô´ logarit 87
13.4.1.H`am sô´ m˜u 87
13.4.2.H`am sô´ logarit 88
13.5.Phu,o,ng tr`ınh m˜u v`a phu,o,ng tr`ınh logarit 88
13.5.1.Phu,o,ng tr`ınh m˜u 88
13.5.2.Phu,o,ng tr`ınh logarit 89
13.6 Bâ´t phu,o,ng tr`ınh m˜u v`a logarit 89
13.6.1.Bâ´t phu,o,ng tr`ınh m˜u 89
13.6.2.Bâ´t phu,o,ng tr`ınh logarit 90
Chu,o,ng 14 Nguyên h`am v`a t´ıch phân 91
14.1.Nguyên h`am 91
14.1.1.Nguyên h`am v`a c´ac t´ınh châ´t 91
14.1.2.Phu,o,ng ph´ap t´ınh nguyên h`am 92
14.1.3.Bang c´ac nguyên h`am co, b, ,an 92
14.2 T´ıch phân 93
14.2.1.T´ıch phân v`a c´ac t´ınh châ´t 93
14.2.2.Phu,o,ng ph´ap t´ınh t´ıch phân 94
14.2.3 ´U,ng d.ung cua t´ıch phân, 95
Chu,o,ng 15 Sô´ ph´u,c 97
15.1.Co, ban vê` sô´ ph´u,c, 97
15.2.C´ac ph´ep to´an v´o,i sô´ ph´u,c 98
15.3.Phu,o,ng tr`ınh b.âc hai v´o,i h.ê sô´ th.u,c 98
15.4.D.ang lu,.o,ng gi´ac cua sô´ ph´u,c v`a ´u,ng d.ung, 99
T`ai li.êu tham kh ao, 100
Trang 9Chu,o,ng 1
1.1 M.ênh ¯dê` 11
1.2 T.âp h.o,p 11
1.2.1 C´ac t.âp h.o,p sô´ 11
1.2.2 Phâ`n t u, c, ua t.âp h.o,p, 12
1.2.3 C´ac t.âp h.o,p con c ua R, 12
1.2.4 C´ac ph´ep to´an v´o,i t.âp h.o,p 12
1.3 Sô´ gâ`n ¯d´ung - Sai sô´ 14
1.1 M.ênh ¯dê`
1 M˜ôi m.ênh ¯dê` phai ho.˘ac ¯d´ung ho.˘ac sai.,
2 V´o,i m˜ôi gi´a tr.i cua biê´n thu.ôc m.ôt t.âp h.o,p n`ao ¯d´o, m.ênh ¯dê` ch´u,a biê´n,
tro, th`anh m.ênh ¯dê`.,
3 M.ênh ¯dê` phu ¯d.inh c, ua m.ênh ¯dê` P k´y hi.êu l`a P, P ¯d´ung khi P sai v`a, ngu,.o,c l.ai
4 M.ênh ¯dê` k´eo theo P ùñ Q ch,ı sai khi P ¯d´ung v`a Q sai
5 K´y hi.êu @ (ch˜u, A ¯dao ngu,.o,c) ¯d.oc l`a “v´o,i m.oi” hay “tâ´t c, a” xuâ´t ph´at t`u,, tiê´ng anh l`a “All”
6 K´y hi.êu D (ch˜u, E ¯d,ao ngu,.o,c) ¯d.oc l`a “tô`n t.ai” hay “c´o m.ôt” xuâ´t ph´at t`u, tiê´ng anh l`a “Exists”
1.2 T.âp h.o,p
1.2.1 C´ac t.âp h.o,p sô´
1 T.âp h.o,p c´ac sô´ th.u,c k´y hi.êu l`a R, viê´t t´˘at cua t`u, “Real” c´o ngh˜ıa l`a,
“th.u,c”
Trang 1012 Chu,o,ng 1 M ênh ¯dê` v `a t âp h o,p
2 T.âp h.o,p c´ac sô´ h˜u,u t,ı k´y hi.êu l`a Q, viê´t t´˘at cua t`u, “Quotient” trong,tiê´ng дu,c c´o ngh˜ıa l`a “h˜u,u t,ı”
3 T.âp h.o,p c´ac sô´ nguyên k´y hi.êu l`a Z, viê´t t´˘at cua t`u, “Zahlen” trong,tiê´ng дu,c c´o ngh˜ıa l`a “sô´ nguyên”
4 T.âp h.o,p c´ac sô´ t.u, nhiên k´y hi.êu l`a N, viê´t t´˘at cua t`u, “Natural” c´o ngh˜ıa,l`a “t.u, nhiên”
5 K´y hi.êu “” ¯d.oc l`a “ch´u,a trong” hay “t.âp con” Khi ¯d´o N Z Q R
1.2.2 Phâ`n t u, c , ua t.âp h.o,p ,
1 a l`a m.ôt phâ`n tu, c, ua t.âp h.o,p A viê´t l`a a P A, b không l`a phâ`n t, u, c, ua,t.âp h.o,p A viê´t l`a b R A
2 T.âp h.o,p c´o thê,c´o h˜u,u h.an ho.˘ac vô h.an phâ`n tu, T.âp h.o,p không c´o,phâ`n tu, n`ao l`a t.âp h.o,p r˜ông, k´y hi.êu l`a ∅.,
1.2.3 C´ac t.âp h.o,p con c ua R ,
1 C´ac khoang:,
1.2.4 C´ac ph´ep to´an v´o,i t.âp h.o,p
1 Giao cua hai t.âp h.o,p A v`a B l`a t.âp h.o,p gô`m c´ac phâ`n t, u, v`u,a thu.ôc,
A v`u,a thu.ôc B, k´y hi.êu AB Nhu, v.ây
A
B tx | x P A va x P Bu
Trang 111.2 T âp h o,p 13
V´ı d.u 1.2.1 A t0, 1, 2u v`a B t1, 2, 3u, khi ¯d´o AB t1, 2u
V´ı d.u 1.2.2 A p1; 1q v`a B r0; 2q, khi ¯d´o AB r0; 1q
2 H.o,p cua hai t.âp h.o,p A v`a B l`a t.âp h.o,p gô`m c´ac phâ`n t, u, ho.˘ac thu.ôc,
A ho.˘ac thu.ôc B, k´y hi.êu AB Nhu, v.ây
A
B tx | x P A ho. c x P Bu
V´ı d.u 1.2.3 A t0, 1, 2u v`a B t1, 2, 3u, khi ¯d´o AB t0, 1, 2, 3u
V´ı d.u 1.2.4 A p1; 1q v`a B r0; 2q, khi ¯d´o AB p1; 2q
3 Hi.êu cua hai t.âp h.o,p A v`a B l`a t.âp h.o,p gô`m c´ac phâ`n t, u, thu.ôc A v`a,không thu.ôc B, k´y hi.êu AzB Nhu, v.ây
AzB tx | x P A va x R Bu
Trang 1214 Chu,o,ng 1 M ênh ¯dê` v `a t âp h o,p
V´ı d.u 1.2.5 A t0, 1, 2u v`a B t1, 2, 3u, khi ¯d´o AzB t0u V´ı d.u 1.2.6 A p1; 1q v`a B r0; 2q, khi ¯d´o AzB p1; 0q.
4 Khi A B th`ı AzB g.oi l`a phâ`n b`u cua B trong A.,
5 Quan h.ê gi˜u,av`a
(a) ApBCq pABqpACq
(b) ApBCq pABqpACq
6 Công th´u,c De - Morgan1 A
B AB, v`a ngu,.o,c l.ai AB
A
B
1.3 Sô´ gâ`n ¯d´ung - Sai sô´
Cho a l`a sô´ gâ`n ¯d´ung cua sô´ ch´ınh x´ac a, khi ¯d´o,
1 ∆a |a a| g.oi l`a sai sô´ tuy.êt ¯dô´i cua sô´ gâ`n ¯d´ung a.,
2 Nê´u ∆a ¤ d th`ı d ¯du,.o,c g.oi l`a ¯d.ô ch´ınh x´ac cua sô´ gâ`n ¯d´ung a v`a quy,u,´o,c viê´t g.on l`a a a d
3 C´ach viê´t quy tr`on sô´ gâ`n ¯d´ung c˘an c´u, v`ao ¯d.ô ch´ınh x´ac cho tru,´o,c:Cho sô´ gâ`n ¯d´ung a v´o,i ¯d.ô ch´ınh x´ac d (t´u,c l`a a a d), khi ¯du,.o,cyêu câ`u quy tr`on sô´ a m`a không n´oi r˜o quy tr`on ¯dê´n h`ang n`ao th`ı taquy tr`on a ¯dê´n h`ang cao nhâ´t m`a d nh,o ho,n m.ôt ¯do,n v.i cua h`ang ¯d´o.,
1 Augustus De Morgan (1806-1871) l`a nh`a to´an h.oc v`a lôgic h.oc ngu,`o,i Anh sinh tru, o,ng t.ai ´Ân Ð.ô Ð.inh l´y De Morgan l`a tiê`n ¯dê` co, b, an cho s.u, ph´at triê, ,n c ua ng`anh m´ay,t´ınh v`ı ch,ı câ`n c´o hai cô,ng ¯di.ên to´an - cô,ng ¯d ao dâ´u (NOT gate) v`a cô, ,ng v`a (AND gate)
ch,˘ang h.an - th`ı ngu,`o,i ta c´o thê,thiê´t l.âp nên bâ´t k`ı m.ôt ph´ep to´an lô gic n`ao b`˘ang tô,h.o,p c ua hai cô, ,ng ¯di.ên to´an trên.
Trang 13Chu,o,ng 2
H `AM S ´Ô B ÂC NH ´ÂT
V `A B ÂC HAI
2.1 Kh´ai ni.êm co, b an vê` h`am sô´, 15
2.1.1 ´Anh x.a 15
2.1.2 Kh´ai ni.êm h`am sô´ 16
2.1.3 Ðô` th.i c ua h`am sô´, 17
2.1.4 C´ac t´ınh châ´t co, b,an c ua h`am sô´, 17
2.2 H`am sô´ b.âc nhâ´t 18
2.2.1 H`am sô´ b.âc nhâ´t 18
2.2.2 H`am sô´ h`˘ang y b v´o,i b P R 18
2.2.3 H`am sô´ y |x| 19
2.3 H`am sô´ b.âc hai 19
2.3.1 Co, b an vê` h`am sô´ b.âc hai, 19
2.3.2 Ðô` th.i 19
2.3.3 B ang biê´n thiên, 20
2.3.4 C´ach v˜e ¯dô` th.i 20
2.1.1 ´Anh x.a
1 ´Anh x.a Cho X v`a Y l`a c´ac t.âp h.o,p kh´ac r˜ông M.ôt ´anh x.a t`u, X ¯dê´n
Y (k´y hi.êu l`a f) l`a m.ôt quy t´˘ac cho tu,o,ng ´u,ng m˜ôi phâ`n tu, x c, ua X, v´o,i m.ôt v`a ch,ı m.ôt phâ`n tu, y c, ua Y ,
Trang 1416 Chu,o,ng 2 H `am sô´ b âc nhâ´t v `a b âc hai
f : X ÝÑ Y
xÞÝÑ fpxq y
• y fpxq g.oi l`a ,anh cua,
phâ`n tu, x qua ´anh x.a f.,
• X g.oi l`a t.âp nguô`n
• Y g.oi l`a t.âp ¯d´ıch
Khi ¯d´o, ´anh x.a biê´n x P X th`anh z P Z g.oi l`a ´anh x.a t´ıch t`u, X ¯dê´n
Z qua f v`a g, k´y hi.êu l`a g f, nhu, v.ây
g f : X ÝÑ Z
xÞÝÑ pg fqpxq grfpxqs gpyq z P Z
g fX
2.1.2 Kh´ai ni.êm h`am sô´
1 M.ôt h`am sô´ l`a m.ôt ´anh x.a t`u, X R ¯dê´n Y R X´et h`am sô´ f nhu,sau
f : X ÝÑ Y
Trang 152.1 Kh ´ai ni êm co,b an vê` h `am sô´, 17
xÞÝÑ fpxq y P Ytrong ¯d´o
• x g.oi l`a biê´n sô´ hay ¯dô´i sô´ cua h`am f.,
• y fpxq g.oi l`a gi´a tr.i c,ua h`am sô´ f t.ai gi´a tr.i x cua biê´n sô´.,
• X g.oi l`a t.âp x´ac ¯d.inh cua h`am f.,
• Y g.oi l`a t.âp gi´a tr.i cua h`am f.,
2 M.ôt h`am sô´ c´o thê,¯du,.o,c cho b`˘ang: B,ang; biê,u ¯dô`; công th´u,c hay ¯dô`th.i
3 Khi h`am sô´ ¯du,.o,c cho b`˘ang công th´u,c m`a không ch,ı r˜o t.âp x´ac ¯d.inhth`ı ta quy u,´o,c t.âp x´ac ¯d.inh D c,ua h`am sô´ y fpxq l`a t.âp h.o,p tâ´t c,ac´ac ô´ th.u,c x sao cho biê,u th´u,c fpxq c´o ngh˜ıa
V´ı d.u 2.1.2 T.âp x´ac ¯d.inh cua h`am sô´ y fpxq , 1
x 1 l`a D Rzt1u.
2.1.3 Ðô` th.i c ua h`am sô´ ,
Trong h.ê tr.uc Oxy, ¯dô` th.i cua h`am sô´ y fpxq l`a t.âp h.o,p nh˜u,ng,
¯diê,m Mpa; bq, trong ¯d´o a thu.ôc t.âp x´ac ¯d.inh cua h`am sô´ v`a b fpaq.,
2.1.4 C´ac t´ınh châ´t co, b an c , ua h`am sô´ ,
1 T´ınh ¯do,n ¯di.êu
(a) H`am sô´ y fpxq g.oi l`a ¯dô`ng biê´n (hay t˘ang) trên khoang pa; bq,nê´u
@x1, x2 P pa; bq sao cho x1 x2 th fpx1q fpx2q
(b) H`am sô´ y fpxq g.oi l`a ngh.ich biê´n (hay gi,am) trên khoang,pa; bq nê´u
@x1, x2 P pa; bq sao cho x1 x2 th fpx1q ¡ fpx2q
2 T´ınh ch,˘an le,
(a) H`am sô´ y fpxq v´o,i t.âp x´ac ¯d.inh D (viê´t t´˘at cua t`u, “domain”,ngh˜ıa l`a “x´ac ¯d.inh”) g.oi l`a h`am sô´ ch˜˘an nê´u
@x P D th x P D va fpxq fpxq
Trang 1618 Chu,o,ng 2 H `am sô´ b âc nhâ´t v `a b âc hai
Ðô` th.i h`am sô´ ch˜˘an nh.ân tr.uc tung Oy l`am tr.uc ¯dô´i x´u,ng.(b) H`am sô´ y fpxq v´o,i t.âp x´ac ¯d.inh D g.oi l`a h`am sô´ le nê´u,
@x P D th x P D va fpxq fpxqÐô` th.i cua h`am sô´ l, ,e nh.ân gô´c t.oa ¯d.ô O l`am tâm ¯dô´i x´u,ng
Ch´u ´y: C´o nh˜u,ng h`am sô´ không ch˜˘an m`a c˜ung không le, v´ı d.u h`am,
y x 1
2.2 H`am sô´ b.âc nhâ´t
2.2.1 H`am sô´ b.âc nhâ´t
1 H`am sô´ b.âc nhâ´t c´o d.ang y ax b v´o,i a 0
2 T.âp x´ac ¯d.inh D R
3 B,ang biê´n thiên
a¡ 0x
2.2.2 H`am sô´ h`˘ang y b v´o,i b P R
1 T.âp x´ac ¯d.inh D R
2 H`am sô´ h`˘ang l`a h`am sô´ ch˜˘an
3 Ðô` th.i l`a m.ôt ¯du,`o,ng th,˘ang song song ho.˘ac tr`ung v´o,i tr.uc ho`anh v`ac´˘at tr.uc tung t.ai ¯diê,m c´o t.oa ¯d.ô p0; bq
Trang 172.3 H `am sô´ b âc hai 19
2.2.3 H`am sô´ y |x|
1 T.âp x´ac ¯d.inh D R
2 H`am sô´ y |x| l`a h`am sô´ ch˜˘an
3 H`am sô´ ¯dô`ng biê´n trên khoang p0; 8q v`a ngh.ich biê´n trên kho, ang,p8; 0q
2.3 H`am sô´ b.âc hai
2.3.1 Co, b an vê` h`am sô´ b.âc hai ,
H`am sô´ b.âc hai y ax2 bx cv´o,i a 0 c´o t.âp x´ac ¯d.inh D R
∆
4a
O
b2a
H`ınh 2.2: Parabol y ax2
bx cv´o,i a 0
Trang 1820 Chu,o,ng 2 H `am sô´ b âc nhâ´t v `a b âc hai
2.3.3 B ang biê´n thiên ,
a 0x
2.3.4 C´ach v˜e ¯dô` th.i
Ðê,v˜e ¯du,`o,ng parabol y ax2 bx c, a 0 ta th.u,c hi.ên c´ac bu,´o,csau
1 X´ac ¯d.inh t.oa ¯d.ô ¯d,ınh l`a ¯diê,m I
b2a;
Trang 19Chu,o,ng 3
3.1 Ð.ai cu,o,ng vê` phu,o,ng tr`ınh 21
3.1.1 C´ac kh´ai ni.êm co, b an, 21
3.1.2 Phu,o,ng tr`ınh tu,o,ng ¯du,o,ng v`a phu,o,ng tr`ınh h.ê qu,a 22
3.1.3 Biê´n ¯dô,i tu,o,ng ¯du,o,ng c´ac phu,o,ng tr`ınh 22
3.2 Phu,o,ng tr`ınh qui vê` b.âc nhâ´t, b.âc hai 23
3.2.1 Gi ai v`a bi.ên lu.ân phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t, 23
3.2.2 Gi ai v`a bi.ên lu.ân phu,o,ng tr`ınh b.âc hai, 23
3.2.3 Ð.inh l´y vê` tô,ng v`a t´ıch hai nghi.êm c ua phu,o,ng tr`ınh b.âc hai, 24
3.2.4 Phu,o,ng tr`ınh tr`ung phu,o,ng 24
3.2.5 Phu,o,ng tr`ınh ch´u,a dâ´u gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i 24
3.2.6 Phu,o,ng tr`ınh ch´u,a dâ´u c˘an th´u,c 25
3.3 Phu,o,ng tr`ınh, h.ê phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t nhiê`u â,n 27
3.3.1 Phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t hai â,n 27
3.3.2 H.ê hai phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t 2 â,n 27
3.3.3 D.ang tam gi´ac c,ua h.ê 3 phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t ba â,n 27
3.3.4 H.ê ba phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t 3 â,n 28
3.3.5 M.ôt sô´ h.ê phu,o,ng tr`ınh kh´ac 28
3.1 Ð.ai cu,o,ng vê` phu,o,ng tr`ınh
3.1.1 C´ac kh´ai ni.êm co, b an ,
1 Phu,o,ng tr`ınh â,n x l`a m.ôt m.ênh ¯dê` ch´u,a biê´n c´o d.ang fpxq gpxq, trong ¯d´o fpxq v`a gpxq l`a c´ac biê,u th´u,c cua x.,
2 Ðiê`u ki.ên x´ac ¯d.inh cua phu,o,ng tr`ınh l`a c´ac ¯diê`u ki.ên c, ua biê´n x sao, cho c´ac biê,u th´u,c trong phu,o,ng tr`ınh ¯dê`u c´o ngh˜ıa
3 Nghi.êm cua phu,o,ng tr`ınh l`a gi´a tr.i x, 0 cua biê´n sô´ (hay â, ,n sô´) sao cho
Trang 2022 Chu,o,ng 3 Phu,o,ng tr`ınh v `a h ê phu,o,ng tr`ınh
ốd,˘ang thƠu,c fpx0q gpx0q ốdƠung
4 Giai m.ôt phu,o,ng tr`ınh l`a t`ım tâƠt c, ,a cƠac nghi.êm cua nƠo.,
5 Giai v`a bi.ên lu.ân phu,o,ng tr`ınh l`a xƠet xem vƠo,i giƠa tr.i n`ao c, ua tham sôƠ,(sôƠ không ốdu,.o,c xƠac ốd.inh c.u thê,) th`ı phu,o,ng tr`ınh cƠo nghi.êm v`a cƠo baonhiêu nghi.êm
VƠı d.u 3.1.1 XƠet phu,o,ng tr`ınh 3x2 pm 1qx 4 mx 2 th`ı
Ớ x l`a â,n sôƠ
Ớ m l`a tham sôƠ
3.1.2 Phu,o,ng tr`ınh tu,o,ng ốdu,o,ng v`a phu,o,ng tr`ınh h.ê qu a ,
1 Hai phu,o,ng tr`ınh fpxq gpxq v`a f1pxq g1pxq g.oi l`a tu,o,ng ốdu,o,ngnêƠu chƠung cƠo t.âp nghi.êm b`˘ang nhau (cƠo thê,rỊông), kƠy hi.êu
fpxq gpxq đự f1pxq g1pxq
2 NêƠu mỊôi nghi.êm cua phu,o,ng tr`ınh fpxq gpxq cỊung l`a nghi.êm c, ua,phu,o,ng tr`ınh hpxq kpxq th`ı ta nƠoi phu,o,ng tr`ınh hpxq kpxq l`aphu,o,ng tr`ınh h.ê qua c, ua phu,o,ng tr`ınh fpxq gpxq, kƠy hi.êu,
fpxq gpxq ùự hpxq kpxq
ch,˘ang h.an, vƠo,i sôƠ nguyên du,o,ng n t`uy Ơy ta cƠo fpxq gpxq ùựrfpxqsn rgpxqsn Phu,o,ng tr`ınh h.ê qu,a cƠo thê,cƠo nghi.êm ngo.ai lai,không phai l`a nghi.êm c, ua phu,o,ng tr`ınh ban ốdâ`u MuôƠn lo.ai nghi.êm,ngo.ai lai ta phai th, u, l.ai v`ao phu,o,ng tr`ınh ban ốdâ`u.,
3 Ngo`ai cƠac phu,o,ng tr`ınh m.ôt â,n c`on cƠo cƠac phu,o,ng tr`ınh nhiê`u â,n.Nghi.êm cua m.ôt phu,o,ng tr`ınh 2 â, ,n x, y l`a m.ôt c.˘ap sôƠ th.u,c x0, y0
thoa mỊan phu,o,ng tr`ınh ốdƠo, c`on nghi.êm c, ua m.ôt phu,o,ng tr`ınh 3 â, ,n
x, y, z l`a m.ôt b.ô 3 sôƠ th.u,c x0, y0, z0 thoa mỊan phu,o,ng tr`ınh ốdƠo, ,
3.1.3 BiêƠn ốdô , i tu,o,ng ốdu,o,ng cƠac phu,o,ng tr`ınh
NêƠu th.u,c hi.ên cƠac phƠep biêƠn ốdô,i sau ốdây trên m.ôt phu,o,ng tr`ınh m`akhông l`am thay ốdô,i ốdiê`u ki.ên xƠac ốd.inh cua nƠo th`ı ta ốdu,.o,c m.ôt phu,o,ng,
Trang 213.2 Phu,o,ng tr`ınh qui vê` b âc nhâƠt, b âc hai 23tr`ınh mƠo,i tu,o,ng ốdu,o,ng:
1 C.ông hay tr`u, hai vêƠ vƠo,i c`ung m.ôt sôƠ hay c`ung m.ôt biê,u thƠu,c
fpxq gpxq đự fpxq A gpxq A
2 Nhân ho.˘ac chia hai vêƠ vƠo,i c`ung m.ôt sôƠ khƠac 0 ho.˘ac vƠo,i c`ung m.ôt biê,uthƠu,c luôn cƠo giƠa tr.i khƠac 0
fpxq gpxq đự fpxq.A gpxq.A pvo,i A 0q
3.2 Phu,o,ng tr`ınh qui vê` b.âc nhâƠt, b.âc hai
3.2.1 Gi ai v`a bi.ên lu.ân phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâƠt ,
1 NêƠu a 0 th`ı phu,o,ng tr`ınh (3.1) g.oi l`a phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâƠt v`a nƠocƠo nghi.êm duy nhâƠt x ab
2 NêƠu a 0 ta xƠet 2 tru,`o,ng h.o,p
(a) VƠo,i b 0 th`ı phu,o,ng tr`ınh (3.1) vô nghi.êm
(b) VƠo,i b 0 th`ı phu,o,ng tr`ınh (3.1) nghi.êm ốdƠung vƠo,i m.oi x P R
3.2.2 Gi ai v`a bi.ên lu.ân phu,o,ng tr`ınh b.âc hai ,
Bi.êt thƠu,c
∆¡ 0 Phu,o,ng tr`ınh (3.2) cƠo 2 nghi.êm x1,2 b
?
∆2a
∆ 0 Phu,o,ng tr`ınh (3.2) cƠo nghi.êm kƠep x 2ab
∆ 0 Phu,o,ng tr`ınh (3.2) vô nghi.êm
Trang 2224 Chu,o,ng 3 Phu,o,ng tr`ınh v `a h ê phu,o,ng tr`ınh
3.2.3 Ð.inh l´y vê` tô , ng v`a t´ıch hai nghi.êm c ua phu,o,ng ,
tr`ınh b.âc hai
G.oi t´˘at l`a ¯d.inh l´y Vi´et1, ph´at biê,u nhu, sau:
Nê´u phu,o,ng tr`ınh (3.2) c´o 2 nghi.êm x1, x2 th`ı
3.2.4 Phu,o,ng tr`ınh tr`ung phu,o,ng
C´o d.ang ax4 bx c 0, a 0, giai b`˘ang c´ach ¯d.˘at t x, 2, pt ¥ 0q
¯dê,¯du,a vê` phu,o,ng tr`ınh b.âc hai
3.2.5 Phu,o,ng tr`ınh ch´u,a dâ´u gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i
1 Khu, dâ´u gi´a tr.i tuy.êt ¯dô´i b`˘ang ¯d.inh ngh˜ıa,
¯dê,thê,hi.ên cho c´ac â,n sô´ c ua m.ôt phu,o,ng tr`ınh Ông c˜ung kh´am ph´a ra mô´i quan h.ê,gi˜u,a c´ac nghi.êm c ua m.ôt ¯da th´u,c v´o,i c´ac h.ê sô´ c, ua ¯da th´u,c ¯d´o, ng`ay nay ¯du,.o,c g.oi l`a,
¯d.inh l´y Vi`ete.
Trang 233.2 Phu,o,ng tr`ınh qui vê` b âc nhâ´t, b âc hai 25
3.2.6 Phu,o,ng tr`ınh ch´u,a dâ´u c˘an th´u,c
1 Phu,o,ng ph´ap chung l`a b`ınh phu,o,ng 2 vê´ ¯dê,khu, dâ´u c˘an th´u,c, ch´u ´y,
ph,ai x´et ¯diê`u ki.ên ca hai vê´ ¯dê`u ph, ai không âm.,
4 Phu,o,ng ph´ap ¯dô,i biê´n sô´:
(a) C´o thê,biê´n ¯dô,i nhu, chia ca hai vê´ cho c`ung m.ôt biê, ,u th´u,c kh´ac
0 rô`i m´o,i ¯dô,i biê´n sô´
V´ı d.u 3.2.1 Giai phu,o,ng tr`ınh x 1, ?x2 4x 1 3?x.Hu,´o,ng d˜ân
Nê´u x ¡ 0, chia ca hai vê´ c, ua phu,o,ng tr`ınh cho, ?xta ¯du,.o,c
?
x ?1x
c
x 4 3T`u, ¯d´o ta ¯d.˘at t ?x ?1
Ðiê`u ki.ên: x ¥ 3
2
Trang 2426 Chu,o,ng 3 Phu,o,ng tr`ınh v `a h ê phu,o,ng tr`ınh
Trang 253.3 Phu,o,ng tr`ınh, h ê phu,
o,ng tr`ınh b âc nhâ´t nhiê`u â,
3.3 Phu,o,ng tr`ınh, h.ê phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t
nhiê`u â , n
3.3.1 Phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t hai â , n
C´o d.ang ax by c, trong ¯d´o a, b, c l`a c´ac sô´ th.u,c, a, b không ¯dô`ngth`o,i b`˘ang 0, x, y l`a 2 â,n
3.3.2 H.ê hai phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t 2 â , n
Trang 2628 Chu,o,ng 3 Phu,o,ng tr`ınh v `a h ê phu,o,ng tr`ınh
3.3.4 H.ê ba phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t 3 â , n
3.3.5 M.ôt sô´ h.ê phu,o,ng tr`ınh kh´ac
1 H.ê phu,o,ng tr`ınh hai â,n ¯dô´i x´u,ng d.ang 1:
V´ı d.u 3.3.1 Giai h.ê phu,o,ng tr`ınh,
#
x2y xy2 30
x3 y3 35C´ach giai: Biê´n ¯dô, ,i xuâ´t hi.ên tô,ng S x y v`a t´ıch P xy ¯du,a vê`h.ê theo S v`a P ¯dê,giai.,
2 H.ê phu,o,ng tr`ınh hai â,n ¯dô´i x´u,ng d.ang 2:
V´ı d.u 3.3.2 Gi,ai h.ê phu,o,ng tr`ınh
#
x3 3x 8y
y3 3y 8xC´ach giai: Tr`u, t`u,ng vê´ hai phu,o,ng tr`ınh ¯dê, ,¯du,a vê` phu,o,ng tr`ınh t´ıch
3 H.ê phu,o,ng tr`ınh hai â,n ¯d,˘ang câ´p b.âc hai:
V´ı d.u 3.3.3 Giai h.ê phu,o,ng tr`ınh,
#3x2 2xy y2 11
x2 2xy 3y2 17C´ach giai: Nê´u y 0 th`ı th, u, tr.u,c tiê´p Nê´u y 0 th`ı ¯d.˘at y kx rô`i,
2 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) l`a m.ôt nh`a to´an h.oc v`a nh`a khoa h.oc ngu,`o,i дu,c t`ai n˘ang, ngu,`o,i ¯d˜a c´o nhiê`u ¯d´ong g´op l´o,n cho c´ac l˜ınh v.u,c khoa h.oc, nhu, l´y thuyê´t sô´,
gi ai t´ıch, h`ınh h.oc vi phân, khoa tr´˘ac ¯d.ia, t`u, h.oc, thiên v˘an h.oc v`a quang h.oc Ông ¯du,.o,c,m.ênh danh l`a “ho`ang t u, c, ua c´ac nh`a to´an h.oc” V´o,i, anh hu,, o,ng sâu s´˘ac cho s.u, ph´at,triê,n c ua to´an h.oc v`a khoa h.oc, Gauss ¯du,.o,c xê´p ngang h`ang c`ung Leonhard Euler, Isaac,Newton v`a Archimedes nhu, l`a nh˜u,ng nh`a to´an h.oc v˜ı ¯d.ai nhâ´t c,ua l.ich s,u,.
Trang 273.3 Phu,o,ng tr`ınh, h ê phu,
o,ng tr`ınh b âc nhâ´t nhiê`u â,
thay v`ao h.ê
Trang 28Chu,o,ng 4
4.1 BâƠt ốd ˘ang thƠu,c, 30
4.1.1 Đ.inh nghỊıa 30 4.1.2 CƠac tƠınh châƠt bâƠt ốd ˘ang thƠu,c co, b, an, 31 4.1.3 BâƠt ốd,˘ang thƠu,c chƠu,a dâƠu giƠa tr.i tuy.êt ốdôƠi 31 4.1.4 BâƠt ốd,˘ang thƠu,c Cauchy 31 4.1.5 BâƠt ốd,˘ang thƠu,c Bunhiacopski 32 4.1.6 GiƠa tr.i lƠo,n nhâƠt, nh o nhâƠt c, ua m.ôt h`am sôƠ, 33
4.2 BâƠt phu,o,ng tr`ınh v`a h.ê bâƠt phu,o,ng tr`ınh m.ôt â,n 33
4.2.1 Điê`u ki.ên c ua m.ôt bâƠt phu,o,ng tr`ınh, 33 4.2.2 Hai bâƠt phu,o,ng tr`ınh (h.ê bâƠt phu,o,ng tr`ınh) tu,o,ng ốdu,o,ng 33 4.2.3 CƠac phƠep biêƠn ốdô,i bâƠt phu,o,ng tr`ınh 33 4.2.4 ChƠu Ơy 34
4.3 DâƠu c ua nh.i thƠu,c b.âc nhâƠt, 34 4.4 BâƠt phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâƠt 2 â,n 34
4.4.1 BâƠt phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâƠt 2 â,n 34 4.4.2 H.ê bâƠt phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâƠt 2 â,n 35 4.4.3 B`ai toƠan tôƠi u,u trong kinh têƠ 35
4.5 DâƠu c ua tam thƠu,c b.âc hai, 36
4.5.1 Đ.inh lƠy vê` dâƠu c ua tam thƠu,c b.âc hai, 36 4.5.2 M.ôt sôƠ ốdiê`u ki.ên tu,o,ng ốdu,o,ng 36
4.1 BâƠt ốd ˘ang thƠu,c ,
4.1.1 Đ.inh nghỊıa
A ấ B đự A B ấ 0
Trang 294.1 BâƠt ốd,
A B đự A B 0
4.1.2 CƠac tƠınh châƠt bâƠt ốd , ˘ang thƠu,c co, b an ,
1 BƠ˘ac câ`u: NêƠu a b v`a b c th`ı a c
2 C.ông hai vêƠ bâƠt ốd,˘ang thƠu,c vƠo,i m.ôt sôƠ: a b đự a c b c
3 Nhân hai vêƠ bâƠt ốd,˘ang thƠu,c vƠo,i m.ôt sôƠ:
4.1.4 BâƠt ốd , ˘ang thƠu,c Cauchy
BâƠt ốd,˘ang thƠu,c Cauchy1phƠat biê,u nhu, sau
1 Augustin Louis Cauchy (ốdôi khi tên h.o ốdu,.o,c viêƠt l`a Cô-si) l`a m.ôt nh`a toƠan h.oc ngu,`o,i PhƠap sinh ng`ay 21 thƠang 8 n˘am 1789 t.ai Paris v`a mâƠt ng`ay 23 thƠang 5 n˘am 1857 cỊung t.ai Paris Công tr`ınh lƠo,n nhâƠt c ua ông l`a lƠy thuyêƠt h`am sôƠ vƠo,i â, ,n sôƠ t.ap Ông cỊung ốdƠong gƠop râƠt nhiê`u trong lỊınh v.u,c toƠan tƠıch phân v`a toƠan vi phân Ông ốdỊa ốd.˘at ra nhỊu,ng tiêu
Trang 3032 Chu,o,ng 4 Bâ´t ¯d,
˘ang th ´u,c v `a bâ´t phu,o,ng tr`ınh
1 Cho 2 sô´ không âm:
V´o,i 2 sô´ th.u,c a, b ¥ 0 th`ı trung b`ınh c.ông luôn l´o,n ho,n ho.˘ac b`˘angtrung b`ınh nhân, t´u,c l`a a b
2 ¥?ab, c´o dâ´u “=” khi a b
2 Cho 3 sô´ không âm:
V´o,i a, b, c ¥ 0 th`ı a b c
3 ¥?3
abc, c´o dâ´u “=” khi a b c
3 Bâ´t ¯d,˘ang th´u,c Cauchy c´o thê,mo, r.ông cho n sô´ th.u,c không âm.,
4.1.5 Bâ´t ¯d ˘ang th´u,c Bunhiacopski ,
Bâ´t ¯d,˘ang th´u,c Bunhiacopski2 c`on g.oi l`a bâ´t ¯d,˘ang th´u,c Cauchy Schwartz3, ph´at biê,u nhu, sau:
-1 Cho 2 c.˘ap sô´:
V´o,i 2 c.˘ap sô´ th.u,c px1, y1q v`a px2, y2q th`ı
px1y1 x2y2q2 ¤ px2
1 x22qpy2
1 y22qdâ´u “=” xay ra khi, x1
y1 x2
y2 v´o,i quy u,´o,c x1 0 th`ı y1 0, x2 0th`ı y2 0
2 Cho n c.˘ap sô´:
V´o,i n c.˘ap sô´ th.u,c px1, y1q, px2, y2q v`a pxn, ynq th`ı
px1y1 x2y2 xnynq2 ¤ px2
1 x22 x2nqpy2
1 y22 yn2qdâ´u “=” xay ra khi, x1
y1 x2
y2 xn
yn v´o,i quy u,´o,c x1 0 th`ı
y1 0, x2 0 th`ı y2 0, , xn 0 th`ı yn 0
chuâ,n Cauchy ¯dê,nghiên c´u,u vê` s.u, h.ôi t.u c ua c´ac d˜ay trong to´an h.oc.,
2 Victor Yakovlevich Bunyakovsky (1804-1889) l`a nh`a to´an h.oc ngu,`o,i Nga T´ac phâ,m
to l´o,n c ua ông l`a “Co, s, o, c, ua l´y thuyê´t x´ac suâ´t” (1846) trong ¯d´o c´o nhiê`u phâ`n ¯d.ôc ¯d´ao,,nhâ´t l`a phâ`n l.ich s,u, ph´at sinh v`a ph´at triê,n môn x´ac suâ´t, phâ`n ´u,ng d.ung quan tr.ong
c ua x´ac suâ´t trong vâ´n ¯dê` b, ,ao hiê,m v`a dân sô´.
3 Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) l`a m.ôt nh`a to´an h.oc ngu,`o,i дu,c, nô,i tiê´ng v´o,i công tr`ınh vê` gi ai t´ıch ph´u,c.,
Trang 314.2 Bâ´t phu,o,ng tr`ınh v `a h ê bâ´t phu,
o,ng tr`ınh m ôt â,
4.1.6 Gi´a tr.i l´o,n nhâ´t, nh o nhâ´t c , ua m.ôt h`am sô´ ,
X´et h`am sô´ y fpxq v´o,i t.âp x´ac ¯d.inh D, ta ¯d.inh ngh˜ıa:
4.2.1 Ðiê`u ki.ên c ua m.ôt bâ´t phu,o,ng tr`ınh ,
- L`a ¯diê`u ki.ên m`a â,n sô´ ph,ai thoa m˜an ¯dê, ,c´ac biê,u th´u,co, hai vê´ c, ua,bâ´t phu,o,ng tr`ınh c´o ngh˜ıa
4.2.2 Hai bâ´t phu,o,ng tr`ınh (h.ê bâ´t phu,o,ng tr`ınh) tu,o,ng
¯du,o,ng
- Hai bâ´t phu,o,ng tr`ınh (h.ê bâ´t phu,o,ng tr`ınh) ¯du,.o,c g.oi l`a tu,o,ng ¯du,o,ngv´o,i nhau nê´u ch´ung c´o c`ung t.âp nghi.êm
4.2.3 C´ac ph´ep biê´n ¯dô , i bâ´t phu,o,ng tr`ınh
K´ı hi.êu D l`a t.âp c´ac sô´ th.u,c thoa m˜an ¯diê`u ki.ên c, ua bâ´t phu,o,ng tr`ınh,
Trang 32Nh.i th´u,c b.âc nhâ´t â,n x c´o d.ang fpxq ax b trong ¯d´o a, b P
c`ung dâ´uv´o,i a
4.4.1 Bâ´t phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t 2 â , n
1 C´o d.ang
2 Biê,u di˜ên t.âp nghi.êm nhu, sau:
(a) Trên m.˘at ph,˘ang t.oa ¯d.ô Oxy, v˜e ¯du,`o,ng th,˘ang p∆q : ax by c.(b) Lâ´y m.ôt ¯diê,m M0px0; y0q R p∆q (ta thu,`o,ng lâ´y gô´c t.oa ¯d.ô O)(c) T´ınh ax0 by0 v`a so s´anh ax0 by0 v´o,i c
Trang 334.4 Bâ´t phu,o,ng tr`ınh b âc nhâ´t 2 â,
(d) Kê´t lu.ân:
- Nê´u ax0 by0 c th`ı nu,a m.˘at ph, ,˘ang b`o, p∆q ch´u,a M0 l`a miê`nnghi.êm cua ax, 0 by0 ¤ c
- Nê´u ax0 by0 ¡ c th`ı nu,a m.˘at ph, ,˘ang b`o, p∆q không ch´u,a M0
l`a miê`n nghi.êm c,ua ax0 by0 ¤ c
3 Bo b`o, miê`n nghi.êm c, ua bâ´t phu,o,ng tr`ınh (, 4.1) ta ¯du,.o,c miê`n nghi.êm
cua bâ´t phu,o,ng tr`ınh ax by c Miê`n nghi.êm c, ua c´ac bâ´t phu,o,ng,tr`ınh ax by ¥ c v`a ax by ¡ c ¯du,.o,c x´ac ¯d.inh tu,o,ng t.u,
4.4.2 H.ê bâ´t phu,o,ng tr`ınh b.âc nhâ´t 2 â , n
1 C´o d.ang
"
a1x b1y ¤ c1
a2x b2y ¤ c2
2 Biê,u di˜ên h`ınh h.oc nhu, sau:
(a) V˜e c´ac ¯du,`o,ng th,˘ang p∆1q : a1x b1y c1v`a p∆2q : a2x b2y
c2
(b) Biê,u di˜ên miê`n nghi.êm cua m˜ôi bâ´t phu,o,ng tr`ınh v`a t`ım giao c, ua,ch´ung
4.4.3 B`ai to´an tô´i u,u trong kinh tê´
1 L`a b`ai to´an t`ım gi´a tr.i l´o,n nhâ´t (ho.˘ac nho nhâ´t) c, ua c´ac biê, ,u th´u,c c´od.ang F ax by, trong ¯d´o x, y nghi.êm ¯d´ung m.ôt h.ê bâ´t phu,o,ngtr`ınh b.âc nhâ´t 2 â,n cho tru,´o,c
2 C´ach giai:,
(a) V˜e miê`n nghi.êm cua h.ê bâ´t phu,o,ng tr`ınh ¯d˜a cho.,
(b) Miê`n nghi.êm nh.ân ¯du,.o,c thu,`o,ng l`a m.ôt miê`n ¯da gi´ac T´ınh gi´a tr.i
cua F ´u,ng v´o,i px, 0, y0q l`a t.oa ¯d.ô c´ac ¯d,ınh cua miê`n ¯da gi´ac n`ay,rô`i so s´anh c´ac kê´t qua t`u, ¯d´o suy ra gi´a tr.i l´o,n nhâ´t hay gi´a tr.i,
nho nhâ´t c, ua biê, ,u th´u,c
Trang 3436 Chu,o,ng 4 BâƠt ốd,
˘ang th Ơu,c v `a bâƠt phu,o,ng tr`ınh
4.5.1 Đ.inh lƠy vê` dâƠu c ua tam thƠu,c b.âc hai ,
XƠet tam thƠu,c b.âc hai fpxq ax2 bx c vƠo,i a 0, ốd.˘at ∆
b2 4ac, khi ốdƠo
1 NêƠu ∆ 0 th`ı dâƠu c,ua tam thƠu,c nhu, sau
x
ax2 bx c
c`ung dâƠu vƠo,i a
2 NêƠu ∆ 0 th`ı dâƠu c,ua tam thƠu,c nhu, sau
c`ung dâƠuvƠo,i a
3 NêƠu ∆ ¡ 0 th`ı fpxq cƠo hai nghi.êm x1 x2, khi ốdƠo dâƠu cua tam thƠu,c,nhu, sau
x
ax2 bx c
c`ung dâƠuvƠo,i a 0 tr Ơai dâ
ƠuvƠo,i a 0 c `ung dâ
ƠuvƠo,i a
4.5.2 M.ôt sôƠ ốdiê`u ki.ên tu,o,ng ốdu,o,ng
NêƠu ax2 bx cl`a m.ôt tam thƠu,c b.âc hai (a 0) th`ı
1 ax2 bx c 0 cƠo nghi.êm đự ∆ b2 4ac ầ 0
2 ax2 bx c 0 cƠo 2 nghi.êm trƠai dâƠu đự ca 0
3 ax2 bx c 0 cƠo cƠac nghi.êm ốdê`u du,o,ng đự
$'
Trang 354.5 DâƠu c,
4 ax2 bx c 0 cƠo cƠac nghi.êm ốdê`u âm đự
$'
Trang 36Chu,o,ng 5
TH ´ÔNG KÊ
5.1 B ang phân bô´ tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t, 38
5.1.1 Tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t c ua m.ôt gi´a tr.i, 38 5.1.2 Tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t c ua m.ôt l´o,p, 38
5.2 Sô´ trung b`ınh c.ông 39
5.2.1 Sô´ trung b`ınh c.ông 39 5.2.2 Sô´ trung v.i 39 5.2.3 Mô´t 40 5.2.4 Ch.on ¯d.ai di.ên cho c´ac sô´ li.êu thô´ng kê 40
5.3 Phu,o,ng sai v`a ¯d.ô l.êch chuâ,n 40
5.3.1 Công th´u,c t´ınh phu,o,ng sai 40 5.3.2 ´Y ngh˜ıa v`a c´ach s,u, d.ung phu,o,ng sai 41 5.3.3 Ð.ô l.êch chuâ,n 41
5.1.1 Tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t c ua m.ôt gi´a tr.i ,
Gia s, u, d˜ay n sô´ li.êu thô´ng kê ¯d˜a cho c´o k gi´a tr.i kh´ac nhau (k ® n).,G.oi xi l`a m.ôt gi´a tr.i bâ´t k`y trong k gi´a tr.i ¯d´o, ta c´o
1 Sô´ lâ`n xuâ´t hi.ên gi´a tr.i xi trong d˜ay sô´ li.êu ¯d˜a cho ¯du,.o,c g.oi l`a tâ`n sô´
cua gi´a tr.i ¯d´o, k´y hi.êu l`a n, i
2 Sô´ fi ni
n ¯du,.o,c g.oi l`a tâ`n suâ´t c,ua gi´a tr.i xi
5.1.2 Tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t c ua m.ôt l´o,p ,
Gia s, u, d˜ay n sô´ li.êu thô´ng kê ¯d˜a cho ¯du,.o,c phân v`ao k l´o,p (k n).,X´et l´o,p th´u, ipi 1, 2, , kq trong k l´o,p ¯d´o, ta c´o
1 Sô´ ni c´ac sô´ li.êu thô´ng kê thu.ôc l´o,p th´u, i ¯du,.o,c g.oi l`a tâ`n sô´ cua l´o,p,
Trang 375.2 Sô´ trung b`ınh c ông 39
¯d´o
2 Sô´ fi ni
n ¯du,.o,c g.oi l`a tâ`n suâ´t c,ua l´o,p th´u, i
Ch´u ´y: Trong c´ac bang phân bô´ tâ`n suâ´t th`ı tâ`n suâ´t ¯du,.o,c t´ınh, o, d.ang,
ty sô´ phâ`n tr˘am.,
5.2 Sô´ trung b`ınh c.ông
5.2.1 Sô´ trung b`ınh c.ông
1 Tru,`o,ng h.o,p bang phân bô´ tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t,
x 1n
2 Tru,`o,ng h.o,p bang phân bô´ tâ`n sô´ v`a tâ`n suâ´t gh´ep l´o,p,
x 1n
5.2.2 Sô´ trung v.i
Sô´ trung v.i Me cua m.ôt d˜ay gô`m n sô´ li.êu thô´ng kê ¯du,.o,c s´˘ap th´u, t.u,,không gi,am (ho.˘ac không t˘ang) l`a
• Sô´ ¯d´u,ng gi˜u,a d˜ay (sô´ h.ang th´u, n 2 1 ) nê´u n le;,
• Trung b`ınh c.ông cua hai sô´ ¯d´u,ng gi˜u,a d˜ay (trung b`ınh c.ông c, ua sô´,h.ang th´u, n2 v`a sô´ h.ang th´u,n2 1nê´u n ch˜˘an
Trang 3840 Chu,o,ng 5 Thô´ng kê
5.2.3 Mô´t
Mô´t M0 l`a gi´a tr.i c´o tâ`n sô´ l´o,n nhâ´t trong b,ang phân bô´ tâ`n sô´ Nê´utrong b,ang phân bô´ tâ`n sô´ c´o hai gi´a tr.i c´o tâ`n sô´ b`˘ang nhau v`a l´o,n ho,ntâ`n sô´ cua c´ac gi´a tr.i kh´ac th`ı ta c´o hai gi´a tr.i ¯d´o l`a hai mô´t.,
5.2.4 Ch.on ¯d.ai di.ên cho c´ac sô´ li.êu thô´ng kê
1 Tru,`o,ng h.o,p t´ınh ¯du,.o,c ca ba sô´: trung b`ınh, trung v.i, mô´t, v`a c´ac sô´ li.êu,thô´ng kê l`a c`ung lo.ai ¯dô`ng th`o,i sô´ lu,.o,ng c´ac sô´ li.êu ¯du l´o,n (n ¯ 30),th`ı ta u,u tiên ch.on sô´ trung b`ınh l`am ¯d.ai di.ên cho c´ac sô´ li.êu thô´ng
kê Khi ¯d´o sô´ trung v.i ho.˘ac mô´t ¯du,.o,c su, d.ung ¯dê, ,bô,sung thêm nh˜u,ngthông tin câ`n thiê´t
2 Tru,`o,ng h.o,p không t´ınh ¯du,.o,c sô´ trung b`ınh th`ı ngu,`o,i ta ch.on sô´ trungv.i ho.˘ac mô´t l`am ¯d.ai di.ên cho c´ac sô´ li.êu thô´ng kê
3 Nh˜u,ng tru,`o,ng h.o,p sau ¯dây, không nên d`ung sô´ trung b`ınh ¯dê,¯d.ai di.êncho c´ac sô´ li.êu thô´ng kê (c´o thê,d`ung sô´ trung v.i ho.˘ac mô´t):
(a) Sô´ c´ac sô´ li.êu thô´ng kê qu´a ´ıt (nho ho,n ho.˘ac b`˘ang 10).,
(b) Gi˜u,a c´ac sô´ li.êu thô´ng kê c´o s.u, chênh l.êch nhau qu´a l´o,n
(c) Ðu,`o,ng gâ´p kh´uc tâ`n suâ´t không ¯dô´i x´u,ng v`a nhiê`u tru,`o,ng h.o,pkh´ac
5.3.1 Công th´u,c t´ınh phu,o,ng sai
1 C´ach 1: T´ınh theo tâ`n sô´
(a) Ðô´i vô´i bang phân bô´ tâ`n sô´,
s2x 1n
k
¸
i 1
nipci xq2
Trang 395.3 Phu,o,ng sai v `a ¯d ô l.êch chuâ,
2 C´ach 2: T´ınh theo tâ`n suâ´t
(a) Ðô´i vô´i bang phân bô´ tâ`n suâ´t,
3 C´ach 3: Su, d.ung công th´u,c s, 2
x x2 pxq2
5.3.2 ´Y ngh˜ıa v`a c´ach s u, d.ung phu,o,ng sai ,
Phu,o,ng sai ¯du,.o,c su, d.ung ¯dê, ,¯d´anh gi´a m´u,c ¯d.ô phân t´an cua c´ac sô´,li.êu thô´ng kê (so v´o,i sô´ trung b`ınh) Khi hai sô´ li.êu thô´ng kê c´o c`ung ¯do,nv.i ¯do v`a c´o sô´ trung b`ınh b`˘ang nhau ho.˘ac xâ´p x,ı nhau, d˜ay c´o phu,o,ngsai c`ang nho th`ı m´u,c ¯d.ô phân t´an (so v´o,i sô´ trung b`ınh) c, ua c´ac sô´ li.êu,thô´ng kê c`ang ´ıt
5.3.3 Ð.ô l.êch chuâ , n
Ð.ô l.êch chuâ,n sx l`a c˘an b.âc hai cua phu,o,ng sai s, 2
Trang 4042 Chu,o,ng 5 Thô´ng kê
sai Khi câ`n ch´u ´y ¯dê´n ¯do,n v.i ¯do ta d`ung ¯d.ô l.êch chuâ,n sx (v`ı sx c´o c`ung
¯do,n v.i ¯do v´o,i dâ´u hi.êu X ¯du,.o,c nghiên c´u,u)