Tập bài giảng Môn học Công nghệ CADCAM

Cơ sở lý thuyết của các hệ thống CAD: Trong lĩnh vực mô hình hoá vật thể, khái niệm mô hình hình học được xử dụng cho yếu tố hình học có thể mô tả được, là những yếu tố hình học cơ sở đ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Khoa Cơ khí, Trường Đại học Bách Khoa

Tập bài giảng

Môn học Công nghệ CAD/CAM

Biên soạn theo đề cương môn học chuyên ngành cơ khí ĐHBK ĐN

Người biên soạn : Bùi trương Vỹ Khoa Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa

Đại học Đà nẵng

Đà Nẵng - Năm 2008

Các hệ thống CAD/CAM

Các tiến bộ kỹ thuật đã mở ra một ứng dụng mới trong thiết kế và gia công tạo hình các sản phẩm cơ khí, cũng như cơ cấu và Máy Sự khác biệt cơ bản giữa phương pháp gia công truyền thống và gia công tạo hình hiện đại là ở chỗ tạo hình dựa trên mô hình hoá hình học vật thể

1 Các hệ thống CAD: cho phép mô hình hoá hình học vật thể rắn dựa trên dữ liệu hình học số cơ sở Cho đến nay, có nhiều phương pháp khác nhau về cách mô hình hoá hình học vật thể, tuy nhiên kỹ thuật mô hình hóa được gọi là tiến bộ nhất khi

mô hình vật thể tạo ra mang đầy đủ thông tin mà một vật thể rắn vốn có trong thực tế,

ví dụ các đặc trưng về tính chất vật liệu, tính chất cơ học Mục tiêu cuối cùng của mô hình hóa trong lĩnh vực gia công tạo hình là phải giúp thực hiện được nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm:

─ tính toán thể tích hay khối lượng vật thể

─ tính toán momen quán tính

─ phân tích ứng suất

─ tính toán truyền nhiệt

─ phân tích động lực học

─ tạo mã gia công

─ mô phỏng cơ cấu

2 Cơ sở lý thuyết của các hệ thống CAD: Trong lĩnh vực mô hình hoá vật thể,

khái niệm mô hình hình học được xử dụng cho yếu tố hình học có thể mô tả được, là

những yếu tố hình học cơ sở được dùng trong các hệ thống CAD, bao gồm:

─ Điểm

─ Đường cong, kể cả đoạn thẳng

─ Mặt cong, kể cả mặt phẳng

─ Khối (cấu trúc đặc)

Vật thể được mô tả bởi dữ liệu số chính xác, nếu có thể:

─ Điểm được mô tả bởi giá trị tọa độ

─ Đường cong được mô tả bởi chuỗi điểm hoặc phương trình

─ Mặt cong được mô tả bởi tập hợp điểm (hoặc lưới đường cong), hoặc phương trình

─ Khối được định nghĩa bởi mặt cong bao quanh

Chương 1: Hệ thống tọa độ, Điểm, Đường và Mặt phẳng

cho một hằng số ≠ 0 thường được gọi là chuẩn hóa Có 1 phép chuẩn hóa rất quan

trọng bởi vì nó được dùng để tính khoảng cách từ gốc tới đường thẳng.Giả sử có phương trình đường thẳng Ax + By +C = 0, khoảng cách từ gốc tới đường thẳng là:

d =

2 2 B A

| C

|

Như vậy, sau khi chuẩn hóa phương trình đường thẳng bằng cách chia phương trình cho căn bậc hai của tổng bình phương A và B, giá trị tuyệt đối của số hạng không đổi mới là khoảng cách giữa gốc và đường thẳng

1.3 Đường thẳng song song và vuông góc

Cho 2 đường thẳng : Ax+By+C = 0

Ex+Fy+G = 0

─ Hai đường thẳng Ax+By+C = 0 và Ex+Fy+G = 0 là 2 đường thẳng song

song nếu độ dốc của chúng bằng nhau, tức là:

AF BE

F

EB

d =

2 2 2

CBA

|D

f,xf

Véc tơ pháp của mặt phẳng Ax+By+Cz+D = 0 là {A,B,C}

Đường thẳng trong không gian được coi là giao tuyến giữa 2 mặt phẳng Để dễ dàng phân tích, thường dùng véc tơ mặc dù kiểu biểu diễn truyền thống cũng vẫn rất có ích

phân biệt 2 dạng véc tơ: véc tơ vị trí và véc tơ hướng Một véc tơ vị trí cho biết vị trí

của một điểm, còn véc tơ hướng xác định hướng Do đó, véc tơ không phải là điểm

Có thể cọng và trừ véc tơ, nhưng chỉ có thể nhân hay chia véc tơ cho các hằng (tức là véc tơ có thể lấy theo tỉ lệ) Ta thường coi điểm là yếu tố hình học cố định, trong khi véc tơ cho phép di chuyển từ điểm nầy đến điểm khác

Chiều dài của một véc tơ bằng căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần của

nó Véc tơ đơn vị là véc tơ có chiều dài 1 Chuyển một véc tơ sang véc tơ đơn vị bằng cách chia các thành phần cho chiều dài của véc tơ cho trước, khi đó véc tơ đơn vị có chiều dài 1 nhưng cùng hướng với véc tơ cho trước

Mối liên hệ giữa điểm và véc tơ có thể được tóm tắt:

─ Đối với mỗi cặp điểm P và Q, có duy nhất 1 véc tơ v

thoả mãn v

= P-Q, nghĩa là có phương và chiều dài nhất định giữa 2 điểm bất kỳ trong không gian (H1.1)

H1.1

─ Mỗi điểm P và véc tơ v

, có 1 điểm Q duy nhất thoả mãnv

= P-Q Hay

nói một cách khác, cho trước 1 điểm P, nếu ta di chuyển điểm nầy 1 độ dài v

theo phươngv

Như vậy, một số tính chất sau được rút ra

+ Q - Q = 0

Dễ thấy đây là trường hợp R = Q + R-Q = -(Q-R) Chú ý là cả vế trái và phải của phương trình nầy đều là các véc tơ

) = (Q-R)- v 

Chú ý là cả vế trái và phải của phương trình nầy đều là các véc tơ (H1.5) Cũng cần nhận xét ở đây các véc tơ là tự do, không có vị trí

Hai véc tơ cuối cùng có cùng phương và độ dài, do vậy chúng bằng nhau

H1.5 + P = Q+(P-Q)

Chú ý là cả vế trái và phải của phương trình nầy đều là các điểm

+ (Q+v 

) -(R+w 

) = (Q-R) + (v 

-w )

H1.6 Chú ý là cả vế trái và phải của phương trình nầy đều là các véc tơ (H1.6)

3.1 Tích vô hướng của 2 véc tơ

Tích vô hướng của 2 véc tơ a

3.2 Đường thẳng

Một đường thẳng có thể được xác định dựa trên 1 điểm cơ sở A và một véc tơ chỉ phương d Do vậy, phương trình véc tơ của một đường thẳng là: A+td với t: tham số Thường lấy véc tơ chỉ phương là véc tơ đơn vị

3.3 Mặt phẳng

Một mặt phẳng có thể được xác định dựa trên điểm đi qua B và có véc tơ pháp n 

Giả

sử X là 1 điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (X B

 ) phải vuông góc với n

, hay:

(X B

 ).n

= 0 X.n – B.n = 0 Đây chính là phương trình mặt phẳng cần tìm

─ Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Mặt phẳng có phương trình:

Xn = Bn Đường thẳng có phương trình: A + td cắt mặt phẳng, do đó:

(A+td).n = Bn  t =

n.d

n)

AB( 

Thay t vào phương trình đường thẳng, kết quả cho giao điểm

+ Nếu d.n = 0, không tìm được t, có nghĩa là không tồn tại giao điểm Trường hợp nầy xảy ra khi d  n, ứng với d // mặt phẳng đã cho

3.4 Tích có hướng giữa 2 véctơ

Cho trước 2 véc tơ a

, b với các thành phần {a1, a2, a3} và {b1, b2, b3} Tích có hướng giữa 2 véctơ a

ib

a 

2

2baj

 3

3ba

k =







2

2b

a3

3b

a, -1

1b

a3

3b

a,1

1b

2ba

, b, a b



─ b a

 có chiều ngược với a b



─ Độ dài của véc tơ a b

 là |a||b| sinθ trong đó θ là góc nhọn giữa a

và b Nói cách khác, nếu a b

 , độ dài của a b

 = |a||b|

4 Các đường và mặt đơn giản

Ta đã biết qua các loại đường và mặt đơn giản nhất (đường thẳng và mặt phẳng) Gần với đường thẳng và mặt phẳng là các đường cônic và các mặt bậc 2 Mặc dù các đường cônic và các mặt bậc 2 đã tồn tại từ khoảng 2000 năm qua, chúng vẫn là các vật thể thông dụng nhất trong nhiều hệ thống thiết kế có sự trợ giúp của máy tính và mô hình hóa vật thể

x    Nếu tâm nằm ở gốc, phương trình trên được viết lại: x2 y2 r2 Các phương trình trên được gọi là dạng ẩn của vòng tròn Dạng

tcosrx

Đối với vòng tròn có tâm không trùng với gốc, dạng tham số là:

tcosrax

Dạng tham số trên dùng các hàm lượng giác Ta còn đề cập đến một dạng tham số của vòng tròn không dùng đến các hàm lượng giác

4.1.2 Dạng chính tắc của các đường cônic

Các đường cônic là giao tuyến của một mặt phẳng và một mặt nón tròn xoay (tức là một mặt nón có đáy là một vòng tròn với trục hình nón vuông góc với đáy và đi qua tâm vòng tròn)

Có 3 dạng đường cônic: ellip, hyperbol và parabol Các ellip và hyperbol là các đường cônic có tâm đối xứng, còn parabol là đường cônic không có tâm đối xứng Phương trình chính tắc của một ellip là phương trình dạng ẩn sau:

1b

ya

x

2 2 2

2



Các trục của ellip là trục x và trục y, a, b là các chiều dài bán trục lớn và bé

Dạng tham số của một ellip:

tcosax

Phương trình chính tắc của một hyperbol là phương trình dạng ẩn sau:

1b

ya

x

2 2 2

2



Định nghĩa về trục lớn và trục bé tương tự như ellip Trục x cắt đường cong tại 2 điểm (a, 0) và (-a, 0) còn trục y không cắt đường cong

Dạng tham số của một hyperbol:

tsecax

Tâm của một ellip và hyperbol ở dạng chính tắc là gốc tọa độ và đường cong đối xứng qua tâm và các trục của nó

Phương trình chính tắc của một parabol là phương trình dạng ẩn sau:

x2 = 4py

Ở dạng chính tắc nầy, với bất kỳ điểm (x,y) thuộc parabol, giá trị của y phải dương và parabol mở lên trên Trục của parabol là trục y Cần chú ý thêm rằng dạng chuẩn của một parabol cũng đã là dạng tham số Hoặc có thể viết lại dạng tham số như sau:

ty

tx

2

4.1.3 Dạng tổng quát của các đường cônic

Các đường cônic là các đường bậc 2 bởi vì dạng tổng quát nhất là một đa thức bậc 2:

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx +2Ey +F = 0

Ở đa thức trên, các hệ số của xy, x và y là 2B, 2D và 2E, tương ứng Đa thức nầy có 6

hệ số nhưng đem chia nó cho một hệ số khác 0 làm giảm còn 5 Như vậy, nói chung với 5 điều kiện có thể hoàn toàn xác định 1 đường cônic

Có các trường hợp sau:

─ Nếu B2 < A*C, phương trình tổng quát mô tả 1 ellip

─ Nếu B2 = A*C, phương trình tổng quát mô tả 1 parabol

─ Nếu B2 > A*C, phương trình tổng quát mô tả 1 hyperbol

Biểu thức B2  A*C được gọi là định thức của đa thức bậc 2 tổng quát

4.1.4 Dạng ma trận của các đường cônic

Từ dạng tổng quát có thể viết lại dạng ma trận cho các đường cônic Trước tiên, mỗi điểm x = (x,y) được coi là 1 véc tơ cột có thành phần thứ 3 là 1 và do vậy ma trận chuyển là 1 véc tơ hàng xT = [x,y,1] Tiếp theo, 6 hệ số của đa thức bậc 2 tổng quát được dùng để tạo ra 1 ma trận đối xứng 3×3 như sau:

B

Khi đó dạng đa thức bậc 2 tổng quát trở thành: xTQ x = 0

ya

x

2 2 2 2 2

ya

x

2 2 2 2 2

ya

x

2 2 2 2 2

x

2 2 2

2





Mặt paraboloid hyperboloid: 2cz

b

ya

x

2

5 bề mặt bậc 2 nầy thường được coi là các bề mặt hạng 4 Có 2 kiểu bề mặt hạng 3 là

nón và trụ Các bề mặt trụ còn có 3 kiểu con: trụ elliptic, trụ hyperboloid và trụ paraboloid

Bề mặt nón: 0

c

zb

ya

x

2 2 2 2 2

x

2 2 2

x

2 2 2

2



Bề mặt trụ paraboloid: x2 4py

4.2.2 Dạng tổng quát của các bề mặt bậc hai

Dạng tổng quát của các bề mặt bậc hai:

Ax2+By2+Cz2 +2Dxy+2Exz+2Fyz+2Gx+2Hy+2Iz+J=0

Có 10 hệ số, nhưng bằng cách chia phương trình cho 1 hệ số khác 0, làm giảm còn 9

hệ số Ngoại trừ các hệ số của x2, y2, z2 và số hạng không đổi, các hệ số còn lại đều được nhân 2

Cần chú ý thêm rằng nếu cho trước dạng tổng quát, ta cũng có thể nhận biết được loại mặt bậc hai

x ; xT = [x y z 1] ; Q =

A HFB

D ICF

E

G

trong đó (x y z) là tọa độ của 1 điểm Dạng ma trận xTQ x = 0

Chú ý rằng phương trình có dạng y hệt như một cônic Do vậy, các đường cônic và các mặt bậc hai có cùng dạng ma trận

Nếu biết dạng ma trận của các mặt bậc hai, ta có thể khảo sát ý nghĩa của các mặt bậc hai hạng 4 và hạng 3 Ma trận đối xứng Q chứa các hệ số của một đa thức bậc hai tổng quát Hạng của ma trận là số các trị riêng ≠ 0 Như vậy, các mặt hạng 4 là các mặt có

Q là hạng 4 Dễ thấy rằng các mặt ellipsoid, hyperboloid, và paraboloid là các mặt hạng 4, còn mặt nón và trụ là các mặt hạng 3 Nếu một đa thức bậc 2 tổng quát phân tích thành tích của hai đa thức bậc 1 phân biệt (ví dụ mặt phẳng), Q có hạng là 2

4.2.4 Dạng chính tắc của các bề mặt xuyến

Một bề mặt xuyến có thể được tạo ra khi xoay 1 vòng tròn, vòng tròn nhỏ, quanh 1

đường thẳng là trục quay Vòng tròn di động nầy có tâm nằm trên 1 vòng tròn khác,

vòng tròn lớn Bán kính các vòng tròn lớn và nhỏ được ký hiệu là R và r, tương ứng

Nếu trục quay là trục z và vòng tròn lớn nằm trên mặt phẳng xy, phương trình mặt xuyến có dạng: (x2 y2 z2)(R2 r2))2 4R2 r2 z2)

─ Nếu R lớn hơn r, ta nhận được các mặt xuyến thông thường

─ Nếu R bằng r, tất cả các vòng tròn di chuyển luôn tiếp tuyến với trục quay tại gốc tọa độ

─ Nếu R nhỏ hơn r, tất cả các vòng tròn di chuyển luôn cắt trục quay tại 2 điểm phân biệt và mặt xuyến nhận được có hình bầu dục ở bên trong của hình xuyến

5 Tọa độ đồng nhất

Một trong các mục đích của việc xử dụng các tọa độ đồng nhất là bắt được khái niệm

vô cùng Trong hệ tọa độ Euclide, vô cùng là thứ gì đó không tồn tại Các nhà toán học

đã khám phá nhiều khái niệm hình học và các tính toán có thể trở nên đơn giản hơn rất nhiều nếu khái niệm vô cùng được dùng Ta có thể nhận ra điều nầy khi thiết kế đường cong và bề mặt Không xử dụng hệ tọa độ đồng nhất, khó giải quyết các bài toán thiết

kế một số loại đường cong và bề mặt cần thiết trong thiết kế đồ họa và thiết kế có sự trợ giúp của máy tính

Xét 2 số thực a và w và tính giá trị của a/w Giữ giá trị của a cố định và thay đổi giá trị của w Khi w càng nhỏ, a/w càng lớn Nếu w tiến đến 0, a/w tiến đến vô cùng Như vậy, để bắt lấy khái niệm vô cùng, ta dùng 2 số a và w tượng trưng một giá trị v với v=a/w Nếu w ≠ 0, giá trị v đúng bằng a/w Nói một cách khác, ta xác nhận một giá trị

vô cùng với (a,0) Do đó, khái niệm vô cùng có thể mô tả bởi một cặp số như (a, w) hay một thương số a/w

Ứng dụng cho mặt phẳng tọa độ xy : Nếu thay x và y với x/w và y/w, hàm f(x,y) = 0 trở thành f(x/w, y/w) = 0 Nếu hàm f(x,y) = 0 là một đa thức, đem nhân nó với wn loại được tất cả các mẫu số, trong đó n là bậc của đa thức

Lấy ví dụ, cho đường thẳng Ax + By + C = 0 Thay x và y bởi x/w và y/w, ta có:

A(x/w)+ B(y/w)+C = 0 Nhân với w, phương trình trở thành Ax + By + Cw =0

Giả sử có 1 đa thức bậc 2, Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 Thay x và y với x/w và y/w, sau đó nhân kết quả với w2, ta được:

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dxw + 2Eyw + Fw2 = 0

Đa thức trên có bậc của các số hạng đều bằng nhau Như vậy, trong trường hợp đường thẳng, các số hạng x,y và w có bậc 1, còn ở đa thức bậc 2, tất cả các số hạng (tức là x2, xy,y2, xw,yw và w2) đều có bậc 2

Cho trước 1 đa thức bậc n, sau khi đưa vào w, tất cả các số hạng đều có bậc n Do đó

các đa thức nầy được gọi là các đa thức đồng nhất và các tọa độ (x,y,w) là các tọa độ đồng nhất

Cho trước 1 đa thức bậc n trong 1 hệ tọa độ đồng nhất, chia đa thức cho wn và thay x/w, y/w bởi x và y tương ứng, ta được đa thức dạng truyền thống Ví dụ có đa thức đồng nhất bậc 3: x3 + 3xy2  5y2w + 10w3 = 0 được biến đổi thành x3 + 3xy2  5y2 +

10 = 0

Các biến đổi trên cũng đúng cho 3 kích thước Ta có thể thay một điểm (x, y, z) với (x/w, y/w, z/w) và nhân kết quả với w có mũ nhất định, ta được 1 đa thức đồng nhất Biến đổi ngược lại 1 đa thức đồng nhất bậc n theo x, y, z và w sang dạng truyền thống

y hệt như trường hợp 2 kích thước

Chú ý

Cho trước 1 điểm (x y w) theo tọa độ đồng nhất., dễ dàng tìm thấy điểm tương ứng trong mặt phẳng xy (x/w y/w) Ví dụ điểm (3 4 5) theo tọa độ đồng nhất đổi thành điểm (3/5 4/5) = (0.6 0.8) trong mặt phẳng xy Tương tự, một điểm ( x y z w) theo tọa

độ đồng nhất đổi thành một điểm (x/w y/w z/w) trong không gian

Ngược lại, điểm (x y) trong mặt phẳng xy có tọa độ đồng nhất là bao nhiêu? Rõ ràng

là (x y 1), tuy nhiên đây không phải là duy nhất Các tọa độ đồng nhất của một điểm (x y) trong mặt phẳng xy là (xw yw w) đối với w ≠ 0 Do vậy:

Chuyển đổi từ tọa độ đồng nhất sang tọa độ truyền thống là duy nhất, nhưng chuyển đổi từ tọa độ truyền thống sang tọa độ đồng nhất không phải là duy nhất

Lấy ví dụ, 1 điểm (4 2 3) trong không gian chuyển đổi thành (4w 2w 3w w) với w ≠ 0 5.1 Tính kích cỡ của các tọa độ đồng nhất

Các tọa độ đồng nhất cần 3 hay 4 thành phần để mô tả một điểm trong mặt phẳng xy hay một điểm trong không gian Thành phần thêm vào có giá trị 1 chuyển đổi các tọa

độ truyền thống thành tọa độ đồng nhất tương ứng

5.2 Điểm lý tưởng hay điểm ở vô cùng

Giả sử có điểm cố định (x y) Chuyển đổi sang tọa độ đồng nhất thành (x/w y/w 1/w) Cho w  0, (x/w y/w) di chuyển xa dần theo phương của (x y) Khi w = 0, (x/w y/w)

di chuyển đến vô cùng Ta nói tọa độ đồng nhất (x y 0) là điểm lý tưởng hay điểm ở vô cùng theo phương (x y)

Lấy ví dụ, cho điểm (3 5) trong mặt phẳng xy Xét (3/w 5/w) Nếu w ≠ 0, điểm nầy nằm trên đường thẳng y = (5/3)x Hoặc nếu xử dụng phương trình véc tơ, (3/w 5/w) là một điểm thuộc đường thẳng 0 + (1/w)d, trong đó điểm cơ sở O là gốc tọa độ và d véc

tơ chỉ phương {3 5} Do đó khi w  0, điểm di chuyển đến vô cùng trên đường thẳng Đây là lý do tại sao ta nói (x y 0) là điểm lý tưởng hay điểm ở vô cùng theo phương (x y) Tương tự, trong không gian, điểm (x y z 0) là điểm lý tưởng hay điểm ở vô cùng theo phương của (x y z)

Khái niệm về tọa độ đồng nhất và điểm vô cùng ở một phương nhất định rất quan trọng khi phân tích các mô tả đường cong và mặt

6.1 Các phép biến đổi Euclide

Các phép biến đổi Euclide là các phép biến đổi thông dụng nhất, ví dụ phép quay, phép tịnh tiến

6.1.1 Các phép tịnh tiến và quay trong mặt phẳng xy

Giả sử cho trước 1 điểm (x y) trong mặt phẳng và tịnh tiến nó đến vị trí mới (x’ y’) bằng cách cọng 1 véc tơ {h k} Ta có x’ = x +h ; y’ = y + k Xử dụng dạng tương tự như các tọa độ đồng nhất, khi đó 1 điểm trở thành 1 véc tơ cột có thành phần thứ 3 là 1

Mối liên hệ giữa (x y) và (x’ y’) có thể mô tả ở dạng ma trận

'y

'x

01

0

x

x

010

'y

'x

Do đó nếu một đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0, đường thẳng có thể được viết lại thành phương trình mới Ax’ + By’ + (-Ah –Bk +C) = 0

Nếu cho 1 điểm (x y) xoay 1 góc  quanh gốc tọa độ đến điểm mới (x’ y’), mối liên

hệ giữa chúng có thể được biểu thị:

x

'y

'x

Do đó nếu xoay một đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0 quanh gốc tọa độ

1 góc , đường thẳng có thể được viết lại thành phương trình mới (Acos -Bsin)x’ + (Asin + Bcos)y’ + C = 0

Các phép quay và phép tịnh tiến có thể được phối hợp thành 1 phương trình duy nhất:

x

sinkcosh

'y

'x

Phương trình trên có nghĩa là xoay điểm (x y) một góc  quanh gốc tọa độ, sau đó tịnh tiến kết quả nhận được theo phương {h k} Tuy nhiên nếu tịnh tiến theo phương {h k} trước và xoay góc  sau (quanh gốc tọa độ), ta được:

cosksinh

sinkcosh

x

'y

'x

Như vậy, phép quay và tịnh tiến không có tính giao hoán

Các mô tả trên xử dụng 2 ma trận, A và B, dùng biến đổi x sang x’ ( tức là x’ = Ax)

và x’ sang x (tức là x = Bx’) Có thể thấy A và B là các ma trận nghịch đảo của nhau,

có nghĩa là nếu biết A thì B = A-1 hoặc ngược lại nếu biết B thì A = B-1

Gọi R là ma trận biến đổi x’ sang x : x = Rx’ Thay biểu thức x nầy vào phương trình conic ta được:(Rx’)TQ(Rx’) = 0 Sắp xếp lại các số hạng: (x’)T (RTQR)x’ = 0

Đây là phương trình mới của conic cho trước sau khi biến đổi Chú ý là ma trận 33

mô tả conic ở vị trí mới có dạng: RTQR

6.1.2 Các phép tịnh tiến và quay trong không gian

Các phép tịnh tiến trong không gian cũng tương tự như trong mặt phẳng

0 010

0

x

1 001

0 010

0

'y

'x

Phương trình trên tịnh tiến các điểm bằng cách cọng véc tơ {p q r}

Các phép quay trong không gian phức tạp hơn, bởi vì có thể xoay quanh trục x, trục y hay trục z Khi quay quanh trục z, chỉ có tọa độ của x và y thay đổi còn z giữ nguyên Thực tế, giống như một phép quay quanh gốc trong mặt phẳng xy Do đó, phương trình của phép quay quanh trục z:

0

x

cos





00cos

sin





010

0

'y

'x

Dựa vào phương trình trên có thể thấy cho  = 900 làm xoay (1 0 0) đến ( 0 1 0 ) và (0 1 0) đến (-1 0 0), trục x quay đến trục y và trục y quay đến hướng âm của trục x ban đầu

Tương tự, quay quanh trục x một góc  :

x

1 0sincos0





0cossin0

'y

'x

Dựa vào phương trình trên có thể thấy cho  = 900 làm xoay (0 1 0) đến ( 0 0 1 ) và (0 0 1) đến (0 -1 0), trục y quay đến trục z và trục z quay đến hướng âm của trục y ban đầu

Tuy nhiên quay quanh trục y thì khác, do cách đo góc

Ở hệ trục tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay phải, góc đo dương có chiều từ trục z sang trục x thay vì theo truyền thống đo từ x sang z Do đó, quay góc  quanh trục y ở hệ trục tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay phải tương đương với quay góc  đo từ trục x sang trục z

Như vậy, phương trình của phép quay quanh trục y:

x





001

0 0cos0sin

'y

'x

Dựa vào phương trình trên, giả sử cho  = 900 làm xoay (1 0 0) đến (0 0 -1) và (0 0 1) đến (1 0 0), trục x quay đến hướng âm của trục z và trục z quay đến trục x ban đầu Một ma trận quay và một ma trận tịnh tiến có thể phối hợp thành một ma trận duy nhất như sau, trong đó các số hạng r của ma trận 33 ở trên bên trái tạo phép quay, còn p, q, r tạo phép tịnh tiến Ma trận nầy mô tả phép quay theo sau là phép tịnh tiến

31 21 11

0rrr

32 22 12

0rrr

33 23 13

p

 x

7 Các phép biến đổi affine

Các biến đổi Euclide bảo toàn chiều dài và góc Hơn nữa, hình dạng của một vật thể hình học không thay đổi, tức là đường thẳng chuyển đổi thành đường thẳng, mặt phẳng chuyển đổi thành mặt phẳng, vòng tròn thành vòng tròn, và ellipsoid thành ellipsoid Chỉ có vị trí và hướng của vật thể thay đổi

Các biến đổi affine là tổng quát hóa các biến đổi Euclide Với các biến đổi affine, đường thẳng thành đường thẳng, nhưng vòng tròn thành ellip Chiều dài và góc không bảo toàn Ta khảo sát các biến đổi affine tỉ lệ, cắt và biến đổi affine tổng quát

0r0

0

x

p/1

00

q/1

0 0

r/10

0

'y'x

7.2 Phép cắt

Tác dụng của phép cắt giống như “đẩy” một vật thể hình học theo phương song song với một mặt phẳng tọa độ (3D) hay một trục tọa độ (2D)

Độ xa theo phương được đẩy do hệ số cắt quyết định Trên mặt phẳng xy, có thể đẩy

theo phương x, âm hay dương, giữ phương y cố định Hay đẩy theo phương y, giữ phương x cố định Sau đây là phép cắt theo phương x với hệ số cắt a:

'y

'x

01

a

x

x

01

a



'y

'x

Phép cắt theo phương y với hệ số cắt b:

'y

'x

01

a

x

y

x

01

0

'y

'x

Trong không gian, có thể theo 2 phương trục tọa độ, phương thứ 3 cố định Ví dụ phép cắt theo 2 trục x, y với các hệ số a và b, tương ứng, giữ nguyên tọa độ z:

0 01ba

x

1 0010

01b

a





'y

'x

Thử khai triển, ta có: x’ = x + az; y’ = y + bz; z’ = z Nghĩa là một điểm (x y z) trong không gian thành (x + az, y + bz, z) Tọa độ z không thay đổi, chỉ có x, y thay đổi Phép cắt theo phương xz:

a 010

0

x

1 0c1

a

 010

0

'y

'x

Phép cắt theo phương yz:

0 010

0

x

1 001

0 010

0

'y

'x

7.3 Các phép biến đổi affine tổng quát

Ma trận biến đổi affine tổng quát có dạng sau

0aaa

32 22 12

0aaa

33 23 13

34 24 14

x

31 21 11

0aaa

32 22 12

0aaa

33 23 13

34 24 14

1aaa

'y

'x

So sánh với tất cả các ma trận đã đề cập ở trên, kể cả phép quay và phép tịnh tiến, chúng đều có dạng nầy, do vậy chúng là các biến đổi affine Các phép biến đổi affine không làm thay đổi bậc của đa thức, đường thẳng/mặt phẳng song song biến đổi thành đường thẳng/mặt phẳng song song, đường thẳng/mặt phẳng cắt nhau biến đổi thành đổi thành đường thẳng/mặt phẳng cắt nhau Tuy nhiên các phép biến đổi affine không bảo toàn chiều dài và góc, do đó làm thay đổi hình dạng của vật thể hình học

pppp

pppp

43 33 23 13

pppp

pppp

x

pppp

wzy

x

42 32 22 12

pppp

43 33 23 13

ppp

44 34 24 14

ppp

'z

'y

'x

Ở các phương trình trên, các ma trận 44 phải không suy biến (khả nghịch) Do vậy, các phép chiếu tổng quát hơn các phép biến đổi affine bởi vì hàng thứ tư không phải chứa 0 0 0 1

Phép chiếu có thể mang các điểm hữu hạn ra xa vô cùng và các điểm ở vô cùng về dãy hữu hạn Xét phép chiếu sau

'w

'y

'x

02

1



x

x

11

1

'y

'x

Rõ ràng là biến đổi nầy chuyển điểm (x y w) = (1 0 1) thành (x’ y’ w’) = (1 -1 0)

Đó là phép chiếu biến đổi điểm (1 0) trên mặt phẳng xy thành điểm ở vô cùng theo phương (1 -1) Theo phương trình ma trận phía bên phải x = Px’, ta có:

x = 2x’ + y’

y = x’ + y’

w = 2x’ + y’ + w’

Giả sử có vòng tròn x2 + y2 =1 Thay các phương trình trên vào phương trình vòng tròn x2 + y2 = w2 ta được: x2 + 2xy + y2 - 4xw - 2yw – w2 = 0 Chia phương trình trên cho w2 để đưa nó trở lại dạng truyền thống, ta có : x2 + 2xy + y2 - 4x - 2y – 1= 0 Đây

là một phương trình parabol Như vậy, một vòng tròn không có điểm vô cùng được chuyển đổi thành một parabol có điểm ở vô cùng

9 Phép nhân ma trận và các biến đổi

Trong nhiều trường hợp, ta cần nhiều phép biến đổi để mang 1 một vật thể đến vị trí mong muốn Ví dụ cần 1 phép biến đổi ở dạng ma trận q = Ap để đưa p đến q, sau đó

là một phép biến đổi thứ hai r = Bq mang q đến r, tiếp theo là một phép biến đổi khác

s = Cr đưa r tới s Kết quả cuối của p  q  r  s có thể được tóm tắt bởi một ma trận duy nhất là tích tất cả các ma trận có liên quan Chú ý là ma trận biến đổi đầu (cuối) nằm xa nhất về bên phải (trái) trong dãy ma trận

s = Cr = C(Bq) = CBq = CB(Ap) = CBAp

Do đó, để tính kết quả cuối, ta cần tính CBA và coi nó như một ma trận duy nhất để đưa p đến s

Khảo sát 1 ví dụ Giả sử muốn thực hiện các biến đổi sau cho 1 vật thể:

1 Lấy tỉ lệ theo phương x dùng hệ số tỉ lệ 5

2 Sau đó xoay quanh trục z một góc 300

3 Kế đến, phép cắt theo phương x và y với hệ số 2 và 3, tương ứng

4 Sau đó là phép di chuyển điểm theo phương {2 1 2}

Gọi A, B, C và D là các ma trận biến đổi tỉ lệ, quay, cắt và tịnh tiến, tương ứng Theo nhận xét trên, ta có ma trận kết quả cuối H = DCBA

0

2/1

2/3

00

2/3

2/1 010

0

1 001

0 013

2

1 001

0 010

0

2/5

2/35

00

2/3

2/1 013

2

Do đó, một điểm x của vật thể ban đầu đến điểm x’ tương ứng sau 4 phép biến đổi trên được tính bởi: x’ = Hx = DCBAx

Chương 2: Các phương pháp mô tả đường và mặt

Ở chương nầy ta đề cập đến khái niệm chung của các đoạn đường cong dạng tham số 2.1 Đường cong tự do

2.1.1 Đường cong tham số: Một đường cong tham số trong không gian được biểu diễn dưới dạng: V: [0, 1] > {x(u), y(u), z(u)} trong đó x(u), y(u), z(u) là 3 hàm

có giá trị thực V(u) ánh xạ một giá trị thực u trong khoảng đóng [0, 1] đến 1 điểm Như vậy, với mỗi u  [0, 1], có 1 điểm {x(u), y(u), z(u)} trong không gian Các hàm x(u), y(u), z(u) được dùng là các đa thức

Ví dụ: Phương trình véc tơ của đường thẳng: A+td trong đó A: điểm cơ sở, d: véc tơ chỉ phương Khi đó nếu có V(u) được định nghĩa như sau

2.1.2 Các tính chất hình học của đường cong:

1 Véc tơ tiếp tuyến: Gọi V(u) = {x(u) y(u) z(u)}, u  [0, 1] là 1 đường cong tham số biến thiên liên tục trong không gian R3

─ Véc tơ tiếp tuyến tại u0, T  ( u0)

được cho bởi:

0

u u 0

' 0

du

dzdu

dydu

dxdu

)u(dV)u(V)u(T

+ Véc tơ tiếp tuyến đơn vị: V’(u)/|V’(u) |

─ Phương trình đường tiếp tuyến (chứa véc tơ tiếp tuyến) : V(u) + tV'(u) trong đó, t: tham số

+ Hoặc V(u) + t (V'(u)/|V’̣(u)|) nếu dùng véc tơ tiếp tuyến đơn vị

Ví dụ: Phương trình tham số của vòng tròn V(u){x(u) = rcos2u+p,y(u)=rsin2u+q} trong đó u [0, 1]

Ta có:

Véc tơ tiếp tuyến : V’(u) {x’(u) = -2rsin2u, y’(u)=2rcos2u}

Phương trình đường tiếp tuyến :

V(u) + t V’(u) = ( rcos2u+p, rsin2u+q) + t( -2rsin2u, 2rcos2u)

H1.7 Thay đổi về phương của T0

─ V(u) có thể coi là quỹ đạo của một điểm theo thời gian Khi đó )

─ Độ lớn của véc tơ tiếp tuyến T  ( u0)

được gọi là độ chảy của đường cong, có giá trị là |T  ( u0)

|:

H1.9: Thay đổi về độ lớn của T0

2 Véc tơ pháp tuyến và độ cong:

Cho trước 1 điểm cố định V(u) và 2 điểm di chuyển P và Q trên đường cong tham số

3 điểm nầy xác định một mặt phẳng Khi P và Q di chuyển về phía điểm cố định V(u),

mặt phẳng nầy dần tới 1 vị trí giới hạn Đây là mặt phẳng lắc tại V(u) Rõ ràng mặt

phẳng lắc nầy chứa V(u), ngoài ra, mặt phẳng lắc cũng phải chứa cả V'(u) và V''(u), nghĩa là 1 điểm thuộc mặt phẳng lắc có phương trình: V(u) + pV'(u) +qV''(u), trong đó

p và q là tham số

─ Véc tơ pháp tuyến đôi b(u) là véc tơ đơn vị của tích có hướng 2 véc

tơ V'(u) và V''(u):

|)u(''V)u('V

|

)u(''V)u('V)u(b





Véc tơ pháp tuyến đôi b(u) vuông góc với cả 2 véc tơ V'(u) và V''(u) nên vuông góc

với mặt phẳng lắc Đường V(u) + tb(u) là đường pháp tuyến đôi tại V(u)

─ Véc tơ pháp tuyến là véc tơ vuông góc với cả 2 véc tơ tiếp tuyến và véc tơ pháp tuyến đôi, có phương được xác định theo quy tắc bàn tay phải Véc tơ

pháp tuyến đơn vị cho bởi:

|)u('V)u(b

|

)u('V)u(b)u(n





Đường V(u) + tn(u) là đường pháp tuyến tại V(u)

─ Các véc tơ pháp tuyến đôi b(u), véc tơ tiếp tuyến V'(u), và véc tơ pháp tuyến n(u) tạo thành một hệ trục toạ độ với gốc V(u)(H1.10) Chú ý rằng các véc

tơ tiếp tuyến, pháp tuyến và V”(u) cùng nằm trên mặt phẳng

H1.10: Hệ trục tọa độ tại V(u)

Hệ trục tọa độ với gốc V(u) không chỉ là 1 khái niệm toán học mà còn cung cấp thông tin quan trọng đặc trưng cho một vật thể di chuyển Khi vật thể di chuyển trên đường cong, đồng nghĩa với vật thể di chuyển theo phương véc tơ tiếp tuyến, vec tơ “lên” theo phương của véc tơ pháp tuyến đôi và tốc độ lật ứng với độ cong, phương lật theo phương véc tơ pháp

─ Độ cong:

Véc tơ tiếp tuyến biểu thị mức độ thay đổi của quãng đường và cho biết tốc độ di chuyển của 1 điểm Đạo hàm của véc tơ tiếp tuyến (tức là đạo hàm bậc 2 của quỹ đạo)

đo mức độ thay đổi của tốc độ, hay gia tốc

Lấy một điểm cố định cho trước X và 2 điểm di chuyển P, Q trên đường cong tham

số Chúng xác định 1 vòng tròn duy nhất Khi cả hai P và Q di chuyển về phía điểm X,

vòng tròn dần đến một vị trí giới hạn (H1.11) Vòng tròn giới hạn nầy được gọi là vòng tròn mật tiếp tại X, có tâm là O, bán kính r Tỷ số 1/r là độ cong tại X Như vậy,

vòng tròn mật tiếp tiếp xúc với đường cong và có cùng tiếp tuyến với đường cong tại điểm tiếp xúc Vòng tròn mật tiếp càng lớn thì độ cong càng nhỏ

H1.11

Từ định nghĩa của mặt phẳng lắc, vòng tròn mật tiếp phải nằm trên mặt phẳng nầy

Do vòng tròn mật tiếp tiếp xúc với đường cong, tức là với đường tiếp tuyến, tâm của vòng mật tiếp nằm trên đường pháp tuyến

Độ cong tại u, k(u) có thể được tính theo công thức: k(u) = 3

|)u('V

|

|)u(''V)u('V

─ Cũng phải kể đến một đặc trưng nữa là độ xoắn của đường cong Tuy nhiên một đường cong không gian không bị xoắn và do vậy độ xoắn bằng 0, nên

ta không đề cập ở đây

3 Tính liên tục của đường cong

Ta đã biết, các cạnh và các mặt của mô hình vật thể thường là đoạn cong, bản thân mỗi mặt là một mảng bề mặt Gọi V1(u) và V2(u), u  [0, 1] là 2 đường cong tham số

Có các trường hợp sau đây của các đường cong tại V1(1) và V2(0):

─ Chỗ nối không liên tục, V1(1)  V2(0)

1(V

C

' 2

' 1 0

─ Ck, k 0: liên tục đến đạo hàm bậc k, V1j( 1 )  V2j( 0 ), 0 ≤ j ≤ k

H1.12: Các trường hợp của nối 2 đường cong

Tính liên tục về mặt hình học trong lĩnh vực mô hình hóa cũng được mô tả như trên:

─ G0, tương tự như C0

─ G1: cùng hướng tiếp tuyến: V1'( 1 )   V2'( 0 )

─ Gk: tất cả các đạo hàm cho đến bậc k có cùng tỉ lệ

Trường hợp đặc biệt k=2: G Neilson đã tìm ra một công thức đơn giản để kiểm tra

tính liên tục cho G2: Hai đoạn cong C 1 có tính liên tục về mặt hình học đến G 2 tại điểm nối nếu và chỉ nếu véc tơ V1''( u )  V2''( v )song song với véc tơ tiếp tuyến tại điểm nối Chú ý là V 1 ''(u) và V 2 ''(v) được đánh giá tại điểm nối.

2.1.3 Đường cong hữu tỷ

Các mô tả tham số xử dụng đa thức tuy đơn giản nhưng không đủ mạnh, bởi vì có nhiều đường cong (ví dụ các đường cônic) không thể nhận được theo cách nầy Để khắc phục, dùng các toạ độ đồng nhất Lấy ví dụ, một đường cong trong không gian được mô tả qua 4 hàm thay vì 3 như trước:

Đường cong không gian:

V(u) = {x(u), y(u), z(u), w(u)}

Đường cong trong mặt phẳng:

V(u) = {x(u), y(u),w(u)}

trong đó u là một tham số trong khoảng đóng nào đó

Chuyển đổi đường cong nầy sang dạng truyền thống bằng cách viết:

Đường cong không gian:

V(u) = {x(u)/w(u), y(u)/w(u), z(u)/w(u)}

Đường cong trong mặt phẳng:

V(u) = {x(u)/w(u), y(u)/w(u)}

Rõ ràng là nếu w(u) =1 (một hàm không đổi), dạng đồng nhất trở thành dạng truyền

thống Một đường cong tham số ở dạng đa thức đồng nhất còn được gọi là đường cong hữu tỷ

2.1.4 Nối các điểm: Nối các điểm thực hiện theo đồ hình tuần tự, do vậy cần

có các điểm nội suy dựa trên các phương trình tham số thay vì dùng hàm dạng chính tắc

)u(fxy

x, khi đó chỉ cần thay đổi u, có thể dịch chuyển một đoạn nhất định dọc theo đường thẳng hoặc đường cong trong khi nếu xử dụng

hàm y= f(x), phải xác định qua x hay y và độ dốc Mặt khác với các phương trình tham

số, các đường cong có thể quay ngoặc lại đột ngột hoặc cắt chính nó và rõ ràng là không thể thực hiện ở các hàm y = f(x)

1 Nối 2 điểm: Với 2 điểm P0 và P1 cho trước, để nối, cần các điểm nội suy dựa trên phương trình véc tơ của đường thẳng biểu diễn theo tham số u, u  [0, 1]: x(u) = ax + bxu

)u(y

)u(x)u(

V = P0 + (P1 P0)u

H1.13 Với 0 ≤ u ≤1 thì V(u) nằm trên đường nối P0 và P1

2 Nối n điểm: Để nối n điểm, cần có các điểm nội suy dựa trên phương trình đa thức véc tơ bậc (n1) biểu diễn theo tham số:

học của 3 điểm, tìm được các hệ số a, b, c của đa thức

Nhận xét: Xử dụng nội suy theo đa thức tham số trên tuy có thể thiết lập được đường

cong trơn đi qua các điểm cho trước nhưng dẫn đến nhiều nhược điểm:

● Các hệ số không thể hiện được ý nghĩa về mặt hình học và hầu như không thể đoán trước sự thay đổi hình dạng của đường cong khi chỉnh sửa một trong các hệ số nầy

● Tạo ra các gấp khúc không mong muốn nếu là bậc cao

● Nếu là đa thức bậc thấp, đường cong tạo ra không có tính mềm dẻo

● Không có các thao tác địa phương

Do vậy, người ta thường dùng đến các dạng mới của đường cong tham số Các đường

nầy được dựng dựa trên một tập các điểm điều khiển cho trước, nhưng cho phép phân đoạn để chỉnh sữa và sau đó nối lại, cũng như có thể thay đổi vị trí, thêm các điểm điều khiển hoặc các thông tin quan trọng khác mà không làm thay đổi hình dạng toàn

bộ đường cong, không phải dùng đến các phương trình Các hệ số được dùng có ý

nghĩa về mặt hình học, mô tả được khả năng tương tác qua lại giữa các đoạn khác nhau của đường cong Ngay khi đã xác định đường cong, bề mặt tương ứng cũng có thể dễ dàng xác định

Bằng cách xử dụng các dạng mới của đường cong tham số, đường cong và mở rộng hơn cho bề mặt, được tạo ra một cách nhanh chóng, chính xác

2.1.5 Nối các điểm với các phương pháp nội suy khác nhau

Cho trước 1 tập các điểm {P i } Để nối các điểm Pi, có thể dựa trên các điểm nội suy theo một trong các cách:

─ Nội suy cho từng đoạn theo kiểu hằng là không liên tục

─ Nội suy cho từng đoạn theo đa thức bậc 1 là C0 Các khối đa diện thường được mô tả dựa trên cách nội suy phân đoạn theo đa thức bậc 1

─ Cần đến các đường cong và mặt bậc cao để đạt tính liên tục cao hơn

H1.14

1 Nội suy đường cong đa thức bậc 1

Một đa thức tham số được dùng để xác định 1 đường cong trong không gian R3 Giả

sử cần nối các điểm cho trước theo kiểu đa thức bậc 1 (đoạn thẳng) như sau:

x b

a y

y b

a 



 z

z b a

Một cách tổng quát, đường cong có thể được sắp xếp lại ở dạng ma trận:

[x(u) y(u) z(u)] = VT(u) = UT(u)Q

Cần xác định các hệ số Q dựa vào điều kiện hình học Ví dụ: V(u) đi qua P0 và P1

VT(u) = UT(u)Q 

Q ) 1 ( U P

Q ) 0 ( U P

T T 1

T T 0





Khi đó:

hay G = MQ  M-1G = Q

Mô tả đường cong tham số trở thành: VT(u) = UT(u)M-1G với :

─ M-1 là ma trận cơ sở ( không phụ thuộc các điều kiện hình học)

x 0P

P y 1

y 0P

P







z 1

z 0P

P = 



1

0 



1

1





 x

x b

a y

y b

a 



 z

z b a

G M Q

─ Các hàm kết nối bậc 1: V(u) = B0(u)*P0 + B1(u)*P1

H1.16: Các hàm kết nối đa thức bậc 1

Các nhận xét về nội suy đường cong đa thức bậc 1:

─ Mỗi điểm điều khiển có 1 hàm kết nối riêng của nó Đường cong là 1

phối hợp bậc 1 của các hàm kết nối: V(u) = (1-u)*P0 + u*P1 và 





1

0 i

i(u) 1B

─ Ma trận cơ sở (M-1) và các hàm kết nối có thể tính toán độc lập

─ Sơ đồ nội suy tuyến tính phân đoạn là liên tục vị trí C0

─ Đối với đa thức bậc 1, cần 2 điều kiện hình học cho mỗi đoạn

─ Một đa thức bậc k có (k+1) hệ số và do vậy cần (k+1) điều kiện độc lập

để xác định hoàn toàn đa thức

─ Điều kiện hình học có thể có dạng tùy ý

Để đạt được tính liên tục cao hơn, cần xử dụng các đường cong đa thức bậc cao, phổ biến hơn cả là bậc 3

2 Nội suy đường cong đa thức bậc 3

Một đa thức bậc 3 xác định 1 đường cong trong R3 có dạng:

d c b a y y y y

dcba

d c b a

Khi đó đường cong có thể được viết lại : [x(u) y(u) z(u)] = VT(u) = UT(u)Q

─ Các hệ số Q chưa biết và cần phải xác định bởi 4 điều kiện hình học

3 Nội suy Hermite (Đường cong Ferguson)

Giả sử có n điểm điều khiển {Pk} với các tiếp tuyến {Tk} và V(u) là hàm đa thức tham số bậc 3 mô tả đoạn giữa Pk và Pk+1(H1.17)

Đối với V(u), ta có các điều kiện hình học sau đây (2 vị trí và 2 tiếp tuyến):

Bởi vì : VT(u) = [ u3 u2 u 1] Q

 V'T(u)= [3u2 2u 1 0] Q

Có thể viết các điều kiện hình học ở dạng ma trận: G = MQ

H1.17: Điều kiện hình học của nội suy Hermite

1 k k

T T P P

0 1 1 1

0

Q

G M

Do vậy: VT(u) = UT(u)Q = UT(u)M-1G

2 0 0 3

2

 0 1 2

1



2 0 0 3

2

 0 1 2

1 k k

T T P P

2 3

2 3

2 3

u u

u u u

u u

1 u u

1 k k

T T P P

=

T

3 2 1 0

)u(H

)u(H

)u(H

)u(H

1 k k

T T P P

─ Các hàm kết nối Hermite (H1.18)

H1.18: Các hàm kết nối Hermite Các tính chất của nội suy Hermite:

─ Đường cong Ferguson xử dụng nội suy Hermite bao gồm các phối hợp bậc 1 của các tiếp tuyến và vị trí (cho mỗi u) Nói một cách khác, đường cong là một phối hợp bậc 1 của các hàm cơ sở kết nối Hermite

─ Đường cong Ferguson có tính dễ nhận biết về mặt hình học Sơ đồ nội suy Hermite phân đoạn là liên tục tiếp tuyến C1

─ Các hàm kết nối có tính địa phương, nghĩa là thay đổi 1 điểm điều khiển hay 1 véc tơ tiếp tuyến làm thay đổi lân cận điểm đó nhưng phần còn lại của đường cong không thay đổi

─ Nhược điểm xử dụng đường cong nầy là phải có thông tin về tiếp tuyến

4 Nội suy Lagrange

Đường cong đi qua n điểm cho trước có dạng: V(u) = 



n

1 i

1

ik

ik



 thì V(k) = Pk , tức là V(u) nội suy qua các điểm cho trước Phép nội suy sau đây dựa trên đa thức Lagrange

Đa thức Lagrange :

Bi(u) = 

 

i

j i j

ju thoả mãn Bi(k) =





0

1

ik

ik





Ví dụ : Cho trước 4 điểm P1, P2, P3, P4 Đường cong V(u) theo nội suy Lagange:

13u2

3u6

1)

41)(

31)(

21

(

)4u)(

3u)(

2u

1

1 1

1 1

19u4u2

1)42)(

32)(

12

(

)4u)(

3u)(

1u

2 2

2 2

7u2

1)43)(

23)(

13

(

)4u)(

2u)(

1u

3

3 3

3 3

11uu6

1)34)(

24)(

14

(

)3u)(

2u)(

1u

4 4

4 4

─ Các hàm kết nối

H1.19: Các hàm kết nối Lagrange

─ Đường cong dựa trên nội suy Lagrange đi qua các điểm điều khiển, tuy vậy lắc lư giữa các điểm điều khiển Điều nầy do các hàm kết nối có tổng là 1 tại các điểm điều khiển nhưng không phải là 1 tại các điểm lân cận khác

─ Mỗi đoạn của đường cong nối đến đoạn kế tiếp tại một điểm điều khiển, các độ dốc tại điểm nối có thể khác nhau, dẫn đến khả năng gãy góc cho đường cong

─ Đường cong Lagrange có thể đi ra ngoài đa tuyến lồi của các điểm điều khiển Do vậy đường cong dựa trên phép nội suy Lagrange không được dùng phổ biến trong kỹ thuật mô hình hóa hình học

5 Đường cong Bezier

Giả sử cho trước 4 điểm (H1.20) Đường cong phân đoạn Bezier bậc 3 xác định bởi 4 điểm cho trước P0, P1, P2 và P3 trong đó: P0 & P3 là các điểm đầu và điểm cuối; P1 &

Đường cong Bezier được tạo ra theo cách sau:

H1.20: Đường cong Bezier

1 0 1

2 1 2

V1(u) =(1-u)q1(u)+uq2(u) ;

V2(u) =(1-u)q2(u)+uq3(u)

V(u) = (1-u)V1(u)+uV2(u)

= (1-u) 1uq1(u)uq2(u)u 1uq2(u)uq3(u)

=1u2q1(u)2u(1u)q2(u)u2q3(u)

2 1 1

0 2

PuP)u1(uPuP)u1()u1(u2PuP)u1(u

2

2 1

2 0

3

PuP)u1(uP)u1(u3Pu

PPPP

1 3630

3300

0

PPPP

 V(u)=

T

3 2 2 3

u

)u1(u

)u1(u

)u1(

PPP

P =

T

3 2 1 0

)u(B

)u(B

)u(B

)u(B

PPP

─ Các hàm kết nối: Với u  [0, 1], tất cả các hàm kết nối đều không âm

(H1.21) Ngoài ra, dễ dàng nhận thấy rằng 



3

0 i

i(u) 1B

H1.21: Các hàm kết nối Bezier

─ Bậc của đường cong Bezier xác định bởi 4 điểm điều khiển là bậc 3

─ Nói chung, một đường cong đa thức tham số có thể nằm bên trong hoặc

bên ngoài đa tuyến lồi giới hạn bởi các điểm điều khiển (H1.22) Đường cong Bezier

đi qua điểm điều khiển đầu và cuối, xấp xỉ các điểm còn lại, và nằm bên trong đa

tuyến lồi xác định bởi tất cả các điểm điều khiển vì 



3

0 i

i(u) 1

B và Bi(u)  0 Đây là một tính chất quan trọng bảo đảm đường cong tạo ra nằm hoàn toàn trong miền tính

toán và không đi ra khỏi đa giác nầy

H1.22: Vị trí đường cong so với đa tuyến lồi

─ Đối với đường cong phân đoạn Bezier định nghĩa qua 4 điểm:

V(u) = 



3

0 i

i

i(u)*P

B với 0 ≤u≤1 Các hàm Bi(u) (0≤i≤n) là các hàm kết nối Bezier, còn gọi là đa thức Bernstein bậc 3