Phương Pháp Tính - Tóm Tắt Lý Thuyết Và Bài Tập

Phương Pháp Tính - Tóm Tắt Lý Thuyết Và Bài Tập

DAI HOC QUOC GIA TP HO CHI MINH TRUONG DAI HOC BACH KHOA

0303 LUE

TOM TAT LY THUYET VA BAI TAP

MON PHUONG PHAP TINH

Tài liệu này hoàn toàn miễn phí

Download bản mới nhất tại địa chỉ:

http://bit.ly/nguyentanhop

œ Mọi ý kiến đóng góp vui lòng gởi về địa chỉ:

MX hopneuyenktv @ gmail.com

@ 0932735076

“Đường tuy ngăn, không đi không đến

Việc tuy dễ, không làm không xong.”

-¬- Tuân Tử -

“Người thầy tầm thường tường thuật Người thây tốt giải thích

Người thây giỏi thể hiện Người thầy vĩ đại truyền cảm hứng.”

-William Arthur Ward -

“Những gì chúng ta làm cho bản thân rồi cũng sẽ mất

Những gi chúng ta làm cho người khác sẽ còn lại mãi mãi.”

CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG VÀ ĐẠT ĐƯỢC NHIÊU ƯỚC MƠ

Số Gần Đúng Và Sai Số:

, yg , Sai số tuyệt | Sai số thực | Sai số tương

Sô chính xác | Sô gân đúng | Sô làm tròn

Ví dụ: Biết A có giá trị gân đúng là a = 1.2145 với sai số tương đổi ða = 0.16% Ta làm

tròn a thành a* theo nguyên tắc quá bán đến chữ số lẻ thứ 2 sau dẫu phẩy Sai số tuyệt doi của a* là:

Ví du: Cho a = 0.3708 voi sai sé twong doi la da = 0.51% S6 chit s6 dang tin trong cách viết thập phân của a là:

Sai số tuyệt đối của hàm f(x.y.z):

Ar= lfc |- Ay + lf |-4, + fz |-Az

Ví du: Cho ham f = x’ — xy —y’ Biết x = 3.8175 +0.0017 và y = 3.7032 +0.0029 Sai số

tuyệt đối của ƒ là:

Az= |ƒ£l.Ax + |ƒ|.Ay= |3x? — y| x 0.0017 + |—x — 3y?| x 0.0029

Bấm CALC, nhập x = 3.8175 va y = 3.7032 Ta được A; = 0.1985

Khoảng Cách Ly Nghiệm:

Là khoảng đóng [a,b] hoặc khoảng mở (a,b) mà trên đó tồn tại duy nhất 1 nghiệm của phương trình f{x) = 0 Nghia 1a f(a).f(b) < 0

Sai Số Tổng Quát:

If x")

m

|x” — #|< (m la min{lf'(@IL, IF’ (DI)

Ví dụ: Phương trình f(x) = 2x’ + 12x -15 = 0 trong khoảng cách ly nghiệm [ 1,2] có nghiệm gân đúng là x* = 1.03 Sai số nhỏ nhất theo công thức đánh giá sai số tổng quát của x* là:

Trả lời:

If'(x)| = l6x? + 12| > min{|ƒ“Œ)|, |ƒˆ(2)|} = 18 =m

lx"—#| < =3

Bắm CALC, nhập x* = 1.03 Ta được sai số = 0.0253

Phương Pháp Chia Đôi: (Nhớ chuyển sang radian — SHIFT-MODE-4(Rad))

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong khoảng cách ly nghiệm [a,b]:

a+b

2

Tinh f(a), f(b), x =

Tinh f(x) Néu f(x) va f(a) cing dau thì đặt a = x Ngược lại đặt b = x

Sai số phương pháp chia đôi:

voi n la sé lan chia doi

Phương Pháp Lặp Đơn:

Hệ số co q với: |øg ()| < q hay „e[zpjLg ()Ì=q4, 0<q<1

Công thức tiên nghiệm: (để xác định số lần lặp)

Ví du: Cho phuong trinh x = V2x + 13 théa diéu kién lap don trén [2,3] Sie dung

phương pháp lặp, chọn xạ = 2.63, tìm số lân lặp tối thiểu để được nghiệm với sai số tiên

nghiệm nhỏ hơn 10 ”

Trả lòi:

Bước 1 Tinh hé sé co a:

lg'(a)| valg’(b)| > maxlg]= q

Lưu giá trị tính được vào biến A (SHIFT — STO — A)

U 1OUe S45 722 > U 1006 S45 722 Bước 2 Sai số tiên nghiệm < 10”:

> J.[il/53B54Bmm' 5 oe POLS sox?

logs (Ans) "

> 6, 968309906 > Số lần lặp tối thiểu là 7

Vi dụ: Cho phương trình x = VBx + 11 thỏa điêu kiện lặp đơn trên [3,4] Nếu chọn xạ=3.5 thì sai số của nghiệm gân đúng x; theo công thức hậu nghiệm là:

Trả lời:

Bước 1 Tinh hé sé co a:

lợø (a)| và|g(b)|_ > mazlg] = q

Lưu giá trị tính được vào biến A (SHIET — STO - A)

Ví dụ: Phuong trinh f(x) = 5x°—7x’ + 19x-16=0 trong khoảng cách ly nghiệm [0.5, 1] Với xạ = 0.6 nghiệm gân đúng x; theo phương pháp Newton là:

Trả lời:

Tính đạo hàm f(x)=15x”—14x+19

5X3— 7X? + 19X - 16 X—

15Xˆ — 14X + 19 CALC X = 0.6 = x;

CALC X = Ans = x) > x, = 0.9493

Ví dụ: Phuong trinh f(x) = 4x° +6x°+17x+22.5=0 trong khoảng cách ly nghiệm [-2, -1] Theo phương pháp Newton, chọn xọ theo điều kiện Fourier, sai số nghiệm x; theo công thức sai số tổng quát là:

CALC X =-2 > =xl 3 = Ax; 3 =X, 3 = Ax, = 0.0130

Phan Tich A = LU Theo Phuong Phap Doolittle:

Ñ — đị;

đị1 L,=— t1 Uy

Phân Tích A = BBÏ Theo Phương Pháp Cholesky: (ma trận đối xứng)

2 —1 4

Vi du: Tinh chuan I và chuẩn vô cùng của ma trận A =|5 3 2

6 -—7 3 Chuẩn 1 (max tông cột):

Số điều kiện của ma trận A theo chuẩn vô cùng k < IIAII.I| All = 20x23/116 = 3.9656

Chú ý: (Số điều kiện chuẩn làm tròn lên)

Phuong Phap Lap Jacobi Va Gauss-Seidel:

Ma trận T của phương pháp lặp Jacobi có dạng:

Ví dụ: Cho hệ phương trình mi — 15x; = 6 voi xO = (f° 1) vectơ x theo

phuong phap lap Jacobi la:

Trả lời:

Chuyển hệ phương trình về dạng:

1 X1 = 1a (6 + 2X2)

1 X2 — —1e (6 + 6x1)

Bắm máy: X = (6 + 2B) + 13: B=(6+ 6A) + (-15): A=X

CALC B =-0.4, A =0.3

Nhắn dấu “=” cho tới nghiệm xf: A = 0.3765, B = -0.5502

11x, — 5X; = 3 2X, + 13x, =4 voi x 1 2 — = (2) sai số Ax(?) của vectơ

Ap dụng công thức hậu nghiệm:

Bam may: A = (7 —7B) + 10: B=(5 + 5A) + 18

CALC B = 0.4, (khéng nhap A)

Nhan d4u “=” cho t6i nghiém x: A = 0.4233, B = 0.3954

9x, — 2X2 = 6

Vi du: Cho hé phuong trinh {aa + 14x; = 4 với X r+ (0) — ( 07) sai so Ax”? 0.8 x (2) cua vecto ma;

x?) theo phuong phdp Gauss-Seidel, sử dụng công thức tiên nghiệm với chuẩn vô cùng

Nhắn dấu “=” cho tới nghiệm xÊ

37/45 \ 0.8 1/45 (1) — (0) = (1) _ x„(0) =

Đa Thức Nội Suy Của Hàm Số:

Ví dụ: Xây đựng đa thức nội suy của hàm số y = ƒx) được xác định bởi:

Đa thức nội suy có dạng y = P(x) = a2X” +aX + 8 Thay lần lượt các tọa độ ta được hệ:

0.a¿ +Ũ.a¡ + aạ = 1 aA =1 l.ag+1.a,; +a) =-1 © ja, =-19/6 9.a2 +3.a, tay =2 a, = 7/6

Da Thirc Noi Suy Lagrange:

Ví dụ: Cho bảng giá trị của hàm số y = fix):

Dùng đa thức nội suy tìm được tính giá trị gân đúng của ƒ(2.5)

Trả lời:

Ta lập bang tỉ sai phan (TSP):

Spline Bac 3: Da thitc bac 3 g(x) có dạng:

Gu(X) = Ay + by (x — xy) + C(x — X_)? + dy (x — XR)?

Nhiém vu can tim ay, by, c¿, dự, để suy ra đa thức øk(X)

An-1 = Xn — Xn-1)

ho = (XịạT— xo); hị = (X;¿ — #4); ; Spline Bac 3 Tự Nhiên:

Đặt 2 ma trận A và B có dạng như sau:

Ma trận A: Đường chéo chính có dạng: I ; 2(hg+h¡) ; 2(h¡+h;) ; 2(hạ s+hạ) ; Ì Ở 2 bên

phần từ 2(hạ+h¡) là hạ và hạ, hai bên 2(h¡+h;) là hị và hạ, tương tự đến 2(h„ z+h„ ¡) 14 hy»

và h,.; Tat ca phan tử còn lại là sô 0

Ma trận B: Phần tử đầu và cuối = 0 Còn lại có dạng như sau:

Các hệ số của øu(x) được xác định như sau:

Giải hệ AC = B ta tìm được ma trận C = (Cọ, C1, -5 Cat, Cn)

Các hệ số của øu(x) được xác định như sau:

Qy = Vr 1m

Bam may: MODE => 3(STAT) => 2(A+BX) => Nhập X và Y — Bắm AC để Thoát

Bam SHIFT 1 > 5(REG) => 1(A) va 2(B)

A = 0.7671 ; B = 1.0803 = f(x) = 0.7671 + 1.0803x

* Truong hop f(x) = A + Bx + Cx’:

Vi du: Tim ham f(x) = A + Bx + Cx’ xdp xi tốt nhất bảng số:

Bam may: MODE => 3(STAT) => 3(_+CX’) > Nhap X va Y > Bam AC để Thoát

Bam SHIFT 1 > 5(REG) => 1(A), 2(B), 3(C)

Bam may: SHIFT > MODE => STAT => Mii tén xuéng => Frequency > ON

MODE => 3(STAT) => 2(A+BX) => Cét X nhap VX, cột Y nhập cos(X), nhắn AC

SHIFT => 1 > 3(SUM) => 1 (x?) => SHIFT-STO-A

SHIFT => 1 => 3(SUM) > 5 ()| xy) > SHIFT-STO-B

SHIFT => 1 => 3(SUM) > 3 (| y?) => SHIFT-STO-D

SHIFT>1=> 2(DATA) = Nhập Y vào cột FREQ (không được nhập ở bước trên)

SHIFT>1=> 4(VAR) > 2(x) > x > SHIFT>1> 4(VAR) > 1(n) > SHIFT-STO-C

SHIFT>1=> 4(VAR) > 5(y) > x > SHIFT>1=> 4(VAR) > 1(n) > SHIFT-STO-M

Giai hé phuong trinh:

LD eM Bx+Dy=M Gia tri x, y tim dugc 1a hệ số A, B của f(x) = A.p(x) + B.q(x) = 2.0050-Vx + 0.4867.cos(x)

Céch2:Dat vVx= g(x) ; cos(x) = h(x)

Bắm máy: (Nhớ đổi qua Radian vì hàm chứa lượng giác)

A, B, C, D, M ban đầu nhập = 0

X, Y nhập theo bảng cho đến hết Cho máy chạy đến khi tính xong M thì dừng

Giải hệ phương trình:

LD eM Bx+Dy=M Cách bam này máy tính sẽ hỏi X sau khi hỏi A, và hỏi Y sau khi hỏi B và C Nên bạn chú

ý nhập cần thận, nếu không sẽ phải nhập lại từ đầu

Công Thức Sai Phân:

h Sai phan lui:

Sai phan hướng tâm (tại x¡):

ƒŒo + h) — ƒŒạ — h)

2h

ƒŒa) =

Sai phan lui (tai x2):

ƒŒo — 2h) — 4ƒ(%ạ — h) + 3f (Xo)

Cong Thirc Hinh Thang:

Ví dụ: Tính gân đúng tích phân sau bằng công thức hình thang mở rộng khi chia đoạn [0,1] thanh n = 10 đoạn nhỏ

ƒ dx

[=

9 1+x

Trả lời:

1+x 0;b ih n 10

Ví dụ: Tính gân đúng tích phân sau bằng công thức Simpson mở rộng khi chia đoạn [0,1] thanh n = 10 đoạn nhỏ

thì nhập B =1 Ta được giá trị A = tích phân

Với bài này chúng ta sẽ nhập như sau:

Áp dụng công thức Euler cải tiễn ta có:

Nhap Y ban dau = 0.5 , X ban đầu = 0

Dén khi X? = 1.8 thi bam dau bang ta duoc két qua Y

Koy = hg te + 5% + ye +)

Kay = he f (ty + h,xw + K:„,V + Koy)

Kay = h.g(tx + h, Xx + K3,y, Vr + K3y)

Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn:

GIẢI ĐÈ CUÓI KỲ 2011 — 2012

Câu 1 Cho phương trình ƒ(x) = eX + 2x? + cosx — 10 = 0 trong khoảng cách ly

nghiệm [1 , 2] Sử dụng phương pháp Newton, tìm nghiệm gân đúng x; của phương trình trên và đánh giá sai số của nó

5, obo le44 5, ofbol0e44

Néu f(a) f(a) > 0 chon xp = a Néu f(a) f(a) < 0 chon xp =b

Sit dung spline bac ba g(x) thỏa điều kiện g'(1.1) = 0.2, g'(2.1) = 0.5 nội suy bảng số

trên đề xấp xỉ giá trị của hàm tại x = 1.4 và x = 1.9

Ta c6 2 hàm sô:

{a = 2.2 +0.2(x — 1.1) + 23.55(x — 1.1)? — 23.1@ — 1.1), x € (1.1,1.6) g(x) = 5.3 + 6.425(+x — 1.6) — 11.1(+ — 1.6)” + 6.9(x — 1.6), x€(1.6,2.1)

Dap so: g(1.4) = 3.7558 , g(1.9) = 6.4148

Câu 3 Cho hệ phương trình

1.34x, + 29x; — 3.24x¿ = 15.73 1.18x, — 4.87x, + 32.6x, = 18.42

Sue dung phuong phdap Gauss-Seidel, voi x = (0.1, 0.3, 0.4)", tim vecto x”

Tra loi:

A = (12.89 — 2.73B + 1.85C) + 34: B = (15.73 — 1.34A + 3.24C) + 29: C= (18.42 — 1.18A + 4.87B) + 32.6

CALC B=0.3=,C=04,A=0.1=

Nhân dâu = và đọc các gia tri x

Cách 1 (Nên dùng): (Nhớ đổi qua Radian vì hàm chứa lượng giác)

Bam may: SHIFT > MODE => STAT => Mii tén xuéng => Frequency > ON

MODE => 3(STAT) => 2(A+BX) = Cột X nhập X, cột Y nhập cos(X), nhắn AC

SHIFT => 1 — 3(SUM) — 1 };x”) — SHIFT-STO-A

SHIFT => 1 3(SUM) > 5 Ô;xy) — SHIFT-STO-B

SHIFT => 1 3(SUM) 3 @ y?) > SHIFT-STO-D

SHIFT— 1 2(DATA) = Nhập Y vào cột FREQ (không được nhập ở bước trên)

SHIFT>1=> 4(VAR) 2(x) > x > SHIFT>1> 4(VAR) > 1(n) > SHIFT-STO-C SHIFT>1=> 4(VAR) > 5(y) > x > SHIFT>1=> 4(VAR) > 1(n) > SHIFT-STO-M

Giai hé phuong trinh:

[Dx + py— M

Bx + Dy=M Gia tri x, y tim dugc 1a hé số A, B của f(x) = A.p(x) + B.q(x) = 3.5255.x — 0.621.cos(x)

Céch2:Dat x= g(x) ; cos(x) = h(x)

Bắm máy: (Nhớ đổi qua Radian vì hàm chứa lượng giác)

A=A+g7(z):B =B+ g(z)h(x):C = € + g(«)Y:D = D+ h?(x):M =M + h(x)Y

A, B, C, D, M ban đầu nhập = 0

X, Y nhập theo bảng cho đến hết Cho máy chạy đến khi tính xong M thì dừng

Sau đó giải hệ phương trình:

[Bx+py—

Bx + Dy=M Cách bắm này máy tính sẽ hỏi X sau khi hỏi A, và hỏi Y sau khi hỏi B và C Nên bạn chú

ý nhập cần thận, nếu không sẽ phải nhập lại từ đầu

Câu 5 Cho bảng số:

Đặt P(z) = aạ + a+x + a;xŸ + aaxŸ

Dao ham: y’(x) = P’(x) = a, + 2a,x + 3a,x?

Giai hé phuong trinh:

⁄q—#g Xi Xã XỈ X3 | Vi —Yo 02 0.08 0.026

Xo —X x2 —xe #3 —Xã | Yz—Ÿo |=|0.5 0.35 0.215 1.3

0.8 xa—xạ x‡ x$ x$—x$ | Y3—o 08 08 0.728 | 19

Mẹo: Bấm X - Y, X” - YŸ, X”— YỶ CALC rồi nhập các giá trị x (Xo, X1, xạ, xạ) dé tinh X1 — Xp x2 — x2 , x? — x, theo cot cho nhanh

Hãy xấp xỉ tích phân I bằng công thức hình thang mở rộng với n = 8

x 1.0 1.2 1.4 1.6 | 1.8 2.0 | 2.2 Ix) 2 3.3 2.4 4.3 5.1 6.2 7.4

ˆ ¬ _íwy'`= 2x +xsim(x + 2y), x > 1

Câu 8 Cho bài toán Cauchy: | y(1) = 2.4

Sử dụng công thức Runge-Kutta cdp 4 hay xdp xi y(1.2) voi buéc h = 0.2

Đáp số: y(1.2) = y¡ = 2.8449

Nếu mở rộng bài toán xấp xỉ đến y; = y(1.4):

xị= 1.2, yị = 2.8449 (Kết quả vừa tính lưu vào biến F (SHIFT-STO-F))

Câu 9 Cho bài toán Cauchy: » y() = 1.2 ,y'(1) = 1 r

Đưa hệ về phương trình vi phân cấp 1 Sử dụng công thức Euler (cải tiễn), giải gân đúng phương trình với bước h = 0.2

Trả lời:

Áp dụng công thức Euler cải tiễn:

( Kị„ = h ƒ (tụ, Xk, k)

Kyy = h g( tes Xk, Ve)

Koy = h.ƒ(tụ + h,xụ + K\x,Vy + Kuy)

Koy = h.g(ty + hi xy + Kins Ve + Ky)

1

X(fy+1) Xk+1 = X¿ + 2; + Kạx)

1 y(y+1) © Versi = Ve +5 (Ky + Koy)

Câu 10 Cho bài toán biên tuyến tính cấp hai:

Đối chiếu với hệ phương trình:

poy") +q(2)y'(z) +r(x)y() = ƒ(Œ), a<x<b

X;=a+h=0.6 X,=a+2h=0.8 X3=a+3h=1.0

Từ các giá trị trong bảng ta có hệ phương trình:

a,x + bịy + 0z = d,

a,x + boy + Coz = dp

Ox + b3y + C3Z = đa

Giải hệ phương trình ta tìm được y(0.6) , y(0.8) , y(1.0)

y(0.6) =— 0.3821, y(0.8) =_— 0.1215, y(1.0) = 0.8932

MOT SO DANG KHAC

Câu 1 Cho bảng số:

Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất, tim ham f (x) = A + Bsinx + Ccos?x xdp

xi tot nhat bang so trén

Bam may: MODE —> 3(STAT) — 3(_+Cx’) Chon dang ham s6 a + bx + cx’

(Nhớ chuyền sang Radian vì hàm chứa lượng giác)

Sau khi nhập bảng số, nhắn AC để thoát

Bam tiép SHIFT > 1 > 5(Reg)

Két qua: