Ứng dụng các công cụ toán học để học tốt các môn chuyên ngành vật lý

Nhận thức được vai trò, tầm quan trọng của Toán học trong Vật Lý, việc sử dụng linh hoạt và có hiệu quả các công cụ toán học vào giải quyết các bài toán Vật Lý càng được chú trọng, đặt b

A PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Toán học và Vật Lý có mối quan hệ mật thiết với nhau Vật Lý đặt ra các bài toán đòi hỏi phải sử dụng công cụ toán học để giải quyết Và sau đó, đáp số của những bài toán này lại được các nhà Vật Lý kiểm nghiệm qua thực tế, qua các thí nghiệm Nhiều khi Toán học cống hiến cho Vật Lý những kết quả bất ngờ, mở ra hướng nghiên cứu cho các nhà Vật Lý

Nhận thức được vai trò, tầm quan trọng của Toán học trong Vật Lý, việc sử dụng linh hoạt và có hiệu quả các công cụ toán học vào giải quyết các bài toán Vật Lý càng được chú trọng, đặt biệt là sinh viên chuyên ngành Vật Lý, những người bước đầu tập làm quen với kiến thức chuyên ngành cũng như việc nghiên cứu khoa học Tuy nhiên việc giải quyết các vấn đề Vật lý đặt ra nhiều thách thức với những nguyên nhân khách quan và chủ quan Học chế tín chỉ quy định việc giới hạn về số tiết lên lớp khiến cho sinh viên gặp không ít khó khăn trong việc lĩnh hội một lượng lớn kiến thức Các môn chuyên ngành quan trọng như Cơ lượng tử, Vật lý thống kê, Điện động lực học, thường được học vào học kỳ 2 của năm 3,4; đây cũng là thời điểm sinh viên tham dự đợt thực tập sư phạm 1 và 2 dẫn đến việc sinh viên phải tiếp thu một khối lượng kiến thức không hề nhỏ trong khoảng thời gian 2 tháng; ngoài ra mỗi sinh viên có khả năng tiếp thu và khả năng tư duy toán học khác nhau trong khi giáo trình đa phần không trình bày lời giải chi tiết hay chưa cung cấp các công cụ toán học được sử dụng trong bài giải khiến sinh viên khó hiểu nên thường gặp khó khăn trong việc giải bài tập tương tự và nâng cao Quan trọng hơn, các môn chuyên ngành Vật Lý, đặc biệt là Vật Lý lý thuyết đòi hỏi kiến thức toán nhiều, hiểu biết sâu sắc và vận dụng linh hoạt các kiến thức toán Với trình độ sinh viên, những khó khăn trong việc áp dụng các công cụ toán học vào việc học các môn chuyên ngành Vật Lý ở bậc đại học là điều tất yếu Từ đó tôi chọn đề tài “Ứng dụng công cụ toán học để học tốt các môn chuyên ngành Vật Lý” với hi vọng góp phần nâng cao hiệu quả việc học tập các môn chuyên ngành Vật Lý ở bậc Đại học

2 Đối tượng tượng nghiên cứu: các công cụ toán học phục vụ giải bài tập Vật lý cơ lượng tử, vật lý thống kê, điện động lực học

3 Mục đích nghiên cứu: Ứng dụng một số công cụ toán học vào giải quyết

các bài tập Vật Lý chuyên ngành góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học

4 Phạm vi nghiên cứu: Phân loại theo chủ đề và giải chi tiết bài tập đặc trưng của 03 học phần: Cơ lượng tử, Vật Lý thống kê, Điện động lực học

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp toán học: dùng tư duy, logic toán học để xây dựng logic nghiên cứu

+φ(q) được chuẩn hoá về đơn vị Việc nhân hàm j với *

+ được gọi là phép chuẩn hoá hàm j về đơn vị Hàm đã được chuẩn hoá theo (1) có thể sai khác nhau một thừa số có modul bằng đơn vị

Trường hợp: 𝜑(𝑞) %dq ® ¥ thì các hàm của không gian này không được đánh số bằng các số tự nhiên mà có thể đánh số cho nó bằng chỉ số f: jf ÎF(q) trong đó f trải từ 𝑓-®¥ một cách liên tục Ta gọi các hàm jf ÎF(q) là hàm ứng với phổ liên tục Và khi đó jf được chuẩn hoá về hàm delta: d

Với hàm delta một biến được định nghĩa như sau:

δ x = 0, ∀x≠0 ∞, x=0 và :∞9∞δ x 𝑑𝑥 = 1Hàm d có nhiều biểu diễn tường minh Một trong các biểu diễn như thế được viết dưới dạng:

δ x = 1

2𝜋 𝑒>?@𝑑𝑞

9A :A

Þ điều kiện chuẩn hoá hàm jf về hàm d như sau:

𝜑B'∗ 𝑞 𝜑B 𝑞 𝑑𝑞 = δ(f − f′)

1.1.2 Bài tập


Chuẩn hoá các hàm số sau: Ae-ax2

(a>0;-¥<x<+¥)

Lời giải Đặt j(x)=Ae-ax2 (a>0;-¥<x<+¥)

Hàm y(x) ứng với phổ rời rạc cho nên ta chuẩn hoá hàm y(x) về đơn vị:

Tức là: Ψ∗(𝑥)Ψ(𝑥) 𝑑𝑥 = 1Û 9A𝐴%𝑒:%I@J

:A =1 Đặt 2a =a => :A9A𝐴%𝑒:K@J = 1

9A :A

riêng của toán tử 𝐹 Với: f là giá trị riêng; x là vectơ riêng.


Phương trình cho trị riêng và vectơ riêng của một ma trận vuông cấp p:

𝜌 𝑞 = 𝜑(𝑞) % =𝑑𝑤(𝑞)

𝑑𝑞Khai triển hàm y theo hệ {yn }

Ψ = r𝐶rΨr hoặc 𝐶BΨB𝑑𝑓

Với (Ψr, Ψr′) = 𝛿𝛿rr' 𝑛ế𝑢 {𝜓 𝑛ế𝑢 {𝜓r} 𝑙à ℎệ 𝑟ờ𝑖 𝑟ạ𝑐} 𝑙à ℎệ 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐

Ψa‰ 𝑥 = 1

2𝜋ℏ𝑒𝑥𝑝

𝑖

ℏ𝑝@ 𝑥 , (−∞ < 𝑝@ < +∞) Khai triển hàm yn(x) theo hệ hàm riêng của toán tử xung lượng 𝑝@ = −𝑖ℏ ˆ

-I 𝑑𝑥

I -Đặt 𝛼 = −>

ℏ𝑝@; 𝛽 = rX

I ta có:

𝐼 = 𝑒K@sin (𝛽𝑥)𝑑𝑥I

𝛼 sin 𝛽𝑥 − 𝛽𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 -I]

=> 𝐼 = ”@a{K@}

K J 9• J 𝛼 sin 𝛽𝑎 − 𝛽𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑎 + *

K J 9• J𝛽 = 𝑒𝑥𝑝 −

𝑛%𝜋%ℏ%− 𝑎%𝑝%𝑛𝜋 1 − −1 r𝑒𝑥𝑝 𝑖

ℏ𝑝@ 𝑥 =(IXℏ)ℏr XIℏJ:IJaJ 1 − −1 r𝑒𝑥𝑝 ℏ>𝑝@ 𝑥

Vậy xác suất để đo được giá trị px của xung lượng một hạt lượng tử ở trạng thái yn (x) là w(px ):

Có thể biểu diễn hàm F qua hàm y:

𝐹 = Ψ∗𝐹Ψdq = Ψ, 𝐹Ψ khi y đã chuẩn hoá

𝐹 = ››∗∗œ›•ž›•ž = ›,œ››,› khi y chưa chuẩn hoá

1.4.2 Bài tập


Bài 4.1 Tính giá trị trung bình của phép đo các đại lượng x, 𝑥% tương ứng 𝑥, 𝑥% và

cõc đại lượng p, 𝑝% tương ứng với cõc toõn tử:

2ℏPhón tợch

+ Ta thấy: Ψ∗(x)Ψ(x)dq = đêXℏ

ô J

𝑒𝑥𝑝 −đêℏJ𝑥% 𝑑𝑥

9A :A

𝐹 = Ψ∗(x)𝐹Ψ(x)dx

Ψ∗(x)Ψ(x)dx+ Tợch phón Poisson thường gặp trong cõc bỏi toõn cơ lượng tử:

𝑥%r𝑒:I@J𝑑𝑥 = 2𝑛 − 1 ‼

2r

9A :A

𝜋

𝑎%r9*

vỏ tợch phón :A9A𝑒:I@J𝑑𝑥 = X

ILời giải

(vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ)

= 𝜔 𝑚𝜋ℏ

2ℏ 𝑥% (−𝑖ℏ)

𝜕

𝜕𝑥𝑒𝑥𝑝 −

𝑚𝜔%2ℏ 𝑥% 𝑑𝑥

9A :A

= 0 (Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ)

2ℏ 𝑥% −

𝑚𝜔%ℏ

𝜕

𝜕𝑥𝑒𝑥𝑝 −

𝑚𝜔%2ℏ 𝑥% 𝑑𝑥

9A :A

𝜋ℏ

*

%𝑒𝑥𝑝 −𝑚𝜔%

𝑚𝜔%2ℏ 𝑥% 𝑑𝑥

= −ℏ% 𝜔 𝑚𝜔

2ℏ

*

% −𝑚𝜔%

= ℏđ

É°J ℏ

−đêJ

ℏ *

% X

É°J ℏ

Trong đụ E lỏ trị riởng của toõn tử Halmiton 𝐻

∇%Ψ 𝑟 +%đℏJ 𝐸 − 𝑈 𝑟 Ψ 𝑟 = 0 (1.2) Phương trớnh (1.2) được gọi lỏ phương trớnh Schrodinger dừng cho vi hạt chuyển động trong trường thế U(𝑟)với năng lượng E khừng đổi theo thời gian

Cún nếu U(𝑟)=u(x) thớ (2) được viết cho trường hợp một chiều:

𝑑%Ψ(x)

𝑑𝑥% +2𝑚

ℏ% 𝐸 − 𝑈 𝑥 Ψ 𝑥 = 0 Đối với hệ n hạt chuyển động trong trường thế u(q)=u(𝑟*, 𝑟%, … , 𝑛) phương trớnh Schrodinger cụ dừng cụ dạng:

∇u% +r

íï

ïî

D + [ - )]y( ) 0r

ìïïïïïïíïïïï

ïî

1.5.2 Các bài toán vi hạt trong giếng thế

1.5.2.1 Chuyển động của hạt tự do một chiều

1.5.2.1.1 Các tính chất của chuyển động một chiều

Phương trình Schrodinger trong trường hợp chuyển động một chiều theo trục x có dạng:

𝐻Ψ 𝑥 = Ε Ψ 𝑥 với 𝐻 = −2𝑚ℏ2 𝑑𝑥𝑑22+ 𝑈(𝑥) (2.1) Viết dưới dạng phương trình vi phân ta được:

ˆJ›(@) ˆ@ J +%¢

ℏ J [𝐸 − 𝑈 𝑥 ] Ψ 𝑥 = 0 (2.2) Trong đó U(x) là thế năng không phụ thuộc thời gian Trạng thái và năng lượng của hạt tìm được bằng cách giải phương trình (2.2) có dạng phụ thuộc vào dạng của thế năng U(x)

Ta khảo sát trường hợp khi thế năng có dạng tổng quát như ở hình 2.1

Hình 2.1 Dạng thế năng U(x) trong trường hợp tổng quát

a Trạng thái liên kết: Khi hạt bị giam giữ trong một chiều nào đó thì chuyển động của hạt giới hạn về cả hai phía, ví dụ trên hình 2.1 chuyển động của hạt có năng lượng E<U1 bị giới hạn trong miền 𝑥* ≤ 𝑥 ≤ 𝑥% Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng (và đạo hàm theo tọa độ của nó) tại các điểm biên trong lúc giải phương trình Schrodinger, ta nhận được phổ trị riêng của năng lượng là gián đoạn (năng lượng bị lượng tử hoá)

b Trạng thái không liên kết: khi chuyển động của hạt không bị giới hạn, ta nói trạng thái của hạt không liên kết (chuyển động tự do) Trên sơ đồ thế năng ở hình 2.1 có 2 miền ứng với chuyển động tự do của hạt

+ Trường hợp hạt có năng lượng ở trong khoảng 𝑈* < 𝐸 < 𝑈%: chuyển động của hạt là vô hạn về phía x=−∞ Điều đó có nghĩa là hạt có thể chuyển động giữa

𝑥 = 𝑥š và x→ −∞ Phổ năng lượng trong chuyển động này là liên tục và không suy biến ứng với hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của trục x

+ Trường họp E>𝑈%: Hạt chuyển động ra xa vô hạn về cả hai phía (x→ ±∞) Điều này ứng với một giá trị năng lượng của phương trình (2.2) có hai hàm riêng, một ứng với chuyển động tự do của hạt theo chiều dương, một theo chiều âm

+ Trường hợp thế năng đối xứng: Trong trường hợp thế năng là một hàm chẵn đối với tọa độ thì Hamiltonian cũng là hàm chẵn, lúc đó hạt ở trạng thái liên

kết vỏ nghiệm của phương trớnh Schrodinger (2.2) được phón thỏnh hai lớp: lớp nghiệm chẵn (Ψ 𝑥 = Ψ(−𝑥)) vỏ lớp nghiệm lẻ (Ψ 𝑥 = −Ψ(−𝑥))

1.5.2.1.2 Chuyển động của hạt tự do

Ta xờt một hạt chuyển động tự do một chiều theo trục x Vớ thế năng U(x)=0 nởn phương trớnh Schrodinger cho trạng thõi dừng của hạt cụ dạng:

ˆJ›(@) ˆ@ J +%đãℏJ Ψ 𝑥 = 0 (2.3) Đặt 𝑘% =%đãℏJ thớ nghiệm của phương trớnh (2.3) cụ dạng:

Ψu 𝑥 = 𝐴𝑒>u@ + 𝐵𝑒:>u@ (2.4)

Số hạng thứ nhất trong (2.4) mừ tả chuyển động theo chiều dương của trục x (sụng tới), số hạng thứ hai mừ tả chuyển động theo chiều óm (sụng phản xạ) Biểu thức (2.4) cụ thể viết gọn lại như sau:

Hỏm sụng phụ thuộc thời gian ứng với hạt tự do ở trạng thõi dừng cụ dạng:

Ψu 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑒> u@:ℏỊJJÉ ½

Trong đụ, ta đọ thay giõ trị của E theo (2.6)

Hàm sóng ứng với hạt tự do là nghiệm của phương trình Schrodinger tổng quát và

có dạng:

Ψ 𝑥, 𝑡 = :AA 𝑐uΨu 𝑥, 𝑡 𝑑𝑘 = 𝐴 :AA 𝑐u𝑒> u@:£½ 𝑑𝑘 (2.9) Với A= *%X do điều kiện trực chuẩn của hàm riêng thuộc phổ liên tục dạng (2.5) và

Điều kiện chuẩn hóa: Ψ(𝑥) Ψ(𝑥) = 1

⟺ A Ψ 𝑥, 0 %𝑑𝑥:A

I

Như vậy, hàm sóng của hạt ở thời điểm t có dạng:

Ψ 𝑥, 𝑡 =X %I* :AA áạằ uIu 𝑒> u@:ℏỊJJÉ ½

Tợch phón trong (2.15) khừng thể biểu diễn qua hỏm sơ cấp mỏ chỉ cụ thể tợnh được bằng phương phõp số

1.5.2.2 Giếng thế một chiều vuừng gục sóu vừ hạn

1.5.2.2.1 Miền khừng đối xứng

Xờt trường hợp một hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều cụ bề rộng L Lỷc đụ hạt hoỏn toỏn bị nhốt trong giếng Về mặt hớnh thức hạt cụ thể coi tương đương với một viởn bi trượt khừng ma sõt dọc theo một sợi dóy được căng giữa hai bức tường rắn sao cho va chạm của bi với chỷng lỏ tuyệt đối đỏn hồi Thế năng đang xờt cụ dạng như hớnh 2.2

Dạng giải tợch của thế năng lỏ:

U(x)= 0, 𝑘ℎ𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿

∞, 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 0, 𝑥 > 𝐿(2.16)

E Hớnh 2.2: sơ đồ thế năng của giếng thế một chiều vuừng gục sóu vừ hạn

Ta thấy bởn ngoỏi giếng thế U(x)=∞, hỏm sụng Ψ 𝑥 = 0, hạt khừng tồn tại ở ngoỏi giếng thế Như vậy ta chỉ xờt hạt trong giếng thế (0≤ 𝑥 ≤ 𝐿)

Phương trớnh Schrodinger cho trạng thõi dừng cụ dạng:

ˆJ›(@) ˆ@ J +%đã

Hàm sóng (2.19) có thể viết lại như sau:

Ψr 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛rXÃ 𝑥 (2.21) Điều kiện chuẩn hóa: Ψ(𝑥) Ψ(𝑥) = 1

⟹ 𝐴 % 𝑠𝑖𝑛%𝑛𝜋

𝐿 𝑥𝑑𝑥 = 1 ⟹ 𝐴 =

2𝐿

Ã

Vậy hàm sóng ở trạng thái dừng ứng với hạt có năng lượng 𝐸r là:

+ Mỗi trạng thái của hạt ứng với 1 hàm sóng Ψr(𝑥)

+ Năng lượng 𝐸r của hạt trong giếng bị lượng tử hóa Điều này xảy ra là do chuyển động của hạt mặc dù tự do nhưng bị giới hạn Hiệu hai mức năng lượng liền kề:

∆𝐸r = 𝐸r9*− 𝐸r = rJXJℏJ

%đẳ J = (2𝑛 + 1)XJℏJ

%đẳ J Tức lỏ khi L vỏ m cỏng bờ thớ ∆𝐸r cỏng lớn

+ Hỏm sụng Ψrcụ n-1 nỷt (điểm mỏ tại đụ hỏm sụng bằng khừng)

+ Mật độ xõc suất tớm hạt 𝜌@(𝑥) cụ n cực đại ở đụ mật độ xõc suất tớm hạt cụ giõ trị lớn nhất

vỏ cõc mức năng lượng tương ứng với cõc trạng thõi khõc nhau

Sơ đồ thế năng có dạng như hình 2.4 Vì thế năng là hàm chẵn có tọa độ nên nghiệm của phương trình (2.17) được chia thành hai lớp nghiệm lẻ và nghiệm chẵn:

a Đối với lớp nghiệm chẵn:

%Ã𝑥 Điều kiện chuẩn hóa: Ψ(𝑥) Ψ(𝑥) = 1

Ψr 𝑥 = 1

𝐿𝑐𝑜𝑠

𝑛𝜋2𝐿𝑥

𝐸r = 𝜋

%ℏ%8𝑚𝐿%𝑛% 𝑛 = 1,3,5, …

a Đối với lớp nghiệm lẻ:

Ψ 𝑥 = −Ψ(−𝑥)

%Ã𝑥 Điều kiện chuẩn hóa: Ψ(𝑥) Ψ(𝑥) = 1

Ψr 𝑥 = 1

𝐿𝑠𝑖𝑛

𝑛𝜋2𝐿𝑥

𝐸r = 𝜋%ℏ%8𝑚𝐿%𝑛% 𝑛 = 2,4,6, …

1.5.2.3 Giếng thế một chiều vuông góc sâu hữu hạn

Xét trường hợp giếng thế một chiều vuông góc sâu hữu hạn với thế năng có dạng:

U(x)= 0, 𝑘ℎ𝑖 −Ã%≤ 𝑥 ≤Ã%

𝑈-, 𝑘ℎ𝑖 𝑥 >Ã% (2.24)

Hớnh 2.5 Sơ đồ thế năng của giếng thế một chiều vuừng gục sóu hữu hạn

Sơ đồ thế năng được cho ở hớnh 2.5 Ta thấy rằng khi năng lượng E>U0 thớ hạt tự do khừng bị liởn kết, năng lượng E lỏ liởn tục Ngược lại, khi E <U0 hạt bị nhốt trong giếng, năng lượng của hạt bị lượng tử hụa ứng với cõc trạng thõi liởn kết Ta sẽ giải phương trớnh Schrodinger cho từng miền thế năng để tớm năng lượng vỏ hỏm sụng ứng với cõc trạng thõi khõc nhau của hạt trong trường hợp E<U0

Đặt k= %đã

ℏk’= %đ(ã:ẫℏ ấ) = :%đ(ẫấ :ã)

Miền III (U(x)=U0): Ψš'' 𝑥 − 𝛼%Ψš 𝑥 = 0

Nghiệm của cõc phương trớnh trởn cụ dạng:

Ψ% = Ψ* = 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥

Sử dụng điều kiện liởn tục của hỏm sụng vỏ đạo hỏm của nụ tại cõc điểm biởn

𝜉𝑡𝑎𝑛𝜉 = 𝜉-%− 𝜉% đối với lớp nghiệm chẵn,

−𝜉𝑐𝑜𝑡𝜉 = 𝜉-%− 𝜉% đối với lớp nghiệm lẻ Một cõch tổng quõt giõ trị của bề rộng giếng mỏ tại đụ cụ n trạng thõi liởn kết, nghĩa

lỏ cụ n giõ trị năng lượng được cho bởi:

𝜉- = rX% hoặc𝑈- = X% % %ℏđẳJJ𝑛%Như vậy, phổ năng lượng bao gồm cõc trạng thõi chẵn vỏ lẻ xen kẽ nhau, trong đụ trạng thõi cơ bản lỏ trạng thõi chẵn

Trường hợp giới hạn khi U0⟶ ∞thớ 𝜉- ⟶ ∞ thớ hỏm éấ

J :é J

é sẽ cắt tan𝜉 vỏ –cot𝜉 tại cõc điểm tiệm cận 𝜉 = rX%, vớ khi U0⟶ ∞ cả tan𝜉 ⟶ ∞ vỏ cot𝜉 ⟶ ∞

K ⟶ 0, hạt khừng thể ra khỏi giếng Đóy lỏ trường hợp giếng thế

vừ hạn như đọ khảo sõt ở trởn Hỏm sụng sẽ cụ dạng:

Ψ* = Ψš ⟶ 0, Ψ% ⟶ *Ã 𝑠𝑖𝑛𝑘(𝑥 − 𝐿)cosk(x − L)

1.5.2 4 Giếng thế lượng tử Parabol

Xét hạt lượng tử chuyển động trong giếng thế parabol một chiều có thế năng có dạng:

U(x)=Ax2 khi−∞ < 𝑥 < ∞

Hình 2.7: Sơ đồ thế năng của giếng thế lượng tử Parabol Năng lượng E khi thế năng có dạng U(x)=Ax2=A 𝑥 u

𝐸 = 𝑝%2𝑚+ A 𝑥 u ⟹ 𝑝 = 2𝑚𝐸 1 −

𝐴

𝐸 𝑥 uĐặt 𝑢 = ¼ Óº 𝑥 ⟹ 𝑑𝑥 = ¼ ºÓ𝑑𝑢 và 𝑝 = 2𝑚𝐸 1 − 𝑢 u

Khi x biến thiên từ -∞ đến ∞ thì u biến thiên từ -1 đến 1 nên áp dụng điều kiện lượng tử hóa Bohr – Sommerfeld ta có:

1.5.2.5 Phương trình Schrodinger trong trường hợp 2 – 3 chiều:

Ta xét trường hợp hạt chuyển động trên một mặt phẳng 2 chiều hoặc trong không gian 3 chiều Để giải phương trình Schrodinger cho các chuyển động này ta dùng phương pháp tách biến bằng cách giả sử chuyển động trên các chiều là độc lập nhau Hệ quả của điều này là năng lượng trong chuyển động nhiều chiều bằng tổng năng lượng của các chuyển động một chiều và hàm sóng bằng tích các hàm sóng

của các chuyển động một chiều Vì vậy, ta sẽ sử dụng kết quả của bài toán chuyển động một chiều đã khảo sát ở trên Khác với trường hợp một chiều, trong chuyển động nhiều chiều sẽ xuất hiện sự suy biến của năng lượng

Ta đưa ra cách giải tổng quát phương trình Schrodinger trong trường hợp hợp 3 chiều trong tọa độ Descartes, sau đó ta sẽ xét bài toán giếng thế 2 chiều, 3 chiều và bài toán dao động tử điều hòa 3 chiều

1.5.2.5.1 Giải phương trình Schrodinger trong trường hợp 3 chiều

Trong không gian Descartes 3 chiều phương trình Schrodinger dừng có dạng:

− ℏJ

%¢

mJm@ J+ mJ

mM J+ mJ

mÖ J + 𝑈 𝑥, 𝑦, 𝑧 Ψ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐸@,M,ÖΨ(𝑥, 𝑦, 𝑧) (2.28)

Vì chuyển động trên 3 trục là độc lập nhau nên ta sử dụng phương pháp phân ly biến số để giải phương trình trên, lúc đó thế năng, năng lượng và hàm sóng có thể viết dưới dạng:

U (x, y, z) =U(x)+U(y)+U(z) (2.29a)

Ψ(x, y, z) = Ψ(x)Ψ(y)Ψ(z) (2.29c) Thay các biểu thức trên bào phương trình (2.28) rồi chia 2 vế cho Ψ (x, y, z), ta được ba phương trình cho ba chuyển động một chiều theo 3 trục:

1.5.2.5.2 Hạt trong giếng thế 2 chiều

Trong trường hợp hạt bị nhốt trong giếng thế với thế năng có dạng:

U(x)= 0,

∞,

𝑘ℎ𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿@𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 0, 𝑥 > 𝐿@; 𝑦 < 0, 𝑦 > 𝐿@ (2.31) Theo (2.30), ta được phương trình cho trường hợp 1 chiều:

− ℏ%2𝑚

𝑑%

𝑑𝑥% Ψ 𝑥 = 𝐸@Ψ 𝑥 ;

− ℏ

%2𝑚

𝑑%

𝑑𝑦% Ψ 𝑦 = 𝐸MΨ 𝑦 ; Đây chính là phương trình Schrodinger dừng cho hạt trong giếng thế một chiều theo

2 trục x và y với năng lượng và hàm sóng lần lượt có dạng:

1.5.2.5.3 Hạt trong giếng thế 3 chiều

Trong trường hợp này thế năng giam giữ hạt có dạng:

U (x, y, z)= 0, 𝑘ℎ𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿@,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐿M,0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿Ö,

∞, 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 0, 𝑥 > 𝐿@; 𝑦 < 0, 𝑦 > 𝐿M; 𝑧 < 0, 𝑧 > 𝐿Ö

Theo (2.30) ta được 3 phương trình Schrodinger cho bài toán giếng thế 1 chiều sâu

vô hạn, từ đó biểu thức của năng lượng và hàm sóng trong giếng thế 3 chiều được viết như sau:

1.5.3.1 Chuyển động qua thế bậc thang:

Xét chuyển động của hạt trong trường thế có dạng:

U(x)= 0, 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 0

∞, 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≥ 0 (2.40)

Hình 2.8: Sơ đồ thế năng biểu diễn thế bậc thang Theo cơ học cổ điển hạt có năng lượng E đi từ miền I qua miền II sẽ có động năng T=E-U0 Trong trường hợp khi E>U0 thì T>0 nên hạt có thể đi qua được miền II mà không bị cản trở Nhưng khi E<U0 thì ở miền II động năng của hạt sẽ có giá trị âm Như vậy đã vi phạm nội dung cơ học cổ điển và hạt không thể đi vào miền này

Ta khảo sát chuyển động của hạt theo quan điểm của cơ học lượng tử và sẽ tìm ra một số tính chất đặc thù của hạt vi mô Phương trình Schrodinger cho từng miền được viết như sau:

Nghiệm của hai phương trình này là:

Ψ* = 𝐴𝑒>uÊ@ + 𝐵𝑒:>uÊ@=Ψ*> + Ψ*[ (2.43a)

Ψ% = 𝐶𝑒>u@+ 𝐷𝑒:>u@=Ψ%> + Ψ%[ (2.43b) Chú ý rằng ở miền II không có sóng phản xạ nên hệ số D=0 Lúc đó hàm sóng Ψ*

𝑗@ = 𝑖ℏ2𝑚 Ψ 𝑥

𝑑Ψ∗ 𝑥

𝑑𝑥 − Ψ∗ 𝑥

𝑑Ψ 𝑥𝑑𝑥

Từ đó ta được:

(𝑗*)> =ℏ𝑘

-𝑚 𝐴 %(𝑗*)[ =ℏ𝑘-

𝑚 𝐵 %

(𝑗%)½ =ℏ𝑘

-𝑚 𝐶 %Tùy theo giá trị của năng lượng E đối với thế năng U0 mà ta xét hai trường hợp:

Ta thấy rằng R+T =1 Điều này chứng tỏ số hạt được bảo toàn

b Trường hợp E<U0: phản xạ toàn phần

Khi đó hệ số k=*

ℏ 2𝑚(𝐸 − 𝑈-) là một số phức Để sử dụng các kết quả của trường hợp E>U0, ta đặt k=i𝛼, với 𝛼 =*

ℏ 2𝑚(𝑈-− 𝐸) Hệ số phản xạ lúc này trở thành: R= uÊ :>K

Ψ%½ = 𝐶𝑒>u@ = 𝐶𝑒:K@ = %uÊ

u Ê 9>K𝑒:K@ (2.52) Mật độ xác suất tìm hạt trong miền II là:

𝜌% 𝑥 = Ψ%½ % = ¡uÊ

(uÊ9K J )𝑒:%K@

(2.53)

Ta thấy khi hạt có năng lượng E<U0 vẫn có một xác suất nhất định để tìm thấy hạt trong miền II Đây là hiệu ứng đặc thù của cơ học lượng tử được gọi là “hiệu ứng đường ngầm” Xác suất tìm hạt tỉ lệ nghịch với x và giảm nhanh theo hàm mũ khi x tăng

1.5.3.2 Chuyển động qua hàng rào thế

Ta xét chuyển động của hạt từ trái qua phải và gặp hàng rào thế có dạng đơn giản như hình 2.9 Biểu thức giải tích của thế năng là:

U(x)=

0, 𝑘ℎ𝑖 𝑥 < 0

𝑈-, 𝑘ℎ𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

0, 𝑘ℎ𝑖 𝑥 > 𝑎

Hình 2.9 Sơ đồ biểu diễn rào thế

1.5.3.2.1 Hiệu ứng cộng hưởng: (E>U0)

Do chuyển động không bị hạn chế ở cả hai phía, nên phổ năng lượng là liên tục và suy biến bội hai

Về mặt cổ điển, nếu hạt có động năng lớn hơn hàng rào thế, khi chuyển động từ trái qua phải, hạt sẽ thay đổi vận tốc hai lần, nhưng không đổi hướng chuyển động Khi xét hạt trên cơ sở của lý thuyết lượng tử, sẽ có một phần của hạt phản xạ lại qua các điểm gián đoạn của hàm thế Tuy nhiên sẽ có những giá trị năng lượng bất định, hạt sẽ được truyền qua hoàn toàn Phương trình Schrodinger cho từng miền khác nhau của thế năng được xác định như sau:

𝐵𝑒>u‰I = 𝐶𝑒>uI+ 𝐷𝑒:>uI

𝑘-𝐵𝑒>uÊI = 𝑘(𝐶𝑒>uI− 𝐷𝑒:>uI) Giải hệ phương trình này, ta được:

𝐴 = (uÊJ:uJ) (uÊJ9uJ)q>ruI9%uuÊ>ÌäquI (2.61)

%uuÊÌäquI:>(uÊJ9uJ)q>ruI (2.62)

Từ đó suy ra:

𝑅 = (uÊJ:uJ)q>rJ(uI) (%uuÊ)J9(uÊJ:uJ)Jq>rJ(uI) (2.63)

𝑇 = (%uuÊ )J(%uuÊ)J9(uÊJ:uJ)Jq>rJ(uI) (2.64) Trong cơ cổ điển, không có gì tồn tại như sóng phản xạ Nhưng trong điện động lực

cổ điển thì ảnh sáng khi truyền qua mặt phân cách giữa hai môi trường trong suốt, một phần của nó bị phản xạ trở lại Nếu thay thế k và k0 bằng những tham số năng lượng và thế năng, ta được:

Trong đó q=kℏ là xung của hạt trong miền hàng rào thế Trường hợp này cũng có

sự tồn tại của các mức năng lượng liên kết ảo Ta có:

?I

ℏ = 𝑛𝜋 ⟹ 𝑎 = %rXℏ%? = rÔ%? = 𝑛é%Nghĩa là độ rộng của thế cũng bằng số nguyên lần nửa bước sóng De Broglie của hạt trên hàng rào và các giá trị của mức năng lượng cộng hưởng cũng vẫn là:

𝐸r =Û¢IXJℏJJ𝑛% (2.67)

1.5.3.2.2 Hiệu ứng đường ngầm: 0<E<U0

Do trong vùng cấm cổ điển, xác suất tìm thấy hạt khác không nên sẽ xuất hiện hiện tượng hạt xuyên qua hàng rào thế và đi vào miền có x>a Hiện tượng này được gọi

số 𝑠ℎ%𝑘𝑎 nên:

shka = 1

2 𝑒uI − 𝑒:uI =

𝑒uI

2Biểu thức tính hệ số truyền qua:

𝑇 = *ì(uuÊ )J(uÊJ9u J ) J𝑒:%uI (2.75) Đặt T0 là hệ số đứng trước hàm 𝑒:%uI thì biểu thức (2.75) được viết lại như sau:

𝑇 = 𝑇-𝑒:%uI (2.76) Thay biểu thức của k vào (2.76) được:

𝑇 = 𝑇-exp −%I

ℏ 2𝑚(𝑈-− 𝐸) (2.77) Trong đó 𝑇- = 16ɺ

Ê 1 −ɺ

Ê

Hiệu ứng đường ngầm chỉ có thể giải thích được bằng cơ học lượng tử Giống như hiện tượng hạt có mặt trong vùng cấm cổ điển, hiện tượng đường ngầm được giải thích nhờ hệ thức bất định Khi hiệu năng lượng E-U0 và độ dày của rào thế a thỏa mãn những điều kiện nhất định, ngay ở biên bên phải của hàng rào thế, hàm sóng vẫn còn có thể khác không Điều này kéo theo, phía bên phải của hàng rào thế mật

độ xác suất cũng khác không thì hiệu ứng đường ngầm mới xảy ra

II Môn Vật lý thống kê

2.1 Chủ đề 1: Vật lý thống kê cổ điển

2.1.1 Cơ sở lý thuyết:

Thống kê cổ điển được chia thành: phân bố chính tắ Gibbs, nhiệt độ thống

kê, phương trình cơ bản của nhiệt động học theo quan điểm thống kê, phân

2.3.1 Vấn đề: Hệ có năng lượng biến đổi và số hạt trong hệ thay đổi

a/ Thời điểm xác định: hệ có chứa số hạt nhất định N

Các hạt xem như đồng nhất và tuân theo phân bố chính tắc:

1( ) exp

!1( ) exp

trong không gian pha 6N chiều

b/ Thời điểm tiếp sau: hệ có số hạt thay đổi (tăng hay giảm) có N’ hạt

Ta có phân bố chính tắc trong không gian pha 6N’ chiều:

Số hạt N có thể biến thiên từ 0 đến vô cực

Tập hợp các hệ khả dĩ tương ứng với 1 hệ thực có số hạt thay đổi, ta gọi là:

* Tập hợp pha chính tắc lớn,

* Tập hợp chính tắc lớn, Hàm xác định phân bố phải tìm đối với hệ có hạt thay đổi, gọi là PHÂN BỐ CHÍNH TẮC LỚN GIBBS (GIPXƠ)

Ta có thể thay hàm Hamilton H (X, a) bằng năng lượng E(X)

b/ Xác suất tìm hệ có NL E trong thể tích nguyên tố dX của không gian pha là:

kT

yq

( , , )2

Vì vậy ta được phân bố M-B:

( , , )( , , , , , ) exp

Nhận thấy: Phân bố M-B có ĐN, TN phụ thuộc vào biến số khác nhau, nên chúng độc lập nhau trong KG tọa độ 3D và KG xung lượng 3D Tức ta có thể viết:

kT

î þ (phân bố theo tọa độ tương

đượng với phân bố B)

Xác suất để độ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng (v, v+dv)

Xác suất để động năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng (𝜀, 𝜀 + 𝑑𝜀)

Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau:

Xác suất để vận tốc của hạt có các thành phần ở trong khoảng đã cho là:

dW 𝑣> = ¢

%Xuï𝑒:¯ó•

J J¼ôd𝑣> (𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧) Xác suất để độ lớn vận tốc của hạt nằm trong khoảng đã cho là:

r/%

𝑥r9*% 𝑒:@𝑑𝑥 = 2

𝜋

2𝑘𝑇𝑚

r/%

A

-Γ 𝑛 + 32Trong đó: Γ 𝑎 = -A𝑥I:*𝑒:@𝑑𝑥 là hàm Gamma

b Sử dụng kết quả câu a khi n=1, ta có: 𝑣 = %

X

%uï

¢

¤ J

Γ 2 = Ûuï

X¢

c Ta có: (𝑣 − 𝑣)% = 𝑣%− 2 𝑣 𝑣 + (𝑣)% = 𝑣%− (𝑣)%

Theo câu b ta đã có 𝑣 = ÛuïX¢

Áp dụng kết quả câu a khi n=2, ta có 𝑣% = %X%uï¢ Γ ù% = %X%uï¢ š X¡ =šuï¢

Từ đó tìm được: (𝑣 − 𝑣)% =šuï¢ − ÛuïX¢

%

=uï¢ 3 −XÛ

d Ta có (𝑣%− 𝑣%)% = 𝑣¡− 2𝑣%𝑣%+ (𝑣%)% = 𝑣¡− 𝑣% ¡ Áp dụng kết quả a với n=2 và n=4 ta có: 𝑣% = %

%

Γ 7

2 = 15

𝑘𝑇𝑚

e Từ biểu thức của xõc suất

dW 𝑣 = 4𝜋 %Xuủđ š𝑒:ÉụJJỊ 𝑣%𝑑𝑣 ta thấy để xõc xuất đạt cực đại thớ hỏm

f 𝑣 = 4𝜋 %Xuủđ š𝑒:ÉụJJỊừ𝑣% đạt cực đại

ta cụ f' 𝑣 = 4𝜋 %Xuủđ š𝑒:ÉụJJỊừ 2𝑣 −đửuủẸ = 4𝜋 %Xuủđ š𝑒:ÉụJJỊừ 2 −

đử J

uủ 𝑣

f' 𝑣 = 0 ⇔ 𝑣 = 0, 𝑣 = %uủ

đ Lập bảng biến thiởn của f(v):

f(v) đạt cực đại 𝑣 = %uủđ hay ta cụ thể kết luận vận tốc cụ xõc suất lớn nhất lỏ 𝑣- =

%uủ

đ

Lưu ý: trong cõc bỏi tập trởn khi tợnh toõn trởn ta đọ sử dụng một số tợnh chất sau của hỏm Gamma: Γ a + 1 = aΓ a a > −1 , Γ n + 1 = n! nϵℕ vỏ Γ *% = 𝜋 Nởn ta cụ: Γ 2 = 1! = 1, Γ ỳ

Hỏm phón bố chợnh tắc Gibbs cụ dạng 𝜌 𝑝, 𝑞 = 𝐴𝑒:!(",ố)Ị Đối với dao động điều húa tuyến tợnh q=x vỏ H = x, p = %đaJ +đê%J@J = 𝐸 lỏ năng lượng của dao động

tử, do đụ phón bố Gibbs cho dao động tử điều húa tuyến tợnh cụ dạng: 𝜌 𝐸 =

𝐴𝑒:Ịừ$ Từ điều kiện chuẩn hụa -A𝜌 𝐸 𝑑𝐸 = 1, ta cụ: 𝐴 A𝑒:Ịừ$

A+ 𝑘𝑇 𝑒:uủã

A

-𝑑𝐸 = 𝑘𝑇

Bỏi 3 Thiết lập phương trớnh trạng thõi khợ lý tưởng đơn nguyởn tử gồm N nguyởn

tử khợ Biết năng lượng vỏ xung lượng của mỗi phón tử khợ liởn hệ với nhau bởi biểu thức

𝜀 = 𝑐𝑝 Giải

(sử dụng công thức -A𝑒:I@𝑥%𝑑𝑥 = r!

I ¬-¤ )

𝑒:Ìauï•𝑑 𝑝( = 8𝜋𝑘𝑇š

𝑐Thay vào phương trình (1) ta được:

𝜆+ = 1𝑁! (2𝜋ℏ)š+ 8𝜋 𝑘

Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là 𝑃𝑉 = 𝑁𝑘𝑇

Lưu ý: Trong các bài tập thuộc loại này, ta có thể gặp phải yêu cầu tính thêm các đại lượng nhiệt động khác như: năng lượng tự do F, entropy S, nội năng U, nhiệt dung đẳng tích 𝐶 , thế năng Gibbs Φ, enthalpy H, nhiệt dung đẳng áp 𝐶a Lúc này

ta sẽ sử dụng các hệ thức liên hệ giữa tích phân trạng thái Z và các đại lượng nhiệt động để tính Ta có một số ví dụ như:

𝐶a =𝜕𝐻

𝜕𝑇8 = 4𝑁𝑘 Bài 4 Tìm năng lượng tự do, nội năng và nhiệt dung của một cột khí lý tưởng có chiều cao h, diện tích đáy 𝜎 ở trong trọng trường ở nhiệt động T, biết rằng số hạt khí là N

Giải Hàm Hamilton của hệ là

-= 𝜎 𝑘𝑇

𝑚𝑔 1 − 𝑒:

¢<Ô uï