DSpace at VNU: Thặng dư và thặng dư bình phương

DSpace at VNU: Thặng dư và thặng dư bình phương tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- -

MAI THỊ NGỌC

THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ

BÌNH PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2016

MAI THỊ NGỌC

THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ

BÌNH PHƯƠNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

Hà Nội - Năm 2016

Mục lục

1.1 Thặng dư 5

1.1.1 Thặng dư 5

1.1.2 Lớp thặng dư 8

1.2 Hệ thặng dư 9

1.2.1 Hệ thặng dư đầy đủ 9

1.2.2 Hệ thặng dư thư gọn 11

1.3 Các định lý cơ bản về thặng dư 14

1.3.1 Định lý Euler và định lý Fermat 15

1.3.2 Định lý thặng dư Trung Hoa 17

1.4 Thặng dư bình phương 18

1.4.1 Tiêu chuẩn thặng dư bình phương 18

1.4.2 Kí hiệu Legendre 20

1.4.3 Luật tương hỗ bậc hai 26

1.4.4 Thặng dư bình phương với modulo hợp số 30

1.4.5 Nhận xét về thặng dư bậc cao 33

2 Phương trình thặng dư 34 2.1 Phương trình thặng dư một ẩn 34

2.1.1 Phương trình thặng dư một ẩn 34

2.1.2 Phương trình thặng dư tuyến tính 35

2.1.3 Phương trình thặng dư modulo nguyên tố 38

2.1.4 Hệ phương trình thặng dư bậc nhất một ẩn 40

2.2 Phương trình bậc nhất nhiều ẩn 46

2.2.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn 46

2.2.2 Phương trình Diophant bậc nhất tổng quát 48

3 Một số dạng toán liên quan đến thặng dư và thặng dư bình

3.1 Một số dạng toán liên quan đến thặng dư 58

3.2 Một số dạng toán của thặng dư bình phương 62

3.2.1 Ứng dụng trong bài toán chứng minh chia hết 62

3.2.2 Ứng dụng trong tập hợp các số nguyên tố 65

3.2.3 Ứng dụng trong các bài toán dãy số nguyên và đa thức 68 3.2.4 Phương trình nghiệm nguyên 72

4 Một số dạng toán về thặng dư từ các đề thi Olympic 77 4.1 Sử dụng hệ thặng dư đầy đủ trong bài toán đếm 77

4.2 Bài toán tính tổng và chứng minh đẳng thức số 81

4.3 Một số bài toán liên quan số học 83

4.3.1 Quan hệ thặng dư 83

4.3.2 Định lý Fermat nhỏ và định lý Euler 85

4.3.3 Một số bài toán số Fermat 90

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết thặng dư - lý thuyết đặc biệt quan trọng trong số học và đã được nhiều nhà Toán học nghiên cứu, vận dụng trong việc giải nhiều bài toán hay, khó và có ứng dụng thực tế

Trong các kì thi Olympic Toán học ở Việt Nam và các nước trên thế giới thì lý thuyết thặng dư là phần được quan tâm đáng kể, vì thế việc có những hiểu biết ban đầu về thặng dư sẽ giúp ta giải nhiều bài toán khó trong số học một cách nhẹ nhàng, ngắn gọn và đẹp

Tuy nhiên, trong nhà trường phổ thông thì thời lượng giảng dạy cho phần lý thuyết thặng dư chưa nhiều nên học sinh thường thấy phần kiến thức này rất khó, vượt ra hiểu biết của các em Vì vậy để giúp bản thân có những hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết thặng dư, phục vụ tốt hơn cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi chọn đề tài "Thặng dư và thặng dư bình phương" để nghiên cứu

2 Mục tiêu nghiên cứu

Hệ thống lý thuyết, tổng hợp một số dạng toán quan trọng về thặng dư

và thặng dư bình phương

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Chương 1 hệ thống lại lý thuyết về thặng dư, thặng dư bình phương

Ở chương 2 hoàn thiện về phương trình thặng dư và cách giải, còn chương

3 tập trung trình bày một vài ứng dụng của thặng dư và thặng dư bình phương Cuối cùng, chương 4 tổng hợp một số bài toán thặng dư, thặng dư bình phương trong các kì thi Olympic Toán các nước

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nhiên cứu là lý thuyết thặng dư, thặng dư bình phương và ứng dụng của chúng

5 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng của thặng dư, thặng dư bình phương

hệ thống từ cách hiểu của bản thân.

7 Giả thuyết khoa học

Nếu luận văn được thực hiện thành công, nó sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh muốn tìm hiểu về thặng dư, thặng dư bình phương Trong đó phần lý thuyết được chứng minh chặt chẽ, các bài toán ứng dụng được hệ thống theo dạng và tương đối đầy đủ và cập nhật theo mức độ từ dễ đến khó

8 Đóng góp mới của đề tài

Luận văn đã chỉ ra được một số dạng toán ứng dụng lý thuyết thặng

dư, thặng dư bình phương, từ đó đề xuất được một số bài tập mang tính cập nhật

9 Cấu trúc của luận văn

Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận

Nội dung luận văn gồm bốn chương:

- Chương 1 Một số kiến thức cơ bản

- Chương 2 Phương trình thặng dư

- Chương 3 Một số dạng toán liên quan đến thặng dư và thặng dư bình phương

- Chương 4 Một số dạng toán về thặng dư từ các đề thi Olympic

Để hoàn thành luận văn, em đã nhận được sự giúp đỡ của thầy cô, bạn

bè, đặc biệt là sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, cùng các thầy cô trong Seminar bộ môn Toán của trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu và các thầy cô giáo trong khoa Toán

- Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã hướng dẫn em hoàn thành khóa học Cao học 2014-2016

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Em mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Thặng dư là một khái niệm cơ bản và quan trọng của lý thuyết số Khái niệm thặng dư do Kaclơ Friđơrich Gauss (1777-1855) trình bày trong tác phẩm

"Disquistiones Arthmeticcae" năm 1801 Trong chương này trình bày lại một số kiến thức quan trọng về thặng dư và thặng dư bình phương

1.1.1 Thặng dư

a = b (mod m)

(mod 3)

chia cho m

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được a = k.m + q.m + r = (k + q).m + r

Từ định lý 1.1 ta rút ra được một số nhận xét sau:

(mod m), thì

a 1 + a 2 + · · · + a n = b 1 + b 2 + · · · + b n (mod m).

Nói cách khác, nếuaivà bi có cùng số dư khi chia chom, thì các tổng a1+a2+· · ·+an

và b1+ b2+ · · · + bn cũng có cùng số dư khi chia cho m

a i − b i (0 ≤ i ≤ n) chia hết cho m

Bởi vậy tồn tại các số nguyên ki để ai− bi = ki.m Khi đó

(a1+ a2+ · · · + an) − (b1+ b2+ · · · + bn)

= (a 1 − b 1 ) + (a 2 − b 2 ) + · · · + (a m − b m )

= k1m + k2m + · · · + knm = (k1+ k2+ · · · + kn)m

Vậy (a1+ a2+ · · · + an) − (b1+ b2+ · · · + bn) chia hết cho m, nên, theo định lý 1.1,

a1+ a2+ · · · + ai+ · · · + an = b1+ b2+ · · · + bi+ · · · + bn (mod m).

và c = d (mod m) suy ra a − c = b − d (mod m)

a − b, c − d chia hết cho m

Do đó tồn tại các số nguyên k, l, để a − b = k.m, c − d = l.m

Trừ vế với vế hai đẳng thức trên ta được

(a − c) − (b − d) = (a − b) − (c − d) = km − lm = (k − l)m.

(a − c) = (b − d) (mod m).

(mod m), a2 = b2 (mod m), , ai= bi (mod m), , an = bn (mod m), thì

a1a2 ai an = b1b2 bi bn (mod m)

định lý 1.1, các hiệua1− b1, a2− b2 chia hết cho m

Khi đó tồn tại các số nguyên k1, k2 để a1− b1= k1m, a2− b2 = k2m.

Do đó

a1a2− b1b2= a1a2− a1b2+ a1b2− b1b2

= (a1a2− a1b2) + (a1b2− b1b2)

= a1(a2− b2) + b2(a1− b1)

= a 1 k 2 m + b 2 k 1 m

= (a1k2+ b2k1)m.

Bởi vậya1a2− b1b2 chia hết cho m nên, theo định lý 1.1, a1a2= b1b2 (mod m)

dư tùy ý

a1 = b1 (mod m), a2 = b2 (mod m), , ai= bi (mod m), , at = bt (mod m)

đã suy ra được a1a2 ai at = b1b2bibt (mod m)

Xét t + 1 phép đồng dư bất kỳ, a 1 = b 1 (mod m), a 2 = b 2 (mod m), , a t = b t

(mod m), at+1 = bt+1 (mod m) Khi đó, theo giả thiết quy nạp từ t phép đồng dư đầu đã có a1a2 at = b1b2 bt (mod m).

Ký hiệu, At = a1a2 at, Bt = b1b2 bt Khi đó, theo định lý 1.1, hiệu At− Bt

chia hết cho m, nên tồn tại số nguyên l, để At− Bt = l.m.

Do at+1 = bt+1 (mod m) nên theo định lý 1.1 at+1− bt+1 chia hết cho m Bởi

Atat+1− Bt.bt+1 = Atat+1− Atbt+1+ Atbt+1− Btbt+1

= A t (a t+1 − b t+1 ) + b t+1 (A t − B t )

= At.k.m + bt+1.l.m

= (At.k + bt+1.l)m.

(mod m) thì với mọi số nguyên không âm n đều có an = bn (mod m).

P (x) = t0+ t1x + t2x2+ · · · + tnxn.

P (a) = t0+ t1a + t2a2+ · · · + tnan = t0+ t1b + t2b2+ · · · + tnbn = P (b) (mod m).

1.1.2 Lớp thặng dư

Ta đã biết với mỗi số nguyênađều tồn tạiq, rsao choa = mq+r với0 ≤ r < m,

Do đó

a − c = (a − b) + (b − c) = mx + my = m(x + y),

Vậy a = c (mod m)