TOÁN CAO CẤP

Hàm số y = f x xác định trên khoảng [a, b] sao cho đồ thị của nó không chứa bất kì đoạn thẳng nằm ngang nào không thể có vô hạn cực trị trên [a, b].. Hàm số y = sin1x có cực đại bằng 1 v

Các phản thí dụ nhỏ trong Giải tích I

by Dong Bản thảo

Phiên bản 1.0.1 Beta

Ngày 23 tháng 5 năm 2014

Tóm tắt nội dung Các phản thí dụ nhỏ trong tài liệu này làm rõ thêm các mối liên hệ được cho trong sơ

đồ sau đây.

D 1 (I) BV (I) ⊃ Lu(I) ∩ BV(I) ∩ C(I) ⊂ C(I) ⊂ Pr(I)

1 Hàm số

Vấn đề 1.1 Hàm số y = f (x) bị chặn trên R nếu với mọi x ∈ R tồn tại

M > 0 sao cho |f (x)| ≤ M

Phản thí dụ Xét hàm số y = x2 Với mọi x ∈ R, tồn tại số M = x2+ > 0 sao cho |f (x)| ≤ .1

Vấn đề 1.2 Nếu g(a) = 0 thì hàm số F (x) = f (x)g(x) có tiệm cận đứng là

x = a

Phản thí dụ Đường thẳng x = 0 không phải là tiệm cận đứng của hàm

số y = sin xx Hình vẽ

g(x) có tiệm cận đứng là x = a

Phản thí dụ Đường thẳng x = a không phải là tiệm cận đứng của hàm

số y = xx−a2−a2 Hình vẽ

Vấn đề 1.4 Hàm số y = f (x) không bị chặn và không âm với mọi x ∈ R

Vấn đề 1.5 Hàm số y = f (x) xác định trên khoảng [a, b] sao cho đồ thị của nó không chứa bất kì đoạn thẳng nằm ngang nào không thể có vô hạn cực trị trên [a, b]

Phản thí dụ Hàm số y = sin1x có cực đại bằng 1 và cực tiểu bằng -1 tại

vô hạn điểm trong bất kì khoảng đoáng nào chứa 0 Vẽ hình

hàm số f (x) tăng hoặc giảm trên (a, b)

Phản thí dụ Hàm số

y =







x2, nếu x ∈ (1, 2)

có hàm ngược nhưng không tăng cũng không giảm trên (1, 3)

Vấn đề 1.7 Tổng hai hàm không đơn điệu trên I là hàm không đơn điệu trên I

1 Thứ tự của các từ trong phát biểu này rất quan trọng Định nghĩa hàm số bị chặn là: Hàm số y = f (x) bị chặn trên R nếu tồn tại M > 0 sao cho với mọi x ∈ R ta có |f (x)| ≤ M

Phản thí dụ Xét f (x) = x2 + x và g(x) = −x2 + x không đơn điệu trên

R nhưng tổng f (x) + g(x) = 2x tăng trên R

Vấn đề 1.8 Tổng hai hàm đơn điệu liên tục trên R là hàm đơn điệu trên R

Phản thí dụ f (x) = x + sin x và g(x) = −x là hai hàm đơn điệu liên tục trên R nhưng tổng f (x) + g(x) = sin x không đơn điệu trên R

Vấn đề 1.9 Tiếp tuyến của một đường cong không thể tiếp xúc với đường cong đó tại vô hạn điểm

2 tiếp xúc với y = sin x tại vô số điểm Vấn đề 1.10 Tiếp tuyến của một đường cong không thể cắt ngang với đường cong đó

cong này tại O(0, 0)

tại một lân cận (a − δ, a + δ), δ > 0 sao cho hàm số y = f (x) cũng tăng

Phản thí dụ Hàm số f (x) =







x + x2sinx2, nếu x 6= 0

tăng tại điểm x =

0 nhưng không tăng trong bất kì lân cận nào của 0

Vấn đề 1.12 Hàm số không đơn điệu thì không có hàm ngược

Phản thí dụ Hàm số y =







không đơn điệu nhưng có

hàm ngược là hàm số x =







Vấn đề 1.13 Hàm số không đơn điệu trên (a, b) thì bình phương của nó cũng không đơn điệu trên (a, b)

Phản thí dụ Hàm số f (x) =







không đơn điệu trên

(0, ∞) nhưng f2(x) = x2 đơn điệu trên (0, ∞)

2 Hàm số y = f (x) gọi là tăng tại điểm x = a nếu tồn tại một lân cận (a − δ, a + δ), δ > 0 nào đó sao cho nếu

x < a thì f (x) < f (a) và nếu x > a thì f (x) > f (a).

Vấn đề 1.14 Nếu f (x).g(x) = 0 với mọi x ∈ R thì f (x) = 0 hoặc g(x) = 0 với mọi x ∈ R

Phản thí dụ Ta có thể chọn f =







và f =







Vấn đề 1.15 Nếu hai hàm số phân biệt f, g thỏa mãn f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ R thì f (x) < g(x) với mọi x ∈ R

Phản thí dụ f (x) = x và g(x) = |x|

Phản thí dụ f (x) =















Vấn đề 1.17 Nếu f tăng và g giảm trên R thì f + g tăng hoặc giảm

Vấn đề 1.18 supx∈X(f + g)(x) = supx∈X f (x) + supx∈X g(x)

supx∈X(f g)(x) = (supx∈X f (x)).(supx∈X g(x))

Phản thí dụ Xét hai hàm số f (x) = x và g(x) = 1 − x trên X = [0, 1] ta

có supx∈X(f + g)(x) = 1 6= supx∈Xf (x) + supx∈X g(x)=2

supx∈X(f g)(x) = 14 6= (supx∈Xf (x)).(supx∈X g(x)) = 1

3 Mọi hàm dơn điệu ngặt đều đơn ánh.

2 Giới hạn

Vấn đề 2.1 Nếu f (x) < g(x) với mọi x > 0 và tồn tại hai gới hạn lim

x→∞f (x) < lim

x→∞f (x)

Phản thí dụ Hai hàm số f (x) = −1x và g(x) = 1x có f (x) < g(x) với mọi

x > 0 nhưng lim

x→∞f (x) = 0

Vấn đề 2.2 Nếu lim

x→af (x) tồn tại và lim

x→ag(x) không tồn tại thì lim

x→af (x)g(x) không tồn tại

Phản thí dụ Xét f (x) = x có lim

x→0x = 0 và g(x) = sinx1 không có lim

x→0sin1x nhưng lim

x→af (x)g(x) = lim

x→ax sin1x = 0

Vấn đề 2.3 Hàm số y = f (x) không bị chặn trong bất kì lân cận nào của điểm x = a thì hoặc lim

x→a +|f (x)| = ∞ hoặc lim

x→a −|f (x)| = ∞ Phản thí dụ Hàm số f (x) = 1xcosx1 không bị chặn trong bất kì lân cận nào của điểm x = 0 nhưng lim

x→a +|1

xcos1x| và lim

x→a +|1

xcos1x| không tồn tại

Vấn đề 2.4 Nếu f (x) < M trên (a, ∞) và lim

x→af (x) = L thì L < M Phản thí dụ Xét f (x) = 1+x1 trên (0, ∞) Ta có f (x) < 1 trên (0, ∞) Nhưng lim

x→af (x) = 1

Vấn đề 2.5 Hàm số y = f (x) liên tục với mọi x ∈ R và lim

thì lim

Phản thí dụ Hàm số y = cos(2πx) có lim

lim

Vấn đề 2.6 Nếu lim

y→df (y) = e và lim

x→cg(x) = d thì lim

x→cf (g(x)) = e.4

Phản thí dụ Xét g(x) = 0 và f (x) =







sin x

ta có lim

x→0g(x) =

0 và lim

x→0f (x) = 1 nhưng lim

x→0f (g(x)) = lim

x→02 = 2

4 Phát biểu này đúng nếu thêm giả thiết, hoặc f (d) = e (tức là, f liên tục tại d) hoặc g không nhận giá trị d gần c (tức là, tồn tại số δ > 0 sao cho 0 < |x − c| < δ thì |g(x) − d| > 0).

3 Liên tục

Vấn đề 3.1 Nếu y = |f (x)| liên tục thì y = f (x) liên tục

Phản thí dụ Giá trị tuyệt đối của hàm f (x) =







là

|f (x)| = 1 với mọi x ∈ R liên tục nhưng f(x) thì không

Vấn đề 3.2 Tổng hai hàm số không liên tục tại x = a không liên tục tại

x = a

Phản thí dụ Hai hàm số

f (x) =







a

và

g(x) =







a

không liên tục tại x = a nhưng hàm số f (x) + g(x) =







liên tục tại x = a

Vấn đề 3.3 Tích hai hàm số không liên tục tại x = a không liên tục tại

x = a

Phản thí dụ Hai hàm số

f (x) =







sin x

và

g(x) =







sin x

1

không liên tục tại x = 0 nhưng hàm số f (x).g(x) =







sin2x

liên tục tại x = 0

Vấn đề 3.4 Cho I là một khoảng của R và f : I → R là hàm số liên tục Khi đó f (I) là một khoảng cùng loại với I 5

Phản thí dụ I = R và f (I) = (−1, 1) với f (x) = |x|+1x

I = R và f (I) = [−1, 1] với f (x) =















I = (0, 1] và f (I) = (−1, 1) với f (x) = (1 − x) sinx1

Vấn đề 3.5 Hàm số luôn có cực đại địa phương nằm giữa hai cực tiểu địa phương

Phản thí dụ Hàm số y = x4+0.1x2 và y = cos12x

Vấn đề 3.6 Hàm số xác định trong lân cận nào đó của x = a và tăng phía bên trái x = a, giảm phía bên phải x = a thì có cực đại địa phương tại a

Phản thí dụ Hàm số

y =







1 (x−3) 2 nếu x 6= 3

xác định trên R, tăng về phía bên trái điểm x = 3, giảm phía bên phải

x = 3 nhưng không có cực đại địa phương tại x = 3

Vấn đề 3.7 Hàm số xác định trên [a, b] và liên tục trên (a, b) thì có cực trị trên [a, b]

Phản thí dụ Hàm số

y =







tan x, nếu x ∈ (−π2,π2)

xác định trên [−π2, π2], liên tục trên (−π2,π2) nhưng không có cực trị trên [−π2,π2]

Vấn đề 3.8 Hàm số liên tục trên R thì có cực trị

5 Điều này chỉ bảo toàn khi I = [a, b] f (I) có thể là 9 loại khoảng khi với I là 8 loại khoảng khác [a, b] Ta

có thể lấy được 8.9 = 72 ví dụ.

Phản thí dụ Hàm số y = x liên tục trên R nhưng không có cực trị.6 Vấn đề 3.9 Hàm số liên tục trên R thì có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Vấn đề 3.10 Hàm số liên tục và bị chặn trên R thì có cực trị

Phản thí dụ Hàm số y = arctan x liên tục và bị chặn trên R nhưng không

có cực trị

Vấn đề 3.11 Hàm số bị chặn, có cực đại và cực tiểu và nhận các giá trị trung gian giữa cực đại và cực tiểu trên [a, b] thì liên tục trên [a, b] Phản thí dụ Xét hàm

f (x) =















Vấn đề 3.12 Hàm số bị chặn, có cực đại và cực tiểu và nhận các giá trị trung gian giữa cực đại và cực tiểu trên [a, b] thì liên tục tại một điểm hoặc một đoạn con của [a, b]

Phản thí dụ Xét hàm

f (x) =























gián đoạn tại mọi điểm thuộc [−1, 1]

Vấn đề 3.13 Hàm số xác định trên [a, b] và f (a).f (b) < 0 thì tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0

6 Chỉ đúng khi liên tục trên một đoạn.

7 Chỉ đúng khi liên tục trên một đoạn Hàm số y = 1x không có cực trị trên (0, 1) Giải thiết liên tục cũng quan trọng, chẳng hạn hàm f : [0, 1] → R xác định bởi f (x) = 1

x nếu x > 0 và f (0) = 0 không liên tục tại x = 0 không có giá trị lớn nhất.

Phản thí dụ Hàm số f (x) =





1

xác định trên [-1, 1] và

f (−1).f (1) < 0 nhưng không có c ∈ [−1, 1] sao cho f (c) = 0

Vấn đề 3.14 Hàm số xác định trên [a, b], liên tục trên (a, b) thì với mọi

N ∈ (f (a), f (b)) tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = N

Phản thí dụ Xét hàm f (x) =















xác định trên [0, 1],

liên tục trên (0, 1) nhưng không có c ∈ (0, 1) thảo mãn yêu cầu

Vấn đề 3.15 Hàm số không liên tục thì không có tính chất giá trị trung

gian

Phản thí dụ Hàm số f (x) =







sin(x1), nếu x 6= 0

không liên tục tạo

x = 0 nhưng có tính chất giá trị trung gian, tức là với mọi a < b và

với mọi y sao cho y nằm giữa f (a) và f (b) tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

f (c) = y

Vấn đề 3.16 Không tồn tại hàm số gián đoạn tại mọi điểm c ∈ R

Vấn đề 3.17 Không tồn tại hàm số gián đoạn tại mọi điểm hữu tỉ, lien

tục tại các điểm vô tỉ

f (x) =







1

hàm số gián đoạn tại mọi điểm hữu tỉ, liên tục tại các điểm vô tỉ thuộc

(0, 1)10

8 Giải sử c là hữu tỉ Khi đó ta có thể lấy 1 dãy vô tỉ (x n ) n sao cho lim x n = c Nhưng f (x n ) = 0 và dô đó

lim f (x n ) = 0 nhưng f (c) = 1 Tương tự với c vô tỉ.

9 Nhà toán học Đức Johannes Karl Thomae (1840 – 1921).

10 Giải sử c = mk hữu tỉ Khi đó lấy dãy các số vô tỉ (x n ) n sao cho lim x n = c Ta có lim f (x n ) = lim 0 = 0

nhưng f (c) =k1 6= 0 Do đó f gián đoạn tại c Bây giờ giả sử c vô tỉ và do đó f (c) = 0 lấy dãy (x n ) n ⊂ (0, ∞)

sao cho lim x n = c Với mọi  > 0 cho trước, ta tìm được K sao cho K1 <  theo tính chất Archimede Nếu mk

Vấn đề 3.18 Hàm số y = f (x) gián đoạn tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó thì các hàm số y = |f (x)| và y = [f (x)]2 không liên tục

Phản thí dụ Xét hàm f (x) =







gián đoạn trên R nhưng

|f (x)| = [f (x)]2

= 1 liên tục trên R

Vấn đề 3.19 Không có hàm số liên tục tại một điểm và gián đoạn tại tất cả các điểm khác trên miền xác định của nó

Phản thí dụ Hàm số f (x) =







liên tục tại x = 0 và

gián đoạn tại mọi điểm thuộc R.11

Vấn đề 3.20 Một dãy hàm liên tục trên [a, b] hội tụ về một hàm liên tục trên [a, b]

Phản thí dụ Dãy hàm fn(x) = xn

, n ∈ N liên tục trên [0, 1] hội tụ về hàm

f (x) =







không liên tục tại x = 1

Vấn đề 3.21 Hàm số liên tục trên (a, b) thì liên tục đều (a, b).12

Phản thí dụ Hàm số y = x1 liên tục trên (0, 1) nhưng không liên tục đều trên (0, 1).13

Vấn đề 3.22 Hàm số liên tục đều thì Lipschitz

x liên tục đều trên [0, ∞] nhưng không Lips-chitz.14

tối giản vàmk ∈ (0, 1) thì m < k Hiển nhiên chỉ có hữu hạn số hữu tỉ thuộc (0, 1) mà mẫu số k ở dạng tối giản nhỏ hơn K Từ đó tồn tại M sao cho với n ≥ M sao cho tất cả các số hữu tỉ x n có mẫu số lớn hơn hoặc bằng

K Suy ra với mọi n ≥ M thì |f (x n ) − 0| = f (x n ) ≤ K1 <  Vậy f liên tục tại c vô tỉ.

11 Hàm số f (x) =







x, nếu x ∈ Q

x 2 , nếu x / ∈ Q liên tục tại x = 1 và gián đoạn tại x = 2.

12 Hàm số liên tục trên ([a, b] thì liên tục đều [a, b].

13 Cho  > 0, để có | 1

x − 1

y | <  ta phải có |x − y| < xy Do đó, để thảo mãn định nghĩa liên tục đều ta phải

có 0 < δ ≤ xy với mọi x, y ∈ (0, 1) Điều này xảy ra khi δ ≤ 0 !!!

14 Các hàm số đa thức có bậc lớn hơn 2 không Lipschitz.

4 Đạo hàm

Vấn đề 4.1 Hai hàm số y = f (x) và y = g(x) khả vi và f (x) > g(x) trên (a, b) thì f0(x) > g0(x) trên (a, b)

Phản thí dụ Hàm số f (x) = 2x + 5 và g(x) = 3x trên [1, 2]

Vấn đề 4.2 Hàm số y = f (x) liên tục tại một điểm thì có đạo hàm tại điểm đó

Phản thí dụ Hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó

Vấn đề 4.3 Không có hàm số khả vi tại 1 điểm và gián đoạn tại tất cả các điểm còn lại

Phản thí dụ Hàm số y =







có đạo hàm tại x = 0 và gián

đoạn tại mọi điểm khác 0

Vấn đề 4.4 Hàm số khả vi và giảm trên (a, b) thì đạo hàm của nó âm trên (a, b)

Phản thí dụ Hàm số y = −x3khả vi và giảm trên R nhưng f0(0) = 0 Vấn đề 4.5 Hàm số liên tục và giảm trên (a, b) thì đạo hàm của nó không âm trên (a, b)

Phản thí dụ Hàm số y =







liên tục giảm nhưng không có đạo hàm tại x = 0

Vấn đề 4.6 Hàm số có đạo hàm dương tại mọi điểm trong miền xác định của nó thì tăng trên miền đó

nhưng không tăng vì f (−1) > f (1)

Vấn đề 4.7 Hàm số y = f (x) khả vi trên (a, b) và nhận các giá trị âm cũng như dương trên (a, b) thì y = |f (x)| không khả vi tại các điểm mà

f (x) = 0, chẳng hạn y = |x| hay y = | sin x|

Phản thí dụ Xét hàm số y = x3 thỏa các giả thiết nhưng y = |x3| khả vi tại x = 0.15

15 hàm số sẽ không khả vi tại các điểm mà f (x) = 0 và f 0 (x) 6= 0.

Vấn đề 4.8 Hai hàm số f (x) và g(x) khả vi trên (a, b) và cắt nhau tại điểm có hoành độ c ∈ (a, b) thì max{f (x), g(x)} không khả vi tại các điểm

mà f (x) = g(x)

Phản thí dụ Hàm số max{x3, x4} khả vi tại x = 0.16

Vấn đề 4.9 Hàm số f (x) khả vi cấp 2 tại điểm cực trị địa phương thì đạo hàm cấp 2 tại điểm đó âm hoặc dương

f00(0) = 0 Tương tự đối với hàm y = x4

Vấn đề 4.10 Nếu f (x) và g(x) không khả vi tại x = a thì f (x) + g(x) không khả vi tại x = a

Phản thí dụ Xét f (x) = A(x) − B(x), g(x) = B(x)| trong đó B không khả vi tại x = a còn B khả vi tại x = a, chẳng hạn B(x) = |x| và A(x) = 1 tại x = 0

Vấn đề 4.11 Nếu f (x) và g(x) không khả vi tại x = a thì f (x).g(x) không khả vi tại x = a

Phản thí dụ Ta có f (x) = |x| và g(x) = −|x| không khả vi tại x = 0 Tuy nhiên f (x).g(x) = −x2 khả vi tại x = 0

Vấn đề 4.12 Nếu g(x) khả vi tại x = a và f (x) không khả vi tại g(a) thì f (g(x)) không khả vi tại x = a

0

Vấn đề 4.13 Nếu g(x) không khả vi tại x = a và f (x) khả vi tại g(a) thì f (g(x)) không khả vi tại x = a

vi tại g(0) = 0 thì f (g(x)) = x2 khả vi tại x = 0

Vấn đề 4.14 Nếu g(x) không khả vi tại x = a và f (x) không khả vi tại g(a) thì f (g(x)) không khả vi tại x = a

Phản thí dụ Hàm g(x) = 23x − 13|x| không khả vi tại x = 0 và f (x) = 2x+|x| không khả vi tại g(0) = 0 thì f (g(x)) = 2(23x−13|x|)+|2

3x−13|x|| = x khả vi tại x = 0.17

Vấn đề 4.15 Hàm số y = f (x) xác định trên [a, b], khả vi trên (a, b) và

f (a) = f (b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0

16 Phát biểu đúng là: max{f (x), g(x)} không khả vi tại các điểm mà f (x) = g(x) và f 0 (x) = g 0 (x).

17 Có thể tính đạo hàm 2 phía và kết luận sự tồn tại đạo hàm.

Phản thí dụ Hàm số

f (x) =







x nếu 0 < x ≤ 1

có f (0) = f (1), không liên tục trên đoạn [0, 1], khả vi trên (0, 1) nhưng không có giá trị nào thuộc (0, 1) sao cho đạo hàm bằng 0.18

Vấn đề 4.16 Nếu hàm số y = f (x) và y = g(x) khả vi trên R thì giới hạn lim

x→∞

f (x)

g(x) có dạng vô định ∞∞ ta có thể dùng cong thức sau: lim

x→∞

f (x) g(x) = lim

x→∞

f0(x)

g 0 (x).19

Phản thí dụ Nếu ta dùng quy tắc trên để tính giới hạn lim

x→∞

6x+sin x 2x+sin x thì

lim

x→∞

6x + sin x 2x + sin x = limx→∞

6 + cos x

2 + cos x không tồn tại

Kết quả đúng là

lim

x→∞

6x + sin x 2x + sin x = limx→∞

6 + sin xx

2 + sin xx = 3.

Vấn đề 4.17 Nếu hàm số y = f (x) khả vi trên (a, b) thì lim

x→a +f0(x) = ∞ thì lim

x→a +f (x) = ∞

x khả vi trên (0, 1) có lim

x→0 +f0(x) = ∞ nhưng lim

x→0 +f (x) = 0

Vấn đề 4.18 Nếu hàm số y = f (x) khả vi trên (0, ∞) và lim

x→∞f (x) tồn tại thì lim

x→∞f0(x) tồn tại

Phản thí dụ Hàm số sinx22x

Vấn đề 4.19 Nếu hàm số y = f (x) khả vi và bị chặn trên (0, ∞) và lim

x→∞f0(x) tồn tại thì lim

x→∞f (x) tồn tại

Phản thí dụ Hàm số y = cos(ln x) khả vi và bị chặn trên (0, ∞) và lim

x→∞f0(x) = 0 nhưng lim

x→∞f (x) không tồn tại

18 Xem Định lí Rolle

19 Để dùng quy tắc trên ta cần thêm giả thiết lim

x→∞

f0(x)

g 0 (x) tồn tại hoặc bằng ∓∞.