CHUONG 3 (Quy luat phan phoi) - V3.51

3  Ở đây ta chỉ nghiên cứu 1 số quy luật phân phối xác suất thông dụng được ứng dụng nhiều trong Kinh tế, và ta có thể định lượng nó được.. Xác suất được mặt 1 trong mỗi lần tung là p..

Vậy tình yêu có quy luật không? Người nói có (chorằng quy luật muôn đời của tình yêu là giận hờn, đaukhổ, bị ngăn cấm, rồi mới được hạnh phúc Y nhưphim!), người nói không (cho rằng hể thấy thích nhau,hợp nhãn , và còn vì điều gì nữa thì chỉ ctmb, là yêu.

Không cần biết “sẽ ra sao ngày sau” Thí dụ như cô gái

20 lấy ông già 60, hay chàng trai 26 lấy bà già 62,hay “chát chít” gặp nhau trên mạng, Y như kịch!)

3

 Ở đây ta chỉ nghiên cứu 1 số quy luật phân phối xác suất thông dụng (được ứng dụng nhiều trong Kinh tế), và ta có thể định lượng nó được Không nghiên cứu về “tình yêu”, và càng không lý thuyết suông.

4

Các quy luật thông dụng sẽ học:

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

 Quy luật pp siêu bội

 Quy luật pp nhị thức

 Quy luật pp Poisson

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

 Quy luật pp chuẩn (chuẩn tắc)

 Quy luật pp Chi bình phương (không bài tập)

 Quy luật pp Student (không bài tập)

 Tính xác suất có k phần tử có tính chất A trong nphần tử lấy ra?

 (N-n)/(N-1) gọi là hệ số hiệu chỉnh.

 VD: Ở VD trên thì N= 10, M= 4, tính chất A quan tâm là lấy được bi T Với n= 3, k= 2 XH(10,4,3).

 Câu hỏi:

 1) Tính số bi T lấy được trung bình?

 2) Tính phương sai của số bi T lấy được?

 Giải:

 1) p= M/N= 4/10

 E(X)= np = 3(4/10) = 12/10

 2) q= 1-p = 6/10

VD: Hộp có 5 bi Trắng, 4 bi Vàng, 3 bi Đỏ, 2

bi Cam Lấy ngẫu nhiên 6 bi từ hộp Tính xác suất lấy được 4 bi T?

HD:

X= số bi T lấy được trong 6 bi lấy ra.

X~H(14,5,6) P(X=4)= C(4,5).C(2,9) / C(6,14)

9

PHÂN PHỐI SIÊU BỘI VỚI EXCEL

10

CHUYỂN KẾT QUẢ VỀ DẠNG PHÂN SỐ

Chọn các ô cần chuyển Chuột phải Chọn Format Cells

11

KẾT QUẢ DẠNG PHÂN SỐ

12

Vậy quy luật phân phối siêu bội là 1 cái gì đó rất gần gũi, thân thương với chúng ta Đó là bài toán “bốc bi từ hộp” Ở chương 2, ta chưa biết quy luật pp siêu bội thì ta vẫn làm “đàng hoàng”

đấy thôi Tuy nhiên ta thấy nó tuân theo 1 quy luật ppxs nào đó, và ta cụ thể nó thành quy luật siêu bội.

Đó chính là “ Hãy đặt tên cho em, hãy cho em

Gọi X= số lần bắn trúng bia

Lập bảng ppxs cho X?

15

Giải VD0:

Gọi A i = bc lần thứ i bắn trúng, i= 1,3 p= P(A i ) = 0,7 , q = 1-p = P(A i *) = 0,3 P(X=0) = P(A 1 *A 2 *A 3 *) = P(A 1 *)P(A 2 *)P(A 3 *) = (0,3)(0,3)(0,3) = C(0,3) p 0 q 3-0

P(X=1) = P(A 1 )P(A 2 *)P(A 3 *)+ P(A 1 *)P(A 2 )P(A 3 *) +P(A 1 *)P(A 2 *)P(A 3 )

= (0,7)(0,3)(0,3) + (0,3)(0,7)(0,3) + (0,3)(0,3)(0,7) = 3(0,7)(0,3)(0,3) = C(1,3) p 1 q 3-1

P(X=2) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 *)+ P(A 1 )P(A 2 *)P(A 3 ) + P(A 1 *)P(A 2 )P(A 3 )

= (0,7)(0,7)(0,3)+ (0,7)(0,3)(0,7)+ (0,3)(0,7)(0,7) = 3(0,7)(0,7)(0,3) = C(2,3) p 2 q 3-2

P(X=3) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )

II) QUY LUẬT PP NHỊ THỨC

VD1:

Tung 1 con xúc xắc 3 lần

Gọi X= số lần xuất hiện mặt 1 trong 3 lần tung

Lập bảng ppxs cho X?

Giải VD1:

Gọi Ai = bc lần tung thứ i được mặt 1, i= 1,3 p= P(Ai) = 1/6 , q = 1-p = P(Ai*) = 5/6 P(X=0) = P(A1*A2*A3*) = P(A1*)P(A2*)P(A3*) = (5/6)(5/6)(5/6) = C(0,3) p 0 q 3-0

P(X=1) = P(A1)P(A2*)P(A3*)+ P(A1*)P(A2)P(A3*) +P(A1*)P(A2*)P(A3)

= (1/6)(5/6)(5/6) + (5/6)(1/6)(5/6) + (5/6)(5/6)(1/6) = 3(1/6)(5/6)(5/6) = C(1,3)p 1 q 3-1

P(X=2) = P(A1)P(A2)P(A3*)+ P(A1)P(A2*)P(A3) + P(A1*)P(A2)P(A3)

= (1/6)(1/6)(5/6)+ (1/6)(5/6)(1/6)+ (5/6)(1/6)(1/6) = 3(1/6)(1/6)(5/6) = C(2,3)p 2 q 3-2

P(X=3) = P(A1)P(A2)P(A3) = (1/6)(1/6)(1/6) = C(3,3) p 3 q 3-3

Ta tung 3 lần con xúc xắc

* Muốn cho (X=0) trong 3 lần tung ta chọn ra 0 lần được mặt

1, tức là chọn C(0,3) lần được mặt 1 trong 3 lần tung Xác suất được mặt 1 trong mỗi lần tung là p Vậy xs không được mặt 1 trong 3 lần tung là P(X=0) = C(0,3) p0q3-0

* Muốn cho (X=1) trong 3 lần tung ta chọn ra 1 lần được mặt

1, có C(1,3) cách chọn Mỗi cách chọn thì xs được một lần mặt 1 trong 3 lần tung là p1q3-1 Vậy P(X=1) = C(1,3) p1q3-1

* Tương tự cho (X=2) , (X=3)

Lúc đó ta nói X có quy luật phân phối nhị thức

19

Nhận xét:

Phép thử của ta là tung 1 con xúc xắc

Ta thấy các lần tung là độc lập nhau, có nghĩa là kếtquả ở các lần tung không ảnh hưởng lẫn nhau

Ở mỗi lần tung thì ta quan tâm đến việc có được mặt

1 hay không - biến cố A quan tâm, và xác suất của Alà không đổi qua các lần tung và bằng p

20

Tổng quát:

* Ta thực hiện phép thử T n lần, ký hiệu là T1, T2, Tn

Mỗi lần thực hiện T ta quan tâm bc A có xảy ra hay không

* Các T1, T2, Tn gọi là dãy phép thử độc lập nếu kết quả xảy ra ở các lần thử không ảnh hưởng lẫn nhau

* Xác suất p = P(A) là cố định qua các lần thử

Gọi: X= số lần biến cố A xảy ra trong n lần thử

Thì X có quy luật phân phối nhị thức, ký hiệu XB(n,p)

Xác suất X nhận giá trị k (có k lần biến cố A xảy ra trong n lần thử) là:

P(X= k) = C(k,n) pk qn-k , với q = 1-p

VD1: Với VD ở bài trên thì XB(3, 1/6)

Tính chất: XB(n,p) E(X)= np Var(X)= npq np-q  mod(X)  np+p (không cần biết bảng pp của X) VD1:

Xác định E(X), var(X), mod(X)?

Giải VD1:

XB(3, 1/6) E(X)= 3(1/6) = 3/6 , var(X) = 3(1/6)(5/6) (3/6)-(5/6)  mod(X)  (3/6)+(1/6)  -2/6  mod(X)  4/6

Lưu ý quan trọng:

Quy luật phân phối nhị thức rất dễ áp dụng! nhưng điều khiến cho sinh viên thường làm sai là:

- Không phân biệt được là các phép thử có độc lập không

- Không biết P(A) có cố định không

VD2:

Có 3 máy thuộc 3 đời (version) khác nhau Cho mỗi máy sản xuất ra 1 sản phẩm Tỷ lệ sản phẩm tốt do từng máy sản xuất lần lượt là 0,7 ; 0,8 ; 0,9

Tính xác suất trong 3 sản phẩm sản xuất ra thì có 2 sản phẩm tốt?

23

Giải VD2:

Ta không thể áp dụng quy luật pp nhị thức cho bài toán này, tại sao? Cmkb!

Nếu ta không biết quy luật ppxs thì sao, không lẻ botay.com à!?

Ta hãy trở về một cách làm gần gũi và cơ bản nhất là: đặt biến cố, xác định giá trị của X thông qua các biến cố

Gọi X= số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm

Đặt Ai= bc máy i sản xuất ra sản phẩm tốt

10 hộp, kiểm tra mỗi hộp như sau: lấy ngẫu nhiên 3sản phẩm từ hộp, nếu 3 sản phẩm tốt hết thì mua hộpđó

1) Tính xác suất có 2 hộp được mua?

2) Tính xác suất có ít nhất 3 hộp được mua?

3) Tính xác suất có nhiều nhất 3 hộp được mua?

24

Tung một đồng xu sấp ngữa 3 lần.

Gọi X= số lần được mặt ngữa

Hộp có 4 bi T, 3 bi X Lấy từ hộp ra 3 bi

Gọi X= số bi X lấy được Xét cho 3 cách lấy:

C1: Lấy ngẫu nhiên 3 bi

C2: Lấy lần lượt 3 bi

C3: Lấy có hoàn lại 3 bi

Một máy sản xuất ra sản phẩm có tỷ lệ phế phẩm là2% Cho máy sản xuất ra (lần lượt) 10 sản phẩm

Gọi X= số phế phẩm có được

27

Bài tập (tt): Trong các ĐLNN sau, ĐL nào có quy luật

pp nhị thức (xác định n, p), ĐL nào không có? Tại sao?

Một xạ thủ bắn 3 phát đạn vào bia Ở lần bắn sau sẽrút kinh nghiệm các lần bắn trước nên xác suất trúngcủa từng phát lần lượt là: 0,7 ; 0,8 ; 0,9

Gọi X= số phát bắn trúng

Một người lấy lần lượt 4 vợ Do rút kinh nghiệm ở cáclần lấy trước nên khả năng ly dị vợ ở các lần lấy lầnlượt là: 0,9 ; 0,8 ; 0,6 ; 0,5

Gọi X= số lần ly dị vợ

Xác suất để một chiếc dù không bung ra khi nhảy dùlà 0,001 Chiếc dù được dùng 3 lần (có thể với 3 ngườikhác nhau! Hic hic)

Gọi X= số lần dù không bung

 VD4: Đề thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi Mỗi câu có 4 cách trả lời, trong đó chỉ có một đáp án đúng Các câu hỏi độc lập với nhau Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm Một người đi thi không học bài nên trả lời các câu hỏi bằng cách “đánh đại”

một câu trả lời.

 1) Tính xác suất để người này được 5 điểm?

 2) Tính xác suất để người này đạt ít nhất 5 điểm?

VD5: Đề thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi Mỗi câu có 4 cáchtrả lời, trong đó chỉ có một đáp án đúng Các câu hỏi độclập với nhau Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm Mộtngười trả lời “chắc cú” 10 câu hỏi, các câu hỏi còn lại trảlời bằng cách “đánh đại” một câu trả lời.

1) Tính xác suất để người này được 5 điểm?

2) Tính xác suất để người này đạt ít nhất 5 điểm?

1) Tính xác suất để người này được 5 điểm?

2) Tính xác suất để người này đạt ít nhất 5 điểm?

BẢNG KẾT QUẢ VỚI CÁC GIÁ TRỊ CỦA K

31

BẢNG KẾT QUẢ VỚI CÁC GIÁ TRỊ CỦA K

32

XÁC ĐỊNH ĐLNN, TÌM QUY LUẬT PHÂN PHỐI?

5.3: Một nhà nuôi 10 con gà mái Xác suất để mỗicon gà mái đẻ 1 quả trứng trong 1 ngày đều là 0,6

Tính xác suất để trong 1 ngày chủ nhà thu được 7quả trứng (Mỗi con gà ngày đẻ 1 lần, mỗi lần 1trứng)

5.4: Xác suất để một máy sản xuất được một sảnphẩm đạt tiêu chuẩn là 0,9 Cho máy sản xuất 6 sảnphẩm Tính xác suất để có ít nhất 5 sản phẩm đạttiêu chuẩn trong 6 sản phẩm này

5.5: Một tín hiệu thông tin được phát đi 3 lần từ 1trạm phát, với xác suất trạm thu nhận được đúng tínhiệu đó ở mỗi lần là 0,6 Tính xác suất để trạm thunhận được tín hiệu thông tin đó

33

5.6: Hàng trong kho có 10% là phế phẩm Lấy ngẫunhiên có hoàn lại 5 sản phẩm Tính xác suất trong 5sản phẩm này có ít nhất 1 phế phẩm

5.7: Trong một đơn vị thi tay nghề, mỗi công nhân dựthi phải sản xuất 10 sản phẩm Nếu trong 10 sản phẩmsản xuất ra có từ 8 sản phẩm loại I trở nên thì đượcnâng bậc thợ Giả sử đối với công nhân A, xác suất đểsản xuất được sản phẩm loại I là 0,7 Tính xác suất đểcông nhân A được nâng bậc thợ

5.8: Gieo 1 con xúc xắc 10 lần Tìm xác suất để có ítnhất 2 lần xuất hiện mặt sáu chấm

5.9: Phép thử là tung đồng thời 2 đồng xu sấp ngữa

Thực hiện phép thử 10 lần Tính xác suất có 3 lần cả 2đồng xu cùng xuất hiện mặt sấp

34

5.10: Gieo 1 cặp 2 con xúc xắc 10 lần Tìm xác suất đểcó ít nhất 2 lần cả 2 con đều xuất hiện mặt sáu chấm

5.11: Phép thử là tung đồng thời 1 đồng xu sấp ngữa và

1 con xúc xắc Thực hiện phép thử 6 lần Tính xác suấtcó 2 lần được đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp vàcon xúc xắc xuất hiện số nút là 5

6.1: Tung 1 con xúc xắc 100 lần Tìm số lần xuất hiệnmặt 6 nút tin chắc nhất

6.2: Một con gà khi tiêm 1 loại thuốc được miễn dịchvới xác suất 0,6 Giả sử tiêm phòng cho 650 con thì sốcon gà được miễn dịch tin chắc nhất là bao nhiêu?

35

8.2: Tỷ lệ 1 loại bệnh hiếm bẩm sinh trong dân số là 0,01

Bệnh này cần sự chăm sóc đặc biệt lúc mới sinh Mộtbệnh viện phụ sản lớn có 200 ca sinh trong 1 tháng cuốinăm Tính xác suất để có nhiều hơn 2 trường hợp cầnchăm sóc đặc biệt

8.3: Máy tự động sản xuất ra sản phẩm với tỷ lệ sản phẩmtốt là 99% Cho máy sản xuất 200 sản phẩm Xác suất có

ít nhất 199 sản phẩm tốt là bao nhiêu?

8.4: Một xạ thủ có xác suất bắn trúng bia là 0,8 Xạ thủnày bắn 100 viên đạn Tính xác suất số viên đạn bắntrúng bia từ 70 đến 90 viên

BT: Một quận có tỷ lệ nữ là 40% Chọn ngẫu nhiên cóhoàn lại n người Tìm n để xác suất chọn được ít nhất 1

Gọi X= số người đến siêu thị trong 1 ngày.

Ta thấy: trong 1 ngày có thể có 0, 1, 2, đến siêu thịnên X có các giá trị là 0, 1, 2,

Ta không đoán biết chính xác trong 1 ngày nào đó sẽcó bao nhiêu người đến Nhưng ta biết số người trungbình đến siêu thị trong một ngày là = 600 người (theothống kê)

VD2:

Có một miền A, trong miền A có nhiều vùng A1,A2, Bắn 1 phát đạn đại bác vào miền A ta xét khảnăng có k mảnh đạn rơi vào vào vùng A1

Gọi X= số mảnh đạn rơi vào vùng A1

Ta thấy số mảnh đạn có thể rơi vào vùng A1 có thểlà 0, 1, 2,

Ta biết số mảnh đạn trung bình rơi vào vùng A1 là

= 2,5 (theo thống kê)

Lúc đó ta nói X là ĐLNN có quy luật phân phốiPoisson

39

Trong thực tế có nhiều ĐLNN có phân phối Poisson: Số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 ngày, Số người chết trong 1 năm, Số khách

Số lần chụt chụt nhau trước khi cưới của 1 đôi uyên ương

Lưu ý: Trong thực tế, mặc dù chặn trên của X không biết nhưng

không phải là vô hạn Thí dụ người ta chỉ có thể chụt nhau 1 tỷ

Trong máy tính Casio fx-570VN Plus có chức năngtính hàm exp(x) = ex

VD1:

Biết trung bình trong 1 ngày có 600 người đến siêu thị

1) Tính xác suất trong ngày 1/1/2012 có 700 người đếnsiêu thị?

2) Xác định số người tin chắc nhất có thể đến siêu thịtrong ngày 1/1/2012?

Ta biết trung bình có 2,5 mảnh đạn rơi vào vùng A1

Gọi X= số mảnh đạn rơi vào vùng A1

XP(2,5)

1) Tính xác suất có 3 mảnh đạn rơi vào vùng A1?

2) Xác định số mảnh đạn tin chắc nhất có thể rơi vàovùng A1?

3) Tính xác suất có ít nhất 5 mảnh đạn rơi vào vùngA1?

43

Giải VD2:

1) P(X=3) = exp(-2,5) 2,53/3! = 0,2138 2) 2,5-1  mod(X)  2,5  mod(X) = 2 3) P(X5) = 1-P(0X4)

XÁC ĐỊNH ĐLNN, TÌM QUY LUẬT PHÂN PHỐI?

12.1: Có 200 lỗi trong một cuốn sách có 400 trang Giảsử lỗi có thể xuất hiện trên các trang với khả năng nhưnhau Tính xác suất để một trang bất kỳ có không quá

1 lỗi

12.2: Có 200 lỗi trong một cuốn sách có 400 trang

Tính xác suất để một trang bất kỳ có ít nhất 2 lỗi

12.3: Có 200 lỗi trong một cuốn sách có 400 trang

Tính số trang không có lỗi nào của cuốn sách này

12.4: Có 450 lỗi trong một cuốn sách có 300 trang

Tính xác suất để một trang bất kỳ có không quá 2 lỗi

12.4.1: Có 100 lỗi in sai trong một cuốn sách có 1000trang Tính xác suất để 3 trang bất kỳ có đúng 2 lỗi 45

12.5: Một trung tâm bưu điện trung bình nhận được 90 cuộcgọi trong 1 giờ Tìm xác suất để trung tâm bưu điện nàynhận được không quá 2 cuộc gọi trong một phút

12.6: Một trạm đổ xăng nhận thấy trung bình trong 1 phútcó 2 xe ghé vào trạm Tìm xác suất trong 5 phút có ít nhất 3

xe ghé trạm đổ xăng

12.7: Một trạm thu phí giao thông nhận thấy trung bìnhtrong 1 phút có 3 xe ô tô đi qua trạm Tính xác suất trong aphút có ít nhất 1 xe đi qua trạm, tìm a để xác suất này

>=0,98

12.4.2: Có n lỗi in sai trong một cuốn sách có 200 trang

Giả sử lỗi có thể xuất hiện trên các trang với khả năng nhưnhau Tổng số lỗi tối đa n (nguyên dương) mà cuốn sách cóthể mắc là bao nhiêu nếu xác suất để trang đầu tiên mắclỗi nhỏ hơn 5%

46

Xét biến cố A xuất hiện trong khoảng thời gian t, bc Acó thể xảy ra ở các thời điểm ngẫu nhiên trong khoảngthời gian t Chia khoảng t thành các khoảng thời giannhỏ rời nhau (ti,ti+1) thì việc bc A xảy ra hay khôngxảy ra trong các khoảng (ti,ti+1) là độc lập

Số lần xuất hiện bc A trung bình trong 1 khoảng nhỏ(ti,ti+1) là như nhau và bằng c

Trong khoảng thời gian rất nhỏ, biến cố A chỉ xuấthiện tối đa 1 lần

Gọi X là ĐLNN chỉ số lần xuất hiện bc A trong

IV)PHÂN PHỐI CHUẨN Một ĐLNN liên tục có hàm mật độ như sau được gọi là có quy luật pp chuẩn Ký hiệu XN(, 2 )

Hàm mật độ :

2 2

1 2

1 )

f Tính chất 1: XN(, 2 ) E(X) = 

var(X) =  2 mod(X) = med(X) = 

Đặc biệt: nếu =0 và =1 thì XN(0,1): gọi là pp chuẩn tắc PP chuẩn tắc có hàm mật độ là hàm mật độ Gauss:

) 2 2

1 exp(

2

1 )



1)(X  

)(2

1)(1)(X  P X  

P

)(2)

|(|X  

P

P(|X|)()()Với x

dttx

)

Lưu ý:

(x) là hàm lẻ, tức là: (-x)= -(x) ; (+)= 0,5 Các giá trị của (x) được tính sẳn thành bảng, là bảng F

VD1: Chiều dài của một loại chi tiết máy có quy luậtphân phối chuẩn với chiều dài thiết kế là = 30cm,độ lệch (tiêu) chuẩn là = 2cm

1) Một chi tiết máy được xem là đạt yêu cầu khi sảnxuất ra có chiều dài nằm trong khoảng 28 đến 31

Chọn NN 1 chi tiết máy, tính xác suất chi tiết nàyđạt yêu cầu?

2) Một chi tiết máy được xem là “quá dài” khi chiềudài của nó lớn hơn 34,5cm Chọn NN 1 chi tiết máy,tính xác suất chi tiết này “quá dài”?

3) Một chi tiết máy được xem là “quá ngắn” khichiều dài của nó nhỏ hơn 20cm Chọn NN 1 chi tiếtmáy, tính xác suất chi tiết này “quá ngắn”?

4) Chọn NN 1 chi tiết máy, tính xác suất chi tiết này

56

Giải VD2:

Ta thấy rằng tỷ lệ vòng bi đạt tiêu chuẩn chính là xác suất để lấy ngẫu nhiên một vòng bi thì được vòng bi đạt tiêu chuẩn

Gọi X = độ sai lệch giữa đường kính của vòng bi được sản xuất

ra so với đường kính thiết kế

XN(0mm ; (0,4mm)2)

Ta có: P(|X|<0,7) = P(|X-0|< 0,7) = 2(0,7/0,4)= 2(1,75)= 0,9198 Vậy tỷ lệ vòng bi đạt tiêu chuẩn của máy là 91,98%

Lưu ý: có thể áp dụng các công thức khác để tính P(|X|<0,7)