Bài tập Đại số tuyến tính – PGS.TS.. Chứng minh rằng tập hợp W={ka k∈ℝ là một không gian vectơ con của V... a Chứng minh chúng là hai cơ sở của ℝ.
Trang 1Bài tập (Đại số tuyến tính – PGS.TS Đinh Ngọc Thanh)
1. Hỏi các tập dưới đây có là một không gian con của ℝ hay không ? 3
a) W1 ={ (a, 0, 0 a) ∈ℝ }
b) W2 ={ (a,1,1 a) ∈ℝ }
2. Cho không gian vectơ V và a là một vectơ cố định thuộc V Chứng minh rằng tập hợp W={ka k∈ℝ là một không gian vectơ con của V }
3. Trong ℝ , cho các vectơ 3 u1 =(1, 2, 3 , u− ) 2 =(0,1, 3− ) Xét xem vectơ u=(2, 3, 3− ) có phải là một tổ hợp tuyến tính của u , u hay không ? 1 2
4. Trong ℝ , xét xem vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của 3 u , u , u không 1 2 3 a) u1 =(1, 0,1 , u) 2 =(1,1, 0 , u) 3 =(0,1,1 , u) =(1, 2,1)
b) u1 = −( 2,1, 0 , u) 2 =(3, 1,1 , u− ) 3 =(2, 0, 2 , u− ) =(0, 0, 0)
5. Trong không gian vectơ các ma trận vuông cấp hai M2( )ℝ , cho bốn vectơ
= = = =
Hỏi vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u , u , u không ? 1 2 3
6. Trong ℝ , cho các vectơ 3 u1 =(1, 2, 3 , u− ) 2 =(0,1, 3− ) Tìm m để vectơ u=(1, m, 3− ) là một tổ hợp tuyến tính của u , u 1 2
7. Trong ℝ , các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính 3
a) u1 =(1,1, 0 , u) 2 =(0,1,1 , u) 3 =(1, 0,1)
b) u1 =(1,1, 0 , u) 2 =(0,1,1 , u) 3 =(2, 3,1)
c) u1 =(1,1,1 , u) 2 =(1,1, 2 , u) 3 =(1, 2, 3)
d) u1 =(1,1, 2 , u) 2 =(1, 2, 5 , u) 3 =(0,1, 3)
8. Chứng minh rằng hệ vectơ v , v , , v phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một 1 2 r vectơ v , ii ∈{1, 2, , r} là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại
9. Trong không gian vectơ các ma trận vuông cấp hai M2( )ℝ , cho bốn vectơ
= = = =
Chứng minh rằng hệ {e , e , e , e1 2 3 4} độc lập tuyến tính
Trang 210. Mỗi hệ vectơ sau đây có sinh ra ℝ không ? 3
a) v1 =(1,1,1 , v) 2 =(2, 2, 0 , v) 3 =(3, 0, 0)
b) v1 =(2, 1, 3 , v− ) 2 =(4,1, 2 , v) 3 =(8, 1, 8− )
11. Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là cơ sở của ℝ 3
a) B1 ={ (1, 2, 3 , 0, 2, 3) ( ) }
b) B2 ={ (1, 2, 3 , 0, 2, 3 , 0, 0, 5) ( ) ( ) }
c) B3 ={ (1,1, 2 , 1, 2, 5 , 0,1, 3) ( ) ( ) }
d) B4 = −{ ( 1, 0,1 ,) (−1,1, 0 , 1, 1,1 , 2, 0, 5) ( − ) ( ) }
12. Tìm hạng của các hệ vectơ sau (trong không gian vectơ ℝ ) 4
a) u1 = −( 1, 2, 0,1 , u) 2 =(1, 2, 3, 1 , u− ) 3 =(0, 4, 3, 0)
b) v1 = −( 1, 4, 8,12), v2 =(2,1, 3,1), v3 = −( 2, 8,16, 24), v4 =(1,1, 2, 3)
13. Tìm số chiều và một cơ sở cho không gian vectơ con của ℝ sinh bởi các vectơ 4
1
v = 1, 2, 0, 1− , v2 =(0,1, 3, 2− ),
3
v = −1, 0, 2, 4 , v4 =(3,1, 11, 0− )
14. Xác định số chiều và tìm một cơ sở cho không gian nghiệm của các hệ sau
a)
b)
c)
d)
Trang 315. Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở chính tắc B và trong cơ sở B′ ={f , f , f1 2 3}, với
f = 1, 0, 0 , f = 1,1, 0 , f = 1,1,1
16. Trong ℝ , xét tập 4
a) Kiểm chứng rằng W là một không gian vectơ con của ℝ 4
b) Kiểm chứng các vectơ sau nằm trong W
1
v = 1, 0, 0, 1− , v2 =(0,1, 0, 1− ),
3
v = 0, 0,1, 1− ,v4 =(1,1, 1, 1− − )
c) Xác định số chiều và tìm một cơ sở cho W
17. Trong ℝ , cho cơ sở chính tắc 3
{e1 1, 0, 0 ,e2 0,1, 0 ,e3 0, 0,1 }
B
và cơ sở
{f1 2,1,1 ,f2 1, 2,1 ,f3 1,1, 2 }
Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B′ và ma trận đổi cơ sở từ B′ qua B
18. Trong ℝ , cho hai cơ sở 3
{u1 1,1, 0 ,u2 0,1,1 ,u3 1, 0,1}
và
{v1 2,1,1 ,v2 1, 2,1 ,v3 1,1, 2}
Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B′ và ma trận đổi cơ sở từ B′ qua B
19. Trong ℝ , cho hai cơ sở 3
{u1 1, 2, 0 ,u2 1, 3, 2 ,u3 0,1, 3}
B
{v1 1, 2,1 ,v2 0,1, 2 ,v3 1, 4, 6}
B
và vectơ u=(a, b, c)∈ℝ 3
a) Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở B và cơ sở B′
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B′ và ma trận đổi cơ sở từ B′ qua B
c) Kiểm chứng [ ]uB =PB→B′[ ]uB′ và [ ]uB′ =PB′→B[ ]uB
Trang 420. Trong ℝ , cho các hệ vectơ 3
1 = u1 = 1,1,1 ,u2 = 1,1, 2 ,u3 = 1, 2, 3
B
và
2 = v1 = 2,1, 1 ,v− 2 = 3, 2, 5 ,v3 = 1, 1, m−
B
a) Chứng minh rằng B1 là cơ sở của ℝ 3
b) Tìm tọa độ của vectơ u =(a, b, c) trong cơ sở B1
c) Tìm m để B2 là một cơ sở của ℝ 3
d) Với m =0, tìm các ma trận đổi cơ sở PB1→B2 và PB2→B1
21. Cho hai hệ vectơ trong không gian ℝ 4
B: a1 =(0,1, 0, 2), a2 =(1,1, 0,1),
3
a = 1, 2, 0,1 , a4 = −( 1, 0, 2,1), :
′
B b1 =(1, 0, 2, 1− ), b2 =(0, 3, 0, 2),
3
b = 0,1, 3,1 , b4 =(0, 1, 0,1− ) a) Chứng minh chúng là hai cơ sở của ℝ 4
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B′
c) Tìm tọa độ của v =(2, 0, 4, 0) đối với cơ sở B′
d) Tìm tọa của v đối với cơ sở B
22. Xác định số chiều và tìm một cơ sở của không gian con W sinh bởi hệ vectơ sau a) u1 =(1, 0, 0, 1− ), u2 =(2,1,1, 0), u3 =(1,1,1,1), u4 =(1, 2, 3, 4), u5 =(0,1, 2, 3) trong ℝ 4 b) u1 =(1,1,1,1, 0), u2 =(1,1, 1, 1, 1− − − ), u3 =(2, 2, 0, 0, 1− ), u4 =(1,1, 5, 5, 2),
5
u = 1, 1, 1, 0, 0− − trong ℝ 5