Toán 10 dành cho Hs on lại kien thuc

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề... ii/ Các số nguyên có tận cùng bằng 0 là điều

I Mệnh đề

Ví dụ 1: 3 là số nguyên tố

II Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P, ta có mệnh đề phủ định của mệnh đề P là ´P

 ´P đúng khi P sai

 ´P sai khi P đúng

Đề phủ định một mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ của mệnh đề đó

Ví dụ 2: P : “3 là số nguyên tố”

´P : “3 không là số nguyên tố”

III.Mệnh đề kéo theo

Cho 2 mệnh đề P và Q

 Mệnh đề “Nếu P thì Q “ được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là

P ⟹Q

 Mệnh đề P ⟹Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P ⟹Q

Khi đó: -P là điều kiện đủ để có Q

-Q là điền kiện cần để có P

IV Mệnh đề đảo

Cho mệnh đề kéo theo P ⟹Q Mệnh đề Q⟹P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⟹Q

V Mệnh đề tương đương

Cho 2 mệnh đề P và Q

 Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⟺Q

CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ- TẬP HỢP

Bài 1: MỆNH ĐỀ

 Mệnh đề P ⟺Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P ⟹Q và Q⟹P đều đúng

VI Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập

X nào đó mà mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề

Ví dụ: “ n là 1 số nguyên tố.”

VII Kí hiệu ∀ và ∃

 “∀ x ∈ X , P(x )”

 “∃ x ∈ X , P(x)”

 Mệnh đề phủ đinh của mệnh đề “∀ x ∈ X , P(x )” là “∃ x ∈ X , P(x)”

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃ x ∈ X , P(x)” là “∀ x ∈ X , P(x )”

1 Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến ?

Giải

a) 3+2=7 1à mệnh đề

b) 4 + x = 3 là mệnh để chứa biển

c) x + y > 1 là mệnh để chứa biển

d) 2 - √5 ¿ 0 là mệnh đề

2 Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó

a, 1794 chia hết cho 3 ; b, √5 là 1 số hữu tỉ ;

c, π <3,15 ; d, |-125| ≤ 0

Giải

3 Cho các mệnh để kéo theo

Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên) Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5 Tam giác cân có hai trung tuyến bằng nhau Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau

a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên

b) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”

c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”

Giải

a) Phát biểu mệnh đề đảo:

i/ Nếu a + b chia hết cho c (a, b, c là các số nguyên) thì a và b cùng chia hết cho c ii/ Nếu các số nguyên đều chia hết cho 5 thì các số nguyên đó có tận cùng bằng 0 iii/ Nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân

iv/ Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau

b)

i/ a và b cùng chia hết cho c (a, b, c là các số nguyên) là điều kiện đủ để cho a + b chia hết cho c

ii/ Các số nguyên có tận cùng bằng 0 là điều kiện đủ để cho số nguyên đó chia hết cho 5

iii/ Tam giác cân là điều kiện đủ để cho tam giác đó có hai trung tuyến bằng nhau iv/ Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau

c)

i/ a + b chia hết cho c (a, b, c là các số nguyên) là điều kiện cần để cho a và b chia hết cho c

ii/ Các số nguyên chia hết cho 5 là điều kiện cần để chúng có tận cùng bằng 0 iii/ Hai trung tuyến của một tam giác bằng nhau là điều kiện cần để cho tam giác

ấy cân

iv/ Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau

4 Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “ điều kiện cần và đủ”

a, Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại

b, Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại”

c, Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương

Giải:

a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 là điều kiện cần và đủ để cho số đó chia hết cho 9

b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để nó là một hình thoi

c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để cho biệt thức của nó dương và ngược lại, một phương trình bậc hai có biệt thức dương là điều kiện cần và đủ để cho phương trình đó có hai nghiệm phân biệt

5 Dùng kí hiệu ∀ , ∃ để viết các mệnh đề sau

a, Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó ;

b, Có một số cộng với chính nó bằng 0 ;

c, Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0

Giải:

a, ∀ x ∈ R : x.1=x; b, ∃ x ∈ R: x + x = 0 ; c, ∀ x ∈ R : x + (-x) =0

6 Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó

a, ∀ x ∈ R : x2 ¿0 ; b, ∃ x ∈ N: n2 = n ;

c, ∀ x ∈ N : n ≤ 2n d, ∃ x ∈ R : x < 1x

Giải:

a) Phát biểu: với mọi số thực x, ta có: x2 ¿ 0 Mệnh đề này sai (vì nếu x = 0 thì x2=0) b) Phát biểu: có một số tự nhiên sao cho n2 = n Mệnh đề này đúng

c) Phát biểu: với mọi số tự nhiên n, ta có: n ≤ 2n Mệnh đề này đúng

d) Phát biểu: có một số thực x sao cho x < 1x Mệnh đề này đúng

7 Lập mệnh để phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó:

a, ∀ x ∈ N : n chia hết cho n ; b, ∃ x ∈Q: x2 = 2 ;

c, ∀ x ∈ R : x < x + 1 d, ∃ x ∈ R : 3x = x2 + 1

Giải:

a) ∃ x ∈ N: n không chia hết cho n Mệnh đề phủ định đúng

b) ∀ x ∈Q: x2 ≠ 2 Mệnh đề phủ định đúng

c) ∃ x ∈ R : x > x + 1 Mệnh đề phủ định sai

d) ∀ x ∈ R : 3x ≠ x2 + 1 Mệnh đề phủ định sai

I Tập hợp

 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa

II Các xác định tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của phần tử của tập hợp trong hai dấu móc {… }.

Bài 2: TẬP HỢP

+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

III Tập rỗng

 Tập hợp rỗng, kí hiệu là ∅, tập hợp không chứa phần tử nào

Chú ý: Nêu A không phải là tập hợp rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử

A ≠ ∅ ⟺∃ x : x ϵ A

IV Tập hợp con

 Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là

một tập hợp con của B và viết A ⊂B (đọc là A chứa trong B)

 A ⊂B ⟺ (∀ x ϵ A ⟹ xϵ B)

V Tập hợp bằng nhau

 Khi A ⊂B và B ⊂ Ata nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B

 A = B ⟺ ( A ⊂B vàB ⊂ A)

1 a, Cho A = {xϵ N ∨x<20 và x chiahết cho 3}

Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A

b, Cho tập hợp B = { 2,6,12,20,30 }.

Hãy xác định B bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó

c, Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp các học sinh lớp em cao dưới 1m60

Giải:

a) Liệt kê: A = {0; 3; 63 9; 12 ; 15; 18}

b) B = {x = N /x = n(n + 1) với n ∈ N và 1 ≤ n ≤ 5}

c) Tự giải

2 Trong hai tập hợp A và B dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hai tập hợp A và B có bắng nhau không ?

a, A là tập hợp các hình vuông

B là tập hợp các hình thoi

b, A = {n ∈ N ∨n làmột ước chung của 24 và30}

B = {n ∈ N ∨n làmột ước của 6}

Giải:

a) A B ⸦ B

b) A = {n ∈ N / n là một ước chung của 24 và 30} = {1, 2, 3; 6}

B' ={n ∈ N / n là một ước của 6} = {1, 2, 3; 6}

Ta thấy: * A B và B A⸦ B ⸦ B

* A = B

3 Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau

a, A = {a , b}

b, B = { 0.1 2 }

Giải

a) A = {a; b} có các tập con: 2; {a};{b}; A

b) B = {0; 1; 2} có các tập con: 2; {0}; {1}; {2}; {0; 1}; {0; 2}; {1 ; 2}; B

I Giao của hai tập hợp

Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B

Kí hiệu C = A ∩ B

 A ∩ B={x∨xϵA và xϵB}

 xϵ A ∩ B ⟺{x ϵ A x ϵ B

II Hợp của hai tập hợp

Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B

Kí hiệu C = A ∪B

 A ∪B={x∨x ϵ A hoặc x ϵ B}

 x ϵ A ∪ B ⟺[¿x ϵ A x ϵ B

III Hiệu và phần bù của hai tập hợp

Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B

Kí hiệu C = A ∖ B

 A ∖ B={x∨x ϵ A và x ∉ B}

Bài 3: CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP

 x ϵ A ∖ B ⟺{x x ∈ A ∉ B

Khi B⊂ A thì A ∖ B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu C A B

1 Kí hiệu A là tập hợp các chữ các trong câu “CÓ CHÍ THÌ NÊN”, B là tập hợp các chữ cái trong câu “CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM” Hãy xác định

A ∩ B , A ∪ B , A ∖ B , B ∖ A

Giải:

Ta có: A={C; O; H; I ; T; N; E}

B = {C; O; A; N; G; M ; I; S; T; Y; E; K}

Xác định: * A ∩ B = {C ; O; I ; T; N; E}

* A ∪B = {C; O; H; I; T; N; E; G; M; A; S; Y; K}

* A ∖ B = {H}

* B∖ A = {G; M; A; S; Y; K}

2 Trong số 45 số học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại giỏi, 20 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa hạnh kiểm tốt Hỏi

a, Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải có học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt ?

b, Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt ?

Giải:

a) Gọi A là tập hợp các học sinh giỏi Số phần tử của A là 15

B là tập hợp các học sinh có hạnh kiểm tốt Số phần tử của B là 20

Do đó: A ∩ B là tập hợp các học sinh học giỏi và hạnh kiểm tốt Số phần tử của

A ∩ B là 10

• A ∪B là tập hợp các học sinh được thưởng, gồm học sinh chỉ học giỏi, học sinh chỉ có hạnh kiểm tốt và học sinh học giỏi và có hạnh kiểm tốt Suy ra, số phần tử của A ∪B là: (15 -10) + (20-10) + 10 = 25

Vậy, có 25 học sinh được khen thưởng

b) Số học sinh chưa học giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt bằng: 45 – 25 = 20 học sinh

3 Cho tập hợp A, hãy xác định A ∩ A , A ∪ A , A ∩ ∅, A ∪∅ ,C A A , C A ∅

Giải

A ∩ A=A , A ∪ A= A , A ∩ ∅=∅ , A ∪∅= A , C A A=∅ , C A ∅= A

I Các tập số đã học

 N¿⊂ N ⊂Z ⊂Q⊂ R

1 Tập hợp số tự nhiên N

N={0,1,2,3 ,…}

N¿

= {1,2,3 , …}

2 Tập hợp số nguyên Z

Z={… ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3 , …}

Z gồm các số tự nhien và các số nguyên âm

3 Tập hợp các số hữu tỉ Q

Số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng một phân số a b, trong đó a , b ϵ Z , b ≠ 0

Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữ hạn hoặc vô hạn tuần hoàn

Ví dụ : 54 = 1,25

4 Tập hợp các số thực R

Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữ hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ

Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và số vô tỉ

Ví dụ:

A= 0,101101110… là một số vô tỉ

II Các tập hợp con thường dùng của R

(a ; b ) = {xϵ R∨a<x <b}

(a ;+ ∞ )={xϵ R∨a< x}

Bài 4: CÁC TẬP HỢP SỐ

(−∞ ; b)={xϵ R∨x< b}

[a ;b]= {xϵ R∨a ≤ x ≤b}

[a , b)={xϵ R∨a ≤ x <b}

(a ; b]= {xϵ R∨a<x ≤ b}

[a , +∞)={xϵ R∨a≤ x}

(−∞ ; b]= {xϵ R∨x ≤ b}

Kí hiệu +∞ đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng), kí hiệu -∞ đọc là âm

vô cực (hoặc âm vô cùng)

Ta có thể viết R=(−∞ ;+∞) và gọi là khoảng (−∞ ;+ ∞)

Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số

c, (−2 ; 15) ∪(3;+∞); d, (−1 ;4

3)∪[−1 ; 2 )

c, (2 ; 3)∩[3 ; 5); d, (−∞ ; 2]∩[−2 ; +∞)

c, R¿ (2 ;+∞ ¿ ); d, R¿ ¿;3]

I Số gần đúng

Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng

Ví dụ: Bán kính đường xích đạo của Trái Đất là 6378km

II Sai số tuyệt đối

Nếu a là số gần đúng của số đúng a´ thì ∆ a= | ´a−a| được gọi là sai số tuyệt đối của

số gần đúng a

III Độ chính xác của một số gần đúng

Nếu ∆ a= | ´a−a|≤ d thì a−d ≤ ´a≤ a+ d Ta nói a là số gần đúng của a´ với độ chính xác

d và quy ước viết gọn là a=a ± d´

IV Quy tròn số gần đúng

Bài 5: SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ

 Nếu chữ số sau hang quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0

 Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn

Ví dụ: Số quy tròn đến hàng nghìn của 2396856 là 2397000

1 Biết 3

√5=1,709975947 …

Viết gần đúng 3

√5 theo nguyên tắc làm tròn với hai, ba, bốn chữ số thập phân và ước lượng sai số tuyệt đối

Giải

2 Chiều dài một cái cầu là l=1745,25 m ±0,01 m

Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 1745,25

Giải: Số quy tròn của 1745,25 là 1745,3

3 a, Cho giá trị gần đúng của π là a=3,141592653589 với độ chính xác là 10-10 Hãy viết số quy tròn của a

b, Cho b=3,14 và c=3,1416 là những giá trị gần đúng của π Hãy ước lượng sai số tuyệt đối của b và c

Giải:

a) Bỏ chữ số 5 ngay phía sau chữ số 3, rồi cộng thêm 1 vào chữ số 3 đó, ta được

số quy tròn là: 3,141592654

b) Viết b = 3,14, ta có sai số tuyệt đối không quá 0,002

Viết c = 3,1416, ta có sai số không quá 0,000

1 Cho tứ giác ABCD Xét tính đúng sai của mệnh đề P ⟹Q với

a, P : “ABCD là một hình vuông”

Q : “ABCD là một hình bình hành”

b, P: “ABCD là một hình thoi”

Q: “ABCD là một hình chữ nhật”

2 Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau

a, A={3 k−2∨k =0,1,2,3,4,5};

b, B={xϵ N∨x ≤12};

c, C={(−1)n∨n ϵ N}.

3 Giả sử A, B là hai tập hợp và x là một số đã cho Tìm các cặp mệnh đề tương đương trong các mệnh đề sau

P :” xϵ A ∪ B ” S :” x ϵ A và x ϵ B ”

Q :” xϵ A¿” T :” xϵ A hoặc x ϵ B ”

R :xϵ A∩ Bϵ A∩ BA∩ A∩ BB

4 Xác định các tập hợp sau

a, (−3 ; 7) ∩ (0 ; 10) ;

b, (−∞ ; 5) ∩(2; +∞ ) ;

c, R (−∞ ;3¿.

5 Chiều cao của một ngọn đồi là h=347,13 m± 0,2 m

Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 347,13

I Hàm số

1 Định nghĩa

Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

2 Cách cho hàm số

Tập xác định của hàm số y=f (x ) là tập hợp tất cả các số thực sao cho biểu thức f (x) có nghĩa

Ví dụ: Tìm tập xác định của f ( x )=√x−3

Giải: Biểu thức có nghĩa khi x−3 ≥ 0, tức là khi x ≥ 3. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D=[3 ;+∞¿.

3 Đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số y=f (x ) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm

M(x ; f ( x )) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc D

BÀI 1: HÀM SỐ

Đồ thị hàm số g ( x )=1

2x

2

Đồ thị hàm số f ( x )=x +1

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1 2 3 4 5

x y

0

-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

x y

Hàm số y=f (x ) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a ;b) nếu

∀ x1, x2ϵ (a ;b) : x1<x2⟹ f(x1)<f(x2).

Hàm số y=f (x ) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a ;b) nếu

∀ x1, x2ϵ (a ;b) : x1<x2⟹ f(x1)>f(x2).

III Tính chẵn lẻ của hàm số

Hàm số y=f (x ) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu

∀ xϵ D thì−xϵD và f (−x )=f (x)

Hàm số y=f (x ) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu

∀ xϵ D thì−xϵD và f (−x )=−f ( x ).

Chú ý:

 Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

 Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

1 Tìm tập xác đinh của các hàm số

a, y= 3 x−2

2 x +1; b, y= x−1

x2+2 x−3 c, y=√2 x+1−√3−x

2 Cho hàm số

y={x x +1 với x ≥ 22−2 với x <2

Tính giá trị của hàm số đó tại x=3 ; x=−1 ; x=2.

3 Cho hàm số y=3 x2 −2 x+1 Các điểm sau có thuộc đồ thì của hàm số đó không ?

a, M (−1;6 )

b, N (1;1)

c, P(0 ;1)

4 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số

a, y=|x|

b, y=(x +2)2

c, y=x3

+x

d, y=x2

+x−1

I Hàm số bậc nhất

y=ax+b

Tập xác định D=R

Với a>0 hàm số đồng biến trên R

Với a<0 hàm số nghịch biến trên R

Bảng biến thiên

y

+∞

−∞

II Hàm số hằng y=b

Đồ thị của hàm số y=b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0;b) Đường thẳng này gọi là đường thẳng

y=b

III Hàm số y=|x|

1 Tập xác định

Hàm số y=|x| xác định với mọi giá trị của x, tức là tập xác định D=R

2 Chiều biến thiên

Hàm số y=|x| nghịch biến trên khoảng (−∞;0) và đồng biến trên khoảng (0 ;+ ∞)

Bảng biến thiên

0

3 Đồ thị

y

+∞

−∞

-2 -1

1 2 3 4

x y