a Hãy tìm điểm M trên đờng chéo BD của mặt ABCD và điểm N trên đờng chéo CD1 của mặt bên CDD1C1 sao cho MN //AC1.. Chứng minh rằng IJ ⊥AC1.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.. Trờ
Trang 1n căn
Trờng thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008
Môn thi: Toán
(Thời gian làm bài: 180 phút )
Bài 1(5 điểm)
2 ( sin ) 2 ( cos cos 2 x+ 2 π − x + 2 π + x = b) Cho a,b∈R Chứng minh rằng trong hai phơng trình sau phải có ít nhất một phơng trình có nghiệm:
b x a
x+ cos = sin
2008
b x
a
x cot 2 tan
Bài 2 ( 5 điểm)
a) Dãy số u1,u2,u3, ,u n đợc xác định nh sau:
1 , ,
1 ,
1 ,
1 = u =u + u =u + u n =u n− +
u
Chứng minh rằng:
2
1 )
(
1
2
1 +u + +u n ≥ −
u
b) Tìm giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát:
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
+ + + + +
=
n u
Bài 3 (5 điểm)
a) Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh T =A1A2 A n. Xét các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh
của đa giác T Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là
ba cạnh của đa giác T ?
b) Tìm các giá trị nguyên dơng của x thoả mãn
x k
k
C C
C C
C C
1
2007 2008
2007 2008 2008
2005 2006
2 2008
2006 2007
1 2008
2007 2008
0
−
Bài 4 (5 điểm)
Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1
a) Hãy tìm điểm M trên đờng chéo BD của mặt ABCD và điểm N trên đờng chéo CD1 của mặt bên CDD1C1 sao cho MN //AC1.
b) Gọi I và J lần lợt là trung điểm của A1D1 và B 1 B Chứng minh rằng IJ ⊥AC1.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trờng thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trờng
Trang 2Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008
Đề thi chính thức
(Thời gian làm bài: 180 phút )
a)
2 ( sin ) 2 ( cos cos 2x+ 2 π− x + 2 π + x =
+) Ta có (1) ⇔ cos 2x+ cos 2 2x+ cos 2 3x= 1 (2)
+) Đặt t= cos 2 x, điều kiện t∈[ ]0 ; 1 (*) 0.5
+) Khi đó (2) trở thành:
=
=
=
⇔
= +
−
4 3 2 1
0 0
) 3 10 8 ( 2
t t
t t
t
+) Kết luận: Nghiệm của phơng trình đã cho là:
Z m m x
Z l l x
Z k k
6
; , 2 4
; ,
*) Có hai trờng hợp xảy ra:
+) Trờng hợp 1: 2008 2 +a2 ≥b2 thì (1) có nghiệm 0.5 +) Trờng hợp 2: 2008 2 +a2 <b2
Ta có
≠
= +
−
⇔
0 sin
)3(
0 tan
.2 tan
2008 )2
(
2
x
a x b
Nhận xét: (2) có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm tanx≠ 0 0.5
Ta có: *) ∆ = (b 2 ) 2 − 4a 2008 ≥ 2 (a2 + 2008 2 − 2a 2008 ) = 2 (a− 2008 ) 2 ≥ 0
*) 0
2008
2
≠
= b
S (luôn đúng, do có 2008 2 +a2 <b2 nên b≠0
Do đó (3) có nghiệm khác 0
1
Ta chọn số u n+ 1 sao cho u n+1 =u n + 1
Khi đó ta có:
0.25
Trang 3n căn
1 2 ) 1 (
1 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 + + = + = + + = + = + + = + = = + n n n n u u u u u u u u u u u u u 1 Suy ra: 2 1 )
( 1 )
( 2 )
( 2
3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 − ≥ + + + + ⇔ − ≥ − = + + + + ⇔ + + + + + + + + + + = + + + + + + n n n n n n u u u u n n n u u u u u n u u u u u u u u u u u u 0.5 +) Kết luận: 0.25 b) Ta có:
1 3 2 2 cos 2 2 2
2 2
2 cos 2 8 cos 2 2 2 2 cos 2 4 cos 2 2 + = + + + + = = + = = n π π π π π 0.75 (Chứng minh bằng quy nạp) 0.5 Ta có 1 1 1 4 3 2 2 sin 2 2 sin 2 sin 2 2 cos 1
2 cos 1 2 cos 1 2 cos 1 + + + = = = n n n n n n u π π π π π π π 1
2 ) 2
2
sin 2 ( lim lim
1
π
π
=
+
+ +∞
→ +∞
→
n
n n
n
+) Số tam giác phân biệt có 3 đỉnh là 3 trong các đỉnh của đa giác T là 3 120
10 =
+) ứng với mỗi cạnh của đa giác T sẽ có 8 cách chọn các đỉnh còn lại để tạo thành
một tam giác chứa cạnh này Suy ra số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa
giác T là 80 (tam giác)
0.5
+) Trong 80 tam giác trên có 10 tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác T đ ợc lặp
+) Kết luận: Số các tam giác cần tìm là (120 – 80) + 10 = 50 (tam giác) 0.5 b) Tìm các giá trị nguyên dơng của x thoả mãn
x k
k
C C
C C
C C
1
2007 2008
2007 2008 2008
2005 2006
2 2008
2006 2007
1 2008
2007 2008
0
k
k k
k C
2008
)!
2007 (
! 2008 ( )!
2008 (
! 2008
=
−
−
−
=
−
Trang 4) / ( 2007
2 2
2
2 2008 )
( 2008
2 2008
2007
2007 2007 2
2007 1
2007 0
2007
2007 2007 2
2007 1
2007 0
2007
0 1 2007 2008 2007
2008 2008 2005
2006 2 2008 2006
2007 1 2008 2007
2008 0
2008
m t x
C C
C C
C C
C C
C C C
C C
C C
C C
C
x
x
x
x k
k k
=
⇔
=
⇔
= +
+ +
+
⇔
= +
+ +
+
⇔
= +
+ +
+ +
−
+) KÕt luËn:
0.75 0.75
0.5
§Æt AB=a, AD=b, AA1 =c Ta cã AC1 =a+b+c
*
AC
MÆt kh¸c ta cã:
) 2 ( )
1 ( ) ( ) ( )
(
1
c m b n a m n a c m b b a n
CD m BC DB n CN BC MB MN
+
− +
−
=
− + +
−
=
+ +
= + +
=
0.75
Tõ (1) vµ (2) ta suy ra
=
=
=
⇔
=
=−
=−
3 2 3 1 3 1 1
n m
k
km kn
km
3
1 3
2
CD CN
va DB
D
A 1
B 1
C
C1
D 1
M
N I
J
Trang 5b) Gäi I vµ J lÇn lît lµ trung ®iÓm cña A1D1 vµ B 1 B Chøng minh r»ng IJ ⊥AC1. 2 ®iÓm
2
1 2
1
−
−
2
1 2
1 ( AC1 = a− b− c a+b+c =