CONG PHA TOAN 2CHUONG 3QUAN HE VUONG GOC

Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD.. Cho tứ diện đều ABCD , M và Ntheo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD.. Nếu tồn tại điểm S mà S

Đây là trích 1 phần tài liệu gần

Toán Tập 2”

Quý Thầy Cô mua trọn bộ File

200k thẻ cào Vietnam mobile liên

hệ số máy 0937351107

Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của

ĐH Sư Phạm TPHCM

CHỦ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC

VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

A LÝ THUYẾT

Cho các véc tơ tùy ý a b cr r r , ,

và k l, ��

1 Cộng véc tơ:

Lấy điểm Otùy ý trong không gian, vẽ OA a AB buuur r uuur r ,  ,thì OB a buuur r r 

Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M N K, , bất kỳ thì MNuuuur uuuur uuurMK KN

2 Trừ véc tơ: a b ar r r    ( )br

Quy tắc ba điểm: MNuuuur uuur uuuurKN KM

Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCDta có: uuur uuur uuurACAB AD

Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A B C D ���� ta có uuuur uuur uuur uuuurAC� AB AD  AA �

nếu k 0.+) k a.r  k a.r .

Hệ quả: Nếu I là trung điểm của A B O, , tùy ý thì OA OBuuur uuur  2OIuur

4 Tích vô hướng của hai véc tơ.

thì: a b a br r ur r  �

b) Nếu ba véc tơ a b cr r r , ,

không đồng phẳng thì mọi véc tơ xr

đều được biểu diễn dưới dạng:

x ma nb kc  

với m n k, , xác định duy nhất

B CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD

Đặt uuur r uuur r uuur urAB b AC c AD d ,  ,  Phân tích véc tơ MGuuuur

uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur r r

d

ur

Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD , M và Ntheo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD Mệnh đề nào

sau đây sai?

A uuur uuur uuur uuurAC BD AD BC B. 1 

A.Đúng vì: uuur uuurAC BD uuur uuurAD DC   BC CDuuur uuur  uuur uuurAD BC .

B Đúng vì: uuur uuurAC BD uuuur uuuur uuurAM MN ND   BMuuuur uuuur uuurMN NC 

   

 uuuur uuuur uuuur  uuur uuur  uuuur

C.Đúng vì: uuur uuur uuur uuurAC BD AD BC    2uuurAN 2BNuuur 2uuur uuurAN BN    2 uuur uuurNA NB   4NMuuuur.

Gọi N là trung điểm của CD Tam giác đều BCD nên BNCD Tam giác ACDcân tại A nên

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng  a cho tứ giác ABCD và một điểm S tùy ý Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. AC BD AB CDuuur uuur uuur uuur  

B. SA SC SB CDuur uuur uur uuur   (Với S là điểm tùy ý).

C. Nếu tồn tại điểm S mà SA SC SB SDuur uuur uur uuur   thì ABCD là hình bình hành.

D. OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur r    0 khi và chỉ khi O là giao điểm của AC và BD

Lời giải

Đáp án C

A Sai vì uuur uuur uuur uuurAC BD AB CD � uuur uuur uuur uuur rAC AB DC DB 0 B C (Vô lí)

B Sai vì: Gọi O và O' theo thứ tự là trung điểm của AC và BD Ta có

2

SA SC  SO

uur uuur uuur

và SB SDuur uuur � 2SOuuur' SO SOuuuruuur uuur' O O' điều này không đúng nếu ABCD

không phải là hình bình hành.

C Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.

Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi ' ' ' ' M là trung điểm của AA', O là tâm của hình bình hành

ABCD Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?

Cách 1: Ta có MO//CDA B' ' ; AB/ / ' 'A B �AB//CDA B' ' , ' ' B C nằm trong mặt phẳng

CDA B' ' nên các vecto MO AB BCuuuur uuur uuur, ,

dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng

đồng phẳng.

Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Bộ ba vecto nào dưới

đây đồng phẳng?

A uuur uuur uuurBC BD AD, ,

B uuur uuur uuuurAC AD MN; ;

C uuur uuur uuuurBC AD MN; ;

D.uuur uuur uuurAC DC MA; ;

uuur uuuur uuuur uuur

uuur uuuur uuuur uuur

Vậy ba vecto uuur uuur uuuurBC AD MN; ;

đồng phẳng.

Ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD M là điểm trên đoạn AB và MB2MA N là điểm trên đường thẳng

CD mà CN kCDuuur uuur Nếu MN AD BCuuuur uuur uuur, ,

có giá song song hay

Ba điểm M N P, , thẳng hàng nên MNuuuur.NPuuur 1 .

Ta có: MNuuuur uuur uuur uuurMA AB BN 

Ví dụ 10.Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là

trọng tâm tam giác BCD,  là góc giữa 2 vectơ MGuuuur

uuur uuur uuur r r r

Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1

MG PN

�

uuuuruuuruuuur uuur

Thay vào (*) ta được

C Bài tập rèn luyện kỹ năng

Câu 1: Cho ABCD A B C D là hình hộp, với K là trung điểm CC 1 1 1 1 1 Tìm khẳng định đúng trong các

khẳng định sau:

12

uuur uuur uuur uuur

B.uuur uuur uuur uuurAK  AB BC AA1

Câu 3: Cho hình hộp ABCD A B C D Khi đó: tổng 3 góc 1 1 1 1 (D Auuuur uuuur1 1,CC1) ( C Buuuur uuuur1 , DD ) (1  DCuuuur uuuur1, A1B)là:

uuuur uuuur uuuur uuuur

uuuur uuuur uuuur uuuur

A B

D C

4 6

4 7.42 cm

Câu 6: Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng

C

D A

N

M

G

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

� G là trung điểm của MN �GMuuuur uuurGN 0r

0

� uuur uuur uuur r � B đúng

Ta có: OA OB OC OD OG GA OG GB OG GC OG GDuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur          

4 OGuuur(GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur   ) 4 OGuuur � A đúng

Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C.

Chọn C

Câu 8: Cho ba vectơ a b cr r r, ,

không đồng phẳng xét các vectơxr 2a b yr r ur ;   4ar 2 ;b zr r   3ar 2cr

Chọn mênh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.Hai vec tơur sy z,

A.Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng

B.Nếu ba vectơ a b cr r r, ,

có một vec tơ 0r

thì ba vectơ đồng phẳng

C.Nếu giá của ba vectơ a b cr r r, ,

cùng song song với một mật phẳng thì ba vec tơ đó đồng phẳng

D.Nếu trong ba vectơ a b cr r r, ,

có ha vec tơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng

Hướng dẫn giải Chọn A

Câu 12: Cho ABCD A B C D là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định sai: 1 1 1 1

A.uuuur uuuurAC1 A C1 2uuurAC B. uuuur uuurAC1CA12CCuuuur r1 0

C. uuuur uuuur uuurAC1 A C1  AA1 D. CAuuur uuur uuuur1AC CC1

Câu 13: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu uuur uuur uuur uuur rAB BC CD DA   0

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu uuur uuurAB CD

C. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có SB SD SA SCuur uuur uur uuur   thì tứ giác ABCD là hình bình hành

D.Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu uuur uuur uuurAB AC  AD

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 14: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi I, K lần lượt là tâm của các hình bình hành ' '

Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC. Gọi

P,Q lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.Các vec tơuuur uuur uuuurBD AC MN, ,

Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD

1

1/ / ,

� NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA DC MNuuur uuur uuuur, ,

có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (MFNE) � BA DC MNuuur uuur uuuur, ,

đồng phẳng

� BD AC MNuuur uuur uuuur, , không đồng phẳng

Chon A

Câu 16 Cho tứ diện ABCD có các cạnh đầu bằng A. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

2 0

Phương án B uuur uuurAC AD uuur uuurAC CD � uuur uuur uuurAC AD DC(  ) 0 � uuurAC2 0�C sai

Chọn D

Câu 17: Cho hình lập phương ABCD A B C D Gọi M là trung điểm của A 1 1 1 1 D.Chọn khẳng định đúng:

A.B Muuuur uuur uuuuur uuuur1 B B B A1  1 1B C1 1 B. 1 1 1 1 1 1 1

Câu 18: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa GA GB GCuuur uuur uuur r  0 ( G là trọng tâm của tứ diện) Gọi O là

giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.GAuuur 2OGuuur B. GAuuur4OGuuur

C. GAuuur3OGuuur D. GAuuur2OGuuur

Hướng dẫn giải

B

C

D A

M

N

G

Gọi M, N là trung điểm của BC, AD

� G là trung điểm MN Gọi H là hình chiếu của N lên MD � NH là đường trung bình của

AOD

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AC, BD

� Ba vec tơ uuur uuur uuuurAB DC MN, ,

này đồng phẳng � A đúng

Ba vec tơ uuur uuur uuuurAB AC MN, ,

Ba vec tơ uuur uuuur uuuurAN CM MN, ,

uuur có giá không thể song song với mặt phẳng nào � C sai

Chọn C

Câu 20: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ', có cạnh A.Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

Xết phương án A có: uuuur uuuur uuuur uuuurAD CC' ' AD'.AA ' uuuur uuuurAD' AA ' cos450 a2

Chọn A

Câu 21: Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó Các

điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi(c � AB) Gọi  là góc giữa Ax, By Giá trị lơn nhất của AM, BN

Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng vuông góc

Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà a và b cắt nhau

tạo nên

Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a� và

b� cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b

Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ).

2 Phương pháp

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.

Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu ur và vr lần lượt là hai vecto chỉ phương ( hoặc

vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng a và b thì góc  của hai đường thẳng này được xác

Ví dụ 1: Cho hình lập phươngABCD A B C D ���� Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnhAB , BC ,

C D�� Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP

MN AC nên: �MN AP,  AC,� AP Ta tính góc �PAC

Vì A D P�� vuông tại D� nên

Ta có AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên AC a 2

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACP ta có:

2

CP AC AP AC AP CAP CAP

Nên �AC AP;  CAP�  � hay �45 MN;AP � Chọn A.45

Phương pháp 2: Ta có MN APuuuuruuur uuuur uuur  MN AP .cosMN APuuuur uuur,  cos ,  .  *

3

14

Gọi I là trung điểm của AC Ta có IM IN a

Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:

Ví dụ 3 : Cho lăng trụ ABCA B C��� có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A ,

AB a , AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A� trên mặt phẳng ABC là trung

điểm của cạnh BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA� , B C��

uuur uuur uuur

Ví dụ 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Gọi M là trung

điểm CD Tính cosin góc của AC và BM

Cách 1 Gọi N là trung điểm AD ta có: MN AC // � �AC BM;   MN BM�;  Ta tính góc

Nếu đường thẳng a P thì góc giữa đường thẳng a và  P bằng 900.

Nếu đường thẳng a không vuông góc với  P thì góc giữa đường thẳng a và  P là góc giữa

a và hình chiếu a� của a trên  P

a

2 Phương pháp tính.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAABCD và SA a 6

Gọi  là góc giữa SC và SAB ,  là góc giữa AC và  SBC Giá trị  tansin bằng?

Để xác định góc giữa SC và SAB ta xác định hình chiếu của SC lên mặt phẳng  SAB Ta 

có: S là hình chiếu của S trên SAB ,  B là hình chiếu của C trên SAB vì  BC AB

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O Gọi M N lần lượt là trung ,

điểm của SA,BC Biết góc giữa MNvà ABCD bằng  60� Tính góc giữa MNvà SAO 

Lời giải Chọn A

Gọi P là trung điểm của AO � MP là đường trung bình của SAO�MP SO/ /

� MPABCD � Góc giữa MNvà ABCD bằng góc � MNP �.60

Áp dụng định lý cosin cho PNC ta có:

2 2

MN

  Nên nếu gọi là góc giữa MNvà SAO thì:

1sin

Đây là trích 1 phần tài liệu gần

Toán Tập 2”

Quý Thầy Cô mua trọn bộ File

200k thẻ cào Vietnam mobile liên