Đề cương ôn thi tuyển sinh lớp 10

Đề cương ôn thi vào lớp 10, giúp các sĩ tử chuẩn bị kỹ năng cho một cuộc sát chiến nhằm đem lại thắng lợi lớn chuẩn bị cho tương lai. Đề cương bao gồm rất nhiều bài tập và kỹ năng đã được đúc kết từ nhiều năm.

Gia sư: Trương Khánh Nguyên

PHẦN A: ĐẠI SỐ Chủ đề 1: CĂN BẬC 2- CĂN BẬC 3

A B   A B ( B  0)

2

1

b b

II CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng 1: Tìm điê ̀u kiê ̣n của biến để mô ̃i biểu thức (căn thức) sau cố nghĩa:

*Trường hợp 2: Nê ́u B là mô ̣t biê ̉u thức chứa biê ́n thì:

+ Thực hiê ̣n các phế p biê ́n đô ̉i biê ̉u thức chứa căn ba ̣c hai

+ Va ̣n dụng phương pháp chứng minh đa ̉ng thức A = B

 C/m A = C; B = C

 Biến đổi A thành B hoặc B thành A

Bài tập: Chứng minh các đẳng thức sau

1

a a a

a a a

b) Tính giá trị của Q khi a = 3 + 2 2

c) Tìm giá trị của a sao cho Q < 0

b) Tính giá trị của A khi a = 7 4 3 và b = 7  4 3

6) Tính giá trị của biểu thức:

9) Cho biểu thức: 2 1 1 : 2 1

1

a K

thì M là giá trị lớn nhất của f(x) và kí hiệu fmax = M

 Nếu có hằng số m sao cho

thì fmax khi và chỉ khi gmin

fmin khi và chỉ khi gmax

 Cho f(x) = A- B

g(x) ( A, B, g(x) như nếu trên)

thì fmax khi và chỉ khi gmax

fmin khi và chỉ khi gmin

 Cho f(x) = A – g(x) (A là hằng số)

thì fmax khi và chỉ khi gmin

fmin khi và chỉ khi gmax

II CÁC BÀI TOÁN

1) Cho M  x4 x 4 x4 x4 Tìm x để M nhỏ nhất và xác định giá trị nhỏ nhất của M

2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:

2 2

1

x y x

t x

 Nếu a = 0, b ≠ 0: PT vô nghiệm

 Nếu a = 0, b = 0: PT có vô số nghiệm

2 Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0)

      ( x1, x2 là nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0, a≠0)

Ta có thể sử dụng định lí Vi-êt để tính các biểu thức của x1, x2 theo a, b, c:

Nếu x + y = S và xy = P thì x, y là nghiệm của PT:

X2 – SX + P = 0 ( với điều kiện S2 ≥ 4P)

Cho hai số x, y Biết rừng x + y = S, x.y = P thì x, y là nghiệm của PT X2 +SX + P = 0

P = x1 x2 = c

a Nếu P = x1 x2 = c

a < 0 thì PT có hai nghiệm trâi dấu

Lưu ý: Sử dụng mây tính casiô để nhẩm nghiệm

Bước 1: Nhập PT đê chô vẵ mây tính

Bước 2: Bấm shift → CALC → “=”

4 Câc phương trình quy về phương trình bậc 2

a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0

Đặt t = x2 ( t ≥ 0 ), PT trở thănh: at2 + bt + c = 0 Giải vă kiểm tra điều kiện

b) Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + í = 0 với a + b = c + d

Dạng 1: Giải các phương trình sau

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

2 2

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thôả mãn x12+x22  10

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2

2) Chô phương trình: x2 + 2x + m -1= 0 ( m là tham số)

a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn

2 1 1

1

x x

y   ;

1 2 2

1

x x

y   với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên

3) Chô phương trình: x2 – 4x + m + 1 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m saô chô phương trình có 2 nghiệm x1, x2 `thoả mãn: x12 + x22 = 10

4) Chô phương trình: 2x2 – 10x + m – 1 = 0 (1) Tìm giá trị của m để phương trình (1)

7) Chô phương trình : x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 Tìm giá trị của m để phương trình

có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22 = 4

8) Chô phương trình 5x2 + (2m – 1)x – 3m2 = 0

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có nghiệm

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó tính tổng hai nghiệm của phương trình

12) Chô phương trình x2 + 2(m+1)x + m2 – 3m + 2 = 0 Tìm giá trị m để PT (1) a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 16 13) Chô phương trình x2 – 2mx +m2 – m +1 = 0

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

14) Chô phương trình x2 + 2(m +1)x + m2 + 2m – 8 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 vơi mọi m

b) Xác định m để x1– 2x2 = 1

c) Xác định m để – 5 < x1< x2 < 7

15) Chô phương trình x2 – 2(m +1)x + m – 4 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m

b) Chứng minh giá trị biểu thức A= x1(1–x2) +x2 (1–x1) không phụ thuộc vào m c) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau nhưng có giá trị tuyệt đố bằng nhau

16) Chô phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)

a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn

2 1 1

1

x x

y   ;

1 2 2

1

x x

y   với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên

17) Chô phương trình bậc hai ẩn x: x2  2m 1xm2  2  0 (I)

a) Giải phương trình khi m = – 2

b) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm? Có hai nghiệm phân biệt?

c) Tìm m để phương trình (I) có hai nghiệm trái dấu

d) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa x12x22  4

e) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa x12x2

f) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm cùng dấu

g) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm cùng âm

h) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm cùng dương

i) Tìm m để phương trình (I) có 1 nghiệm bằng 1 Tìm nghiệm còn lại

j) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa 2x14x2 3

x  m x m  m  (m là tham số thực) Tìm m để PT đã chô có hai nhiệm phân biệt sao cho hai nghiệm này lần lượt là giá trị độ dài của hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 ( CT 2016)

a) Cm PT (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tính giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x2 = -5x1

21) Cho PT 2

2x 2mx  m 1 0(1)a) Cm rằng (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Xác định m để (1) có hai nghiệm dương

a) CMR PT (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để PT có nghiệm là -2 Tìm nghiệm còn lại

a) Giải phương trình khi m = 5

b) CMR (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀m

c) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu, cùng dấu, 2 nghiệm đều âm

d) Chứng minh biểu thức A = x1(1x2)x2(1x1) không phụ thuộc vào m

CMR: A = 3(x1x2)2x1 2x 8 không phụ thuộc m

28) Cho PT: 2

x   m (1)

a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Giả sử 2 nghiệm x x1, 2 Tìm 2 nghiệm đó biết 2 2

1 2 68

x x 

29) Cho PT: 2

2x (2m1)x  m 1 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm đều âm

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1, 2 không phụ thuộc m

d) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm bằng về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

x  m x  m Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó

37) Chô phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 3

b) CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Trông trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2

không phụ thuộc vào m

Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 1

Nhận dạng: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì từng phương trình vẫn không thay đổi

PP giải: Đưa về PT theo 2 biến mới là S x y

Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại 2

Nhận dạng: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì phương trình này chuyển thành phương trình kia

PP giải: Trừ 2 PT với nhau để nhận được phương trình mới có dạng tích số Chú ý HPT đối xứng loại 2 nếu có nghiệm (xo; xo) ( tức là x = y) Nếu HPT có nghiệm (x; y) thì HPT cũng

6

3 2

5 3 2

y x

y x

0 2 4 3

y x

y x

3 5 2

y x

y x

y x

3

1

(

1)31

(

5

y x

y x

3 , 0 1 , 0 2 , 0

y x

y x

y x y

4 Các đường thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau ( Nếu gọi α

là góc hợp bởi giữa đường thẳng và tia Ox thì a = tanα)

Chú ý: Nếu đường thẳng (D): y = ax + b (a ≠ 0) và đường thẳng (D'): y = a'x + b'

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0

Đồ thị hàm số y = ax2 ( a ≠ 0 ) là một parabol với đỉnh là gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng:

Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hôành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hôành, O là điểm cao nhất của đồ thị

I.3 Tìm giaô điểm của (P) và (d)

Tìm giaô điểm: (P): y = ax2(a0) và (D): y = ax + b:

 La ̣p phương trình hoành đô ̣ giaô điê ̉m của (P) và (D): cho 2 vê ́ phải của 2 hàm

sô ́ ba ̀ng nhau  đưa vê ̀ pt ba ̣c hai dạng ax2 + bx + c = 0

 Giải pt hoành đô ̣ giaô điê ̉m:

+ Nê ́u  > 0  pt cố 2 nghiê ̣m phân biê ̣t (D) ca ́t (P) tại 2 điê ̉m phân biê ̣t + Nê ́u  = 0  pt cố nghiê ̣m kế p (D) và (P) tiê ́p xúc nhau

+ Nê ́u  < 0  pt vô nghiê ̣m (D) và (P) không giao nhau

Xác định số giaô điểm: (P): y = ax2(a0) và (Dm) theo tham sô ́ m:

 La ̣p phương trình hoành đô ̣ giaô điê ̉m của (P) và (Dm): cho 2 vê ́ phải của 2 hàm sô ́ ba ̀ng nhau  đưa vê ̀ pt ba ̣c hai dạng ax2 + bx + c = 0

 La ̣p  (hoa ̣c ') của pt hoành đô ̣ giaô điê ̉m

 Biê ̣n lua ̣n:

+ (Dm) ca ́t (P) tại 2 điê ̉m phân biê ̣t khi  > 0 giải ba ́t pt  tìm m

+ (Dm) tiê ́p xúc (P) tại 1 điê ̉m  = 0 giải pt  tìm m

+ (Dm) và (P) không giao nhau khi  < 0 giải ba ́t pt  tìm m

II BÀI TẬP

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): 1 2

4

y x a) Vẽ đồ thị hàm số của (P)

b) Tìm tọa độ các giaô điểm của (P) với đường thẳng d: 2 1

b) Gọi A( x1; y1) và B( x2; y2) là hôành độ giaô điểm của (P) và (d): y = x – 4 Chứng minh: y1 + y2 – 5( x1 + x2) = 0

3) Cho (P): y = ax2

a) Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm A( 3 ; -3 ) Vẽ (P) với a vừa tìm được

a) Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm A( 3 ; -3 )

b) CMR nếu điểm B thuộc (P) và có hôành độ là  3 và O làgốc tọa độ thì tam giác OAB là tam giác đều

5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P)

a) Tìm a biết rằng (P) cắt đường thẳng (d) có PT 3

2

y  x tại điểm A có hoành

độ bằng 3 Vẽ đồ thị (P) ứng với a vừa tìm được

b) Tìm tọa độ giaô điểm thứ hai B( khác A) của (P) và (d)

6) Chô hai đường thẳng (d1): y = x + 1 và (d2): y = x – 2 Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d1) với trục hoành, trục tung và C, D theo thứ tự là giaô điểm của (d2) với trục hoành, trục tung

a) Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D

b) Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

c) Cm tứ giác ABCD nội tiếp

7) Chô hai đường thẳng d1: y = x + m – 3 và d2: y = -2x + 6 -2m

a) Xác định tọa độ giaô điểm của d1 với các trục tọa độ

b) Với giá trị nào của m thì d1 và d2 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành? 8) Vẽ đồ thị hàm số y = 2

x có đồ thị (P) và y = x +2 có đồ thị là (d) trên cùng 1 hệ trục tọa độ Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính

b) Xác định m để đường thẳng (d) y = mx - 4 tiếp xúc với (P)

11) Chô đồ thị (P): 2

yx  mx và đường thẳng (d): y = 2x Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

12) Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy cho (P): 1 2

4

y x và đường thẳng (d) đi qua điểm 3

; 12

Chủ đề 5: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Các bài toán về chuyển động

Phương pháp giải:

Dựa vào quan hệ của ba đại lượng s: quãng đường, t: thời gian, v: vận tốc của chuyển động đều trong công thức s = v.t

Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: ví dụ khi giải bài toán thuyền trên sông ta có: v1 = vo +

v3; v2 = vo – v3 trông đó v1 là vận tốc của thuyền khi xuôi dòng, v2 là vận tốc của thuyền khi ngược dòng; vo là vận tốc riêng của thuyền; v3 là vận tốc dòng chảy

Chú ý: để thuyền ngược dòng được thì phải có vo = v3

Bài tập:

1) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km Một xuồng máy đi xuôi dòng từ A đến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đến bến C Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ Tính vận tốc xuồng máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1 km/h

2) Trong một cuộc đua xê mô tô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc Mỗi giờ, người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đế đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút Tính vận tốc của ba tay đua mô tô trên

3) Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 5km/h Hai xe gặp nhau tại một

ga cách HN 300km Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế - Hà Nội dài 645km

4) Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B về A Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược 1 giờ 20 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5km/h và vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược bằng nhau

5) Một người đi xê máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước Sau khi được 1/3 quãng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại Tìm vận tốc dự định và thời gian xê lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút

6) Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10km Nếu đi từ A đến B bằng ca nô thì mất 3 giờ 20 phút, còn đi bằng ô tô thì chỉ mất 2 giờ Tính vận tốc của ca nô, biết rằng mỗi giờ ô tô đi nhanh hơn ca nô 17km

7) Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định với vận tốc định trước Nếu ô tô đi với vận tốc 35km/h thì sẽ đến chậm 2h Nếu đi với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1h Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc ban đầu 8) Hai tỉnh A và B cách nhau 120km Lúc 6 giờ 45 phút một xê máy đi từ A đến B; 15 phút sau đó, một ô tô cũng khởi hành từ A đến B Vì vậy vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 10km/h, nên xê máy đến B muộn hơn ô tô tới 45 phút Hỏi ô tô đến B lúc mấy giờ? 9) Hai bến sông A và B cách nhau 80km Một ca nô xuôi dòng từ A đến B, rồi ngược dòng từ B trở về A mất 8 giờ 20 phút Tính vận tốc riêng của ca nô( vận tốc này là

không đổi), biết vận tốc của dòng nước trong cả hai trường hợp ca nô xuôi dòng và ngược dòng đều bằng 4km/h

10) Một người đi xê máy khởi hành từ Hôài Ân đi Quy Nhơn Sa đó 75 phút, một ô tô khởi hành từ Qui Nhơn đi Hôài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20km/h Hai xe gặp nhau tại Phù Cát Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hôài

Ân 100km và Qui Nhơn cách Phù Cát 30km

11) Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian qui định Sau khi đi được thêm 1 giờ thì ôt tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút Dô đó để đến B đúng thời gian xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h Tính vận tốc lúc đầu của ô tô

12) Bác Hai và cô Bảy đi xê đạp từ huyện lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khỏi hành cùng một lúc Vận tốc xe của bác Hai lớn hơn vận tốc xe của cô Bảy là 3km/h nên bác Hai đến trước cô Bảy nữa giờ Tính vận tốc của mỗi người?

Dạng 2: Các bài toán về năng suất laô động

Phương pháp:

Dựa vào quan hệ của ba đại lượng: N: năng suất laô động( khối lượng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian), t: thời gian để hoàn thành một công việc, s: lượng công việc đã làm, công thức biểu diễn mối quan hệ là: N s

t

 Bài tập:

1) Hai máy ủi cùng làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp được 1/10 khu đất Nếu máy

ủi thứ nhất làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm việc một mình trong 22 giờ thì cả hai máy ủi san lắp được 25% khu đất đó Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xông khu đất đã chô trông baô lâu?

2) Một đội thợ mỏ theo kế hoạch phải khai thác một lượng than Họ dự định mỗi ngày khai thác 50 tấn Nhưng trên thực tế đội đã tăng năng suất nên mỗi ngày khai thác được 57 tấn Dô đó không những họ đã hôàn thành trước thời gian dự định 1 ngày mà còn vượt chỉ tiêu 13 tấn Tính số than mà đội phải thác theo kế hoạch?

3) Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định Nhưng khi thực hiện năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định là 10 sản phẩm

Dô đó tổ đã hôàn thành công việc sớm hơn dự kiến 1 ngày Tính xem thực tế mỗi ngày

tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?

4) Một công nhân phải làm việc 420 dụng cụ Do mỗi ngày người đó tăng năng suất 5 dụng cụ nên đã hôàn thành công việc sớm 7 ngày Tính số ngày người đó đã làm?

5) Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ Do công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi người còn lại phải làm thêm 4 dụng cụ.Tính số công nhân lúc đầu của mỗi tổ nếu năng suất của mỗi người đều như nhau

Dạng 3: Các bài toán về làm chung- làm riêng, vòi nước chảy chung- chảy riêng