xử lý tín hiệu số

XLTH Tín hiệu tương tự và tín hiệu số 9Khái niệm tần số Tín hiệu hình sin giá trị phức là hàm dao động điều hoà có dạng Trong đó ejϕcó biểu diễn Euler ejϕ= cosϕ + jsinϕ Trong đó A là bi

Trang 1

Xử Lý Tín Hiệu Số

Chương 1 Tín hiệu và hệ thống

XLTH Tín hiệu tương tự và tín hiệu số 2

Nội Dung

số

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

sampling time, t k [ms]

t s -0.2

-0.1 0 0.1 0.2 0.3

t s

Tín hiệu, hệ thống và xử lý tín

hiệu

hiệu Một tín hiệu là một hàm số Trong thực tế, tín hiệu là

hàm số theo thời gian hoặc không gian hoặc bất cứ một

đại lượng vật lý nào khác Tuy nhiên theo thói quen, ta

hay gọi đối số của tín hiệu là thời gian

Tín hiệu

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

time [ms]

hiệu

hiệu Một tín hiệu là một hàm số x đi từ một tập hợp con D ⊂

Rk(hoặc Ck) vào Rh(hoặc (hoặc Ch) Trong thực tế, tín hiệu là hàm số theo thời gian hoặc không gian hoặc bất cứ một đại lượng vật lý nào khác Tuy nhiên theo thói quen, ta hay gọi đối số của tín hiệu

là thời gian Tín hiệu

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

time [ms]

x : D ⊂ Rk→ Rh (k ≥ 1, k ∈ Z )

Trang 2

hiệu

1 Tín hiệu có đối số D ⊂Rkvới k > 1 được gọi là tín

hiệu nhiều chiều

2 Tín hiệu có miền giá trị Rhvới h > 1 được gọi là tín

hiệu nhiều kênh

3 Tín hiệu có đối số liên tục được gọi là tín hiệu thời

gian liên tục

4 Tín hiệu có đối số liên tục và miền giá trị liên tục

được gọi là tín hiệu tương tự

5 Tín hiệu có đối số rời rạc được gọi là tín hiệu rời

rạc

Phân loại Tín hiệu

hiệu

1 Tín hiệu có miền xác định liên tục và miền giá trị rời rạc được gọi là tín hiệu được lượng tử hoá

2 Tín hiệu thời gian rời rạc và giá trị rời rạc được gọi

là tín hiệu số

Phân loại Tín hiệu

So sánh tín hiệu tương tự và

tín hiệu số

So sánh tín hiệu tương tự và

tín hiệu số

Xử lý tín hiệu

• Linh động

• Dễ dàng nâng cấp

• Dễ dàng lưu trữ

• Dễ dàng kiểm soát sự thay

đổi độ chính xác

• Khả năng tái sản xuất

Ưu điểm

• Tốc độ xử lý không cao khi băng thông rộng, đặc biệt với các hệ thống thời gian thực

• Bị ảnh hưởng bởi kích thước lưu trữ dữ liệu

• Mau lỗi thời

Nhược điểm

Một số tín hiệu cơ bản

Trang 3

Khái niệm tần số

Tín hiệu hình sin giá trị phức là hàm dao động điều hoà

có dạng

Trong đó ejϕcó biểu diễn Euler

ejϕ= cosϕ + jsinϕ

Trong đó

A là biên độ

ω là tần số góc tính bằng rad/s

θ là góc pha

Tín hiệu điều hoà hình sine thời gian liên tục

+∞

<

−∞

t

xa( ) j(ωt θ)

Ta còn dùng tần số F là số chu kỳ trong một giây ω = 2πF

Công thức trên có thể viết lại Tín hiệu điều hoà hình sine thời gian liên tục

2

j( ft ) a

Tín hiệu hình sin giá trị thực là hàm dao động điều hoà

có dạng

Trong đó

A là biên độ

θ là góc pha

Tín hiệu điều hoà hình sine thời gian liên tục

a

x ( t ) = Acos( t ω + θ ) −∞ < < +∞ t

Ta còn dùng tần số F là số chu kỳ trong một giây ω = 2πF

Công thức trên có thể viết lại Tín hiệu điều hoà hình sine thời gian liên tục

+∞

<

−∞

+

t

x a ) cos(2π θ)

Trang 4

Tính chất

Tín hiệu hình sin điều hoà có thể được đặc trưng

bởi các tính chất sau:

1 Với mỗi giá trị của tần số ω, xalà tuần hoàn chu kỳ

Tp= 1/F = 2π/ω

2 Tín hiệu hình sin với tần số khác nhau thì khác

nhau

3 Tăng tần số góc ω làm tăng tốc độ dao động của

tín hiệu, nghĩa là có nhiều chu kỳ hơn trong một

giây

Tín hiệu hình sin giá trị phức là hàm dao động điều hoà

có dạng

Với ejϕcó biểu diễn Euler

ejϕ= cosϕ + jsinϕ Trong đó

A là biên độ

θ là góc pha

Tín hiệu điều hoà hình sine thời gian rời rạc

j( n ) d

x ( n ) = Ae ω +θ n ∈ Z

Ta còn dùng tần số F là số chu kỳ trong một giây ω =

2πF

Công thức trên có thể viết lại

2

j( Fn ) d

x ( n ) = Ae π +θ n ∈ Z

Tín hiệu hình sin giá trị thực là hàm dao động điều hoà

có dạng

Với ejϕcó biểu diễn Euler

ejϕ= cosϕ + jsinϕ Trong đó

A là biên độ

θ là góc pha

d

x ( n )=Acos( nω + θ) n∈ Z

Trang 5

Ta cịn dùng tần số F là số chu kỳ trong một giây ω =

2πF

Cơng thức trên cĩ thể viết lại

Tín hiệu điều hồ hình sine thời gian rời rạc

2

d

x ( n ) = Acos( π Fn + θ ) n ∈ Z

Khái niệm tần số Tính chất

Trái với tín hiệu hình sin thời gian liên tục, tín hiệu hình sin thời gian rời rạc được đặc trưng bởi các tính chất sau:

1 Tín hiệu hình sin thời gian rời rạc là tuần hồn nếu

và chỉ nếu f là một số hữu tỉ

2 Các tín hiệu hình sin thời gian rời rạc cĩ tần số f sai biệt nhau một bội số nguyên của 2π thì đồng nhất

3 Tần số dao động lớn nhất của một tín hiệu hình sin thời gian rời rạc đạt được khi ω = π hay ω = -π, ứng với f = ½ hay f = -1/2

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

t s

Hệ thống (1)

Một hệ thống xử lý tín hiệu, hay vắn tắt là hệ thống, là

một tốn tử ánh xạ một tín hiệu từ khơng gian hàm này

đến một tín hiệu thuộc một khơng gian hàm khác

A : H1→H2

Hệ thống

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

time [ms]

Quy trình biến đổi một tín hiệu qua một hệ thống như trên được gọi

là xử lý tín hiệu

Hệ thống (2)

Đa số các tín hiệu gặp phải trong khoa học và kỹ thuật

là tín hiệu liên tục, nghĩa là ánh xạ cĩ đối số là một biến liên tục, theo thời gian hoặc khơng gian và thường cĩ giá trị trải trên một khoảng liên tục Các tín hiệu trên cĩ thể được xử lý trực tiếp bằng một hệ thống xử lý tín hiệu tương tự

Các thành phần cơ bản của một hệ thống xử lý tín hiệu

Analog Processing

signal Input Analog

signal

Trang 6

Hệ thống (3)

Xử lý tín hiệu số cung cấp một cách thay thế cho việc xử

lý tín hiệu tương tự Để có thể xử lý số tín hiệu tương tự,

trước hết tín hiệu tương tự được chuyển đổi sang tín hiệu

số, sau đó được xử lý bằng hệ thống xử lý tín hiệu số, tín

hiệu xuất là tín hiệu số được chuyển đổi ngược lại thành

tín hiệu tương tự

Các thành phần cơ bản của một hệ thống xử lý

tín hiệu

A/D

Converter

Digital Processing System

D/A Converter

Input Digital signal

Output Digital signal

Output Analog signal

Input

Analog

signal

Hệ thống (3)

• Một hệ thống A được gọi là khôi phục toàn hảo (perfect reconstruction) hay khả đảo nếu A là một song ánh

Nói cách khác, mọi tín hiệu nguồn x đều có thể được khôi phục từ tín hiệu y = Ax nhờ ánh xạ ngược A-1, x

= A-1y

• Một hệ thống được gọi là bất biến theo thời gian nếu với mọi tín hiệu nguồn x[t] cho tín hiệu xuất là y[t], thì tín hiệu nguồn x[t-t0] cho tín hiệu xuất là y[t-t0]

• Nói cách khác, nếu tín hiệu nhập làm khởi hành trễ một khoảng thời gian t0 thì tín hiệu xuất cũng sẽ chậm lại khoảng thời gian t0

Phân loại hệ thống

Hệ thống (4)

• Trong trường hợp rời rạc, một hệ thống bất biến theo

thời gian nếu với mọi tín hiệu nguồn x[n] cho tín hiệu

xuất là y[n], thì tín hiệu nguồn x[n-k] cho tín hiệu

xuất là y[n-k]

Nói cách khác, nếu tín hiệu nhập làm trễ k nhịp thì

tín hiệu xuất cũng sẽ được làm trễ k nhịp

• Hệ thống không bất biến theo thời gian được gọi là

hệ thống biến đổi theo thời gian

• Một hệ thống được gọi là biến đổi tuần hoàn theo

thời gian với chu kỳ N nếu tương ứng với dãy nhập

x[n] là dãy xuất y[n] thì nhập liệu x[n + Nm] sẽ cho

xuất liệu tương ứng y[n + Nm]

Hệ thống (5)

• Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu toán tử A tương ứng là toán tử tuyến tính:

A αx+ α x = αAx + α Ax α α ∈, R

• Một hệ thống được gọi là nhân quả nếu tín hiệu xuất y[n] tại thời điểm n chỉ phụ thuộc vào các giá trị tín hiệu nguồn ở thời điểm hiện tại và quá khứ, nghĩa là chỉ phụ thuộc x[n], x[n-1],

( [ ], [ 1 ], )

] [ n = F x n x n −

y

• Một hệ thống A được gọi là ổn định nếu tín hiệu xuất

Ax bị chặn với mọi tín hiệu nhập x bị chặn

Trang 7

Hệ thống (6)

• Cho một hệ thống rời rạc A Khi đó A tuyến tính bất

biến theo thời gian nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy h

sao cho

Ax = h*x

Ta gọi h là hàm đáp ứng xung, trong một số trường

hợp, A hay h còn được gọi là lọc

Ta thường đồng nhất A với h

• Cho hệ thống A tuyến tính bất biến theo thời gian với

hàm đáp ứng xung h, khi đó h là nhân quả nếu và chỉ

nếu h(n) = 0 với mọi n < 0

Định lý

XLTHS: Mục đích và công cụ

Software

• NNLT: Pascal, C / C++

• NN cấp cao: Matlab, Mathcad, Mathematica…

• Công cụ chuyên dụng (vd: package thiết kế lọc)

Applications

• Dự đoán xuất liệu của hệ thống

• Cài đặt một xử lý cụ thể

• Nghiên cứu một tín hiệu cụ thể

DSPing Fast

Faster

Hệ thống

ms

V

Filter Antialiasing

k

A

A/D

k

A

Digital Processing

ms

D/A

ms

V LọcKhôi phục

Một số bước có thể được

bỏ qua

- Filter + A/D

- D/A + filter

(Vd: cần xuất liệu số )

Lc đ chung

giáo trình

Xử lý số

Lọc Antialiasing

A/D

Cài đặt hệ thống số

• Tốc độ lấy mẫu

• Lọc thông qua/thông dừng

Tiêu chí quyết định:

Analysis bandwidth, Dynamic range

• Tham số số bit.

1 2 3

Xử lý số

A/D

Lọc loại alias

Tín hiệu tương tự

Xuất liệu số

• Định dạng số.

Trang 8

Xử lý tín hiệu

Phân tích tần số của tín hiệu

Nội dung

Tại sao cần PTTS

• Nhanh và hiệu quả để biểu diễn tín hiệu theo một cơ sở

• Đơn giản hoá bài toán ban đầu - ex.: giải PTĐHR (PDE)

• Là kỹ thuật mạnh bù đắp cho phân tích trên lãnh vực thời gian

• Một số biến đổi trong XLTH bao gồm: Fourier, Laplace, z, wavelet

F

Phân tích

Tổng hợp

s(t), S(f) : Cặp biến đổi qua lại

Phân tích tần số là công cụ giải quyết bài toán

Có ứng dụng rộng rãi

• Viễn thông - GSM/điện thoại di động,

• Điện tử/CNTT – hầu hết các ứng dụng dựa trên DSP,

• Giải trí - âm nhạc, audio, video, đa phương tiện,

• Xử lý ảnh.

• Kỹ nghệ I khảo cứu – phổ X-Quang, hoá phân tích, giải phương trình đạo hàm riêng, thiết kế radar,

• Y học - Chụp cắt lớp, Chẩn đoán rối loạn giấc ngủ và đau tim.

• Phân tích tiếng nói – Các thiết bị biết nghe lời, sinh trắc học.

Trang 9

XLTH Phân tích tần số 5

Các cơng cụ phân tích

=

−

⋅

= N1 0 n

N n π 2 j e s[n]

N

1 k

Rời rạc

DFS T/ hoàn (c/ kỳ T)

Liên tục

DTFT

Ko Tuần hoàn

Rời rạc

DFT

n f π 2 j e n s[n]

S(f) +∞ ⋅ −

−∞

=

= ∑

0

0.5

1

1.5

2

2.5

time, t k

0

0.5

1

1.5

2

2.5

time, t k

=

−

⋅

= N1 0 n

N n π 2 j e s[n]

N

1 k

**

Tính bằng FFT

**

dt t π e s(t) S(f)

−

∞ +

∞

− ⋅

=∫

dt T

0

t ω k j e s(t) T

1

k = ⋅∫ ⋅ −

T/hoàn (chu kỳ T) Rời rạc

Liên tục

FT

Ko Tuần hoàn

FS

Liên tục

0

0.5

1

1.5

2

2.5

time, t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

time, t

j = √√√√ -1, ω = 2 ππππ /T, s[n]=s(tn), N = Số mẫu

Vài nét lịch sử

Các tiên đốn thiên văn của người Babylon, người Ai cập cổ xưa cĩ vẻ dựa trên tổng các hàm lượng giác

1669: Newton phát hiện phổ ánh sáng nhưng khơng nhận thức được khái niệm tần số

Thế kỷ 18: Hai bài tốn lớn

→ Qũi đạo các thiên thể: Lagrange, Euler & Clairaut xấp xỉ dữ liệu quan sát được với tổ hợp tuyến tính các hàm tuần hồn Clairaut,1754(!) cĩ cơng thức DFT đầu tiên.

→ Dây đàn: Euler mơ tả chuyển động của dây đàn bằng sin (phương trình sĩng) Tuy nhiên giới quý tộc nhất trí rằng tổng các hàm sin chỉ biểu diễn các đường cong trơn.

1807: Fourier trình bày cơng trình về truyền nhiệt ⇒⇒⇒ Phân tích Fourier ra đời

xuất bản gặp sự chống đối của giới quý tộc.

Vài nét lịch sử

Thế kỷ 19th / 20th: Hai nhánh phân tích Fourier - Liên tục & Rời rạc

Liên tục

Rời rạc: Phương pháp tính nhanh (FFT)

→ 1805 - Gauss, dùng FFT lần đầu tiên (bản thảo Latin, 1866).

→ 1965- IBM’s Cooley & Tukey “khám phá lại” FFT (“An algorithm for the

machine calculation of complex Fourier series”).

→ Các biến thể khác của DFT cho các ứd khác nhau (ex.: Warped DFT - thiết

kế lọc & nén tín hiệu).

Biến Đổi Fourier liên tục Cho tín hiệu x ∈ L1(R) Biến đổi Fourier của x là hàm:

∞

−∞ ∫

Nếu x∈ L1(R) và X ∈ L1(R), ta định nghĩa biến đổi Fourier ngược của x là:

1

2

j t

o

∞

ω

−∞∫

π

Tại các điểm bất liên tục biến đổi Fourier cĩ giá trị trung bình cộng của x(t)+và x(t)-:

Trang 10

Biến Đổi Fourier liên tục

• ejωt không thuộc L2(R) và {ejωt} là không đếm được

Nếu x∈ L2(R) thì x và phiên bản tổng hợp trùng nhau

trong L2(R)

• Ký hiệu x↔ X để chỉ X là biến đổi Fourier của x và x là

biến đổi Fourier ngược của X

• Biến đổi Fourier cũng có thể được viết theo quan điểm

tần số:

Lưu ý

2

X F ∞x t e− π dt

−∞ ∫

=

Tính chất

Dịch theo thời gian Dịch theo tần số

Đẳng thức Parseval ∫ h(t) g*(t) dt = ∫ H(f) G*(f) df

Bảo toàn năng lượng

Time Frequency

f d ) f U(

) f S(f

∫∞ +

∞

−

⋅

− t

d ) t

-u(

) t s(t

∫∞ +

∞

⋅

−

S(f) t 2π j

e− ⋅

s(t) f π 2 j

) t s(t −

∫

∞

∞ +

∞

=

-df 2 S(f)

-dt 2 s(t) E

dt ds(t)

∫

∞ t -du s(u)

) f -S(f

Biến Đổi Fourier liên tục

Cho tín hiệu x ∈ L1(R), nếu x(t) thực Biến đổi Fourier

của x có thể được biểu diễn theo các hàm sin và cos:

Phân tích

1

π 1

π

+∞

−∞

+∞

−∞

∫

−∞∫ +

Tổng hợp

Chuỗi Fuorier (Fourier Series (FS))

Một hàm tuần hoàn s(t) thoả điều kiện Dirichletcó thể được biểu diễn thành một chuỗi Fourier, theo các hàm điều hoà sine/cosine

∑∞

+

=

⋅

−

⋅ +

= 1 k

t) ω (k sin k b t) ω (k cos k a 0 s(t)

a 0 , a k , b k : Hệ số Fourier k: chỉ số,

T: chu kỳ, ω ω ω = 2π/T Với mọi t trừ các điểm gián

đoạn

Lưu ý: {cos(kωt), sin(kωt) }k tạo thành một cơ sở trực chuẩn trong không gian các hàm số

∫

⋅

= T 0

s(t)dt T

1 0

∫ ⋅

⋅

= T 0

dt t) ω sin(k s(t) T

2 k b

-∫ ⋅

⋅

= T 0

dt t) ω cos(k s(t) T

2 k a

(giá tr ị trung bình c ủ a tín hi ệ u trên m ộ t chu kỳ, i.e thành ph ầ n DC.)

Trang 11

Sự hội tụ của FS

s(t) liên tục từng khúc;

s(t) đơn điệu từng khúc;

s(t) khả tích tuyệt đối: T∫ < ∞

0 dt s(t)

(a) (b) (c)

Đk Dirichlet

Trên mỗi chu

kỳ:

Vd: xung

vuông

T

s(t)

(c)

nếu s(t) liên tục thì |ak|<M/k với k đủ lớn (M>0)

Tốc độ hội tụ

Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Phân tích Chuỗi Fourier Phân tích Chuỗi Fourier Phân tích Phân tích

* Hàm chẵn và lẻ

Lẻ : s(-x) = -s(x)

x s(x)

s(x)

x

Chẵn : s(-x) = s(x)

FS hàm lẻ: xung vuông

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

2 π

0 π

0 2π π 1)dt ( dt 2π

1







 + −

⋅

= ∫ ∫

0 π

0 2π π dt kt cos dt kt cos π

1









−

⋅

= ∫ ∫

{ − } =

⋅

=







 −

⋅

= ∫ ∫ 1 cos kπ

π k 2

π 0 2π π dt kt sin dt kt sin π 1 k

-





⋅

=

even k , 0

odd k , π k 4

1 ω 2π

T = ⇒ =

(trung bình zero) (hàm l ẻ )

t 5 sin π 5

4 t 3 sin π 3

4 t sin π

4

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

Chu

Chuỗi Fourier ỗi Fourier ỗi Fourier Ph Ph Phân tích ân tích

Chu

Chuỗi Fourier ỗi Fourier ỗi Fourier Ph Ph Phân tích ân tích

-π/2

f 1 3f 1 5f 1 f

r k

θ k

4/π 4/3π

fk=k ω/2π

r K= biên độ,

θθθθK= pha

rk

θ k

a k

b k

θk = arctan(b k /a k )

rk = ak + bk

z k = (r k , θ k )

vk=r kcos (ωk t + θθθθk)

Toạ độ cực

Biểu diễn phổ Fourier

∑∞

=

0

k

(t)

k

s(t)

Toạ độ Descartes

vk=a kcos(ωk t) -b ksin(ωk t)

4/π

f 1 2f 1 3f 1 4f 1 5f 1 6f 1 f

4/3π

a k

-b k

Phổ Fourier của xung vuông.

∑

=

⋅

= 7 1 k sin(kt) k b -(t) 7 sw

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

∑

=

⋅

= 5 1 k sin(kt) k b -(t) 5

=

⋅

= 3 1 k sin(kt) k b -(t) 3 sw

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

∑

=

⋅

= 1 1 k sin(kt) k b -(t) 1 sw

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

∑

=

⋅

= 9 1 k sin(kt) k b -(t) 9 sw

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

t

∑

=

⋅

= 11 1 k sin(kt) k b -(t) 11 sw

Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier Tổng hợp Chuỗi Fourier Tổng hợp

Chuỗi Fourier Tổng hợp Tổng hợp Tổng hợp xung vuông từ các

thành phần

Tốc độ hội tụ chậm (~1/k) - về mặt lý thuyết cần vô hạn số hạng

Trong thc hành, Chuỗi được cắt bỏ khi phần còn lại không đáng kể

⇒

⇒ Nhưng có sai: Hiện tượng Gibbs

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,55 MB