Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết tìm gtnngtln như thế nào? Phương pháp giải ra sao? Học sinh không phân dạng ra được nên chỉ giải theo một cách chung chung dẫn đến lệch hướng đi và không giải được. Các bái toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai rất đa dạng và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu hiện hành viết về vấn đề này chỉ ở mức độ chung chung chưa phân dạng và phương pháp giải cụ thể gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên. Vì vậy việc nghiên cứu để Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai thường gặp sau khi rút gọn là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững được nội dung kiến thức cũng như xác định được phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi – Thi lên lớp 10 THPT và thi giáo viên giỏi ở các cấp.
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC
HAI THƯỜNG GẶP SAU KHI RÚT GỌN
Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về : Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai là một phần học quan trọngtrong chương trình lớp 9 THCS, một trong những phần mà trong các đề thi họcsinh giỏi cũng như tuyển sinh thường ra Đó cũng là những tiền đề cơ bản để họcsinh tiếp tục học lên ở THPT
2 Cơ sở thực tiễn
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai làloại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết tìmgtnn-gtln như thế nào? Phương pháp giải ra sao? Học sinh không phân dạng rađược nên chỉ giải theo một cách chung chung dẫn đến lệch hướng đi và không giảiđược
Các bái toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa cănthức bậc hai rất đa dạng và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thivào lớp 10 THPT Tuy nhiên, các tài liệu hiện hành viết về vấn đề này chỉ ở mức
độ chung chung chưa phân dạng và phương pháp giải cụ thể gây nhiều khó khăntrong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáoviên
Vì vậy việc nghiên cứu để Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức chứa căn thức bậc hai thường gặp sau khi rút gọn là rất thiết thực,giúp giáo viên nắm vững được nội dung kiến thức cũng như xác định được phươngpháp giảng dạy đạt hiệu quả cao, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặcbiệt là chất lượng học sinh giỏi – Thi lên lớp 10 THPT và thi giáo viên giỏi ở các
cấp
3 Khảo sát chất lượng ban đầu
Trường THCS(Của chúng tôi)
Trường THCS Hùng Thành
Trang 2Trường THCS Mã Phúc Thành
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu về “Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểuthức chứa căn thức bậc hai thường gặp sau khi rút gọn” Giúp giáo viên nâng caonăng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đó, mở rộng, đàosâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệuquả
Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy họcphần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai trongbồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và họcmôn toán
Nghiên cứu vấn đề này giúp giáo viên có tài liệu tham khảo và dạy thànhcông về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai
III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1 Nghiên cứu về tình hình dạy và học vấn đề này ở nhà trường
2 Phân dạng các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn
3 Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài
4 Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm
IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1 Đối tượng nghiên cứu:
a Các tài liệu có liên quan
b Học sinh khối 9 Trường THCS chúng tôi, Trường THCS Hùng Thành, TrườngTHCS Phúc Thành
2 Phạm vi nghiên cứu:
Các bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcchứa căn thức bậc hai trong chương trình Toán THCS
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1.Nêu và giải quyết vấn đề
2.Phương pháp vấn đáp
3 Phương pháp nghiên cứu tài liệu
4 Phương pháp điều tra, khảo sát
5 Phương pháp thử nghiệm
6 Phương pháp đánh giá và tổng kết kinh ngiệm
VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nâng cao chất lượng dạy và học trong củng như sau khi nghiên cứu áp dụngsáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh hamthích học dạng toán này hơn
Trang 3B NỘI DUNG:
I THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1 Về phía giáo viên:
- Giáo viên chưa phân loại các dạng toán và những kiến thức áp dụng Gặp bài nàothì giải bài ấy
- Giáo viên chưa thực sự chú tâm đến việc tìm tòi những giải pháp phù hợp vớitừng đối tượng học sinh và áp dụng triệt để trong các bài học
a/ Cho biểu thức f( x ,y, )
a1/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếuhai điều kiện sau đây được thoả mãn:
- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :
Trang 4b/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x - 1)2 + ( x– 3)2 Mặc dù ta có
A 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x
để A = 0 ta phải giải như sau:
Bước 1 Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = k f x ( )m ( f (x)> 0 là biểu thức chứa biến x và k, m là một hằng số)
Bước 2 Lập luận để có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Bước 3 Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”
B - x : x > 0 Đẳng thưc xẩy ra khi x = ( thoả mãn)
Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng - khi x =
Trang 54 khi x =
14
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức P = x 3 x 1
Hướng dẫn giảiĐKXĐ: x > 0
Dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (tmđk)
Vậy GTNN của P là 1 khi x = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3 - 2 a a
Hướng dẫn giảiĐKXĐ a > 0
Với a > 0 ta có P = 3 2 a a 3 (2 a a )
mà (2 a a ) < 0 a > 0
=> P = 3 - 2 a a < 3
Dấu “=” xẩy ra khi a = 0 (tmđk)
Vậy GTLN của P là 3 khi a = 0
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức P = 2 x - 5
Trang 6Hướng dẫn giải
ĐK x > 0
Ta có: 2 x > 0 x > 0
=> P = 2 x - 5 > -5 x > 0 Dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (thoả mãn )
Vậy GTNN của biểu thức P là – 5 khi x = 0
Lưu ý: Từ các ví dụ trên ta có các nhận xét sau: Để tìm cực trị của biểu thức sau
khi thu gọn đưa về dạng P ax b x c thì P Cã GTNN nÕu a > 0; cã GTLNnÕu a < 0
Khi hướng dẫn học sinh làm cần chú ý vào hai trường hợp
Trường hợp 1: Nếu a, b khác dấu khi tìm cực trị HS cần nắm vững hằng đẳng
thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và các kỹ năng biến đổi như tách, thêm bớt để biến đổi biểu thức P về dạng P =
2
2
( ) ( )
Trường hợp 2: Nếu a, b cùng dấu( hoặc a = 0) thì biểu thức P có GTNN hoặc
GTLN là c tránh trường hợp sai lầm khi học sinh làm ví dụ 1 như sau:
4 ( sai lầm ở chỗ ta không chỉ ra được ĐK xẩy ra dấu “=”)
Dạng 2 Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc biến đổi thành biểu thức có dạng là P k
a x b
(a b k, , là hằng số, a > 0, b > 0, x 0) Cách giải
Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của mẫu thức: ( )f x a x b
Bước 2.Căn cứ vào dấu của hằng số k để suy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của
Trang 7=> GTNN của x + 3 là 3 dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (tmđk)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M = 2 2
=> GTNN của x + 3 là 3 dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (tmđk)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3 3 1
0 5 5 khi x = 1
2
Trang 8Lưu ý: Từ các ví dụ trên để tìm cực trị của biểu thức sau khi thu gọn đưa về dạng
Lời giải: Do B có tử không đổi và 1 > 0 nên B đạt GTLN khi x có GTNN4
ta có x > - 4 Dấu “=” xẩy ra khi x = 0 (tmđk)4
Vậy GTLN của B là 1
4
khi x = 0
Điều này sai ví dụ x = 25 khi đó ta có B = 1 > 1
Hướng dẫn giải
Trang 9 Hướng dẫn giảiĐK: x > 0
Ta có P =3 8
2
x x
Trang 10Bước 2 Tìm P để phương trình ẩn y trên có nghiệm không âm.
Bước 3 Tìm miền giá trị của P
Bước 4 Tìm điều kiện của x để có dấu “=” xảy ra
Bước 5 Dựa vào miền giá trị của P để suy ra giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất
của P, rồi kết luận
b, Kiến thức liên quan
Các TH có nghiệm không âm của phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) là:
* TH 1: Phương trình có 1 nghiệm không âm khi : a.c < 0
* TH 2:Phương trình có 2 nghiệm không âm khi :
'0( 0)00
b a c a
Trang 11Khi đó phương trình (2) là môt phương trình bậc hai.
Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm không âm
+ TH2.1: Ta có PT(2) có 1 nghiệm không âm (P P1) 0 1 P 0 (**)
+ TH2.2: Phương trình (2) có 2 nghiệm không âm khác 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng
3
1
đạt được khi x 4.Giá trị nhỏ nhất của P bằng -1 đạt được khi x = 0
Trang 12Ví dụ 2: Tìm GTNN của 1
1
x P
* TH 1 Nếu P 0 thì x 1 0 x 1(Không thoả mãn)
* TH 2 Nếu P 0 Khi đó phương trình (2) là môt phương trình bậc hai
Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm không âm
+ TH2.1 Ta có PT(2) có 1 nghiệm không âm ta có P.(P + 1) < 0 <=> - 1 < P < 0 (*)
+ TH2.2 Phương trình (2) có 2 nghiệm không âm
ĐK x > 0
x x (1)
Trang 13Đặt x y (y 0) khi đó phương trình (1) trở thành: Py2 Py P 3 0 (2)
*TH 1 Nếu P 0 thì -3 = 0 (không thoả mãn)
*TH 2 Nếu P 0 Khi đó phương trình (2) là môt phương trình bậc hai
Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm không âm
+ TH 2.1 Ta có PT(2) có 1 nghiệm không âm ta có P.(P – 3) < 0<=> 0 < P < 3 (*)+ TH 2.2 Phương trình (2) có 2 nghiệm không âm
2
3 ( 4) 0( )
300
P P
P P
P P
c
P a
- Biết chuyến biểu thức đã cho về dạng phương trình ay2 + by + c = 0
- Biết phân chia các trường hợp để giải phương trình đưa về dạng ay2+by+c=0
- Biết vận dụng thành thạo các trường hợp có nghiệm không âm của phương
trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 ( a 0)
- Học sinh biết cách kết hợp thành thạo các trường hợp để tìm miền giá trị của biểuthức P (GV nên hướng dẫn HS tìm miền giá trị bằng cách biểu diễn trên các trụcsố)
Dạng 5 Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc biến đổi thành biểu thức có dạng P a x b x c.
Trang 14Bước 2 áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương p. f (x) và
( )
k
q f x rồi từ
đó tìm được giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Bước 3 Tìm điều kiện để xảy ra dấu “=”
a1. 2. 3
( 2)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = … = an
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 7
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của Q là 3, đạt được khi x = 1
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức P = 3
1
x x
Với x > 1
Hướng dẫn giải
Trang 15Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 ( Với A = )
(Trích câu c bài 1 kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm học 2011 – 2012)
Vậy giá trị lớn nhất của P là - 5 khi x = 1
Trang 16=> P= ( x 2 ) 2
x
< -2 2 - 2
Vậy GTLN của P là -2 2 - 2 khi x = 2
Lưu ý: - Để sử dụng BĐT Côsi tìm cực trị trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn
hoặc biến đổi thành biểu thức có dạng P a x b x c.
2
a
Bài 9: Tìm GTLN của biểu thức A = 4
2
x x
Trang 17Bài 10: Tìm GTNN của biểu thức Y = 2
2
x x
Bài 12: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: P = 4
x
x x Bài 13: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Q=
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của A= 6 25
Trang 18Bài 21: Trích sách bồi dưỡng và luyện thi lên lớp 10 Nghệ An Năm 2015-2016 Ví
h Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I
Bài 24: Trích sách bồi dưỡng và luyện thi lên lớp 10 Nghệ An Năm 2015-2016.
Trang 19C KẾT LUẬN
I Bài học kinh nghiệm
Bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thứcbậc hai trong chương trình toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu chỉ dừnglại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực
tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹkinh nghiệm về vấn đề này
Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải bài toánliên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậchai thì bản thân mỗi giáo viên phải phân dạng được các bài toán liên quan đếnphương trình bậc hai một ẩn và biết cách giải cụ thể của các dạng toán đó
Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thức,nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi - học sinh thi lên lớp 10 THPT cóhiệu quả, ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu
để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy họccủa mình
Sau quá trình nghiên cứu đề tài đã áp dụng vào giảng dạy cho học sinh khốilớp 9 của ba cơ sở và thấy rằng các em có hứng thú học hơn, đặc biệt là các emhiểu bài và làm bài tốt hơn Kết quả khảo sát của ba cơ sở sau khi thực hiện đề tàinhư sau :
Trường THCS (của chúng tôi)
II Kết luận chung
Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng họcsinh giỏi người thầy phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu, tìm tòi và sángtạo
Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu
tham khảo tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên Hy vọng đề tài “Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức bậc hai thường gặp sau khi rút gọn” làm một kinh nghiệm của mình để giúp học sinh
tiếp thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực tư duy, sự sáng tạo và rèn kỹ nănggiải các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn cho học sinh
Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rất mongđược sự giúp đở, góp ý của đồng nghiệp và học sinh
Tôi xin chân thành cảm ơn !.
Trang 20D TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 SGK và sách giáo viên toán lớp 9 (Bộ giáo dục)
2 Bài tập nâng cao và 1 số chuyên đề toán 9 - Bùi Văn Tuyên
3 Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9 - Vũ Dương Thụy
4 Tuyển tập các chuyên đề trên báo tuổi thơ 2
5 Bồi dưỡng và luyện thi vào lớp 10 THPT môn toán- TS.Mai Xuân Vinh
6 Bồi dưỡng và luyện thi vào lớp 10 THPT môn toán- PGS.TS Trần Văn Ths.Lê Thị Hương
Tấn-7 Tuyễn chọ các đề toán thi vào lớp 10 – Huỳnh Quang Lâu
8 Bộ đề thi vào lớp 10 THPT Nghệ An Từ năm 1999 đến năm 2015
9 Bộ đề thi vào lớp 10 THPT của 63 Tỉnh Thành
10.Nâng cao và phát triển toán 9 - Vũ Hửu Bình
MỤC LỤC
Trang 21II Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức chứa căn thức bậc hai thường gặp sau khi rút
gọn
4
Dạng 1 Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc
biến đổi thành biểu thức có dạng là Paxb xc
4
Dạng 2 Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc
biến đổi thành biểu thức có dạng là P k
Dạng 3 Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc
biến đổi thành biểu thức có dạng P a x b
c x d
(a,b,c,d là hằng số c > 0, d > 0, x 0)
8
Dạng 4 Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc
biến đổi thành biểu thức có dạng P m x n
Dạng 5 Trường hợp biểu thức P sau khi rút gọn hoặc
biến đổi thành biểu thức có dạng P a x b x c.