CHUYÊN-ĐỀ-MỘT-SỐ-DẠNG-TÍCH-PHÂN-ĐẶC-BIỆT

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

Dạng 1:

 Nếu f x( ) là hàm số chẵn trên a a;  thì:

1 0

( ) 2 ( )

a



Chứng minh:

Biến đổi I1 về dạng:

0 1

0

(1)

Xét tích phân:

0

a





Đặt xt thì dxdt.

Đổi cận:

 xa t a

 x  0 t 0.

Mặt khác vì f(x) là hàm số chẵn nên f( )t f t( ).

Khi đó:

0

1

a

J f t dtf t dt J f x dx

(2) Thay (2) vào (1) ta được:

1 0

2 ( )

a

I  f x dx

 Nếu f x( ) là hàm số lẻ trên a a;  thì:

2

( ) 0.

a

a



Chứng minh:

Biến đổi I2 về dạng:

0 2

0

(1)

Xét tích phân

0

a





Đặt xt thì dxdt

Đổi cận:

 xa t a

 x  0 t 0

Mặt khác vì f x( ) là hàm lẻ nên f( )t  f t( ).

Khi đó:

0

a

J f t dtf t dt J f x

(2) Thay (2) vào (1) ta được:

0

2

0

a

a



 Chú ý: với một bài thi tự luận thì các tính chất này không được trình bày trong

phạm vi kiến thức của sách giáo khoa, do đó chúng ta sẽ trình bày như sau:

Ví dụ minh họa: Tính

2017 2015 4

2 4

cos

x







Giải:

Nhận xét hàm số

2017 2015

2

( )

cos

f x

x



thỏa mãn:

 Liên tục trên 4 4; .

 



 Ta có:

2017 2015 2017 2015

Biến đổi

0 4







(1)

Xét tích phân

0

4

( )







Đặt xt thì dxdt

Đổi cận:



 x  0 t 0

Khi đó:

4



(2) Thay (2) vào (1) ta được:

4



Dạng 2:

Nếu f x( ) liên tục trên a b,  thì

f x dx f a b x dx 

Chứng minh:

Đặt t a b x x   ; a b,   dtdx

Đổi cận:

 x a  t b

 x b  t a

f a b x dx   f t dt f t dt f x dx

(đpcm)

Ví dụ minh họa 1: Cho hàm số f x( ) liên tục trên Rvà f x( ) 2 (1 f  x)x2

Tính

1

1

0

( )

I f x dx

Giải:

Áp dụng chứng minh trên, ta có:

1

I f x dxf  x dx

Khi đó:

1

3I f x dx( ) f(1  x) f(1  x) f x dx( ) 2 (1f  x dx)

1

2

1 ( ) 2 (1 )

x

Vậy 1

1

9

I 

Ví dụ minh họa 2: Tính

2 2 0

ln(1 tan )



Đặt t 4 x



thì dt dx dxdt

Đổi cận:

4

x  t 

4

x  t

Khi đó:

4

t





ln 2 ln 1 tant dt t.ln 2 ln 1 tant dt t.ln 2 ln 1 tanx dx

Dạng 3:

Nếu f x( ) là hàm số chẵn trên a a,  thì:

 

  3

1

.

x

f x

b



Chứng minh:

Đặt xt thì dxdt

Đổi cận:

 xa t a

 x a  ta

Khi đó:

   

3

1

t

I

b



 

 

2

x

x

b





(đpcm)

Ví dụ minh họa: Tính

4 3 4

cos 1

x

x

e













Giải:

Đặt x t dxdt

Đổi cận:



Khi đó:

4

1

x

t

e









 



Dạng 4:

4

2



Chứng minh:

Đặt x   t thì dxdt

Đổi cận:

 Nếu x  0 t 

 Nếu x   t 0

Khi đó:

0

4



2



Ví dụ minh họa: Tính 4 0 2

sin

1 cos

I

x









Giải:

Ta có: 4 0 2

sin

2 sin

I

x









Đặt x   t dxdt

Đổi cận:

 Nếu x  0 t 

 Nếu x   t 0

Khi đó:

0









Đặt cosx u   sindx du

Đổi cận:

 Nếu x  0 u 1

 Nếu x   u 1

I





Đặt 2

1 tan

cos



4 4;

 

   

Đổi cận:



 





Khi đó:

4

1 tan

d









