(SKKN 2022) rèn luyện kỹ năng phương trình hàm và bình phương để giải nhanh một số dạng tích phân khó giúp học sinh lớp 12 đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT và thi học sinh giỏi

Để giải quyết cơ bản được các dạng toán này ta sửdụng định nghĩa kết hợp với phương trình hàm, đưa về bình phương của mộttổng, hiệu là một trong những phương pháp hiệu quả nhất.. Từ nhữn

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Tích phân là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toánlớp 12 Để làm tốt được các bài toán phần này thực sự không hề dễ Trong kì thitốt nghiệp THPT hình thức thi trắc nghiệm đã trải qua năm năm nên các dạngtích phân rất phong phú và nhiều dạng khó, nhất là các hàm ẩn thì lại càng khó.Trong các dạng tích phân về hàm ẩn ta thường gặp một số dạng: Hàm hợp, bìnhphương của một tổng, hiệu Để giải quyết cơ bản được các dạng toán này ta sửdụng định nghĩa kết hợp với phương trình hàm, đưa về bình phương của mộttổng, hiệu là một trong những phương pháp hiệu quả nhất Do thi dưới hình thứctrắc nghiệm, đặc biệt năm học 2021-2022 kì thi học sinh giỏi của tỉnh ThanhHóa cũng tổ chức thi trắc nghiêm nên đây là vấn đề khó khăn cho học sinh Vìngoài việc giải quyết tốt bài toán còn đòi hỏi học sinh phải phản ứng nhanh, tínhtoán chính xác để đưa ra kết quả kịp với thời gian quy định Do vậy với bản chất

là một dạng toán khó, đòi hỏi sự lập luận, suy luận cao, tư duy lôgic cộng vớiviệc tính toán nhanh thì đây chính là thách thức đối với học sinh lớp 12

Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết địnhchọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng phương trình hàm và bình phương để giải nhanh một số dạng tích phân khó giúp học sinh lớp 12 đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi học sinh giỏi’’ làm đề tài sáng kiến kinh

nghiệm của bản thân trong năm học 2021 – 2022

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là:

+ Rèn luyện kỹ năng toán học, đặc biệt là hình thành cách tính nhanh,chính xác các dạng toán nguyên hàm và tích phân khó trong chương trình Giảitích 12

+Từ đó phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấnđề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là một số cách tính nhanh tích phân –Chương III – Giải tích 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toánhọc của học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giảiquyết một vấn đề là vô cùng quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm được lờigiải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết

kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tươngthích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cáchhọc, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm

vụ quan trọng của người giáo viên

Trong bài “Nguyên hàm và tích phân” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa

ra hai phương pháp tính nguyên hàm và tích phân là đổi biến số và từng phần.Đây là hai phương pháp cơ bản nhất, giải quyết được khá nhiều các bài tậpnguyên hàm và tích phân Tuy nhiên trong một số dạng bài tập tích phân khó,đặc biệt là tích phân hàm ẩn thì hai phương pháp này không thể giải quyết đượchoặc có thể giải quyết được nhưng vô cùng phức tạp Vì vậy, tôi nhận thấy mìnhcần bổ sung thêm phương trình hàm và bình phương của một tổng, hiệu giúphọc sinh dễ dàng giải quyết dạng toán này

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Triệu Sơn 3 là vùng bán sơn địa, có nhiều xã miền núi đặcbiệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, nhiều học sinh là dân tộc thiểu số, điềukiện kinh tế khó khăn, điểm đầu vào thấp nhất là môn Toán

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy để làm tốt, nhanh phần tích phân thìhọc sinh cần phải nắm vững kiến thức, phải có khả năng phán đoán, phân tíchtốt dạng toán, đồng thời cần có kỹ năng trình bày chặt chẽ và tư duy logic cao.Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của không ít học sinh, kể cả học sinhkhá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý e ngại những dạng toán khó này, cách làm dài,cần lập luận nhiều các em không hứng thú

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hướng dẫn học sinh ôn tập một số kiến thức cần thiết để áp dụng vào giải dạng toán tích phân.

+) Bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp, hàm số hợp

+) Tính chất của nguyên hàm và tích phân

, dấu “=” xảy ra khi

trong đó một hàm số cụ thể Tínhgiá trị của tích phân

2 Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn:

Phương pháp giải

- Thay bởi hoặc

- Tìm mối liên hệ giữa các giá trị, lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận xét: Khi tính tích phân , ta thường dùng đổi biến số để đưa

về cùng nhưng việc làm đó tương đối dài và phức tạp, do vậy ta sử dụngphương trình hàm để tìm ra

2.3.3 Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng tích phân theo định nghĩa kết hợp với kỹ thuật phương trình hàm thường gặp giúp học sinh làm

toán trắc nghiệm nhanh gọn giảm bớt được tối đa thời gian

Bài 1 Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn

2.3.4 Hướng dẫn học sinh so sánh cách giải khác để thấy rõ tính ưu việt của phương pháp sử dụng tích phân theo định nghĩa kết hợp với kỹ thuật phương trình hàm so với cách giải thông thường.

Bài 1 Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn

Bài 2 Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn:

Tính giá trị của tích phân

Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2019

*Học sinh nhận xét: Cách giải 1 nhanh, còn cách giải 2 khó hơn nhiều, đòi

hỏi phải biết đổi biến số phù hợp, tính toán dài qua nhiều bước

* Giáo viên nhận xét chung và nêu ý nghĩa của phương pháp trong đề tài: Đây là các bài toán khó đối với nhiều học sinh, nếu giải bằng phương

pháp khác thì học sinh gặp phải khó khăn là phải biết đặt ẩn phụ, đổi cận để đưa về tích phân qen thuộc.

Nhìn vào hai cách giải trên thì rõ ràng cách giải khác dài dẫn đến mất khá nhiều thời gian để giải quyết xong bài toán Còn cách dùng định nghĩa kết hợp với kỹ thật phương trình hàm nhanh và mang lại hiệu quả rất cao.

Qua 3 ví dụ trên đã cho ta thấy tác dụng rất tích cực của phương pháp kỹ thật phương trình hàm khi giải toán tích phân

Trong các buổi sinh hoạt chuyên môn tại tổ chuyên môn, tôi đã đưa ra các bài tập để các đồng nghiệp thử giải và so sách các cách giải; kết quả là những bài toán có thể áp dụng được phương pháp này thì cho kết quả nhanh hơn rất nhiều so với các cách giải khác.

2.3.5 Trên cơ sở các dạng toán trên xây dựng các bài tích phân mới.

Xây dựng một bài tích phân cho các dạng này rất đơn giản Để giảm bớtđáp án không đẹp ta cần tính toán trước khi gắn các biến, chẳng hạn nếu chứa căn bậc hai thì ta chọn cận để được số chính phương khi thay cũng như

2.3.6 Hướng dẫn và rèn luyện kỹ thuật đưa về bình phương giúp

học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn giảm bớt được tối đa thời gian

Phương pháp

- Biến đổi thêm, bớt đưa về bình phương của một tổng, hiệu bình phương.

- Ta đưa về dạng với là hàm cụ thể “=” xảy ra khi

Dạng 1: Có sẵn bình phương

Bài 1 Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn

Do đó giả thiết tương đương với

Dạng 2: Biến đổi đưa về bình phương

Bài 1: Cho hàm số có đạọ hàm liên tục trên thỏa mãn

Tính

Phân tích: Giải tương tự như cách của bài 1 ta tính ra

Tuy nhiên khi cộng vào không bằng

Phân tích: Trong đề có nhưng không có do đó ta

phải làm xuất hiện bằng cách sử dụng tích phân từng phần

Đặt

-Phân tích: Trong đề có nhưng không có do đó ta

phải làm xuất hiện bằng cách sử dụng tích phân từng phần

Đặt

Xét tích phân

Vậy Ý nghĩa:

- Sử dụng phương pháp bình phương giúp học sinh linh hoạt trong việc biến đổi, giải toán nhanh gọn Mặc dù đây là những bài toán khó nhưng vẫn tạo được hứng thú cho học sinh.

- Sử dụng phương pháp bình phương cần phải biến đổi khéo léo giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán

2.3.7 Dựa trên cách giải trên xây dựng các bài tích phân mới.

Để học sinh hiểu sâu và thêm hứng thú, say mê với giải toán nguyên hàm

và tích phân, đồng thời phát huy khả năng sáng tạo của các em tôi đã định hướng giúp học sinh dựa trên cơ sở các dạng nguyên hàm, tích phân thường gặp xây dựng các bài nguyên hàm và tích phân mới bằng cách thay hàm, cận cụ thể Khi tạo ra các tích phân mới cần tránh đáp án quá xấu, ta phải có sự tính toán trước

1 Từ Ta gán cho một hàm số cụ thể nào đó ,sau đó ta có thể tạo ra một hệ thống bài tích phân mới

Ví dụ 1: Cho hàm số có đạọ hàm liên tục trên thỏa mãn:

)

2 Có những bài ta không nên để học sinh phát hiện ra bình phương màcần qua một số thao tác như sử dụng tích phân từng phần mới đưa được về bìnhphương

Ví dụ 1: Cho hàm số có đạọ hàm liên tục trên thỏa mãn:

Trong một số tiết luyện tập tôi đã yêu cầu một số em học sinh khá giỏi tạo

ra bài tập cho cả lớp cùng làm, các em rất hứng thú và nhiều em rất sáng tạo khi

ra bài tập, có nhiều bài nguyên hàm và tích phân hay được các em đưa ra nhưem: Lã Thị Thu, Nguyễn Xuân Khuyến, Nguyễn Thị Lan Cách làm như vậykhiến học sinh thật sự trở thành trung tâm của quá trình dạy học, các em chủ

động tiếp thu kiến thức và tích cực hơn trong việc tự học trên lớp cũng như ởnhà.

2.3.8 Hệ thống bài tập sử dụng kĩ thuật phương trình hàm và bình phương giúp học sinh rèn luyện.

Bài 1 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn

Giá trị của tích phân bằng

Bài 2 Cho hàm số liên tục trên thảo mãn:

A B C D Bài 3 Cho hàm số liên tục trên và

Tính

Trích đề tham khảo của Bộ năm 2018

Bài 6 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn

Bài 9 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn ,

Trích đề thi Sở GD VÀ ĐT Hưng Yên năm 2018

Bài 10 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn , và

đều nhận giá trị dương trên đoạn và thỏa mãn ,

Trích đề thi SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

Thông qua việc đưa ra các bước giải cụ thể, cách phát hiện các vấn đềtrong một bài toán, đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng từng dạng toántôi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh và đạt độ chính xác cao hơn

Từ đó kết quả kiểm tra tiến bộ rõ rệt

Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12E36 và12G36 mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn và trong thời gian làm bàingắn hơn nhưng kết quả tốt hơn nhiều Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thểnhư sau:

Kết quả kiểm tra lần 1

Kết quả kiểm tra lần 2

Lớp Số HS Điểm dưới 5 Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10

Kết quả thu được:

Qua quan sát thực tế và các bài kiểm tra về dạng toán này, tôi thấy

- Học sinh đã định hướng, giải khá nhanh và thuần thục các bài toán vềnguyên hàm và tích phân được tôi sưu tầm từ các đề thi học sinh giỏi trong tỉnh,của các trường THPT trong cả nước

- Học sinh đã rèn luyện kỹ năng giải các bài toán tích phân, kỹ năng tínhtoán, kỹ năng phát hiện, biến đổi linh hoạt và phát huy tính sáng tạo tìm tòi lờigiải cho một bài toán, một dạng toán

- Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức,100% học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và cókết quả tốt hơn khi chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy trên

Từ những kết quả trên tôi khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra cótính khả thi cao và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học

2.4.2 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng caochất lượng giảng dạy phần nguyên hàm và tích phân của bản thân, từ đó gópphần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán của nhà trường

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡđồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoànthành và đạt được những kết quả chính sau đây:

+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Nguyên hàm và tích phân” hiện nay.

+ Đề tài đã đưa ra giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng tìm tíchphân cho các bài toán khó mà đòi hỏi phải giải quyết trong thời gian ngắn

+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.+ Đề tài đã nêu được cách xây dựng các bài tích phân mới

+ Đề tài đã đưa ra một số bài tập áp dụng trên cơ sở các dạng bài tập quenthuộc và hệ thống các bài tập luyện tập được trích từ các đề thi học sinh giỏi, các

đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, của Sở giáo dục ở một số tỉnh,thành phố trên cả nước để học sinh được rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệmToán

3.2 Kiến nghị

Trên đây là một số sáng kiến và kinh ngiệm của tôi đã thực hiện tại đơn vịtrong các năm học vừa qua Rất mong đề tài này được xem xét, mở rộng hơnnữa để áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích và say mêhọc Toán hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, trongnhà trường và các em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệmnày

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của

người khác.

Người viết

Vũ Thị Phượng