CHỦ ĐỀ 11 TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ NÂNG CAO 1) Một số dạng tích phân đặc biệt ( Mệnh đề 1 Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thì ( Mệnh đề 2 Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn thì ( Mệnh đề 3 Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thì ( Mệnh đề 4 Nếu f(x) là hàm số liên tục trên thì Để chứng minh hoặc tính toán các tích phân đặc biệt trên, thông thường ta sử dụng các phương pháp đổi biến như sau ( Với ta có thể lựa chọn việc đặt ( Với ta có thể lựa chọn việc đặt ( Với ta.
Trang 1CHỦ ĐỀ 11: TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ NÂNG CAO 1) Một số dạng tích phân đặc biệt
Mệnh đề 1: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn a;athì
f (x)dx 2 f (x)dx
Mệnh đề 2: Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn a;athì
a
a
f (x)dx 0
Mệnh đề 3: Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn a;athì
x
f (x)
dx f (x)dx
Mệnh đề 4: Nếu f(x) là hàm số liên tục trên 0;1 thì 2 2
f (sinx)dx f (cos x)dx
Để chứng minh hoặc tính toán các tích phân đặc biệt trên, thông thường ta sử dụng các phương pháp đổi biến như sau:
Với
a
a
I f (x)dx
ta có thể lựa chọn việc đặt xt
Với 2
0
I f (x)dx
ta có thể lựa chọn việc đặt t 2 x
Với
0
I f (x)dx
ta có thể lựa chọn việc đặt t x
Với
2
0
I f (x)dx
ta có thể lựa chọn việc đặt t 2 x
Ví dụ 1: Cho f(x) là hàm số lẻ liên tục trên đoạn 1;1 và
1
0
f (x)dx 10
1
0
If (x)dx
Lời giải
Do f(x) là hàm số lẻ nên
f (x)dx f (x)dx f (x)dx 0
f (x)dx f (x)dx f (x)dx 10
Ví dụ 2: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn 3;3và
0
3
f (x)dx 2
3
3
I f (x)dx
Lời giải
Do f(x) là hàm số chẵn nên
I f (x)dx 2 f (x)dx 2 f (x)dx 2.2 4
Trang 2Ví dụ 3: Giả sử tích phân
2 2
3 x
2
x cos x
1 3
, trong đó , ,a b c Tính S 8a 4b c
A 5
4
8
2 3
Lời giải
Đặt t x dtdxvà đổi cận 2 2
Khi đó
3
3 1
3
x t
t
2
2 2
x
Do đó 4
3
S Chọn B.
Ví dụ 4: Giả sử tích phân 2 2
0
x sin xdx
1 cos x
, trong đó , ,a b c Tính S a b c
A 1
2
2
4
4
I
Lời giải
Khi đó
v tan u
4
Do đó
2
2) Một số dạng tích phân vận dụng cao
Dạng 1 Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:
(1) ( ) '( )u x f x u'(x).f(x) h(x)
'( ) ( ) (x).f'(x)
h(x) ( )
u x f x u
f x
Phương pháp giải:
Trang 3Áp dụng các công thức: ( ) 'uv u v v u và ' '
'
2
u u v v u
(1) Biến đổi: u x f x( ) '( )u'(x).f(x) h(x) u x f x( ) ( ) ' h x( ) u x f x( ) ( )h x dx( )
(2) Biến đổi:
' 2
Dạng 2 Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:
(1) '( )f x f x( )h x( )
2) '( ) f(x) h(x)f x
Phương pháp giải:
(1) Biến đổi: '( )f x f x( )h x( ) e '( )x f x e f x x ( )e h x x ( )
( ) ( ) ( ) ( )
e f x x e h x x e f x x e h x dx x
(2) Biến đổi: '( ) ( ) ( ) e '( ) ( ) ( )
e x f x e h x x e x f x e h x dx x
Dạng 3 Bài toán tổng quát: '( )f x p x f x( ) ( )h x( )
Phương pháp giải:
Nhân 2 vế với p x dx( )
e ta được ep x dx( ) '( )f x ep x dx( ) ( ) ( )p x f x ep x dx( ) ( )h x
Tổng quát: ep x dx( ) ( )f x h x e( ) p x dx( ) dx
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 thỏa mãn f (0) 3 và
2
(2x 3)f '(x) 2f(x) 4x 3x Tính f (2) bằng
A (2) 1f B (2) 9
7
5
7
f
Lời giải
Ta có: (2x 3)f '(x) 2f(x) 4x 3x 2 (2x 3)f (x) 4x 3x 2
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: (2x 3)f (x) (4x 3x )dx 2x 2 2 x3C
Do f (0) 3 3f(0) C C 9
Thay x 2 7f (2) 8 8 9 f (2) 9
7
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f (1) 2 và
(x x 2)f '(x) (2x 1)f (x) 4x 2x Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trang 4A 2 f(3) 3 B 3 f(3) 5 C (3) 2f D (3) 5f
Lời giải
Ta có: (x2 x 2)f '(x) (2x 1)f (x) 4x 32x (x2 x 2)f (x)4x32x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: (x2 x 2)f (x)(4x32x)dx x 4x2C
Do f (1) 2 4f(1) 2 C C 6
Khi đó (32 3 2)f (3) 34 32 6 f (3) 48 5
7
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4 thỏa mãn f (1) 2 và
4 2
f(x) x.f'(x) 3x 4x Tính giá trị f (4)
A (4)f 2 B (4)f 196 C (4)f 48 D (4)f 193
Lời giải
Ta có f(x) x.f'(x) 3x4 4x2 f (x) x.f '(x)2 3x2 4
x
2 2
xf '(x) f (x)
3x 4 x
(*) Mặt khác f( ) '( )2 ( )
Lấy nguyên hàm 2 vế của (*) ta có: f( )x 34
x
1
Khi đó (4)f 196 Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên Biết rằng f 0
4
và sinx.f'(x) cos x.f (x) sinx cos x Tính giá trị của f
2
2
2
2
f
Lời giải
Ta có: sinx.f(x) sinx.f '(x) cos x.f (x)
Từ giả thiết lấy nguyên hàm 2 vế ta được: sinx.f (x) cos x sinx C
Trang 5Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 thỏa mãn f '(x) f(x) x 1 Biết
f (0) 9 Khẳng định nào sau đây là đúng?
(2) 9e
(2) 9e
(2) 1 9e
(2) 1 9e
f
Lời giải
Ta có: f '(x) f(x) x 1 e f '(x) e f (x) e (x 1)x x x
e f (x) e (x 1) e f (x) e (x 1)dx
Đặt u x 1x du dxx e (x 1)dx (x 1)ex x e dx (x 2)ex x C
Do đó
x
x
(x 2)e C
e f (x) (x 2)e C f (x)
e
Lại có
x
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên Biết rằng f (0) 3 và
f (x) f '(x) 2x 1 Giá trị của f 1 thuộc đoạn
A 0; 2 B 4;6 C 2; 4 D 6;8
Lời giải
Ta có : f (x) f '(x) 2x 1 e f (x) e f '(x) e (2x 1) x x x
Mặt khác e f (x) x e f '(x) e f (x) x x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: e f (x)x e (2x 1)dxx
Đặt u (2x 1)dxx du 2dxx e (2x 1)dxx e (2x 1)x 2e dxx
e f (x) e (2x 3) C e f(x) e (2 x 3) C
x
1
e
f (1) 5 e 6;8
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn 0;1 , biết rằng f (0) 13
3
và
(x 1)f '(x) xf (x) x 4x Khi đó:
A 0 f(1) 2 B 2 f(1) 4 C 4 f(1) 5 D (1) 5f
Lời giải
Ta có :
3
(x 1)f '(x) xf (x) x 4x f '(x) f (x)
Trang 6Áp dụng công thức nhanh Dạng 3 ta có 2 2
3
2
4
1
2
1ln( 1)
2
1 2 1
xdx
x x
Do đó (*)
3
2
4
1
x x
x
2
Do đó
f x
Mặt khác f (0) 10 C 13 C 1 f (1) 11 1 4 f (1) 5
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn 2; 4 , biết rằng f (2) 6 và
(x 1)f '(x) f (x) x x Tính (4)f
A (4) 2f 5 B (4) 5f 5 C (4) 5f 15 D (4) 2f 15
Lời giải
Ta có: (x2 1)f '(x) f (x) x2 x f '(x) f (x)2 x
với x2; 4
Áp dụng công thức nhanh Dạng 3 ta có ( ) 2 1 2 1
1
Lại có 2
1ln 1
1 2 1 1
1
x
Do đó (*)
2
2
Vậy (4) 5f 5 Chọn B.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn 1;e , thỏa mãn
xf '(x) x f (x) 3f (x)
x
và (1)f 3 Tính (e)f
A 5
5 2
2
5 2
Lời giải
Ta có xf '(x) x f (x) 2 3f (x) 4 f (x) xf '(x) x f (x) 2 4f (x) 4
Trang 7
2
2
xf (x)
xf (x) xf (x) 2
Đặt (x)g xf x ta có: ( )
g '(x) 1
x g(x) 2 suy ra
g '(x) dx dx
x g(x) 2
g(x) 2
Do (1)f 3nên 1 C C 1
1
Ví dụ 10: Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm tại mọi x0;, đồng thời thỏa mãn điều kiện
f (x) x sinx f '(x) cos xvà
3 2
2
( )sin x 4
f x dx
Khi đó, ( )f nằm trong khoảng
Lời giải
Ta có f (x) x sinx f '(x) cos x f (x) xf '(x) x sin x cos x
f (x) xf '(x) x sin x cos x f (x) cos x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: f (x) cos x C f (x) cos x Cx
Khi đó:
( )sin x (sin xcosx+Cxsinx) 4 2
Suy ra f (x) cos x 2x f ( ) 1 2 (5;6) Chọn B.
Ví dụ 11: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn 0;
3
Biết rằng
f '(x).cos x f (x).sinx 1, x 0;
3
và (0) 1f Tính tích phân 3
0
( )
I f x dx
2
2
2
Lời giải
f '(x).cos x f (x).s inx 1 f (x) 1
f '(x).cos x f (x).s inx 1
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: f (x) tanx C
cos x Theo giả thiết (0) 1f C1
Trang 8Khi đó 3 3 3 3
0
3 1
2
Chọn A
Ví dụ 12: Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm tại mọi 0;
2
, đồng thời thỏa mãn hệ thức
3
x
f (x) tanx.f'(x)
cos x
f f a b trong đó , a b Tính giá trị của
biểu thức P a b
A 14
9
9
9
9
P
Lời giải
Ta có f (x) tanx.f'(x) x3 cos.f(x) sin xf '(x) x2 sinx.f (x) x2
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: sinx.f (x) xdx2
cos x
2
xdx sin x.f (x) x tan x tan xdx
cos x dv
cos x
sin x.f (x) x tan x ln cos x
Suy ra
5
a
b
Chọn B.
Ví dụ 13: Tính tích phân
3
1
min e ;e
A I 2 2
2 2
I
2 2
I
2
I e
Lời giải
x
e
Suy ra trên 1;0 0 min ;
e x e x e e x x e x
Và trên 1;3 0 min ;
e x e x e e x x e x
Vậy
0 3
1 0
2
e dx dx 2
x x
e Chọn C.
Trang 9Ví dụ 14: Tính tích phân
3
3 2 0
max x ; 4 3
A 117
2
12
Lời giải
1; 3
x
Suy ra trên 0;1 x3 (4 x2 3 ) 0x maxx3;4 x2 3x x3
1;3 x (4x 3 ) 0x max x ; 4x 3x 4x 3x
Vậy
1 3
3 2
0 1
275
x dx (4 3 ) dx
12
Ví dụ 15: Tính tích phân
2
0
min sinx;cosx
Lời giải
Xét phương trình sinx cos 0 sin 0
Suy ra trên 0; sinx cos 0 min sinx;cos sinx
4
Và trên 0; sinx cos 0 min sinx;cos cos
4
Vậy
0
4
sinx dx cosxdx 2 2
I
Chọn D.
Trang 10BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và thỏa mãn ( )f x f(x) 2 2 os2 , c x Tínhx
3
2
3
2
( )
I f x dx
Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và thỏa mãn ( )f x f( x) 3 2 os , c x x Tính
2
2
( )
I f x dx
3
2
2
2
I
Câu 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và thỏa mãn (f x) 2 ( ) f x c xos Tính
2
2
( )
I f x dx
A 1
3
3
3
Câu 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và thỏa mãn ( )f x f(x) sin 2 x Tính
2
2
( )
I f x dx
2
Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và thỏa mãn 2 (f x) f x( ) x 3 Tính
1
1
( )
I f x dx
3
3
Câu 6: Cho
1
1
( )
4
1 2x
f x dx
, trong đó hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên đoạn 1;1 Tính
1
1
( )
I f x dx
Câu 7: Tính tích phân
2 2016
2 x 1
x
e
A
2016
2
2017
2018
2 2017
2017
2 2017
2018
2 2018
I
Câu 8: Cho hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn 2; 2 Tìm khẳng định luôn đúng?
Trang 11A
f x dx f x dx
2
2
f x dx
C
f x dx f x dx
f x dx f x dx
Câu 9: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên thỏa
1
1
f x dx
1
0
( )
f x dx
1 4
Câu 10: Cho f(x) là hàm số chẵn trênthỏa mãn
0
3
f x dx
A
3
3
f x dx
3
3
f x dx
3
0
f x dx
0
3
f x dx
Câu 11: Tính tích phân
1
2017 2 1
2017
3
I
Câu 12: Cho f là hàm số liên tục trên a; b thỏa ( ) 7
b
a
f x dx
b
a
I f dx
A I 7 B I a b 7 C I 7 a b D I a b 7
Câu 13: Cho hàm số f(x) là hàm chẵn, có đạo hàm trên đoạn 6;6 Biết rằng
2
1
f x dx
3
1
f x dx
6
1
( )
I f x dx
Câu 14: Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn
0
2
( )
f x dx a
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A
2
0
( )
f x dxa
2
2
f x dx a
2
2
f x dx
2
0
( )
f x dx a
Câu 15: Cho hàm số f(x) là hàm số lẻ
0
2
f x dx
Tính tích phân
2
0
( )
I f x dx
Trang 12Câu 16: Cho hàm số f(x) là hàm chẵn và liên tục trên , thỏa mãn
3
0
I f x dx Tính tích phân
2
2
cos (3sin )
Câu 17: Cho tích phân
2
1
I f x dx
trong đó f(x) là hàm số liên tục trên đoạn 1; 2 Tính tích phân
2
1
(1 )
f x dx
Câu 18: Biết 4
0
ln(1 tanx) aln
b
với a,b,c và a blà phân số tối giản Giá trị a2b c thuộc
khoảng nào trong các khoảng sau?
Câu 19: Biết
0
xf(sin x) dx 2
0
f(sin x) dx
Câu 20: Biết
0
2 f(sin x)
3
dx
0
xf(sinx)dx
A
3
B 2
3
C 2
Câu 21: Biết
5
1
dx 4 ln 2 ln 5
x
x
Câu 22: Tích phân
4 2 1
x 3x 2 dx a
b
blà phân số tối giản Tính a+2b
Câu 23: Cho các số thực m, n thỏa mãn
1
(1 )
a
x dx m
1
(1 )
b
x dx n
trong đó a, b là các số thực
1
a b Tính tích phân
1
a
I x
A I m n B I n m C I m n D I m n
Trang 13Câu 24: Tính tích phân
4
2 0
1;4 3
I max x x dx
A 80
3
3
3
I
Câu 25: Tính tích phân
4
2 2
ax ; 4 3
I m x x dx
A 56
3
3
3
I
Câu 26: Tính tích phân
2
2 0
min x;
2
6
2
I
Câu 27: Tính tích phân
2
2 0
min 1;
I x dx
A 8
3
3
3
I
Câu 28: Tính tích phân
2
0
1
x
x
A 9 4ln3
I
Câu 29: Tính tích phân
2
2 0
max ;
I x x dx
A 17
6
3
2
3
I
4
2 0
I x x x dx
A 83
6
6
6
6
I
Trang 14LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Lấy tích phân 2 vế của ( )f x f( x)cos2 xcận từ 3 3
Đặt t x dt dxvà đổi cận
Khi đó
f x dx f t dt f t dt f x dx
Suy ra
Câu 2: Ta có
Đặt t x dt dxvà đổi cận 2 2
Khi đó
f x dx f t dt f t dt f x dx I
2
3
2
Câu 3: Ta có
Đặt t x dt dxvà đổi cận 2 2
Trang 15Khi đó
f x dx f t dt f t dt f x dx I
2
2
3
Câu 4: Ta có:
Đặt t x dt dxvà đổi cận 2 2
Khi đó
f x dx f t dt f t dt f x dx I
2
cos 2
2
x
Câu 5: Ta có
2 (f x) f x( ) x 2 f( x dx) f x dx( ) x dx
Đặt t x dt dxvà đổi cận 1 1
Khi đó
f x dx f t dt f t dt f x dx I
Do đó (*)
1 4
1
4
x
Câu 6: Đặt t x dtdxvà đổi cận 1 1
Khi đó
1
2
t
Suy ra
x
Câu 7: Đặt t x dtdxvà đổi cận 1 1
Trang 16Khi đó
2 2016 2 2016 2 2016 2 2016 2 2016
1
t
e
Suy ra
2
2 2016 2 2016 2 2017 2017
2016
2
x
Do đó
2017
2
2017
I Chọn C.
Câu 8: Do f(x) là hàm lẻ thì ( f x) f x( )
f x dx f x dx
Câu 9: Do f(x) là hàm chẵn thì ( f x)f x( )
Ta có:
0
a
Do đó
Do đó
Câu 10: Do f(x) là hàm chẵn trên nên
f x dx f x dx
Câu 11: Do 2017 2
f x x x là hàm số lẻ trên nên
1
2017 2 1
Chọn A.
Câu 12: Đặt t a b x dt dx Đổi cận x a t b
I f a b x dx f t dt f x dx Chọn A.
Câu 13: Do f(x) là hàm chẵn nên
1
2
2 f dt 2 f x dx f x dx
Khi đó
I f dx f x dx f x dx
Câu 14: Hàm số f(x) là hàm chẵn thì ( f x)f x( )
Trang 17Ta có
Do đó
Câu 15: Do f(x) là hàm số lẻ nên
f x dx f x dx f x dx
Suy ra
Câu 16: Do f(x) là hàm chẵn nên
f x dx f x dx
3sin
3
0
3 f x dx 3
Câu 17: Đặt t 1 x dtdx Đổi cận 1 2
Khi đó
Câu 18: Đặt
4
t x dtdxvà
0
4 0 4
Do đó
0 4
4 x 1 tan x 1 tan x
2
x
2
a a
b
c
Vậy a+2b-c= +2.8-2 (17;19) Chọn A.
Câu 19: Đặt t x dxdtvà 0
0
Trang 18Do đó
0
xf(sinx) dx ( t f) sin( t) ( dt) ( x f) (sinx)dx
2 f(sinx)dx x.f(sinx)dx f(sinx)dx f(sinx)dx 4
Câu 20: Đặt t x dxdtvà 0
0
0
xf(sinx) dx ( t f) sin( t) ( dt) ( x f) (sinx)dx
f(sinx) dx x.f(sinx)dx 2 x.f(sinx)dx f(sinx)dx
Vậy
0
x.f(sinx)
3
dx
Câu 21: Ta có
3
a
b
Vậy S = a + b = 8 + 3 =11 Chọn B.
Câu 22: Xét phương trình 2 3 2 0 1
2
x
x
Do đó trên 1;1 , 2; 4 x2 3x 2 0và 1;2 x2 3x 2 0
Vậy
19 19
(x 3 2) dx (x 3 2) dx (x 3 2) dx
2 2
b Chọn C.
Câu 23: Ta có
Chọn D.
0;4
Suy ra
4
2
Câu 25: Xét phương trình 2 4 3 2 4 3 0 1
3
x
x
Suy ra trên 2;3 x2 4x 3 0 maxx2; 4x 3 4x 3
3;4 x 4x 3 0 max x ;4 x 3 x
Vậy
2
58 (4 3) dx x dx
3
Trang 19Câu 26: Xét phương trình 2 ( 1) 0 0
1
x
x
Suy ra trên 0;1 x2 x 0 min x; x2 x2
1;2 x x 0 min x;x x
Vậy
1 2
2
11
dx xdx
Câu 27: Xét phương trình 2 1 2 1 0 1
1
x
x
0;1 x 1 0 min 1;x x
Và trên 1;2 x21 0 min 1; x2 1
Vậy
1
2 2
1
1
x x
x
Suy ra trên 0;1 3 1 2 0 max 3 1; 2 2
Và trên 1;2 3 1 2 0 max 3 1; 2 3 1
Vậy
Câu 29: Xét phương trình 2 ( 1) 0 0
1
x
x
Suy ra trên 0;1 x2 x 0 max ;x x2 x
Và trên 1;2 x2 x 0 max ;x x2 x2
Vậy
1 2
2
17
Câu 30: Xét phương trình 2 2 1 1 0
3
x
x
Suy ra trên 0;3 x2 2x 1 (x1) 0 maxx2 2x1;x1 x 1
3; 4 x 2x 1 (x1) 0 max x 2x1;x1 x 2x1
Vậy
2
83 ( 1) dx ( 2 1) dx
6