chuyen de 10 hk1 nam 20142015 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vự...
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HỌC KÌ I NĂM HỌC 2014 - 2015 ĐỀ THI MÔN CHUYÊN LỚP 10
MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Giải phương trình 2x2+2x+ +5 2x2+ =2 3x2+2x+ +1 x2+6
b) Giải hệ phương trình ( )
2 2
x y
Câu 2 (1,5 điểm) Giả sử a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
+
P
c a
Câu 3 (1,5 điểm) Tìm tất cả các hàm f :¡ →¡ thỏa mãn
Câu 4 (2,0 điểm) Cho đường tròn ( )O đường kính BC M là một điểm trên đoạn
thẳng OC (M khác O và C) AE là dây cung của ( )O đi qua M và vuông góc với BC.
Tiếp tuyến tại A của ( )O cắt BC tại D
a) Chứng minh rằng EC là phân giác của AED· .
b) Gọi K là hình chiếu của A lên BE, I là trung điểm của AK BI cắt ( )O tại H.
Chứng minh rằng tứ giác AHMI nội tiếp
Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp ( )O , ngoại tiếp ( )I Gọi I A,I B,I C lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C Đường tròn ngoại tiếp tam giác II I B C
cắt ( )O tại H và K Gọi E là giao điểm của BI và AC, F là giao điểm của CI và AB.
a) Chứng minh E, F, H, K thẳng hàng.
b) Chứng minh OI A ⊥EF
HẾT
-Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN CHUYÊN LỚP 10
HỌC KÌ I NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1a (1,5 điểm) Giải phương trình
Trang 22 2 2 2
2x +2x+ +5 2x + =2 3x +2x+ +1 x +6
Giải Bình phương hai vế của phương trình ta được
2x +2x+5 2x + =2 3x +2x+1 x +6
2x 2x 5 2x 2 3x 2x 1 x 6
4x 4x 14x 4x 10 3x 2x 19x 12x 6
x
x
= ±
Câu 1b (1,5 điểm) Giải hệ phương trình ( )
( , )
x y
Giải Đặt 2x2 + =x u; 2y2 + =y v hệ đã cho trở thành
Từ đó giải được nghiệm của hệ ( , ) ( 1,1), ( 1,3), 1,1 , 1, 3
và các hoán vị.
Câu 2 (1,5 điểm) Giả sử a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + =1 Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( )
P
Giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
2
3
b c
b c
+
+
,
P
Do đó 9
8
P≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi 1
3
a b c= = =
Câu 3 (1,5 điểm) Tìm tất cả các hàm f :¡ →¡ thỏa mãn
Giải Thay y= f x( )−x ta chỉ ra được f là toàn ánh
Đặt f(0)=a. Thay x= =y 0 vào phương trình ban đầu thu được f a( ) 2 = a (1)
Trang 3Thay x=0,y =a vào phương trình ban đầu thu được f a( ) 0.= Kết hợp với (1) ta có
0.
a = Vậy f(0) 0.=
Thay x= 0 vào phương trình ban đầu thu được
Hay f(− =x) f f x( ( ) ,) ∀ ∈x ¡ (2)
Từ đây ta có f x( )= f f( (−x)) = f f f x( ( ( ) ,) ) ∀ ∈x ¡
Do f là toàn ánh nên ta có f f x( ( )) = x,∀ ∈x ¡ (3)
Từ (2) và (3) ta có f x( )= − ∀ ∈x, x ¡ Thử lại thỏa mãn
Câu 4 (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính BC M là một điểm trên đoạn thẳng
OC (M khác O và C) AE là dây cung của (O) đi qua M và vuông góc với BC Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D
a) Chứng minh rằng EC là phân giác của ·AED
b) Gọi K là hình chiếu của A lên BE, I là trung điểm của AK BI cắt (O) tại H Chứng minh rằng tứ giác AHMI nội tiếp.
Giải a) Từ giả thiết suy ra DE là tiếp tuyến của (O) Suy ra
Do đó EC là phân giác của ·AED
b) Ta có IM là đường trung bình của tam giác AEK nên IM//BE Do đó
AMI = AEB AHI= (cùng chắn cung » ).AB
Từ đó suy ra tứ giác AHMI nội tiếp.
Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I) Gọi I A,I B, I C lần lượt
Trang 4là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C Đường tròn ngoại tiếp tam giác II I B C cắt (O) tại H và K Gọi E là giao điểm của BI và AC, F là giao điểm của CI và AB.
a) Chứng minh E, F, H, K thẳng hàng.
b) Chứng minh OI A ⊥EF
Giải a) Gọi (J) là đường tròn ngoại tiếp tam giác II I B C. Ta có HK là trục đẳng phương của (O) và ( )J
Từ tứ giác nội tiếp AIBI C suy ra P F O/( ) =FA FB FI FI = C =P F J/( ). Do đó F thuộc trục
đẳng phương của (O) và ( )J Tương tự E cũng thuộc trục đẳng phương của (O) và
( )J Từ đó suy ra E, F, H, K thẳng hàng.
b) Từ câu a) suy ra OJ ⊥EF
Vì I O J A, , lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác II I B C nên I O J A, , thẳng hàng Từ đó suy ra OI A ⊥EF