Giải nhanh 27 đề thi toán học phần 1

Viết phương trình đường thẳng đi qua M, biết đường thẳng đó cắt H tai hai diém phân biệt A, B mà M là trung điểm của AB... nên chúng phải năm trên mặt cầu đường có tâm O là trung điểm c

- DE THI DU BỊ 6- NAM 2010

I PHAN CHUNG CHO TAT CA THI SINH (7 diém)

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y = — (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số (1)

2 Gọi I là tâm đối xứng của (H) Tìm điểm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H) tại M vuông góc với đường thẳng IM

Câu II (2, 0 điểm)

0

Câu IV (1, 0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a;

SA vuông góc với (ABCD) và SA = b Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp S.ABCD

Cau V (1, 0 điểm)

2y(x? -y?)=3x (1)

x(x? +y?)=10y (2):

I PHAN RIENG (3 diém):

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình chuẩn

Câu Vĩa (2, 0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(2; 1), C(3; 6) Xác định tọa độ điểm M sao cho MA? + MB? + MC” đạt giá trị

tâm và tính bán kính của đường tròn đó

Câu VIHa (1, 0 điểm) Giải phương trình sau trên C (ẩn 2): z?+ 2|z| -35=0

110

B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb (2, 0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H): = = =l và

điểm MÔ: 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M, biết đường thẳng đó cắt

(H) tai hai diém phân biệt A, B mà M là trung điểm của AB

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(I;l; 2) và đường thẳng

lay? -y +1293 =81y

DAP AN THAM KHAO

I 1 (1, 0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H)

(2,0 điểm) | Phần khảo sát chỉ tiết độc giả tự làm, dưới đây là bảng biến

Xy-l

1 0, 25 Tiếp tuyến A tại M có hệ số góc : kị =y'(Xạ)=—

[ là giao điểm của đường tiệm cận

Vậy có hai điểm cần tìm M¡(2;3), Ma(0; 1)

Đổi cận x =O thiu=1;x=1 thiu=2

2

Tacó B=L [Vudu 1 2 2; 3

2 | ¡73 (242~))- 22-1 _3e?+8/2-1

nên chúng phải năm trên mặt cầu đường

có tâm O là trung điểm của SC, bán kính

V * Trường hợp l: x = 0 và y =0 thoả hệ phương trình đã cho

(1,0 diém)) + Trường hợp 2: x # 0, từ (2) suy ra y #0 Chia (1) cho (2):

Via 1 (1, 0 điểm) Xác định tọa độ điểm M sao cho

(1,0 diém)) Goi M(x; y) 1a diém can tim Ta có:

MA? =(x-1)? +(y —2)?, MB? =(x —2)? +(y -1)? 0, 25

Gọi H và r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao

tuyến, H là hình chiếu vuông góc của I trên (œ)

(1,0 diém)| Datz=x+iy (x,yeR)=>

Vậy nghiệm phương trình đã cho là z = +5 0, 25

VIb_ | 1.(1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng đi qua M

(2,0 điểm)| Giả sử đường thẳng A qua M và cắt (H) tại A, B với M là

trung điểm của AB

Đường thẳng d có một VTCP là ũ =(2; 1; 1) ,

| Ngoài ra AH 1 de AH.ñ=0© 6‡4L£L£tL=0est= c1, | 0,25,

Đường thẳng qua A, cắt d và vuông góc với d là đường

thing qua A(1; 1; 2), nhan AH =(1; —1; —1) lam veets chi

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (2;3) 0, 25

DE THI THU DAI HOC- CAO DANG

BO DE SO 16 MON: TOAN LAN 1- 2009

I PHAN CIIUNG CHO TAT CA THi SINH (7 điểm)

2 Tum Me (C), biét ring uép tuyén vi (C) tại M cắt Ox, Oy lần lượt tại A,

B tạo thành tam giác OAB có diện tích bằng >

Cau I (2, 0 diém)

1 Giải phugng tinh Jx—1+(x-3)= V2(x =3 +2(x —])

2

2, Giải phương trình 4!82(2%) _ xl0826 <9 3loe2(4x"),

Cau ILI (1, 0diém)

Tínhh thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình

phẳng giới hạn bởi: y = Vx e*, trục hoành và đường thẳng x =1 (0<x <1)

Câu IV, (1, 0 điểm)

Cho hình cầu đường kính AA'=2r Gọi H là một điểm trên đoạn AA" sao cho AH = = Mặt phẳng (P) qua H và vuông góc AA' cắt hình cầu theo đường

tròn (C), tam giác đểu BDC nội tiếp trong đường tròn (C) Tính diện tích hình

tròn (C) và thể tích khối chóp A BCD và khối chóp A’ BCD

Câu V (1,0 điểm)

x+xy+y=m+l

xy +xy° =m

Tim m dé hé có ít nhất một nghiệm thoả mãn x >0, y > 0

I PHAN RIENG (3 diém):

'Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình chuẩn

Câu Vlla (2, 0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, đường tròn (C): (x1)? +(y +3)? =25

Viết phương trình đường thẳng A đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn (C) theo

một dâ:y cung có độ dài bằng 8

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình

là 2x+2y-z+8=0, gọi M' là hình chiếu của điểm M(6;2; -3)trên mặt

phẳng !(P) Xác định toạ độ điểm M', độ dài đoạn M'M và viết phương trình

x=1+2t mặt phiẳng (Q) đi qua diém M va chia dudng thang A: yy=1+t -

z=5~6t

C4u Villa (1, 0 diém)

Chio x = — al Tinh P=x> +y> +3xy

117

B Theo chương trình nâng cao

Cau Vib (2, 0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y =l6x, đường

thẳng A:x =m.Tìm m để A cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB đều

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;2; -2) và mat

phẳng (P): 2x +2y +z +5 =0, Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao

của (S) và (P) là đường tròn chu vi 8m

Câu VIIb (1,0 điểm)

x? 44x47 Cho him sé y = —— có đồ thị (C) Tìm trén(C)hai diém phân biệt

X+

A, B đối xứng nhau qua đường thẳng đ:x —y +6=0

ĐÁP ÁN THAM KHẢO

I 1 (1, 0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị (C)

(2,0 điểm)| Phần khảo sát chỉ tiết độc giá tự làm, dưới đây là bảng

Phương trình đã cho tương đương

| alflagsx _ glogyx _+ 32(I+logax)

“Hai hi ass een i eee matdiyBCH|

nên; —Â-BCD _ TS J => Var pep = aye! - (dvtt) 0,35

1 (1, 0 điểm) Viết phương trình đường thẳng

Đường tròn (€) có tâm I(1; - 3), bán kính R = §

- Với a=0: Ai:y =0

VIb | 1.(7,0 điển) Tìm m để A cắt (P) tại hai điểm A, B

(20 điểm) | A 1 Ox = A, B là hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox man

2 (1, 0 diém) Viet phudng trinh mat ciu(S) tam

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường | | tròn có tâm H là hình chiếu của I lên (P)

_ DE THI THU DAI HOC- CAO DANG

BO DE SO 17 MON: TOAN LAN 2- 2009

Thời gian làm bài: 180 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y=4x)~3x—I

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm m đỂ phương trình 4IxÏ ~3|x|=m có bốn nghiệm phân biệt

Câu II (2, 0 điểm)

1 Tìm nghiệm thuộc khoảng (-2m; 2m) của phương trình

2c x-#) ay

sinx cosx

2 Giải bất phương trình (x +2)V9 =x? <x? -2x-8-

Ye (1=2Inx)?

C4u IL (1,0 diém) Tinh tich phan I= rr

xV1+2Inx Câu IV (1,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của hai cạnh AB và §C, SMC =60 và SA =SB=x Chứng minh

góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60” và tính thể tích khối chóp đó

Câu V (1,0 điểm)

Cho x, y, z >0 thoả mãn x + y +z = Ì Chứng minh ryt ye

I PHAN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình chuẩn

Câu Vla (2, 0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(4; - l),

hai đường trung tuyến có phương trình x-Ily+25=0 và IIx-y-§=0 Viết

phương trình ba cạnh của tam giác trên

2 Trong không gian với hệ toa dé Oxyz, cho mat phang (a): 2x-y-z+4=0

va hai diém M(-3; 3; -1), N(—S;2;5) Tim diém I thuéc mat phing (qa) sao cho IM +IN nhỏ nhất

Câu VIHa (1, 0 điểm)

Tìm số tự nhiên n sao cho i.e} +2 ce +:++n, Cả =n, 22001,

B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb (2, 0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, biết AC và đường trung trực của nó lần lượt có phương tình là x+y—3=0,x—y+3=0, đỉnh A(1; 2), tọa độ trọng tâm G(1; 3) Viết phương trình còn lại của tam giác ABC

x=l+3t

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng dị: {y=-I-t

z=1 x-2 y+2 2-4

ro yo Chứng minh rằng d, và d„chéo nhau và tính

khoảng cách giữa dị và d;

và d¿:

| | 1.(7,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

0 điểm | Phần khảo sát chỉ tiết độc giả tự làm, dưới đây là bắng biến thiên

PT đã cho tương đương phương trình TT”)

SinX + c0sX tanx =—l TL

IV SA =SB => ASAB cin > SM | AB (1) 025

(1,0 diém) AABC đều => CM 1 AB (2) nh

Thế tọa độ của đỉnh A vào phương trình của hai trung tuyến

đã cho ta thấy không thoả mãn, nên gọi

=(-6—3+I+4)(—-10-2—5+4) =(-4)(—13) =52 >0

Do đó M, N cùng một phía đối vdi (a)

Goi M’ 1A diém d6i xing ca M qua(a).Ta thay vdi bất kì

điểm I thuộc (œ),ta có:

(IM '+TIN),„ =MỊN ©I=MNñ(ø)

d đi qua M vuông góc (ơ) và có VTCP ũ=(2; —1; -1)nê

Ta thấy trung điểm M của cạnh AC là giao điểm của đường

thẳng chứa cạnh AC và đường thẳng trung trực của AC, nên

4 cần MB ngan cgere JtŸ=3=Ó0 toa d6 của M là nghiệm của hệ => M(0; 3)

VIb | Vớin>2 vàneN: Ta có:

- DE THI THU DAI HOC- CAO DANG

BO DE SO 18 MON: TOAN LAN 3- 2009

Thời gian làm bài 180 phút

L PHAN CHUNG CHO TAT CA THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y =2mx' ~x? ~4m +1 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = -l

2 Tìm m để đồ thị (1) có hai cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 4 Câu II (2, 0 điểm)

Cau IIL (1, 0 diém)

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi ta quay quanh trục hoành hình

3 F TL

phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, Y = Veos + xsin,x =0,x =

Câu IV (1, 0 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi G là trọng tâm

av3

tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) bằng Tìm khoảng

cách từ tâm O của đáy đến mặt bên (SCD) và tìm thể tích khối chóp S.ABCD

Il PHAN RIENG (3 điểm):

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình chuẩn

Cau VIa (2, 0 điểm)

2 2

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): Sẽ + os =l(a>b>0) xí 22

có tiêu điểm F,, F, va M 1a diém bat ki nim trén elip (E)

a) Chttng minh MF, MF, +OM? =a? +b?

b) Chứng minhb <OM <a

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x+y-2z—4=0 và (Q): 2x+2y—4z+7=0 Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho M cách đều hai mặt

phẳng (P) và (Oyz)

Câu VIHa (1, 0 điểm)

Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức (I -2x)2, trong đó n là số

nguyên dương thoả mãn Đ + + Cài + Cô = 4096

B Theo chương trình nâng cao

Câu VỊb (2, 0 điểm)

2 2

x Y =l(a>b>0)

1 Trong mặt phẳng với hệ toa dé Oxy, cho elip (E ): 5 tr = a 2

a) Goi A 1a giao diém cia dung thing A: ox + By =0 (a? +B? z 0) với (E) Tinh OA theo a, b, a, B

b) Gọi Be(E)sao cho OA vuông góc OB Chứng minh ache +—

OA“ OB

giá trị không đổi

132

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua

hai điểm A(1;2;-I),B(0;2;1), cắt trục Oz và tiếp xúc mặt cầu (S) có

phương trình + y? +z?~2x+ 2y+4z+2=0

Câu VIIb (1, 0 điểm) Tính tổng _S=2C +4C! +6C2 + -+2(n + I)Ch

ĐÁP ÁN THAM KHẢO

- Hàm số đồng biến trên khoảng (— œ; 0)

le - Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +œ)

e Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x = 0, Ycp =y(0) =5 0,25

2 (1, 0 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực tiểu

Phương trình đã cho tương đương

3 sinŠ - cos> 1+sin e cos> = cosx(2 + sinx)

Goi M(Xyiyy) E(B) -_ + 2 kề be

a) Tả có: MF, MF) +OM? -(a i Exo (a-£xo} +93 +ye

Thay = Cha™ *bk = CK? (-2x)* = CECE (2x)

Số hạng chứa x! ứng với k=7 Vậy hệ số của x/ là ~002t

Ap dụng câua) ta được: OB = ab-

a không đổi

a“b

2 (1, 0 điểm) Viết phương trình mặt pha ng (P) qua hai điểm

(P) qua A(1;2; =1), B(0:2: 1) và cắt Oz tại C(0; 0: m)

'Ta có AB=(-1;0;2), AC=(T-l;-2;m+l)

Do đó (P) có VTPT là ñ =[AB, ACJ]=(4; m—I

Phương trình mặt phẳng (P) qua A(1;2; —1), có VTPT ñ là 4(x - l)+(m~—1)(y -2) +2(z +1) =0 0,25 _s 4x + (m — Ì)y + 22 — 2m =0

"Mặt u (S) có tâm I(1;-1;-2), bankinhR=2 ||

(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) © d(I, (P))=R

DE THI THU DAI HOC- CAO DANG

Thời gian làm bài 180 phút

I PHẦN CHUNG CIIO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu L(2, 0 điểm)

Cho hàm số y= xÌ+3x-2 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Tìm trên đồ thị (C) của hàm số cặp điểm đối xứng với nhau qua điểm

Câu II (1, 0 điểm)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm y = x? 3x7 +4 vi đường

thẳng x—y+1=0

Câu IV (1,0 điểm)

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có chiều cao là a, cạnh đáy là 2a

M 1a một điểm trên cạnh AB Tìm giá trị lớn nhất của góc @= AMC

Câu V (1, 0 điểm)

Cho x, y thay đổi thỏa mãn x + y = 2007 Tìm giá trị nhỏ nhất của

F=x +y? +3@2 -yˆ)+3(x+y)-

I PHAN RIÊNG (3 điểm):

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình chuẩn

Câu Vĩa (2, 0 điểm)

_ 1 Trong mat phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam gidc ABC c6 A(2; 6); B(-3, -4), C(5; 0) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến

của hai mặt phẳng (P): 3x-2y+z+7=0 và (Q): x+2y+2z-2=0 Viết

phương trình hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (Oxy)

Câu VIIa (1, 0 điểm) Trong khai triển (2x + 1)! , hãy tìm hệ số lớn nhất

140

B Theo chương trình nâng cao

Câu VỊb (2, 0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x và hai điểm

A(9; -3), B(1; 1) thuộc (P) Hãy tim điểm M trên cung (P) giới hạn bởi A, B

sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất

x=7+t

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng A: 4y=3+2L và

z=9-t x=3-7U

A’: 4y=l1+2U Chứng mình A và A' chéo nhau và viết phương trình chính z=l+3U

tắc của đường thẳng vuông góc chung A va A’

Câu VỊIb (1, 0 điểm)

Giải phương trình sau trên € (ẩn z): (+3)! +(z+ 5)! =l6

(với xị # xạ) là hai điểm trên (C) đối xứng nhau qua I

I là trung điểm của đoạn AB nên ta có:

x +3x,4 -24+x} +3x_ -2=36

141

Vậy tọa độ hai điểm phải tìm là (1; 2), (3; 34) 0,25

II |1.(1,0 điểm) Giải phương trình

(2,0diém)| Digukién: sinx#0c>x#kmnkeZ 0, 25

a2, š ‹ ok 3 4 Kết hợp (L) và (2) ta có nghiệm x<-5 hoặc -—<x<4

Dat AM =x Ap dung dinh If hm s6 cosin cho AA'MC' ta có:

A'C? =MA?? +MC? ~2MA' MC' cosp q)

Do lãng trụ đã cho là lăng trụ đều , nên AA'L AM,

CC LCM và BM LBC

Vậy theo định lí Pytago:

In MA =AA^+AM sai )

MC” =MC?+CC”? = MB? + BC? +CC?

=(2a-x)? +4a?+a? =9a2 - 4ax + x? (3)

Do A'B'C'D' là hình vuông nên A'C£ =(2a2)? = 8a? (4)

Ta có F= (x? 43x? +3x +1) 4(y? -3y? +3y-1)

=(x+1P +(y-1 =X? 4+? =(X+Y YP -3(K+ Y)XY

(10diém)| Vi 2x +1) = À ch) néna, =Cjy.2 0, 25

a Goi a, 1 hệ số lớn nhất > {Ko "Et ) oe fmeezayy dd ™”™~S~*”

2 (/, 0 điểm) Chitng minh A, A‘ chéo nhau

Acé VTCP i =(1; 2: -1) và đi qua điểm AŒ;

Med VTICP ý =(—7: 2; 3)và di qua diém B(3; 1; 1) 0, 25

1 [ủ; v] AB =—168 #0 = A va A‘ chéo nhau

co DE THI THU DAI HOC- CAO DANG

BỘ ĐỀ SỐ 20 MÔN: TOÁN LẦN 5- 2009

Thời gian làm bài 180 phút

1 PUAN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2, 0 điểm)

Cho ham sé y = x* -3mx? +3(m? -1)x+1-m? (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị (C) của hàm số (1) khi m =2

2 Tìm m để trên đồ thi (1) có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa

Cho số thực x, y, z thoả mãn x? +y? +z?~6x+2z+5<0 Tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của T =2x +3y —2z

II PHAN RIÊNG (3 điểm):

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B

A Theo chương trình chuẩn

Câu Vĩa (2, 0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x+ 1° +(y ~4)ˆ =25 và đường thẳng A:mx—(m-—lI)y+l=0 Tìm m để A cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B và độ dài dây cung AB bằng bán kính của (C)

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng A là giao tuyến của hai mặt phẳng(œ):2x—2y—z+1l=0, (B):x+2y-2z-4=0 và mặt cầu (S): (x +2) +(y-3)7 +z?= 13-m (với m<13).Tìm m đểA cắt (S) tại hai

điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 10

148

¡ 2008

Câu VI, (1, 0 điểm) Tính (+5 :

lti

B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb (2, 0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng dị:x+y+3=0,

da: x ~y—4=0, dy: x -2y =0 Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng dị bằng hai lần khoảng cách từ M đến

đường thẳng d,

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình

x - = = = = va hai diém M(; 3; —1), N(7; ~5; 3) Tìm điểm I thuộc d

sao cho IM +1IN nhỏ nhất

Câu VIb (1, 0 điểm)