Đặc trưng của Biến Ngẫu nhiên

Nghĩa là X khả tích theo nghĩa tích phân Lebesgue theo độ đo xác suất P.. Xác định hàm mật độ và phân phối của Y... Ký hiệu X2 là thời gian chờ trong hàng cho đến khi được phục vụ.. Tính

Cac dac trung cua bien ngau nhien

Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

 Kỳ vọng:

E X  ∑xp x nếu X rời rạc

 Phương sai

 Moment bậc k

Lưu ý

1 Trong định nghĩa kỳ vọng, điều kiện∑|x|pxhoặc−|x|fxdx  là điều kiện

phải thỏa Nghĩa là X khả tích theo nghĩa tích phân Lebesgue theo độ đo xác

suất P

2 E1A   PA

3 Nếu X là biến ngẫu nhiên bị chặn thì EX tồn tại.

4 Nếu X có moment bậc k thì có mọi moment bậc bé hơn k

5 Nếu E|X| k  , thì các xác suất đuôi (tail probability) hội tụ về 0, nghĩa là

limn→ P |X|n

Các phân phối thông dụng

Example

Tính chất

Phân phối đồng thời

 Hàm phân phối đồng thời của hai biến ngẫu nhiên X,Y được xác định bởi:

 Phân phối biên theo các biến X, Y được xác định từ phân phối đồng thời:

 Ta nói X,Y có phân phối đồng thời liên tục nếu tồn tại hàm fx, y thỏa:

P X ∈ A, Y ∈ B  

A

Phân phối đồng thời

 Nếu X,Y là các biến rời rạc thì mật độ đồng thời và mật độ biên được xác định

bởi:

p a, b  PX  a, Y  b

p Xa  ∑b P X  a, Y  b

p Yb  ∑a P X  a, Y  b

#

 Trong trường hợp liên tục thì

f X a  −f a, ydy

Phân phối đồng thời

 Nếu X,Y độc lập thì

 Khi đó công thức ref: DOCLAP

 Fx, y  FX xFYy

 f x, y  fX x fYy

p x, y  p Xx pYy

# #

 Với gx, y là một hàm hai biến liên tục thì

Theorem Nếu X,Y độc lập thì với g, h là các hàm Borel bất kỳ ta có:

Corollary Nếu X, Y độc lập thì EXY  EXEY

 Hiệp phương sai:

Cov X, Y  EX − EXY − EY  EXY − EXEY #

 Nếu CovX, Y  0, ta nói X,Y không tương quan (uncorrelated)

 Nếu X,Y độc lập thì chúng không tương quan

 Từ đó nếu các biến ngẫu nhiên Xiđộc lập thì

Var ∑

i1

n

X i  ∑

i1

n

Example Cho X,Y phân phối đồng thời với

p 1, 1  0 5; p1, 2  0 1; p2, 1  0 1; p2, 2  0 3 Tính PY1, pX1.

Example

f x, y  6xy2 − x − y 0  x  1; 0  y  1

Tính f Yy, FX x

Example Cho hàm phân phối đồng thời

f x, y  x  y 0  x  1; 0  y  1

Tính EX, EY, VarX, VarY, CovX, Y

Example Cho X1, X2 có mật độ đồng thời fx1, x2  2 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 1

0 otherwise Đặt

Y  X1  X2 Xác định hàm mật độ và phân phối của Y.

Ta có

Với 0 ≤ y ≤ 2 ta có:

F Yy  PY ≤ y  0≤x 1≤x2 ≤1

0≤x 1x2≤y

Chia làm 2 trường hợp 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2 ta có:

F Yy  PY ≤ y 

y

Phân phối hàm của biến ngẫu nhiên

Giả sử Y1  f1X1, X2

Y2  f2X1, X2 là phép biến đổi có biến đổi ngược là

X1  h1Y1, Y2

X2  h2Y1, Y2 với định thức Jacobi

J  ∂x1, x2

∂y1, y2 

∂x1

∂y1

∂x1

∂y2

∂x2

∂y1 ,

∂x2

∂y2

Khi đó hàm mật độ đồng thời của Y1, Y2 tại y1, y2 sao cho J ≠ 0 được xác định bởi

g y1, y2  fh1y1, y2, h2y1, y2|J| #

Example Giả sử thời gian để một khách hàng hoàn thành một giao dịch trong

ngân hàng từ lúc xếp hàng đến lúc kết thúc giao dịch là X1 Ký hiệu X2 là thời gian

chờ trong hàng cho đến khi được phục vụ Giả sử X1, X2 có phân phối đồng thời là

f x1, x2  e −x1 0 ≤ x2 ≤ x1  

Đặt Y1  X1  X2, Y2  X1 − X2 Tính hàm phân phối đồng thời của Y1, Y2 và phân phối biên của Y2

Y1  X1 X2, Y2  X1− X2  X1 

Y1Y2

2  h1Y1, Y2

X2  Y1−Y2

2  h2Y1, Y2 Định thức Jacobi

J 

∂x1

∂y1

∂x1

∂y2

∂x2

∂y1 ,

∂x2

∂y2



1 2

1 2 1

2, −1 2

 − 1

Hàm mật độ đồng thời

g y1, y2  fh1y1, y2, h2y1, y2|J|  12e −y1y22 0  y2 ≤ y1  

0

#

Hàm sinh moment

Hàm sinh moment

Hàm sinh moment của biến ngẫu nhiên X :

Ta có:

/t  EXe tX

 n t  EX n e tX →

/0  EX

Nghĩa là moment bậc n của X có thể được xác định nhờ vào hàm sinh moment

Example

Tính hàm sinh moment của X và xác định EX, VarX.

Theorem Hàm sinh moment xác định duy nhất phân phối xác suất, nghĩa là nếu hai biến ngẫu nhiên có cùng hàm sinh moment thì chúng có cùng phân phối xác suất.

Theorem Nếu X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

Thật vậy, vì X,Y độc lập nên ta có:

 X Y t  Ee t XY   Ee tX e tY   Ee tX Ee tY #

Example Tìm phân phối của X Y với X, Y độc lập trong các trường hợp sau:

1 X~Bn1, p1, Y~Bn2, p2

2 X~P1, Y~P2

3 X~N1,12, Y~N2,22

Kỳ vọng có điều kiện

Trường hợp rời rạc

Mật độ có điều kiện của X với điều kiện Yy:

p X|Yx|y  PX  x|Y  y  P X  x, Y  y

P x, y

Phân phối có điều kiện của X với điều kiện Yy

F X|Yx|y  PX ≤ x|Y  y  ∑

a ≤x

Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Yy

E X|Y  y  ∑

x

p X|Y1|1  p1,1

P Y1  5

6

p X|Y2|1  p2,1

P Y1  1

6

#

Trường hợp liên tục

Mật độ có điều kiện của X với điều kiện Yy:

f X|Yx|y  f x, y

Phân phối có điều kiện của X với điều kiện Yy

F X|Ya|y  −a

Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Yy

E X|Y  y  ∑

x

Example

Example

Tính P0  X  1|Y  1

Kỳ vọng có điều kiện

Ký hiệu EX|Y là biến ngẫu nhiên (hàm của Y) khi Y  y có giá trị trị là

E X|Y  y Khi đó

Ta có:

E X  ∑y E X|Y  yPY  y t/h rời rạc

Tính chất

1 Tính tuyến tính:

2 Tính dương

3 EgX, Y|Y  y  EgX, y|Y  y

4 EgX|Y  y  gX : Nếu X,Y độc lập.

5 EgXhY|Y  y  hyEgX|Y  y

Tính kỳ vọng bằng cách điều kiện hóa

Example Số hợp đồng bảo hiểm phải chi trả của một công ty bảo hiểm trong

tháng là biến ngẫu nhiên N có kỳ vọng là , phương sai là r2 Số tiền phải chi trả cho

hợp đồng thứ i là X i , độc lập và có cùng phân phối với kỳ vọng  và phsai 2 Tính

trung bình số tiền mà công ty bảo hiểm phải chi trả trong tháng.

X∑i N1

X i: số tiền chi trả trong tháng

Ta cần tính EX  E ∑i N1

X i  E E ∑i N1

X i |N Mặt khác E ∑i N1

X i |N  n  E ∑i n1

X i  n.

Suy ra

E X  ∑

n

E ∑

i1

N

X i |N  n PN  n

n

nPN  n  EN  

# #

Problem Tính phương sai của X

Tổng ngẫu nhiên

 Số khách hàng đến một hệ thống phục vụ là biến ngẫu nhiên N Gọi Xi là thời

gian mà hệ thống phục vụ dành cho khách hàng thứ i Ta có∑i N1

X i là tổng thời gian phục vụ được yêu cầu cho hệ thống

 Số khách hàng đến một máy ATM trong một ngày là biến ngẫu nhiên N Gọi Xi là

số tiền mà khách hàng thứ i đã rút ra Ta có∑i N1

X i là tổng số tiền cần có cho máy ATM đó trong ngày

Problem Tính kỳ vọng và phương sai của X.

Định nghĩa tổng quát kỳ vọng có điều kiện

Cho không gian xác suất , F,P, H là  − đại số con của F và X là b.n.n trên

, F,P Tồn tại b.n.n Z đo được đối với H sao cho

A ZdP  

B.n.n Z được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X, cho trước H, ký hiệu là EX|H

 E X|Y  EX|Y

 E X|H được hiểu như là ước lượng(không chệch) của X dựa trên thông tin Hđã

 Công thức ref: kyvongdieukien có thể viết dưới dạng E1A E X|H  E1 A X

 Nếu Z ∈ H, EZEX|H  EZX

 E EX|H  EX

 Nếu X ∈ H thì EX|H  X

 Tính tuyến tính

 Tính dương

 Nếu Z ∈ H,EZX|H  ZEX|H

Bất đẳng thức Markov

Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì

Bất đẳng thức Chebychev

Giả sử X có kỳ vọng và phương sai 2 Khi đó

P |X − | ≥  ≤ 2

Example Số sản phẩm sản xuất trong tuần của một nhà máy là biến ngẫu

nhiên với kỳ vọng 500 và phương sai 100.

 Đánh giá PX ≥ 100

 Đánh giá P400 ≤ X ≤ 600

Các dạng hội tụ

Example Xét dãy b.n.n X n  có mật độ xác suất

P X n  1  1

n , PXn  0  1 − 1

n Khi đó P|Xn| ≥  

1

khi n→ 

Vậy Xn hội tụ theo xác suất về 0

Ghi nhớ

Example Xét dãy hàm phân phối

F nx  0 x  n

Khi đó dễ thấy rằng Fnx → Fx  0

Example Xét dãy hàm phân phối

F nx 

1− 1

#

Luật số lớn - định lý hội giá trị trung tâm

Với dãy b.n.n Xn  độc lập có kỳ vọng chung  và phương sai 2, ta có: