Một số đại lượng đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Do khuôn khổ có hạn, khóa luận của em chỉ đề cập đến một khía cạnh nhỏ, đó là ‘‘Một số đại lượng đặc trưng của biến ngẫu nhiên” nhằm nghiên cứu các định nghĩa, bài tập ví dụ có liên qua

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC

những thông tin cần thiết ?

! H∙y đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước khi

đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào mỗi đề mục để đọc toàn bộ dòng bị che khuất )

! Chọn đề mục muốn đọc và nháy chuột vào đó

trang báo cáo trên màn hình ?

! Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích th Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích thưưưước ớc

có sẵn trên thanh Menu

, hoặc

! Mở View trên thanh Menu, Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to Mở View trên thanh Menu, Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to Chọn Zoom to

! Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích th Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích thưưưước ớc hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn,

hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn, Nhấn OK , , Nhấn OK Nhấn OK

Chúc bạn hài lòng với những thông tin đ với những thông tin đưưưược cung cấp ợc cung cấp

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận nghiên cứu, em đã gặp rất nhiều khó khăn và bỡ ngỡ Nếu không có sự giúp đỡ tận tình và sự động viên, khuyến khích chân thành của nhiều thầy cô giáo, của bạn bè và gia đình thì có lẽ em khó

có thể hoàn thành được khóa luận này

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Th.S Hoàng Thị Duyên, người đã chỉ dạy cho em những kiến thức, kĩ năng và kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học; đã động viên, khuyến khích em trong suốt quá trình nghiên cứu khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, cán bộ, giảng viên Trường Đại học Quảng Bình, các giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên đã tận tình giảng dạy, chỉ dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Cảm ơn các bạn đã đồng hành, giúp đỡ, sát cánh cùng em trong suốt thời gian học tập vừa qua

Cuối cùng, em xin cảm ơn ba mẹ đã sinh thành, nuôi dưỡng, dạy dỗ em nên người; luôn luôn động viên, khuyến khích và tạo điều kiện tốt nhất cho em học tập, hoàn thành nhiệm vụ

Em xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG I 6

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 Biến ngẫu nhiên 6

1.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên 6

1.1.2 Bảng phân phối xác suất 6

1.1.3 Hàm phân phối xác suất F(x) 7

1.1.4 Hàm mật độ xác suất f(x) 9

1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục 10

1.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 10

1.2.1.1 Định nghĩa 10

1.2.1.2 Các phân phối rời rạc thường gặp 10

1.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 15

1.2.2.1 Định nghĩa 15

1.2.2.2 Một số phân phối liên tục thường gặp 15

CHƯƠNG II 27

CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 27

2.1 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 27

2.2 Trung vị 31

2.3 Mode 31

2.4 Phương sai 32

2.5 Độ lệch chuẩn 36

2.6 Độ biến thiên và giá trị tới hạn 36

2.6.1 Độ biến thiên 36

2.6.2 Giá trị tới hạn 36

2.7 Moment 37

2.8 Hệ số bất đối xứng 37

2.9 Hệ số nhọn 38

TỔNG KẾT 39

Ph Ần phỤ LỤc: CÁC BẢNG SỐ 40

Bảng 1: Hàm phân phối chuẩn 40

Bảng 2: Giá trị của hàm mật độ chuẩn 41

Bảng 3: Giá trị t k( )α của phân phối Student 42

Bảng 4: Giá trị 2( ) k χ α của phân phối Khi bình phương 43

Bảng 5: Giá trị hàm e−λ 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ra đời từ thế kỷ 17, xác suất thống kê là một ngành khoa học hiện đại, nó gần như xuất phát từ các hiện tượng đời sống thực tiễn, hình thành , phát triển rất nhanh và được sử dụng và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực tự nhiên và

xã hội khác nhau Hơn 300 năm phát triển, đến nay, nội dung và các phương pháp xác suất thống kê rất phong phú, đa dạng

Trong khoa học cũng như trong cuộc sống hằng ngày, ta bắt gặp rất nhiều hiện tượng ngẫu nhiên mà ta không thể đoán biết được chắc chắn rằng liệu chúng có xảy ra hay không? Ngẫu nhiên phổ biến ở khắp mọi nơi, trong cả sự may mắn hay rủi ro, trong cả sự thành công hay thất bại Ngẫu nhiên cũng chính

là một phần của cuộc sống Bộ môn Lý thuyết xác suất nghiên cứu các quy luật của hiện tượng ngẫu nhiên và các phương pháp tính toán xác suất của các hiện tượng ngẫu nhiên

Do khuôn khổ có hạn, khóa luận của em chỉ đề cập đến một khía cạnh nhỏ,

đó là ‘‘Một số đại lượng đặc trưng của biến ngẫu nhiên” nhằm nghiên cứu các

định nghĩa, bài tập ví dụ có liên quan từ đó có những ứng dụng thực tiễn đến cuộc sống

Khóa luận được thực hiện dựa trên sự tìm tòi và nghiên cứu rất nhiều các tài liệu khác nhau và không thể thiếu những sai sót trong việc sắp xếp và hệ thống lại các kiến thức Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến từ phía các thầy, cô giáo để cho khóa luận của em được hoàn thiện hơn

2 Mục đích nghiên cứu

Trang bị cho bạn đọc các kiến thức hữu ích về lý thuyết xác suất và thống kê toán học Nêu các định nghĩa về biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên liên tục, biến ngẫu nhiên rời rạc; các định nghĩa, tính chất, ví dụ về các đại lượng đặc trưng của biến ngẫu nhiên và một số phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

3 Đối tượng nghiên cứu

Ở chương I, em nghiên cứu về biến ngẫu nhiên, bảng phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất, hàm phân phối xác suất; biến ngẫu nhiên liên tục và biến ngẫu nhiên rời rạc cùng với một số phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục

Ở chương II, em trình bày một số đại lượng đặc trưng của biến ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai, mode, trung vị, độ lệch chuẩn, moment, độ biến thiên, giá trị tới hạn, hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ của đề tài là nghiên cứu các đại lượng đặc trưng của biến ngẫu nhiên, các đặc trưng chủ yếu của biến ngẫu nhiên và lý thuyết xác suất có liên quan

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

6.2 Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết

6.3 Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

1.1 Biến ngẫu nhiên

1.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận các giá trị nào đó phụ

thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên, nghĩa là với mọi giá trị thực x∈ thì {X ≤x}

là một biến cố ngẫu nhiên

Nói cách khác, biến ngẫu nhiên là đại lượng mà các giá trị của nó là số thực phụ thuộc vào các kết quả của phép thử

Kí hiệu Biến ngẫu nhiên: X, Y, Z,

Ví dụ 1.1

i) Sai số khi đo lường một đại lượng vật lí,

ii) Tuổi thọ của một bóng đèn,

iii) Số chấm xuất hiện khi ta gieo một con xúc xắc,

iv) Số khách hàng vào cửa hàng trong một thời điểm nào đó

Căn cứ vào giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận được người ta phân chia biến ngẫu nhiên thành hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục

1.1.2 Bảng phân phối xác suất

Định nghĩa 1.2 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là bảng

dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x 1 , x 2 , x 3 , , x n , với

các xác suất tương ứng p 1 , p 2 , p 3 , , p n , thì ta có bảng phân phối xác suất

của biến ngẫu nhiên X như sau

Chú ý: điều kiện để tạo ra quy luật xác suất thì các xác suất p i phải thỏa mãn điều kiện

1.

i

i i

p p

Ví dụ 1.2 Một hộp có 10 viên bi trong đó có 4 bi xanh, 6 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên

2 viên bi Hãy lập bảng phân phối xác suất của số viên bi đỏ được lấy ra?

Giải

Gọi X là số viên bi đỏ được lấy ra khi ta lấy ngẫu nhiên 2 viên bi Khi đó X là

biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2 với các xác suất tương ứng

2 4 2 10

5 15

1.1.3 Hàm phân phối xác suất F(x)

Định nghĩa 1.3 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là hàm

số F X( )x xác định với mọi x∈ bởi công thức

iii) X( ) lim X( ) 0; X( ) lim X( ) 1

Ví dụ.1.4 Một nguồn thông tin sinh ra các ký hiệu ngẫu nhiên từ bốn ký tự

{a b c d, , , } với xác suất ( ) 1/ 2P a = , ( ) 1/ 4P b = và P c( ) = P d( ) 1/ 8 = Mã hóa các

ký hiệu này theo các mã nhị phân sau

P X = = P c d = P c + P d =

Khi đó hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là

1/ 2 1 2( )

3/ 4 2 3

X

x x

F x

x x

1.1.4 Hàm mật độ xác suất f(x)

Định nghĩa 1.4 Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là

đạo hàm của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đó Kí hiệu f(x)

iiii) Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (a b; )

bằng tích phân xác định của hàm mật độ xác suất trong khoảng đó

Với 0 < x < 1 suy ra F(x) = x 2 nên f(x) = 2x

Với x > 1 suy ra F(x) = 1 nên f(x) = 0

1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục

1.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

1.2.1.1 Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên mà tập hợp giá trị của nó là

hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

1.2.1.2 Các phân phối rời rạc thường gặp

1.2.1.2.1 Phân phối Bernoulli

Định nghĩa 1.5 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận hai giá trị 0, 1 với xác suất tương ứng

P X =k = p q− k=

Trong đó 0< p<1,q= −1 p, được gọi là có phân phối Bernoulli tham số p Xét phép thử Bernoulli với sự thành công của phép thử là sự xuất hiện của biến cố A và giả sử xác suất xuất hiện của A trong mỗi lần thử là p Gọi X là

số lần thành công trong một lần thử thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối Bernoulli tham số p

Phân phối Bernoulli tham số p còn được gọi là phân phối 0 - 1 A p( )

Bảng phân phối

Ví dụ 1.6

i) Gieo con xúc xắc Gọi X là số mặt chẵn – giá trị 1 với xác suất p = 0,5; giá trị 0 - mặt lẻ với xác suất q = 0,5

ii) Ấp 1 quả trứng Gọi X là số trứng nở X lấy giá trị 1 (trứng nở) với xác suất

p = 0,8; X nhận giá trị 0 (trứng không nở) với xác suất q = 0,2

Bảng phõn phối xỏc suất của biến ngẫu nhiờn cú quy luật nhị thức B n p( , ).

a) Tìm xác suất để đ−ợc 3 viên thuốc tốt

b) Tỡm xác suất để có tối đa 2 viên thuốc tốt

1 1

4 0

1.2.1.2.3 Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị k= 0 , 1 , 2 , với xác suất

!

k X

Phân phối Poisson dùng để nghiên cứu những sự kiện hiếm có Một bệnh ít gặp ( khi ta nghiên cứu tình hình tử vong), số hồng cầu hoặc vi sinh vật pha rất loãng khi ta đếm qua ô vuông của ống kính đếm, tai nạn ít xảy ra

Trong những trường hợp đó với điều kiện n phải lớn (n> 50vàn <p 5) phân phối Poisson có thể thay thế phân phối nhị thức, ta tính dễ dàng các số hạng của luật Poisson , trái lại việc tính toán các số hạng của luật nhị thức rất công phu khi n lớn

Vớ dụ 1.9 Ở một tổng đài điện thoại cỏc cuộc gọi đến một cỏch ngẫu nhiờn, độc

lập và trung bỡnh cú 2 cuộc gọi trong 1 phỳt Tỡm xỏc suất để

a) Cú đỳng 5 cuộc gọi đến trong 2 phỳt (biến cố A)

b) Khụng cú một cuộc gọi nào trong 30 giõy (biến cố B)

c) Cú ớt nhất 1 cuộc gọi trong 10 giõy (biến cố C)

Giải

Ký hiệu X (t) là số cuộc gọi đến tổng đài trong khoảng thời gian t phỳt,

cú thể chứng minh được X t( ) cú phõn phối Poisson tham số λt, trong đú λ là số cuộc gọi trung bỡnh trong 1 phỳt Theo giả thiết λ = 2 Vậy ta cú

a) X( )2 P( )4 ,do đú

! 5

4 5

) 2 ( )

Vớ dụ 1.10 Một mỏy dệt cú 5000 ống sợi) xỏc suất để trong một phỳt một ống

sợi bị đứt bằng 0,0002 Tỡm xỏc suất để trong một phỳt cú khụng quỏ 2 ống sợi

1 71 , 2

! 0

=

= p p

Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên mà tập hợp giá trị của nó có thể lấp

đầy một khoảng nào đó trên trục số

Ví dụ 1.11

i) Gọi X là năng suất lúa vụ mùa của một tỉnh, X là biến ngẫu nhiên liên

tục

ii) Gọi Y là kích thước của chi tiết do một máy sản xuất ra khi đó Y là

một biến ngẫu nhiên liên tục

iii) Gọi Z là nhiệt độ không khí ở một tỉnh A trong một ngày thì Z là

một biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong khoảng từ a C o đến b C0

1.2.2.2 Một số phân phối liên tục thường gặp

1.2.2.2.1 Phân phối đều U( b a, )

Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên

[a b, ] nếu hàm mật độ xác suất của nó xác định bởi

1

, ( )

Hàm phân phối xác suất tương ứng

Vậy X cú khả năng nhận giỏ trị trong khoảng (a b; ) là “đều nhau” và khụng nhận giỏ trị ngoài (a b; )

Quy luật phân phối đều có ứng dụng rộng trong thống kê toán Nó có ý nghĩa to lớn trong các phương pháp phi tham số Khái niệm phân phối đều đôi khi còn

được sử dụng trong lý thuyết các ước lượng thông kê

Trong một số lý thuyết kết luận thống kê người ta thường xuất phát từ quy tắc sau đây: Nếu ta không biết gì về giá trị tham số cần ước lượng thì mỗi giá trị có thể có của tham số đó là đồng khả năng Điều đó dẫn đến việc quan niệm tham

số cần ước lượng như một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối đều

Vớ dụ 1.12 Khi thõm nhập vào thị trường mới) doanh nghiệp khụng thể khẳng

định được một cỏch chắc chắn rằng doanh số hàng thỏng cú thể đạt được sẽ là bao nhiờu mà chỉ dự kiến được rằng doanh số tối thiểu sẽ là 20 triệu đồng/ thỏng, và tối đa là 40 triệu đồng/ thỏng.Tỡm xỏc suất để doanh nghiệp đạt được doanh số tối thiểu là 35 triệu đồng/ thỏng

Giải

Gọi X là doanh số hàng thỏng mà doanh nghiệp cú thể đạt được ở thị trường đú Do khụng cú thụng tin gỡ hơn nờn cú thể xem X là biến ngẫu nhiờn

liờn tục cú phõn phối đều trờn khoảng (20;40)

Vậy X cú hàm mật độ xỏc suất như sau

Từ đó xác suất để doanh nghiệp đạt được doanh số tối thiểu là 35 triệu đồng/tháng được tìm theo tính chất của hàm mật độ xác suất như sau

x X

Hàm phân phối xác suất

VÝ dô 1.14 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối mũ với tham số λ = 1 Xét đại lượng ngẫu nhiên Y =2 X 2 Hãy tính

1.2.2.2.3 Phân phối chuẩn N( µ ; σ2)

Định nghĩa 1.10 Một biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối chuẩn có hàm mật độ xác suất

( )

( )2

2 2 1

, 2

x X

µ σ

σ π

−

−

= − ∞ < < +∞

được gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn khi đó ta kí hiệu X ~ ( ;N µ σ 2 )

Phân phối chuẩn được Gauss tìm ra năm 1809 nên nó còn được gọi là phân phối Gauss Phân phối chuẩn thường được thấy trong các bài toán về sai số gặp

phải khi đo đạc các đại lượng vật lý, thiên văn,

Trong thực tế, nhiều biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn hoặc tiệm cận chuẩn (Định lý giới hạn trung tâm) Chẳng hạn: trọng lượng, chiều cao của một nhóm người nào đó, điểm thi của thí sinh, năng suất cây trồng, mức lãi suất của một công ty, nhu cầu tiêu thụ của một mặt hàng nào đó, nhiễu trắng trên các kênh thông tin,

Trong nghiên cứu địa chất, phân phối chuẩn cũng được ứng dụng để mô tả nhiều hiện tượng địa chất như hàm lượng và khoáng vật trong đá, hàm lượng của một số nguyên tố hóa học, mực nước trong lỗ khoan,…

Hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn N( ; µ σ 2 )

( )

( )2

2 2

1

.2

x x

µ σ

Phân phối chuẩn tắc

Phân phối chuẩn N( µ ; σ2) với µ = 0, σ = 2 1 gọi là phân phối chuẩn tắc

Các tính chất của hàm phân phối xác suất Φ(x)

µ

− Φ

µ

− Φ

VÝ dô 1.15. Cho Z là đại lượng ngẫu nhiên với phân phối chuẩn Xác định giá trị của z nếu

P µ − σ <X < µ + σ =

Hai công thức trên là cơ sở của quy tắc hai xích ma và ba xích ma: Nếu X

có phân phối chuẩn N( ; µ σ 2 )thì có đến 95,46% giá trị của X nằm trong khoảng

(µ − σ µ + σ 2 ; 2 ) và hầu như toàn bộ giá trị của X nằm trong khoảng

(µ − σ µ + σ 3 ; 3 ).