BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ Bài 1: Giải các bài toán sau bằng phương pháp chứng minh quy nạp... c Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng.. Bài 17: Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết t
Trang 1BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ Bài 1: Giải các bài toán sau bằng phương pháp chứng minh quy nạp.
n n n 2) CMR: 1 3 5 2 1 1
n
3) CMR: n(2n2 – 3n + 1) chia hết cho 6
4) 11n+1 + 122n – 1 chia hết cho 133
5) 1+ 1
6) 1+1 1 1
2 3 2n 1n
7)
2
3 3 3 ( 1)
2
n n
Bài 2: Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau:
2 1
u u u n
2) un = 3n – 2n 3) 2 2
n
u c
Bài 3: Viết số hạng tổng quát của một dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng
của nó:
a) Đều chia hết cho 3
b) Chia cho 5 dư 2
Bài 4: Cho dãy số un = 5.4n-1 + 3
a) Chứng minh rằng un+1 = 4un– 9 với mọi n ≥ 1
b) Hãy cho dãy số u bởi hệ thức truy hồi n
Bài 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1
1
3
5 ( 1)
u
u u n
Bài 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1
1
3
2, 1
u
u u n
Bài 7: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
1
n
u
n
2
n
2
n n
u
d) un = 3n – n e) 3 1
2
n
2
n
n n
u n
Bài 8: Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
Trang 2b) Dãy số (bn) với bn =
Bài 9: Trong các dãy sau, dãy nào bị chặn trên, dãy nào bị chặn dưới, dãy nào bị chặn.
a) u n 2n1 b) 1
n
u
n n
n
3
n n
u
Bài 10: Chứng minh rằng dãy số u với un n =
2 2
n n
là một dãy số bị chặn
Bài 11: Chứng minh rằng: u với n 5 2
n
n u n
là một dãy số tăng và bị chặn
Bài 12: Cho dãy số:
1
1
2 1 2
n n
u u
u
CMR: Dãy số này giảm và bị chặn dưới
Bài 13: Cho dãy số u xác định bởi n
1
2 1
2
4
4
n n
u u
Chứng minh rằng u là một dãy số không đổi n
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG Bài 14: Cho một cấp số cộng u có: u1 n = 1 và u2 = 5
a) Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho
b) Tìm u2, u3, u4
c) Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng
Bài 15: Tìm số hạng đầu tiên và công sai của các cấp số cộng sau:
a) u thỏa mãn n 2 3 5
4 6
10 26
u u u
u u
b) u thỏa mãn n 7 3
2 7
8 75
u u
u u
c) u thỏa mãn n 172 20 2
17 20
9 153
u u
Bài 16: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng bình
phương của chúng bằng 120
Bài 17: Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 25 và tổng bình
phương của chúng bằng 165
Bài 18: Cho một cấp số cộng u có u5 n + u19 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của u n
Trang 3Bài 19: Cho một cấp số cộng u có u2 n + u5 = 42 và u4 + u9 = 66 Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Bài 20: Cho cấp số cộng tăng u có: u1 n + u153 = 302094 và tổng 15 số hạng đầu bằng 585 Hãy tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó
Bài 21: Tìm m để các phương trình sau có các nghiệm lập thành một cấp số cộng:
a) x4 – 2(m+1)x2 + 2m + 1 = 0
b) mx4 – 2(m-1)x2 + m – 1 = 0
c) x3 – 3x2 + mx + 2 – m = 0
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN Bài 22: Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau:
9
96 192
u
u
b) 3 5
2 6
90 240
c) 20 17
3 5
8 272
Bài 23: Cho 5 số lập thành một cấp số nhân Biết công bội bằng ¼ số hạng đầu tiên và tổng 2 số
hạng đầu bằng 25
Bài 24: Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân biết rằng tổng 3 số hạng đầu là 4
16
9và theo thứ tự
chúng là số hạng thứ nhất, thứ 4, thứ 8 của 1 cấp số cộng
Bài 25: Cho 3 số khác nhau lập thành một cấp số cộng, bình phương của các số ấy lập thành một
cấp số nhân Tìm 3 số đó
Bài 26: Cho dãy số (un) xác định bởi:
1
2
1
2
u
Chứng minh rằng (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân
Bài 27: Hãy tính tổng 12 số hạng đầu tiên của một cấp số nhân (un) biết rằng: 32 3 5
1 3
189
Bài 28: Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân Chứng minh rằng:
a) (ab+bc+ca)3 = abc(a+b+c)3
b) (a+b+c)(a-b+c)=a2 + b2 + c2
c) 13 13 13 2 2 2 3 3 3
Bài 29: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm lập thành một cấp số nhân:
x3 – 3mx2 + 4mx + m – 2 = 0
Bài 30: Tính các tổng sau:
1) S= 1+4+16+…+65536
2) S= 3-15+75-…-234375
3) S= 1+4.2+7.22 + 10.23+…+288.299
4) S= 1+2.3+3.32 +…+100.399
Trang 45) S = 6+66+666+…+66 6
ch÷ sè 6
n
n
7) S=
2 2
n n