tong hop bai tap tim gioi han ham so 24040 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất c...
Trang 1A GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
2
1 2 lim
/
1
+
+
n
n
4
1 3 lim /
2 +
+
n
n
2 3
1 5 lim / 3
+
−
n n
n n n
n n
− +
+ + 2
2
2
3 2 lim
/
1
3 2
lim /
+ +
+
n n
n
n
) 3 )(
2 3 (
) 1 2 )(
1 ( lim / 6
+ +
− +
n n
n n
1 3
2 lim
/
2 + +
+
n n
n
n
1 3
2 lim /
3 +
n
n
) 2 )(
1 (
) 3 )(
2 ( lim / 9
+ +
+
n n
n n
n
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
1
1 2 lim
/
2 +
−
n
n
2
5 2 lim /
+
−
+
n n
n
2 3
2 lim
/
3
− +
−
n n
n n
4 / lim (3 n2 − n3 + n )
2 3
1 2
lim /
2
−
+ +
n
n
n 6 / lim (3 n3 − 2 n2 − n )
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
n n
n
3 2
1 lim
/
2
−
+
4
3 2
) 1 (
) 2 ( ) 1 ( lim / 2
−
+ +
n n
n n
3 / lim ( n2 + n − n2 + 1 )
4 / lim( n +3 3 n2 − n3 )
2
1 11 2 lim /
−
+
−
n
n
n
4 2
1 lim
/ 6
2
2 + − n +
n
B GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
1 / lim ( 2 3 )
→ x
x 2 / lim ( 2 3 3 4 )
−
→ x x
1
1 4 lim /
2
+ +
→ x x
x x
x
1
2 1
lim
/
4
+
−
−
→ x
x x
x 5 / lim ( 2 3 )
−
2
25 lim
/ 6
2
5 +
−
→ x
x
x
Dạng
0
0
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
1
2 3 lim
/
4
4
6 lim
/
1
2 3 3 1
2 2 2
+
−
−
+
−
−
− +
→
→
x x x
x x x
x x
x
x
8
4 lim / 5
20
16 lim
/ 2
3 2 2
2 2 4
+
−
− +
−
−
→
→
x x
x x x
x
x
9
3 lim / 6
3
3 4 lim / 3
2 3
2 3
− + −
+
−
−
→
→
x x x
x x
x x
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
x x x
x x x x
x
x
x
2
1 2 1 lim
/
7
4
2 3 lim
/
4
2
1 2 1 lim
/
1
0
2 2
0
− +
−
−
−
− +
→
→
→
2
2 4 lim / 8
3 3
2 2
3 lim / 5
3 9
4 lim / 2
3 2 1 0
−
− +
+
− +
− +
→
−
→
→
x x x
x x x x
x x
x
25
3 2
lim / 9
3 4
4 7
2 lim / 6
3 2
3 7 2 lim / 3
2 3 5
3 1 1
−
+
−
+
−
− + +
+
−
− +
→
→
→
x x
x x
x x
x x
x x x
Bài tập 4: Tính các giới hạn:
Trang 2
3 3
27 6
lim
/
7
2 2
2 lim
/
4
1
1 lim
/
1
2 3
2 4 3
2
2 2
3
1
+ + +
−
−
− +
−
−
−
−
−
→
→
→
x x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
3 3
0 1
2
2 3 1
2 3 2
1 1
lim / 8
4 5
3 2 lim / 5
4 3
4 2 lim
/ 2
+
− +
−
−
+
−
− +
−
−
+ +
−
→
→
−
→
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x
3 1 4
2 lim
/ 9
2 3
2 4
2 3 lim / 6
1 1
lim / 3
2
2 2 1
2 0
− +
+
−
+
−
−
−
−
−
+ +
− +
→
→
→
x
x x
x x
x x x
x
x x x
x x x
Bài tập 5: Tính các giới hạn:
x x
x x
x x
x x x
x x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
−
−
+
−
+ +
+ +
+ +
− +
−
+
−
−
−
→
−
→
→
→
→
5 1
5 3
lim
/
5
6 2
2 3 lim
/
4
) 1 )(
1 (
lim
/
3
3
3 4 lim
/
2
1 1
lim
/
1
4
2 2 2
2 3 2 3
2
3
3 0
2 3
1 lim
/ 10
3
1 1 lim / 9
2
3 2 1 lim / 8
1
1 2 lim
/ 7
2 3
1 lim
/ 6
2
3 1
3 0 4
2
2 3
1
2
3 1
− + +
−
−
−
− +
−
+
− +
−
− +
−
−
→
→
→
→
→
x x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
• Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp.
Bài tập 6: Tính các giới hạn:
3
5 1
lim
/
3
1 1
lim
/
2
2 3
7 11
8 lim
/
1
3 3
3
0
2 3
2
−
+
− +
−
− +
+
−
+
− +
→
→
→
x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
x
2
1 2 2
lim / 6
2
6 6
lim / 5
1
3 9
lim / 4
2 1
2 3 2
3 1
−
−
−
− +
− +
+ +
−
−
+ +
−
−
→
−
→
→
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x x
Dạng
∞
∞
Bài tập 7: Tính các giới hạn:
Trang 3
3
2 2 3
2 5
2 3 2
) 4 3 (
) 4 1 )(
1 2 )(
2 (
lim
/
5
5 3
1 3 2
lim
/
4
1
1 2 lim
/
3
2
1 lim
/
2
3 2
1 lim
/
1
+
− +
+ + +
+ +
−
+ +
−
+ +
∞
→
∞
→
∞
→
+∞
→
−∞
→
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x x x
x
x
x
x
x
1 2
3 2 lim / 10
1 3
1 4 lim / 9
1
3 2 lim
/ 8
5 3
7 3 4 lim / 7
1 6
8 3 lim / 6
3 2
2
3 3 2 2 3 4 2
+
− +
− +
+
−
+ +
+
−
− +
+
−
− +
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x x
ĐS
27
8 / 5 3
2 / 4
/ 3
/ 2 2
1 / 1
−
∞ +
∞
−
0
/
10
3
2
/
9
1
/
8
/
7
0
/
6
±
±
∞
Bài tập 8: Tính các giới hạn:
x x
x x
x
+ + + +
∞
→ 4 1 2
4 1 3 2 lim
/
1
2
2
1
1 2 4 1 9
lim / 2
2 2
−
+ +
− + +
∞
x x x
x
−
5
1 /
− 1
1 / 2
Dạng ∞ − ∞
Bài tập 9: Tính các giới hạn:
−
−
−
− +
−
−
−
−
− +
→
∞
←
∞
→
+∞
→
3 1
2
2
3 3 2
1
3 1
1
lim
/
4
) (
lim
/
3
) 3 4 4 1 2
(
lim
/
2
) (
lim
/
1
x x
x x x
x x x
x x x
x
x
x
x
+
−
+ +
−
+ +
− +
−
+
−
− +
→
−∞
→
+∞
→
∞
→
6 5
1 2
3
1 lim
/ 8
) 1 1
( lim / 7
) 1 (
lim / 6
) 3
( lim / 5
2 2
2
2 2
2
3 2 3
x x x
x
x x x
x
x x
x x x
x x x x
ĐS
1 / 4 2
1 / 3
0 / 2 3
1 / 1
−
∞ −
2 / 8
1 / 7
0 / 6
1 / 5
−
Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác:
Cho biết : lim sin 1
→ x
x
x
Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:
2 0
0
0
0
2
4 cos 1
lim
/
4
sin
2 cos 1
lim
/
3
1 1
2 sin
lim
/
2
2
5 sin
lim
/
1
x x
x x
x x x x x
x
x
x
x
−
−
− +
→
→
→
→
2 0 0 2 2 0
3 0
6 cos 1 lim / 8
2
3 lim / 7
3
sin lim / 6
sin lim
/ 5
x x x
x tg x
x x
x tgx
x x x x
−
−
→
→
→
→
x x x
x x
x tg
x x
x
x
x x x
cos 2 1
3
sin lim / 12
sin
cos sin
1 lim / 11
cos 1 2 lim / 10
5 cos 1
3 cos 1 lim / 9
3
2 2 0
2 0
0
−
−
− +
+
−
−
−
→
→
→
→
π
π
Trang 4ĐS:
25
9 /
9
2
1 /
5
2
5 /
1
8
2 / 10 9
1 / 6
4 / 2
1 / 11 2
3 / 7
2 / 3
3
1 / 12
18 / 8
4 / 4
Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
2 3
4 5 2
/
3 4 5 /
2 2
2 3
+
−
+
−
=
− +
−
=
x x
x x y
b
x x x
y
a
2
2 sin cot
/
5 cos /
x tg
x gx
y d
x tgx
y c
+
=
+
=
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số:
Bài tập 1: Cho hàm số:
−
+
−
−
=
1
2 3
2 )
(
2
2
x
x x
x x
f
)
1
(
)
1
(
≥
<
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x)
tại x0 = 1
Bài tập 2: Cho hàm số:
−
−
−
=
2 4
2 1 )
x x
x x
) 2 (
) 2 (
<
≥
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x)
tại x0 = 2
Bài tập 3: Cho hàm số:
− +
− +
=
1 1
1 1 2
3 ) (
3 x x x
f
)
0
(
)
0
(
>
≤
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x)
tại x0 = 0
Bài tập 4: Cho hàm số:
−
−
=
5 1
1 )
(
2
x
x x
f
) 1 (
) 1 (
=
≠
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1
Bài tập 5: Cho hàm số:
−
−
+
=
1 1
2 )
x x
ax x
f
) 1 (
) 1 (
<
≥
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0
= 1
Bài tập 6: Cho hàm số:
−
−
−
=
x
x x
f
2
3 2 1
1 ) (
) 2 (
) 2 (
≠
=
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2
Bài tập 7: Cho hàm số:
Trang 5
+
−
− +
− +
=
x
x x
x
x a
x f
1 1
2
4 )
(
)
0
(
)
0
(
<
≥
x
x
Định a để hàm số f(x) liên tục tại
x0 = 0
Bài tập 8: Cho hàm số:
−
− +
+
=
2
2 2 3 4
1 )
(
3
x x
ax x
f
)
2
(
)
2
(
>
≤
x
x
Định a để hàm số f(x) liên tục trên
R
Bài tập 9: Cho hàm số:
+
−
−
+
=
2 3
2 4 3
2 )
(
2 3 2
x x x
ax x
f
) 2 (
) 2 (
>
≤
x
x
Định a để hàm số f(x) liên tục trên R
Bài tập 10: Cho hàm số:
−
=
x
x x
f 1 cos
1 ) (
) 0 (
) 0 (
≠
=
x x
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:
Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm:
0 100 10
/
0 10 9 6 /
0 1 3 /
3 5
2 3 4
= +
−
=
− +
−
= +
−
x x
c
x x x
b
x x
a
Bài tập 2: CMR phương trình 2 x3− 6 x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2).
Bài tập 3: CMR phương trình x3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài tập 4: CMR phương trình 3 x4 − 4 x3 − 6 x2 + 12 x − 20 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài tập 5: CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt:
0 ) 5 ( ) 9 ( /
0 3 2 ) 2 )(
1 ( /
=
− +
−
−
x x x
m
b
x x
x m
a