[r]
Trang 1A GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
1 /lim 2n+1
n+2 2 /lim 3 n
2
+1
n2+ 4 3 /lim 5 n −1
3 n+2
4 /lim n2+2 √ n+3
2 n2+ n− √ n 5 /lim 2 n √ n+ 3
n2+ n+1 6 /lim(n+1)(2n − 1)
(3 n+2)(n+3)
7 /lim n
2
+ 2 n
3 n2+ n+1 8 /lim 2 n
3
n4+ 3 n2+1 9 /lim(2n√n)(3+√n)
(n+1)(n+2)
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
1 /lim 2n
2
−1
n2+1 2 /lim 2 n+5
n2− n+2 3 /lim n
3
− 2 n
3 n2+n −2
4 /lim (3
√ n2− n3+ n ) 5 /lim 2 n
2
+ n+1
3 n3− 2 6 /lim (3
√ n3− 2 n2− n )
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
1 /lim n
2
+1
2n2−3 n
n+2 ¿3
¿
n− 1 ¿4
n ¿
n+1 ¿2¿
¿
2 /lim ¿
3 /lim ( √ n2
+ n− √ n2
+ 1 )
n+ √33 n2− n3
4 /lim ¿ ) 5 /lim 2 n
3
− 11n+1
n2−2 6 /lim 1
√ n2+2 − √ n2+4
B GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
1/limx→ 2(2 x+3) 2/ limx →− 2(2 x3−3 x+4) 3/lim
x →1
x2+4 x+1
x2− x+1
4 / lim
x →− 3
√ 1− x+2 x
x +1 5/ lim
x → −1( √ x+2+ √3 x ) 6/ lim
x →5
x2−25 x+2
Dạng 0 0
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
1/lim
x→ 2
x2+ x − 6
x2− 4
4 /lim
x→ 1
x3− 3 x+2
x3− x2− x +1
2/lim
x → 4
x2− 16
x2+ x − 20
5/ lim
x→ −2
4 − x2
x3+ 8
3/lim
x→ 3
x2−4 x+3
x − 3
6/ lim
x →− 3
x+3
x2− 9
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
1 /lim
x →0
√ 1+2 x − 1
2 x
4 /lim
x→ 2
x − √ 3 x −2
x2− 4
7 /lim
x → 0
√ 1+2 x −1
2 x
2/lim
x → 0
4 x
√ 9+x − 3
5/ lim
x → −1
√ 3+2 x − √ x +2
3 x +3
8/ lim
x →2
3
√ 4 x − 2
x − 2
3 /lim
x →1
√ 2 x +7 −3 2− √ x+3
6/ lim
x →1
√ 2 x +7+x − 4
x3− 4 x+3
9 /lim
x →5
2 − √3 x+3
x2−25
Trang 2Bài tập 4: Tính các giới hạn:
¿
1/lim
x → 1
3
√ x −1
√ x −1
4 / lim
x→√ 2
x2−2
x2− x + √ 2− 2
7/ lim
x→ −3
x4− 6 x2−27
x3+3 x2+ x +3
¿
2/ lim
x →− 1
x3− x2+2 x+4
x2−3 x − 4
5/lim
x→ 1
x+2 √ x − 3
x −5 √ x+4
8/ lim
x →0
3
√ 1 − x2− 1
3
√ 2+x − √33 x+2
3/lim
x→ 0
√ x +1− √ x2+ x +1
x
6/ lim
x →1
3 x −2 − √ 4 x2− x − 2
x2−3 x +2
9/lim
x→ 2
x − √ x+2
√ 4 x +1 −3
Bài tập 5: Tính các giới hạn:
1/ lim
x →0
1− √31 − x x
2 /lim
x →3
x2− 4 x +3
x −3
3/lim
x→ 3
( x +1)(x2−1)
x3+ x2+x
4 / lim
x →−2
x2+3 x +2
2 x2+ x+6
5/ lim
x→ 4
3 − √ 5+x 1− √ 5 − x
6/lim
x→ 1
3
√ x −1
√ x2+3 −2 7/ lim
x →1
3
√ x −2+❑
√ 1 − x +x2
x2−1
8 /lim
x → 4
√ 1+2 x −3
√ x − 2
9/lim
x→ 0
1 − √31 − x
3 x
10/ lim
x → −1
3
√ x +1
√ x2+3 − 2
Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp.
Bài tập 6: Tính các giới hạn:
1/lim
x→ 2
3
√8 x+ 11 −√x+7
x2−3 x +2
2/ lim
x →0
3
√1+x −√1− x x
3 /lim
x → 3
√x+1−√3x +5
x − 3
4 /lim
x→ 1
3
√ x − 9+ √ x+3
x −1
5/ lim
x →− 2
3
√ x −6 + √ x +6
x2+ x −2
6/ lim
x→ −1
√ 2+x −❑
√ 2 x −1
x2− x −2
Dạng ∞ ∞
Bài tập 7: Tính các giới hạn:
Trang 3
1/ lim
x → −∞
√ x2+1
2 x +3
2/ lim
x →+∞
− x3+ x +1
x2−2
3 / lim
x →∞
x5+2 x2+1
x3+1
¿
4 / lim
x →∞
2 x2+3 x+1
3 x2− x +5
3 x +4 ¿3
¿
¿
5/ lim
x → ∞
( x −2)(2 x+1)(1 −4 x)
¿
6 / lim
x→ ∞
x2+3 x − 8
x4− 6 x +1
7/ lim
x→ ∞
4 x3+3 x −7
x2−3 x+5
8/ lim
x→ ∞
√ x2+ 2 x +3
3
√ x3− x +1
9/ lim
x → ∞
√ 4 x2+ 1
3 x − 1
10/ lim
x → ∞
2 x2+3
x3− 2 x +1
ĐS
1/− 1
2
2/∞
3/+∞
4 / 2 3
27
6/0
7/∞
8/±1
9/±2
3
10/0
Bài tập 8: Tính các giới hạn:
1/ lim
x → ∞
√ x2+2 x+3+1+4 x
√ 4 x2+1+2 − x 2/ lim
x → ∞
√9 x2+x +1−√4 x2+2 x +1
−1
¿
5
¿
¿
¿
1/ ❑ ¿
1
¿
− 1
¿
¿
¿
2/ ❑ ¿
Dạng ∞− ∞
Bài tập 9: Tính các giới hạn:
1/ lim
x →+∞
( √3 x3+ x2− x)
2/ lim
x → ∞(2 x −1 − √ 4 x2− 4 x −3)
3/ lim
x ← ∞( √ x2+ x − x)
4 /lim
x→ 1( 1− x 1 −
3
1− x3)
5/ lim
x → ∞
( x+ √33 x2− x3) 6/ lim
x→+∞
( x − √ x2+ 1) 7/ lim
x→ −∞( √ x2− x+1− √ x2+ x+1)
8/lim
x →2( x2− 3 x +2 1 +
1
x2−5 x+6 )
ĐS
1/ 1 3
− ∞
¿
0
¿
¿ 3/ 1 2
¿
¿
¿
2/ ❑ ¿
5 /1 6/0
7 /1
8/−2
Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác:
Cho biết : lim
x→ 0
sin x
Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:
Trang 4
1/lim
x→ 0
sin 5 x
2 x
2/lim
x→ 0
sin 2 x
√ x +1− 1
3/lim
x→ 0
1 −cos 2 x
x sin x
4 /lim
x→ 0
1 −cos 4 x
2 x2
5/lim
x→ 0
tgx − sin x
x3
6/lim
x→ 0
sin2x 3
x2
7 /lim
x→ 0
tg 3 x
2 x
8/lim
x → 0
1 −cos 6 x
x2
9 /lim
x →0
1− cos 3 x 1− cos 5 x
10/lim
x→ 0
√ 2 − √ 1+cos x
tg2x
11/lim
x →0
√ 1+sin2x − cos x
sin2x
12/ lim
x → π3
sin ( x − π
3 )
1− 2cos x
ĐS:
1/ 5
2 5/ 1
2 9/ 9
25
2/4
6 / 1 9 10/ √ 2 8
3 /2 7/ 3 2 11/1
4 /4
8 /18 12/ 1
√ 3
Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
a / y =x3−5 x2+4 x −3
b / y= 2 x
2− 5 x+4
x2−3 x +2 .
c / y =tgx+cos 5 x
d / y= cot gx +sin 2 x
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số:
Bài tập 1: Cho hàm số:
¿
− x
2
x2−3 x+2
x2− 1
¿f (x)={
¿
(x <1)
¿ ( x ≥1)
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1
Bài tập 2: Cho hàm số:
¿
1− 2 x
4 − x2
x −2
¿ f (x)={
¿
( x ≥2)
¿ ( x <2)
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2
Bài tập 3: Cho hàm số:
¿
3 2
√ x +1− 1
3
√ x +1− 1
¿ f (x)={
¿
( x ≤0)
¿ (x >0)
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 0
Bài tập 4: Cho hàm số:
¿
x2− 1
x −1
5
¿ f (x)={
¿
− 29
2
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1
Bài tập 5: Cho hàm số:
Trang 5
¿
ax+2
x3− 1
x −1
¿ f (x)={
¿
( x ≥1)
¿ (x <1)
Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1
Bài tập 6: Cho hàm số:
¿
1
1 − √ 2 x −3
2 − x
¿ f (x )={
¿
( x=2)
¿ ( x ≠2)
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2
Bài tập 7: Cho hàm số:
¿
a+ 4 − x
x +2
√ 1 − x − √ 1+x x
¿ f (x )={
¿
( x ≥0)
¿ ( x <0)
Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0
Bài tập 8: Cho hàm số:
¿
ax+ 1 4
3
√ 3 x +2− 2
x −2
¿ f (x)={
¿
( x ≤2)
¿ (x >2)
Định a để hàm số f(x) liên tục trên R
Bài tập 9: Cho hàm số:
¿
ax2+ 2 3
3
√ 4 x − 2
x2−3 x+2
¿ f (x)={
¿
(x ≤2)
¿ ( x >2)
Định a để hàm số f(x) liên tục trên R
Bài tập 10: Cho hàm số:
¿
1
1− cos x x
¿ f (x)={
¿
(x=0)
(x ≠ 0)
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:
Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm:
a/ x4−3 x+1=0
b/ x3− 6 x2+ 9 x −10=0
c /x5−10 x3+100=0
Bài tập 2: CMR phương trình 2 x3−6 x +1=0 có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2)
Bài tập 3: CMR phương trình x3−3 x +1=0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài tập 4: CMR phương trình 3 x4− 4 x3−6 x2
+12 x − 20=0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài tập 5: CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt:
a /m(x −1)(x −2)+2 x −3=0
b /m(x2−9)+x (x − 5)=0