BDT THCS

 Bn An  Theo giả thiết hay theo tính chất cơ bản đã biết ta có 2 cuối cùng hiển nhiên đúng.. Do đó kết luận 1 luôn đúng.

Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức i/ dùng định nghĩa và tính chất

1/ Định nghĩa:

Khi hai biểu thức A và B nối với nhau bởi một trong các quan hệ “>”; “”;

”<”; “” thì ta bảo có một bất đẳng thức:

Khi đó ta viết:

 A>B  A-B >0 (đọc là A lớn hơn B) A và B là hai vế của bất

đẳng thức.

 AB A B 0 (đọc là A lớn hơn hay bằng B)

Ghi nhớ: Một BĐT có thể đúng, có thể sai nhng khi phải cm một BĐT mà không rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một BĐT đúng.

2/ Các tính chất của bất đẳng thức:

1 Tính phản xạ: aR:aa

2 Tính bắc cầu: a,b,cR:ab và bc ac

3 Cộng, trừ hai vế của một BĐT với cùng một số thực

m b m a b a R

m

b

Hệ quả:

Chuyển vế đổi dấu: abc a cb Cộng hai BĐT cùng chiều: a c b d

d c

b a













Ghi nhớ: Không đợc trừ hai BĐT cho nhau

4 Nhân, chia hai vế của một BĐT với cùng một số thực m  0





















0

;

0

; :

,

m bm am

m bm am b a R b a





















0

;

0

; :

,

m m

b m a

m m

b m

a R b a

5 Nếu a>b>0 hay 0>a>b

b a b

a  1 1

 (a và b cùng dấu)

6 Nhân hai vế của hai BĐT cùng chiều

















d c b a R d c b

a, , , :

Ghi nhớ: Không đợc chia hai BĐT cho nhau.

Hệ quả:

*

;













b a

b a b

n n

3/ Ví dụ áp dụng:

Cho x,y,z là 3 số tùy ý Chứng minh rằng

 y  y  z  z  x  xyz

x

a/ 2 1 2 2 1 2 2 1 2 6













x y z xy yz zx

Giải:

a/ Ta luôn có:

2 2

0

1 2

0

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

xyz y

x z xy

z

xyz x

z y zx

y

xyz z

y x yz

x































Cộng (1),(2),(3) theo vế và nhóm các đơn thức có nhân tử chung cho ta điều phải chứng minh:

b/ Ta có: xyz2 x2 y2 z2  2xyyzzx

Ngoài ra ta luôn có:

 

 

z x z x zx

yz z

y z

y

xy y x y

x

2 0

2 0

2 0

2 2 2

2 2 2

2 2 2































Cộng vế theo vế và rút gọn cho ta:

z y

Do đó:

xyz2 xyyzzx 2xyyzzx Vậy: xyz2  3xyyzzx

4/ Bài tập tự giải:

Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1 Chứng minh rằng:

2

1 , 2 2



y x

a

8

1 , 4 4



y x b

Bài 2: Cho x+y=2 Chứng minh rằng 4 4 2



y x

Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì

3

1

2 2

2 y z 

x

Bài 4: Cho ba số x,y,z tùy ý Chứng minh rằng:

2 2

2 2

3







  





x

Bài 5: Cho ba số dơng x,y,z và x+y+z=4 Chứng minh rằng:xyxyz

Bài 6: Cho hai số dơng x,y và x3y3 x y

Chứng minh rằng: 2 2 1



y x

Bài 7: Cho ba số dơng x,y,z thỏa mãn điều kiện

3

5

2 2

2 y z 

Chứng minh rằng: x1 1y 1z  xyz1

2

ii/ dùng phép biến đổi tơng đơng:

1/ Đ ờng lối chung:

Để chứng minh đẳng thức A  B là đúng bằng phơng pháp biến đổi tơng

đ-ơng ta biến đổi:

B

1

1 B

A 





Bn

An 

Theo giả thiết hay theo tính chất cơ bản đã biết ta có (2) cuối cùng hiển nhiên đúng Do đó kết luận (1) luôn đúng

2/ Ví dụ áp dụng:

Cho hai số x, y sao cho xy  0 Chứng minh rằng: x2  y22 x y4  1

Giải:

Dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh, ta lần lợt có:





















   2  2   2 0

 x y x y x y

















 x y x y x y x y x y

    2 2 2  0  4   2 0  2

 x y x y xy x y

Do xy  0 nên bất đẳng thức (2) hiển nhiên đúng Vậy (1) luôn đúng

3/ Các bài tập tự giải:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y ta có bất đẳng thức:

y x xy y

x

Bài 2: Cho hai số dơng x,y

Chứng minh rằng:

3 3

3

2







 



x

Bài 3: Cho bốn số a,b,c,d, bất kỳ

Chứng minh rằng: ac bd  a2 b2c2 d2

Bài 4: Cho ba số a,b,c sao cho abc 0

Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3abc







Bài 5: Chứng minh rằng với năm số c,b.c,d,e bất kỳ, bao giờ ta cũng có:

a e d c b

a2 2  2 2  2    

Bài 6: Chứng minh rằng nếu a>0, b>0 thì ta có:

c b a b a a c c

b       

3 1

1 1

Bài 7: Cho ab 1

Chứng minh rằng:

ab b

a    

2 1

1 1

1

2 2

Iii/ dùng BĐT trung gian:

1/ Ph ơng pháp chung: Dùng BĐT Côsi với hai số không âm:

Cho hai số x 0 , y 0 ta có BĐT Côsi sau: xy  xy

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y

Ta có thể cm nh sau:

Vì x 0 , y 0 nên:

2 0 2

0

2

Dấu “=” xảy ra  x y  0  xy

2/ Ví dụ áp dụng:

Cho ba số x, y, z không âm Chứng minh rằng:

zx yz xy z y

Giải:

Vì x 0 ,y 0 ,z 0 nên áp dụng BĐT Côsi với hai số không âm cho ta:

zx x z yz z y xy y

x













2

, 2

, 2

Do đó cộng vế theo vế ba BĐT cùng chiều cho ta

zx yz xy x z z y y

x

















2 2 2

Vậy: xyz xy yz zx

3/ Các bài tập tự giải:

Bài 1: Cho bốn số a,b,c,d không âm Chứng minh rằng:

abbccdda 16abcd

Bài 2: Với x 0 , y 0 Chứng minh đẳng thức:

 x y2  2 2 xy xy

Bài 3:Cho x 1 , và y 1 Chứng minh rằng:

xy x

y y

4

iV/ dùng BĐT về ba cạnh của một tam giác:

1/ Ph ơng pháp chung:

Với a,b,c là ba độ dài cạnh của một tam giác  



















3 1

b a c

a c b

c b a

Từ ba BĐT về tổng hai cạnh của một tam giác ta suy ra đợc ba bất đẳng thức

về hiệu hai cạnh:

 

 

  6 5 4

b a c b

a

c

a c b a

c

b

c b a c

b

a



























2/ Ví dụ áp dụng:

Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta có:

c b

a2  2  2  2  

Giải:

áp dụng BĐT về ba cạnh a,b,c của một tam giác cho ta:

    3

2 1

2 2

2 2

2 2

b a c b a

c

a c b a c

b

c b a c b

a































Cộng ba vế của BĐT cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế cho ta:

a b2 b c 2 c a2 c2 b2 a2

ab bc ca

c b a

ca bc ab c

b a

c b a a ca c c bc b b ab a



















































2

0 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

Vậy BĐT đã đợc chứng minh

3/ Bài tập tự giải:

Bài 1: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác Chứng minh rằng: ab cbc aca babc