Mật mã và an toàn thông tin Mật mã cổ điển

1.1.1 Hệ mã dịch chuyểnHệ mã dựa trên cơ sở của phép biến đổi một ký tự trong văn bản gốc thành một ký tự khác trong bản mã Trong trường hợp K=3 , hệ mật mã trên được gọi là mật mã Caes

MẬT MÃ CỔ ĐIỂN

1.1 MỘT SỐ HỆ MẬT MÃ ĐƠN GIẢN

1.1.1 MẬT MÃ DỊCH CHUYỂN - SHIFT CIPHER

1.1.2 MẬT MÃ THAY THẾ - SUBSTITUTION CIPHER

1.1.3 MẬT MÃ TUYẾN TÍNH - AFFINE CIPHER

1.1.4 MẬT MÃ VIGENÈRE

1.1.5 MẬT MÃ HILL

1.1.6 MẬT MÃ HOÁN VỊ

1.1.7 MẬT MÃ DÒNG

Mục đích cơ bản của hệ mật mã cho phép hai

người, Alice và Bob, truyền thông tin qua một kênh không được bảo mật theo cách sao cho đối thủ, Oscar, không thể hiểu được thông tin gì đang được nhắc đến Kênh đó có thể là đường điện thoại hoặc

có thể là mạng máy tính

Thông điệp mà Alice muốn gửi tới Bob, chúng ta gọi

là “ văn bản gốc ” hoặc “ bản rõ ” ( “ Plaintext ”),

được xây dựng hoàn toàn tuỳ ý, có thể là các ký tự tiếng Anh, dữ liệu số…

MỞ ĐẦU:

Sơ đồ minh hoạ

Mô tả hình thức bằng ký hiệu toán học

1.1.1 Hệ mã dịch chuyển

Hệ mã dựa trên cơ sở của phép biến đổi một ký tự trong văn bản gốc thành một ký tự khác trong bản mã

Trong trường hợp K=3 , hệ mật mã trên được gọi là mật mã

Caesar , được thừa nhận là của Julius Caesar

Trong hệ mật mã Caesar , mỗi ký tự được thay thế bởi ký tự đứng sau nó ba vị trí trong bảng chữ cái Alphabet)

Để thực hiện theo phương pháp này, trước hết ta cần định nghĩa một bảng mã để số hoá văn bản gốc:

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Cuối cùng, ta biến đổi dãy số nguyên sang các ký tự Aphabet tương ứng như trên , nhận được bản mã

HPHTWWXPPELEXTOYTRSE

Để giải mã bản mã , Bob đầu tiên biến đổi tương ứng bản mã sang dãy của các số nguyên , rồi trừ từng giá trị trong dãy cho 11 ( sau đó quy đổi sang modulo 26), và cuối cùng biến đổi dãy số nguyên vừa nhận được sang các ký tự Alphabe.Ta thu đượcvăn bản gốc ban đầu

Wewillmeetatmidnight

Nhận xét: Ta đã sử dụng ký tự hoa cho bản mã và ký

tự thường cho văn bản gốc

NHẬN XÉT

Ta nhận xét rằng hệ mã dịch chuyển tính bảo mật

quy tắc giải mã dK cho đến khi nhận được văn bản

có “ ý nghĩa ” Xem minh hoạ dưới đây :

gyzozinotzoskygbkytotkfxynyhmnsynrjxfajxsnsjewxmxglmrxmqiweziwrmridvwlwfklqwlphvdyhvqlqhcuvkvejkpvkogucxgupkpgbtujudijoujnftbwftojof

a stitch in times saves nine

k cdsdmr …

Cuối cùng thử hết tới K=26, ta xác định được văn bản gốc và dừng lại Khoá K= 9

K=0 K=1 K=2 K=3 K=4 K=5 K=6 K=7 K=9 K=8

K=10

1.1.2 The Substitution Cipher ( Hệ mã thay thế )

Ví dụ : Cho hoán vị “ ngẫu nhiên ” π sau :

( ) , ( ) ,

e aπ = X e bπ = N

Chương 2.4, 2.5 Kenneth H Rosen

Xuân 2008

Đại học FPT

Discrete Mathematics I

phép chia division

phép chia division

Số nguyên

Integer

Số nguyên GIỚI THIỆU

•Phép chia hết: thương, số dư

•Biểu diễn số nguyên theo cơ số: 10, 2, 8, 16

•Thuật toán cho các phép tính số nguyên

Số nguyên PHÉP CHIA

Integer DIVISION

Định nghĩa Definition

Định nghĩa Definition

Cho hai số nguyên a, b với a ≠ 0, ta nói b chia hết cho

a nếu tồn tại một số nguyên c sao cho b = a.c Khi b

chia hết cho a ta nói a là ước của b và b là bội của a và

kí hiệu là a|b, nếu trái lại b không chia hết cho a thì ta kí hiệu a|b

a|b ⇔ ∃c∈Z, (a.c =b)

Cho hai số nguyên a, b với a ≠ 0, ta nói b chia hết cho

a nếu tồn tại một số nguyên c sao cho b = a.c Khi b

chia hết cho a ta nói a là ước của b và b là bội của a và

kí hiệu là a|b, nếu trái lại b không chia hết cho a thì ta kí hiệu a|b

Nếu a|b thì a|bc, với mọi số nguyên c.

Nếu a|b và b|c thì a|c.

Cho 3 số nguyên a, b, c Khi đó Nếu a|b và a|c thì a|(b + c).

Nếu a|b thì a|bc, với mọi số nguyên c.

Nếu a|b và b|c thì a|c.

Phép chia

Số nguyên PHÉP CHIA

Integer DIVISION

Định lí & định nghĩa Theorem & definition

Định lí & định nghĩa Theorem & definition

Cho a là một số nguyên và d là một số nguyên dương Khi đó tồn tại duy nhất các số q và r, với 0 ≤ r < d sao cho a = qd + r.

Với các kí hiệu như trên ta nói d là số chia, a là số bị

chia, q được gọi là thương (q = a div d) và r được gọi

là số dư (r = a mod d).

Cho a là một số nguyên và d là một số nguyên dương Khi đó tồn tại duy nhất các số q và r, với 0 ≤ r < d sao cho a = qd + r.

Với các kí hiệu như trên ta nói d là số chia, a là số bị

chia, q được gọi là thương (q = a div d) và r được gọi

là số dư (r = a mod d).

Nhận xét: a chia hết cho d khi và chỉ khi số dư của

phép chia a cho d bằng 0

Div, mod

while r ≥ d

begin

r: = r – d q: = q + 1

end

if (a < 0 và r > 0) then

begin

r: = d – r q: = –(q + 1)

end

Div, mod

Số nguyên SỐ NGUYÊN TỐ

Integer PRIME

Định nghĩa Definition

Định nghĩa Definition

Số nguyên dương p > 1 được gọi là số nguyên tố nếu

nó chỉ có các ước số dương là 1 và p Các số nguyên

dương > 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là

hợp số.

Số nguyên dương p > 1 được gọi là số nguyên tố nếu

nó chỉ có các ước số dương là 1 và p Các số nguyên

dương > 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là

hợp số.

Chú ý: n ∈ N* là hợp số ⇔ ( ∃a, 1< a < n, a|n).

Định lí Theorem

Định lí Theorem

Nếu n là một hợp số thì n có ước nguyên tố ≤ n1/2

Nếu n là một hợp số thì n có ước nguyên tố ≤ n1/2

Số nguyên tố

Erathosthenes Thủ tục này được mô tả như sau:

1 Liệt kê tất cả các số nguyên từ 2 đến n Gọi là danh sách A.

2 Lấy ra số 2 là số đầu tiên của danh sách A và cũng

là số nguyên tố đầu tiên Gọi là danh sách B.

3 Xóa bỏ 2 và các bội của nó ra khỏi danh sách A.

4 Số x đầu tiên trong danh sách A mới là số nguyên tố

và viết vào B.

5 Xóa x và các bội (≥ x2) của x ra khỏi A.

6 Lặp lại bước 4 và 5 cho đến khi A không còn phần tử

nào Chú ý là khi phần tử đều tiên của danh sách còn lại > (phần tử lớn nhất) 1/2 thì tất cả các phần tử còn lại đều là số nguyên tố

Để tìm tất cả các số nguyên tố ≤ n ta sử dụng sàng Erathosthenes Thủ tục này được mô tả như sau:

1 Liệt kê tất cả các số nguyên từ 2 đến n Gọi là danh sách A.

2 Lấy ra số 2 là số đầu tiên của danh sách A và cũng

là số nguyên tố đầu tiên Gọi là danh sách B.

3 Xóa bỏ 2 và các bội của nó ra khỏi danh sách A.

4 Số x đầu tiên trong danh sách A mới là số nguyên tố

và viết vào B.

5 Xóa x và các bội (≥ x2) của x ra khỏi A.

6 Lặp lại bước 4 và 5 cho đến khi A không còn phần tử

nào Chú ý là khi phần tử đều tiên của danh sách còn lại > (phần tử lớn nhất) 1/2 thì tất cả các phần tử còn lại đều là số nguyên tố

Số nguyên tố

Số nguyên SỐ NGUYÊN TỐ

IntegerVí dụ PRIME Example

Tìm tất cả các số nguyên tố ≤ 120

Số nguyên tố

Định lí cơ bản của số học Theorem

Định lí cơ bản của số học Theorem

Mọi số nguyên dương n > 1 đều có thể được viết duy

nhất dưới dạng tích của các số nguyên tố, trong đó các số nguyên tố được viết theo thứ tự tăng dần, sự

phân tích này gọi là phân tích tiêu chuẩn của n.

Mọi số nguyên dương n > 1 đều có thể được viết duy

nhất dưới dạng tích của các số nguyên tố, trong đó các số nguyên tố được viết theo thứ tự tăng dần, sự

phân tích này gọi là phân tích tiêu chuẩn của n.

.

,

.

v r

( 2

v p p p

n =

•Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương a và b là

số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a lẫn b, kí hiệu là BCNN(a, b)

•Cho a và b hai số nguyên khác 0, số nguyên d lớn nhất sao cho d|a và d|b được gọi là ước chung lớn nhất của

a và b, kí hiệu là ƯCLN(a, b).

•Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương a và b là

số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả a lẫn b, kí hiệu là BCNN(a, b)

Ước chung

Số nguyên ƯCLN

Integer GCD

Định lí Theorem

Định lí Theorem

Cho 2 số nguyên dương a, b có dạng phân tích tiêu

chuẩn như sau:

ở đó, a i , b j ≥ 0 (có thể bằng 0) Khi đó

Hơn nữa: a.b = ƯCLN(a, b) BCNN(a, b)

Cho 2 số nguyên dương a, b có dạng phân tích tiêu

chuẩn như sau:

ở đó, a i , b j ≥ 0 (có thể bằng 0) Khi đó

Hơn nữa: a.b = ƯCLN(a, b) BCNN(a, b)

r

a r

a

a p p p

2 1

=

r

b r

b

b p p p

2 1

=

) , min(

) ,

min(

2

) ,

min(

) ,

r

b a b

p b

) , max(

) ,

max(

2

) ,

max(

) ,

r

b a b

p b

Ước chung

Số nguyên ƯCLN

Integer GCD

Định nghĩa Definition

Định nghĩa Definition

•Hai số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng

nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1.

•Các số nguyên a1, a2, …, a n được gọi là đôi một

nguyên tố cùng nhau nếu hai số bất kì trong chúng

Chú ý: Cho p là số nguyên tố, thì p nguyên tố cùng

nhau với tất cả các số nguyên a không chia hết cho p.

Hàm Euler

Số nguyên ƯCLN

Integer GCD

Để tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên a và b

ta thường áp dụng thuật toán Euclid cơ sở toán học của thuật toán này như sau

Số nguyên ƯCLN

Integer GCD

Thuật toán Euclid Algorithm

procedure ƯCLN (a, b nguyên dương)

x: = a y: = b

while y ≠ 0

begin

r: = x mod y

x: = y y: = r

= ƯCLN(15 mod 6, 6)= ƯCLN(3, 6)

= ƯCLN(6 mod 3, 3)= ƯCLN(0, 3) T.T Euclid

Số nguyên ƯCLN

Integer GCD

Định lí Theorem

Định lí Theorem

Cho hai số nguyên dương a và b, với a ≥ b Khi đó độ

phức tạp của thuật toán Euclid theo số phép chia là

O(logb).

Cho hai số nguyên dương a và b, với a ≥ b Khi đó độ

phức tạp của thuật toán Euclid theo số phép chia là

O(logb).

T.T Euclid

Đồng dư ĐỊNH NGHĨA

Congruence DEFINITION

Định nghĩa Definition

Định nghĩa Definition

Cho a và b là hai số nguyên và m là một số nguyên

dương Ta nói a đồng dư với b theo môđun m và kí

hiệu là a ≡ b (mod m) nếu a – b chia hết cho m, nếu

trái lại thì kí hiệu là a ≡ b (mod m).

Như vậy:

a ≡ b (mod m) ⇔ m|a – b

⇔ a mod m = b mod m

Cho a và b là hai số nguyên và m là một số nguyên

dương Ta nói a đồng dư với b theo môđun m và kí

hiệu là a ≡ b (mod m) nếu a – b chia hết cho m, nếu

trái lại thì kí hiệu là a ≡ b (mod m).

Đồng dư ĐỊNH NGHĨA

Congruence DEFINITION

Định nghĩa Definition

Định nghĩa Definition

Tập hợp gồm m số nguyên đôi một không đồng dư theo

mod m gọi là một hệ thặng dư đầy đủ theo mod m

Một số nguyên bất kì sẽ đồng dư với một và chỉ một số trong một hệ thặng dư đầy đủ.

Tập hợp gồm m số nguyên đôi một không đồng dư theo

mod m gọi là một hệ thặng dư đầy đủ theo mod m

Một số nguyên bất kì sẽ đồng dư với một và chỉ một số trong một hệ thặng dư đầy đủ.

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} là một hệ thặng dư đầy đủ theo mod 7

{1, 2, 3, 5, 8, 13, 21} không là một hệ thặng dư đầy đủ theo mod 7 vì …

1 ≡ 8 (mod 7)

{2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 } có là một hệ thặng dư đầy đủ theo mod 7 không? Không

Đồng dư

• Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì

a + c ≡ b +d (mod m); a.c ≡ b.d (mod m)

Cho m là số nguyên dương Khi đó

• a ≡ b (mod m) ⇔ ∃k, a = b + km.

• Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì

a + c ≡ b +d (mod m); a.c ≡ b.d (mod m)

Đồng dư

Có một mối liên hệ giữa các phép tính số học thông

thường và các phép tính số học theo môđun m

dấu bằng “=” liên hệ với dấu đồng dư “ ≡ ” +, –, *, / liên hệ với +, –, *, / rồi lấy đồng dư

Đồng dư ĐỊNH NGHĨA

Congruence DEFINITION

Vẫn có những tính chất đúng trong số học nhưng không còn đúng trong số học đồng dư nữa

a.b = 0 ⇒ a = 0 hoặc b = 0 nhưng …

a.b ≡ 0 (mod m) ⇒ a ≡ 0 hoặc b ≡ 0

4.3 ≡ 0 (mod 6) nhưng … 4 ≡ 0 (mod 6) 3 ≡ 0 (mod 6)

Đồng dư

Đồng dư NGHỊCH ĐẢO

Congruence INVERSE

Hệ quả lemma

Hệ quả lemma

Cho hai số a và m nguyên tố cùng nhau và m > 1 thì

tồn tại số nguyên s (duy nhất theo mod m) để sa ≡ 1

(mod m).

Cho hai số a và m nguyên tố cùng nhau và m > 1 thì

tồn tại số nguyên s (duy nhất theo mod m) để sa ≡ 1

(mod m).

Định nghĩa Definition

Định nghĩa Definition

Cho hai số a và m nguyên tố cùng nhau và m > 1 thì a

gọi là khả nghịch theo mod m, nghịch đảo s của a thỏa

mãn sa ≡ 1 (mod m) duy nhất (theo mod m).

Tập con của một hệ thặng dư đầy đủ mod m gồm tất cả các phần tử khả nghịch mod m gọi là một hệ thặng dư

thu gọn mod m.

Cho hai số a và m nguyên tố cùng nhau và m > 1 thì a

gọi là khả nghịch theo mod m, nghịch đảo s của a thỏa

mãn sa ≡ 1 (mod m) duy nhất (theo mod m).

Tập con của một hệ thặng dư đầy đủ mod m gồm tất cả các phần tử khả nghịch mod m gọi là một hệ thặng dư thu gọn mod m.

Nghịch đảo

Chú ý: nếu a là phần tử khả nghịch theo mod m thì

a.b ≡ 0 (mod m) khi và chỉ khi b ≡ 0 (mod m)

Một hệ thăng dư thu gọn mod 12 là 1, 5, 7, 11

Cho p là một số nguyên tố, một hệ thăng dư thu gọn

mod p là {1, 2, …, p–1}

Định lí Theorem

Định lí Theorem

Số phần tử của mọi hệ thặng dư thu gọn mod m là

như nhau và bằng φ(m), hàm Euler của m.

Số phần tử của mọi hệ thặng dư thu gọn mod m là

như nhau và bằng φ(m), hàm Euler của m.

Nghịch đảo

1.1.3 Hệ mã tuyến tính

Vì gcd(a,26)=1 nên a chỉ có thể nhận các giá trị sau đây: a= 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25

a 1 3 5 7 9 11 15 17 19 21 23 25

Ta xem xét ví dụ sau đây :

Giả sử K= ( 7,3) Hàm mã hoá là = 7x+3mod 26

Để minh hoạ , ta sẽ mã hoá văn bản hot Đầu tiên ta biến đổi các ký tự h, o, t quy chiếu sang modulo 26

Thu được lần lượt các giá trị 7,14,19 Bây giờ ta mã hoá, ba ký tự của bản mã có giá trị tương ứng với các

số 0 , 23 , và 6 , các số này tương ứng với xâu ký tự AXG

)

(x

1.1.4 Hệ mã Vigenère

Cả hai hệ mật mã Shift Cipher và Substitution Cipher, khi đã chọn khoá K, mỗi ký tự Alphabe ánh xạ đến

một ký tự Alphabe duy nhất Vì lý do này , các hệ mật

mã đó được gọi là đơn ký tự ( monoalphabetic ) Đến

đây , ta giới thiệu một hệ mật mã không phải là

monoalphabetic , được biết đến là Vigenère Cipher,

mang tên của Blaise de Vigenère, thế kỷ 16.

Sử dụng tương ứng ,

ta có thể kết hợp với mỗi khoá K vào xâu ký tự Alphabe có độ dài m, gọi là từ khoá Mật mã Vigenère Cipher mã hoá theo từng khối m ký tự của

văn bản gốc

Ví dụ : Giả sử m = 6 và từ khoá là C I P H E R

Tương ứng với nó là các số K = ( 2, 8,15,7,4,17 )

Giả sử văn bản gốc :thiscryptosystemisnotsecure

Ta biến đổi các phần tử của văn bản gốc quy đổi sang modulo 26 , và viết chúng thành một nhóm của sáu số , và cộng thêm vào từ khoá ( modulo 26 ) , giống như sau đây :