de thi va dap an mon toan thpt 2015 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các l...
Trang 1Đề thi và đáp án môn toán – THPT Quốc gia 2015 Câu 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3
3
yx x
TXĐ: D = R
2
2
y x
Bảng biến thiên:
x -1 1
-2 Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1;
Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1
Hàm số đạt cực đại tại x = -1 y CD 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 y CT 2
Đồ thị
Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4
x
trên đoạn 1;3
TXĐ: DR/ {0}
2
4
'(x) 1
f
x
2
4
x
1;3 1;3
13
3
Câu 3 a Cho số phức z thỏa mãn 1i z 1 5i 0 Tìm phần thực và phần ảo của z
1
i
i
Phần thực của z là 3, phần ảo là -2
b Giải phương trình 2
2
log x x 2 3
2
2
3
x
x
Câu 4 Tính tích phân 1
0
3 x
I x e dx
Đặt u x x3 du dx x
Trang 2 1 1 1
0
Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A1; 2;1 , B2;1;3 và mặt phẳng ( ) :P x y 2x 3 0 Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)
Đường thẳng AB đi qua điểm A và có VTCPAB1;3; 2 nên có phương trình là:
1
2 3
1 2
Gọi M AB P
1 ; 2 3 ;1 2
0; 5; 1
M
Câu 6 a Tính giá trị của biểu thức P 1 3cos 22 3cos 2 biết sin 2
3
2
cos 2 1 2sin 1 2
b Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 đội của trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn
Chọn 3 đội ngẫu nhiên trong tổng số 25 đội phòng chống dịch cơ động có 3
25
C cách
Suy ra 3
25 2300
n C
Số cách chọn 3 đội sao cho có ít nhất 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở: 3 2
20 20 5 2090
Gọi A là biến cố: ”có ít nhất 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn”
Xác suất của A:
2090
2300
n A
P A
n
Câu 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC
SC SC AC SCA
0
2
AC a
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3 2
a
Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của
Trang 3SB H là trung điểm của AD, N là trung điểm của AO Dựng đường cao HK trong tam giác MHN Ta chứng minh được HK MAC tại K
/ / / /
, , ( ) , ( ) ( , ( )) 2 ( , (MAC)) 2
;
Trong tam giác MHN vuông tại H ta có:
10
a HK
HK MH HN a
,
10
a
d SB AC
Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC, D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD Giả sử H(-5;-5), K(9;-3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0 Tìm tọa độ điểm A
Ta có: MH = MK = 1
2AC (đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng một nữa cạnh huyền)
M thuộc đường thẳng x y 10 0 suy ra M t t ; 10
Ta cóMHCMCH và BD
MCH B MHC D
90
KCD D suy ra MHCKCDMH/ /CK
Đường thẳng AD đi qua K và nhận HM 5;15 là VTPT có pt
5 x 9 15 y 3 0 x 3y0
3 ; 0 0
AAD A y y
2
0 0
0
5
3
y
y
Vậy A15;5 (vì K9; 3 )
Câu 9 Giải phương trình: 2
2
2 8
Điều kiện: x 2 0 x 2
2
2 2
2
2
(*)
2 2
x
x x
(*) x 2 2 x 2 2 x1 2 x 1 2
Đặt a x 2,b x 1 ta được: 2 2
a a b b
Trang 4Xét hàm số 2
'( ) 3 4 2 0
f x x x x R nên f x đồng biến trên R
2
x
Vậy tập nghiệm của phương trình là 2;3 13
2
S
Câu 10 Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [1;3] và thỏa mãn điều kiện a + b + c =6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
2
a b b c c a abc
ab bc ca
2
0
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b b c c a abc a b b c c a abc a b c ab ac bc
11;12
Dấu bằng xảy ra khi t 11 a b c, , 1, 2,3và các hoán vị