TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ LÝ THUYẾT 1... Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần:... CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ LÝ THUYẾT 1... Tổng đại số Một dãy các phép tính cộng, trừ các số hữu tỉ đượ
Trang 1CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ - SỐ THỰC BÀI 1 TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ
LÝ THUYẾT
1 Số hữu tỉ
Các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số, số đó được gọi là số hữu tỉ
* Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số b
a với
Z b
a, ∈
và b≠0 Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là Q (x là số hữu tỉ ghi là: x ∈
Q)
2 Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
Để biểu diễn số hữu tỉ b
a (
Z b
a, ∈
; b > 0) trên trục số ta làm như sau:
- Chia đoạn đơn vị [0; 1] trên trục số thành b phần bằng nhau, mỗi phần là b
1 gọi là đơn vị mới
- Nếu a > 0 thì số b
a
được biểu diễn bởi một điểm nằm bên phải điểm O và cách điểm O một đoạn bằng a lần đơn vị mới
- Nếu a < 0 thì số b
a được biểu diễn bởi một điểm nằm bên trái điểm O và cách điểm O một đoạn bằng
a lần đơn vị mới
Ví dụ: Biểu diễn các số 5
7 , 5
4 , 5
2 −
trên trục số:
- Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x
3 So sánh hai số hữu tỉ
Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta thường làm như sau:
+ Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương:
m
b y
; m
a
x= = (a;b;m∈Z;m>0)
+ So sánh hai số nguyên a và b:
• Nếu a < b thì x < y
• Nếu a = b thì x = y
• Nếu a > b thì x > y
Ví dụ: So sánh 2
1
−
và 5
3
−
6 5
3 5
3 , 10
5 2
1 2
−
−
=
−
=
−
3 2
1 10
6 10
5 6 5
−
>
−
⇒
−
>
−
⇒
−
>
−
Trang 2- Trên trục số, nếu x < y thì điểm x ở bên trái điểm y
- Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương
- Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm
- Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm
* Nhận xét
- Số hữu tỉ b
a
là số hữu tỉ dương
>0 b a nếu a, b cùng dấu
- Số hữu tỉ b
a
là số hữu tỉ âm
<0 b a nếu a, b trái dấu
- Ta có:
(b;d 0) ad bc(b,d 0) d
c b
a > > ⇔ > >
BÀI TẬP
Bài 1 Điền các ký hiệu N, Z,Q vào …; (viết đầy đủ các trường hợp):
a) 2000 ∈
4
∈
7
−
∈ ……
d) −671 ∈
671
−
∈ ……
Bài 2 Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: 4
6
; 6
15
−
; 18
12
−
Bài 3 Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng phân số có cùng mẫu dương:
1
; 70
8
−
−
−
−
và 180
27
−
151515
; 45
18 −
−
và 1111
7777
−
19 x
; 7676
1919 x
; 76076
19019
−
−
=
−
−
=
=
So sánh và viết tập hợp A các số hữu tỉ bằng các số trên
Bài 5 Cho số hữu tỉ b
a khác 0 Chứng minh:
a) Nếu a, b cùng dấu thì b
a
là số dương
b) Nếu a, b trái dấu thì b
a
là số âm
Bài 6 So sánh các số hữu tỉ sau:
a) 40
13
−
và 40
12
−
b) 6
5
−
và 104
91
−
c) 21
15
−
và 44
36
−
d) 30
16
−
và 84
35
−
e) 91
5
−
và 9191
501
−
f)
3
7.7 3
11
−
và
4
4.7 3
78
−
Bài 7 Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần:
Trang 3a) 33
27
; 50
40
; 0
; 9
7
; 4
6
−
−
−
−
−
b)
0
; 33
14
; 20
17
; 37
14
; 3
4
; 19
Bài 8
a) Giả sử
(a,b,m Z,m 0) m
b y
; m
a
và x < y Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn 2m
b a
z= +
thì ta có: y
z
x< <
b) Chứng minh rằng: nếu
(b;d 0) d
c b
a < >
c d b
c a b
+
+
<
c) Tìm 5 số hữu tỉ x sao cho:
i) −1<x<0
1 x 5
4< <−
−
Bài 9 So sánh các phân số sau (không quy đồng mẫu hoặc tử)
a) 1235
1234
và 4320
4319
b) 1244
1234
−
và 4331
4321
−
c) 32
31
−
−
và 32327
31317
d) 1234.1235
1 1235
và 1235.1236
1 1236
Bài 10 Dựa vào tính chất bắc cầu của thứ tự: với x, y, z ∈
Q ta có:
z x z y
y x
<
⇒
<
<
Hãy so sánh:
a) 946
37
−
và 8
1
−
−
b) 1986
1987
−
−
và 1985
1984
−
−
c) 3247
3246
−
và 45983
45984
−
d) 25
24
−
và 27
23
−
e) 12
23
−
và 2
5
−
f) 131
33
−
và 217
53
−
g) 67
22
−
và 152
51
−
h) 91
18
−
và 114
23
−
Bài 11 Tìm
Q
x∈
, biết rằng x là số âm lớn nhất được viết bằng bốn chữ số 1
Bài 12
a) Tìm phân số có mẫu bằng 10; biết rằng giá trị của nó lớn hơn 4
3
−
và nhỏ hơn 5
3
−
b) Tìm x ∈
Z biết: 5
2 x 4
5 5
x < < + c) Tìm hai phân số có mẫu bằng 9, tử là hai số tự nhiên liên tiếp sao cho trên trục số điểm biểu diễn phân số
bằng 7
4
nằm giữa các điểm biểu diễn của hai phân số phải tìm
d) Tìm phân số có tử bằng 9; biết rằng giá trị của nó lớn hơn 13
11
−
và nhỏ hơn 15
11
−
Trang 4Bài 13
a) Cho a, b, n ∈
N* So sánh b n
n a +
+
và b a
b) Cho các số hữu tỉ:
(b,d,n 0) n
m z
; d
c y
; b
a
Biết ad – bc = 1 và cn – dm = 1 i) So sánh các số x; y; z
ii) So sánh y với t, biết b n
m a t +
+
=
(với b + n ≠ 0)
Bài 14 Với giá trị nào của a ∈
Z thì số hữu tỉ x: • là số dương? • là số âm? • là số không âm? • là số không dương?
• không là số dương cũng không là số âm?
7 2a x
−
+
=
b)
2
a
4 a
x= −
9 a x
2
−
+
=
d) a 11
6 a x
−
−
=
Bài 15 Tìm tất cả các số nguyên x để các phân số sau có giá trị là số nguyên:
a)
(x 2) 2
x
1 x
−
+
=
b)
(x 5) 5
x
1 2x
+
−
=
c) 2x 3
9 10x C
−
−
=
d) 2x 3
2 x D
−
−
=
e) 2x 3
4 3x E
−
−
=
f)
(x 7)
7 x
4 4x x F
2
≠
−
−
−
=
BÀI 2 CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ
LÝ THUYẾT
1 Cộng trừ hai số hữu tỉ
Để cộng, trừ hai số hữu tỉ x và y, ta làm như sau:
a) Viết x; y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương (qui đồng mẫu số dương)
(m 0) m
b y
; m
a
b) Thực hiện phép cộng, trừ: (cộng, trừ tử và giữ nguyên mẫu chung)
m
b a m
b m
a y
m
b a m
b m
a y
1 12
8 12
9 3
2 4
3 3
2 8
−
− +
−
24
25 24
16 24
9 3
2 8
3 3
2 8
−
−
* Chú ý
a) Rút gọn các phân số trước khi tính
b) Trong tập hợp Q, phép cộng cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với số 0 như trong tập hợp Z
Ví dụ:
2
3 2
3 0 2
3 5
2 4 5
2 4 5
2 4 2
3 5
2
− +
= +
− +
c) Mỗi số hữu tỉ x đều có một số đối; ký hiệu −x
; sao cho: x+( )−x =0
Trang 5Số đối của b
a
x=
a
x=−
−
a b
a b
a
−
=
−
=
−
nên người ta thường viết các số hữu tỉ âm với dấu trừ trước phân số
3 4
3 4
−
=
−
2 Cộng và trừ số thập phân
Trong thực hành khi cộng, trừ hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân, ta thường cộng theo qui tắc cộng hai số nguyên
Ví dụ:
07 , 2 35 , 1 42 ,
−
3 Tổng đại số
Một dãy các phép tính cộng, trừ các số hữu tỉ được gọi là một tổng đại số Trong tổng đại số các số hữu tỉ,
ta có thể:
a) Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng
b) Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhưng chú ý rằng nếu trước dấu ngoặc là dấu "−"
thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc
Ví dụ:
6
5 5
4 4
3 2
1 6
5 5
4 4
3 2
− +
−
− +
4 Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó
Với x, y, z, t ∈
Q ta có: x + y = z – t ⇒
x + t = z – y
Ví dụ: Tìm x biết: 3
1 4x 7
3 5x− = +
21
16 x
21
9 21
7 x
7
3 3
1 4x 5x
=
+
=
+
=
−
BÀI TẬP
Bài 16 Tính:
6 25
10 4
3
3 +− +−
−
8 5
2 1
4− −
c)
25 , 2 18
5 1 12
−
16 9
4 6 ,
0 −− −
−
1 2 2
1 4
3 3
2
−
1 27
1 9
1 3
1
−
−
+ +
−
−
−
5
1 3
2 6
5 5
1 12
7
−
−
+ +
21
5 13
14 13
27 21
16 2 1
Trang 6i)
+
−
12
1 3 2
1 12
7 7
10 13
8 17
7 13
5 25
11− −− − +
Bài 17 Tính:
1
4 3
1 3 2
1 2
1
1
10 7
1 7 4
1 4 1
1 2 3
1
1997 1998
1 1998
1999
1 1999
2000
−
1
63
1 35
1 15
1 3
1+− +− +− + + −
−
1 6
1
42
1 56
1 72
1 9
1 92 89
1
11 8
1 8 5
1 5 2
1
Bài 18 Tìm x, biết:
a)
4
7 6
7 x 6
−
−
b)
(1,25 x) 2,25 3
1 x 3 2x− = +
d)
3
1 3 1 2x
e)
x 50
1 7 49.50
1
12
1 6
1 2
1
Bài 19 Tìm tập hợp các số nguyên x, biết:
a)
−
−
<
<
+
−
6
1 16
1 48
1 x 4
1 3
1 2
1
b)
−
−
<
≤ +
6
5 8
3 1 36
x 9
8 4 1
Bài 20
a) Tính tổng các phân số lớn hơn 5
3 nhưng nhỏ hơn 10
7
và có mẫu là 30
b) Tính tổng các phân số lớn hơn 6
1 nhưng nhỏ hơn 9
2
và có tử là 2
Bài 21 Tìm các số nguyên x, y biết rằng:
y 3
1 x
3+ =
b)
2
1 y
1 6
x
=
−
1 6
y 2x
3 + =
Bài 22 Cho phân số n 3
1 2n A
−
−
=
a) Tìm số nguyên n để A có giá trị nguyên
b) Tìm số nguyên n để A có giá trị lớn nhất
Bài 23 Cho phân số 2n 3
7 6n B
+
+
= a) Tìm số nguyên n để B có giá trị nguyên
b) Tìm số nguyên n để B có giá trị nhỏ nhất
Trang 7Bài 24
1
13
1 12
1 11
1
Chứng minh rằng C không phải là số nguyên
b) Cho
( )
+ + + + +
=
2 n n
1
35
1 15
1 3
1 2 D
với
*
N
n∈ Chứng minh rằng D không phải là số nguyên
2 9
2 7
2 5
1 4
1 3
1
Chứng minh rằng E không phải là số nguyên
Bài 25 Cho 100 số hữu tỉ bất kỳ, trong đó 3 số nào bất kỳ cũng có tổng là một số âm
a) Chứng minh rằng tổng của 100 số đó là một số âm
b) Có thể khẳng định rằng tất cả 100 số đó đều là số âm không?
BÀI 3 NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ
LÝ THUYẾT
1 Nhân hai số hữu tỉ
Tích của hai số hữu tỉ d
c y
; b
a
được xác định như sau:
bd
ac d
c b
a
với
0 d
b, ≠
* Chú ý:
a) Thu gọn kết quả trong quá trình nhân
b) Khi nhân nhiều số hữu tỉ thì kết quả:
- Có dấu “+” nếu số thừa số âm chẵn
- Có dấu “+” nếu số thừa số âm lẻ c) Khi nhân hai số thập phân, trong thực hành ta áp dụng theo qui tắc nhân hai số nguyên
Ví dụ:
( )
80
21 10
2 4
7 1 3 10
7 2
1 4
−
−
( 1,25) ( ) 6 0,9
12 ,
−
2 3 4
3 4 2 5 2
3 3
4 2 4
5 5 , 1 3
1 1 25 ,
−
−
−
=
−
−
−
2 Tính chất của phép nhân trong Q
Trong tập hợp Q, phép nhân cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, nhân với 1 như trong tập hợp Z
* Chú ý
a)
Q x 0, 0.x
b) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
Q z y,
∀
; ta có:
(y z) xy xz yx zx (y z)x
(y z) xy xz yx zx (y z)x
Áp dụng:
Đặt thừa số chung: xa−xb+xc=x(a−b+c)
Ví dụ:
Trang 8Tính:
1 2 2
1 1 3
8 3
1 2
1 1 2
1 3
8 2
1 3
1 2
1 2
1 3
2 2 2
1 3
1 2
+ −
=
− +
=
− +
3 Chia hai số hữu tỉ
Với
(y 0) d
c y , b
a
ad c
d b
a d
c : b
a y :
Ví dụ:
12
1 9 4
1 3 9
1 4
3 9 : 4
−
−
=
−
−
* Chú ý
a) Mỗi số hữu tỉ y ≠ 0 đều có một số nghịch đảo là
y
1
=1 y
1 y
Số nghịch đảo của b
a
là a
b (với
0 b
a, ≠
)
b) Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ≠ 0 gọi là tỉ số của hai số x và y; Ký hiệu là
y x
hay y
:
x
Ví dụ: Tỉ số của hai số
2 , 0
−
và 1,25 viết là
1,25
0,2
− hay
25 , 1 : 2 , 0
− c) Chia hai số thập phân:
y x y :
nếu x, y cùng dấu
(x.y)
y :
x =−
nếu x, y khác dấu
4 Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số
z
y z
x z
y x 0;
z Q;
y
∀
y z
x z
y
x− = −
BÀI TẬP
Bài 26 Tính:
a)
25 , 0 3
2
−
−
b)
−
−
−
5
2 2 15
7 4 15
c)
5
2 14
1 1 11
9 5
1
−
−
−
d)
−
−
−
−
3
2 3
2 2
1 2
1 5
e)
−
+
−
−
4
3 5
2 5
3 15
8 4
1
1
f)
( ) ( ) ( 0,25)
9
8 16 125 ,
−
−
−
5 4
1 3
2 1 4
1 2 8
h)
1 , 4 5 , 7 1 , 4 5 , 3 1 ,
1 1998
5 7
3 1 1998
1 7
2 1998
j)
5
4 : 7
4 3
1 5
4 : 7
3 3
2
− + +
− +
Trang 9k)
− +
−
3
2 15
1 : 9
5 22
5 11
1 :
9
5
l)
11
5 38
49 : 49
38 : 11
2 5 49
38 : 11
9 13
m)
+
48
28 18
49 54
35 35
18 30
11
125 : 23
70 56
13 39
23 −
−
o)
2
9 25
2001 4002
11 2001
7 : 34
33 17
193 386
3 193
2
Bài 27 Tính:
a)
−
−
−
−
9
4 1 : 9
2 2 14
:
13
7
b)
− +
21
4 24 21
8 25 : 5 3
2 7 3
c)
+
−
−
4
9 8
5 5
1 1 : 4
1 3
5
−
− +
4
9 4
1 3
5 8
5 : 5
1 1
− +
−
2
1 1 : 1 2 : 1 1
− +
− +
+
3 1
2 3 : 1 2 : 3 1 : 2 3
2 3
1 2
2 1
2 3
+ +
− + +
2 1
2 1
2 1
2 1
− +
− +
−
Bài 28 Tìm x biết:
1 20
7 x 5
2 10
−
1 x : 2
1 3
7 8
5 x : 3
−
3 x 2
1 3 2
1 2 x 2
1 x 2
1 5
2 x
3
f)
(x 1) 0 5
2 x 3
g)
(2x 1) 5 2
1 2
3 x 3
1 3
−
−
h)
3
x 90
61 8
3 x 9
7 15
+
−
i)
3
1 2x 1
− + +
j)
0 2
1 2x 2 2
1 2x
− +
−
2018 x
3
2017 x
4
2016 x
5 2015
Trang 10l)
8
2018 x
7
2017 x
6
2016 x
5
2015