Giáo trình phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

Sự tồn tại giá trị riêng đối với bài toán biên Sturm-Liouville của phương trình vi phân cấp hai ...71... Phân loại phương trình đạo hàm riêng Tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến

đại học huế trung tâm đào tạo từ xa

Mục lục

Lời nói đầu 5

Phần A: phương trình vi phân 6

Chương I: các khái niệm cơ bản cách giải các phương trình Cấp một và cấp hai đơn giản 6

Đ1 các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân 6

Đ2 cách giải một số phương trình vi phân cấp một 10

Đ3 cách giải một số phương trình vi phân cấp cao đơn giản 22

Chương II: sự tồn tại và duy nhất nghiệm 28

Đ1 bổ sung về không gian mêtric 28

Đ2 sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân 30

Đ3 Sự thác triển nghiệm 32

Đ4 các định lí về sự tồn tại nghiệm và sự duy nhất nghiệm 33

Chương III – hệ phương trình vi phân tuyến tính 39

Đ1 các khái niệm cơ bản 39

Đ2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 42

Đ3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 46

Đ4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 48

Đ5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 53

Chương IV: Phương trình tuyến tính cấp hai 66

Đ1 Các định lí so sánh 66

Đ2 Sự tồn tại giá trị riêng đối với bài toán biên Sturm-Liouville của phương trình vi phân cấp hai 71

Phần B: phương trình đạo hàm riêng 74

Chương I – Nhập môn Phân loại phương trình 74

Đ1 Các định nghĩa và ví dụ 74

Đ2 Phương trình đạo hàm riêng cấp một 78

Đ3 Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính cấp m

Khái niệm đặc trưng 82

Đ4 Phân loại phương trình đạo hàm riêng Tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến 84

Đ5 Phân loại phương trình đạo hàm riêng Tuyến tính cấp hai trong trường hợp nhiều biến 90

Chương II: Phương trình loại elip 94

Đ1 Phương trình laplace và hàm điều hoà 94

Đ2 Các tính chất của hàm điều hoà 99

Đ3 Bài toán Dirichlet 103

Đ4 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền bị

chặn Ω 110

Đ5 bài toán dirichlet trong hình tròn 114

Chương III: Phương trình loại Hyperbol 118

Đ1 Bài toán cauchy của phương trình truyền sóng và định lí duy nhất nghiệm 118

Đ2 Công thức nghiệm của bài toán cauchy đối với phương trình truyền sóng 121

Đ3 Phương pháp hạ thấp 126

Đ4 Bài toán hỗn hợp 128

Đ5 Phương pháp tách biến để giải bài toán hỗn hợp 131

Chương IV: Phương trình loại parabol 135

Đ1 Nguyên lí cực trị trong miền bị chặn đối với phương trình truyền nhiệt 135

Đ2 Nguyên lí cực trị trong miền không bị chặn đối với phương trình truyền nhiệt 137

Đ3 Công thức Poission đối với phương trình truyền nhiệt 139

Hướng dẫn giải bài tập 143

Phần A 143

Chương I 143

Chương II 145

Chương III 146

Chương IV 151

Phần B 152

Chương I 152

Chương II 153

Chương III 154

Chương IV 155

Lời nói đầu

Phương trình vi phân (vi phân thường và đạo hàm riêng) là một trong các công cụ cơ bản để nghiên cứu các vấn đề về khoa học tự nhiên, khoa học kĩ thuật và khoa học xã hội

Do vậy, phương trình vi phân trở thành một bộ môn quan trọng ở bậc Đại học không chỉ đối với ngành Toán mà còn đối với các ngành kĩ thuật

Giáo trình này được biên soạn dựa trên bài giảng đã dạy nhiều năm cho sinh viên khoa Toán – ĐHSP Huế Chúng tôi có bổ sung thêm nhiều ví dụ minh hoạ, nhiều chứng minh chi tiết cũng như phân định một số phần dành cho đọc thêm để phù hợp cho đối tượng là học viên từ xa

Nội dung giáo trình chia làm hai phần :

Phần A : Phương trình vi phân

Phần B : Phương trình đạo hàm riêng

Để học tốt giáo trình này, sinh viên cần nắm vững các kiến thức về giải tích cổ điển, hàm biến

số phức, không gian mêtric và đại số tuyến tính

Chúng tôi chân thành cảm ơn các cán bộ giảng dạy Tổ Giải tích khoa Toán ĐHSP Huế đã nhiệt tình đóng góp cho việc biên soạn giáo trình này

Chúng tôi mong được bạn đọc góp ý kiến về những thiếu sót cho lần biên soạn này Xin chân thành cám ơn

Tác giả

Đ1 các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân

Phương trình vi phân (PTVP) là phương trình có chứa biến độc lập, hàm phải tìm (hàm ẩn) và các đạo hàm (hay vi phân) của nó

Trong PTVP, nếu ẩn hàm là hàm một biến, ta có phương trình vi phân thường (nói gọn là

PTVP) Nếu ẩn hàm là hàm của nhiều biến, ta có phương trình đạo hàm riêng

Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình

Ví dụ a) PTVP cấp 1 ; b) PTVP cấp 2 ; c) PTĐHR cấp 2

(2) gọi là PTVP cấp n giải được đối với đạo hàm

Nói riêng PTVP cấp một có dạng: F x y y′ =( , , ) 0hay

( , )

y′ = f x y

Nghiệm của phương trình (1) hay (2) là hàm

y = + + C x + C , trong đó C1, C2 là hai hằng số bất kì

Nói chung, nghiệm của (1) hay (2) là hàm phụ thuộc vào n hằng số tuỳ ý C C1, 2, ,C n :

1 2

( , , , , )

Trong PTVP, người ta thường gặp bài toán sau đây, gọi là bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy đối với PTVP cấp một :

trong đó x y y, 0, 01,y02, ,y0,nư1 là các giá trị cho trước

Các loại nghiệm của PTVP

y f x y y y n

0 01 02 0, 1

( ,x y y, ,y ; ,y n ) G R n bài toán (4) có nghiệm duy nhất, khi đó:

+ Hàm y = ϕ( , , , ,x c c1 2 c n) phụ thuộc n hằng số gọi là nghiệm tổng quát (NTQ)

của (2) nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau đây :

1, 2, , n

c c c

α ) Từ hệ

1 1

( 1) ( 1)

1

( , , , )( , , , )

+ Nếu nghiệm của (2) tồn tại dưới dạng φ( , , , ,x y c1 c n) = và thoả mãn hai điều kiện α ) và 0 β)

thì φ( , , , ,x y c1 c n) =0 gọi là tích phân tổng quát của (2)

+ Nếu y = ϕ( )x của (2), mà tại mỗi điểm trên đồ thị của nó bài toán Cauchy (4) có lời giải

duy nhất, gọi là nghiệm riêng (NR)

Nghiệm y = ϕ( )x của (2) có được từ nghiệm tổng quát với các giá trị xác địnhc i =c i i0, = n 1,

sẽ là nghiệm riêng

+ Nghiệm của (2), y = ϕ( )x , mà tại mọi điểm trên đồ thị của nó, tính duy nhất nghiệm của

bài toán Cauchy bị phá vỡ, gọi là nghiệm kì dị (NKD)

Giải một PTVP là tìm tất cả các nghiệm của nó Nếu cho thêm điều kiện đầu thì tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện đó

Ví dụ cơ học dẫn đến PTVP 1

Bài toán. Một chất điểm có khối lượng m chuyển động theo trục Ox dưới tác dụng của một

lực là hướng về gốc toạ độ Hãy tìm qui luật chuyển động của chất điểm đó, biết rằng

Theo định luật Newton ta có

2 2

để tìm x(t), một phương trình vi phân cấp hai theo ẩn hàm x(t)

Dễ kiểm chứng rằng x t( ) =C1cosω +t C2sinωt

Mặt khác v dx C1 sin t C2 cos

dt

= = − ω ω + ω ωt , nên khi t = 0 ta có v0 = C2ω Vậy quy luật chuyển động của chất điểm có dạng :

0 0

x t = x ω +t

Ngoài ra nếu y = b là nghiệm của N1(y) = 0 (hay x = a là nghiệm của M2(x) = 0 )) thì nó cũng

là nghiệm của phương trình (2) Tuỳ trường hợp nghiệm này có thể là nghiệm riêng hay nghiệm kì

Tìm đường cong tích phân đi qua điểm (0, 1)

Điều kiện để phương trình (*) có nghĩa là : ( , )x y ∈[0,1]2

Với x ≠ ±1,y≠ ±1 thì (*) trở thành :

XÐt y = ± − < <1( 1 x 1), ®©y lµ nghiÖm k× dÞ cña ph−¬ng tr×nh

ThËt vËy, ch¼ng h¹n ®−êng cong tÝch ph©n y = 1, t¹i ®iÓm (0 ; 1) cã hai ®−êng cong tÝch ph©n

C¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt :

= vµo ta ®−îc tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (1)

NÕu z = z0 lµ nghiÖm cña ϕ( )z − =z 0 th× y = z x0 còng lµ nghiÖm cña (1) NghiÖm nµy cã thÓ lµ nghiÖm k× dÞ hoÆc nghiÖm riªng

VÝ dô. Gi¶i ph−¬ng tr×nh :dx y

§iÒu kiÖn y 0

x ≥ NÕu y 0

x ≥ §Æt y = zx Ph−¬ng tr×nh (*) trë thµnh

.+ =

Có thể đưa được về phương trình thuần nhất

– Nếu c =c′=0 thì (2) là phương trình thuần nhất

– Nếu c hay c′ ≠0, D = a b 0

a b ≠

′ ′ thì ta dùng phép biến đổi :

1 1

NÕu q x( ) ≡ 0 th× (1) cã d¹ng y′ + p x( ) =0, gäi lµ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt

NÕu , th× (1) gäi lµ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt q(x) 0

C¸ch gi¶i §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh (1) ta thùc hiÖn hai b−íc :

B1 : Gi¶i ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t−¬ng øng

1 1

ln y = −∫p x dx( ) + ln C , C ≠0

( ) 1

p x dx

y = C e−∫

y = 0 còng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2) (nghiÖm riªng), nghiÖm nµy ®−îc ghÐp vµo (3) øng víi C = 0

VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (2) lµ :

( )

p x dx

y = Ce−∫ , C : lµ h»ng sè bÊt kú

B2 : Biến thiên hằng số để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1)

Ta tìm nghiệm của (1) dưới dạng y =C x e( ) ư∫p x dx( ) trong đó C(x) là hàm cần xác định để

Trong trường hợp tổng quát, xuất hiện hai vần đề :

1) Khi nào thì (1) là phương trình là vi phân toàn phần

2) Xác định tích phân của nó

Ta giả thiết rằng M N, ∈C1(G), trong đó G là một miền đơn liên trong 2

Ta có định lí sau đây (được chứng minh trong phần tích phân đường)

Điều kiện cần và đủ để (1) là phương trình vi phân toàn phần là :

Giải phương trình đạo hàm riêng này rất phức tạp Tuy nhiên nếu :

+ à à= (x) chỉ phụ thuộc vào x Khi đó (4) trở thành :

Thö l¹i : Nh©n hai vÕ cña (5) víi 12

x

µ = ta ®−îc:

2 2

2

2 3

Nếu xem p là biến độc lập, x là hàm của p thì (2) là phương trình tuyến tính Giải (2) ta được

Ngoài ra nếu ϕ( )p i ư p i =0 thì y = p x i + Ψ( )p i cũng là nghiệm của (1) Tuỳ trường hợp, các

nghiệm này có thể là nghiệm riêng hay nghiệm kì dị

Vậy nghiệm kì dị của phương trình Lagrange, nếu có là các đường thẳng

C x

1 2

Ψ ) lµ hµm tuyÕn tÝnh th× (1) lµ mét ph−¬ng tr×nh t¸ch biÕn

Đ3 cách giải một số phương trình vi phân cấp cao đơn giản

1 2

( )

n n

( )

( )

( , , , )( , )

f z dz C dz

f z dz C

n n

1

( , )( ), : h»ng sè

Chứng minh rằng mỗi nghiệm của phương trình đó dần đến không khi t → + ∞

1.7. Giả sử trong phương trình của bài toán 6 ta có a t( )≥ >c 0 và x t là nghiệm thoả mãn 0( )

điều kiện ban đầu x(0) = b Chứng minh rằng ∀ε > 0,∃δ > 0 sao cho nếu thay f bởi f1 và b bởi b1

Chương II

sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Đ1 bổ sung về không gian mêtric 1.1 Các định nghĩa

Cho X là không gian mêtric, và A: X → X

Điểm x ∈ gọi là điểm bất động của ánh xạ A nếu Ax = x X

i n

d x x

d x x d x x ).

Giả sử y cũng là điểm bất động của A, tức là Ay = y ta có :

( , ) ( , ) ( , )

d x y = d Ax Ay ≤ αd x y

hay d x y( , )(1− α ≤) 0 với α ∈[0,1] Điều này chỉ xảy ra khi x = y

Vậy A có điểm bất động duy nhất

Đ2 sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

R = x ư a x + a ì y ư b y + b a b > và f thoả mãn điều kiện Lipschitz theo y trong

R, tức là tồn tại K > 0 sao cho :

f x y f x y K y y x y x y R

Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm y = ϕ( )x của phương trình (2.1), liên tục trên

[x0 ư h x, 0 + h] [⊂ x0 ư a x, 0 + a] và thoả mãn điều kiện đầu (2.2)

vi trên một đoạn chứa [x0 ư h x, 0 + h] và y x( ) = y(x), ∀ ∈x [x0 ư h x, 0 + h]

Thật vậy, trước hết ta kéo dài nghiệm về phía bên phải điểm x0 + h = x1 Giả sử tại x1 nghiệm

Ta có R1 ⊂ vì vậy trong R R 1 có thể áp dụng định lí Picard, nên bài toán (2.1), (2.2) tồn tại duy nhất

Rõ ràng y là nghiệm của (2.1) – (2.2) Nếu y chưa đạt đến biên của R thì bằng cách tương

tự, ta có thể lập nghiệm kéo dài tiếp theo cho đến lúc nào nghiệm kéo dài đến tận biên của R

Cách kéo dài nghiệm về phía bên trái điểm x2 = x0 ư cũng được tiến hành tương tự h

Đ4 các định lí về sự tồn tại nghiệm và sự duy nhất nghiệm

( Dành cho sinh viên đọc thêm)

Trong phần này, với các giả thiết yếu hơn định lí Picard, ta sẽ

chứng minh về các định lí về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

0 0

( , )( )

sao cho với mọi

n g r a i N và (gn) hội tụ đều

trên [a, b] Thật vậy, với mọi ε >0, do (gn) liên tục đồng bậc nên tồn tại δ > 0 sao cho

Theo tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, dãy (gn) hội tụ đều trên [a, b]

4.2 Định lí tồn tại nghiệm của Peano

a) Đường gấp khúc ứng với phép phân hoạch P

Xét đoạn I =[ ,x x0 0 + a a], 0, gọi P = {x x0, 1, ,x n} là phép phân hoạch của

0 0

( , )( )

khi x − x1 < δ , tức là h liên tục tại x1 Định lí đ−ợc chứng minh

4.3 Định lí duy nhất nghiệm

Định lí 3 Giả sử (x0,y0)∈R2, a,r và D nh− trong ĐL2; f thoả mãn điều kiện Lipschitz theo y trên

D, tức là tồn tại K > 0 sao cho f x y( , 1)− f x y( , 2) ≤ K y1 − y2 với mọi ( , ),( ,x y1 x y2)∈ Khi D

đó nghiệm của bài toán (3), nếu tồn tại, là duy nhất

Chứng minh Gọi ϕ ϕ1, 2 là hai nghiệm của (3) – (4) Đặt ψ = ϕ − ϕ1 2 ta có ψ(x0) =0 và

Chọn n∈N sao cho Ka < n và chia I thành n đoạn con:

ψ

Ta có (x m m 1a

n

−+

ψ ) =0 và tồn tại x m∈ sao cho I m

0 0

ψ (ξ)ψψ

Theo nguyên lí quy nạp thì ϕ = ϕ1 2 trên I

Thật ra, ta còn có mệnh đề tổng quát hơn ĐL3 nh− sau : Giả sử ⊂ 2

2.2. Chứng minh rằng nếu hàm thực f khả vi trên [x0, x0 + a] (a > 0),

f(x0) = c, thì f(x) = c, ∀ ∈x [ ,x x0 0 + a]

2.3. Xét phương trình y′ = f x y( , ), giả sử f và f y′ liên tục trên R và 2 f y′( , )x y ≤ k x( ) trong đó

k là hàm liên tục Chứng minh rằng với điều kiện đầu cho trước y x( 0)= y , nghiệm của phương 0

trình tồn tại trên khoảng (x0, + ∞)

2.4. Giả sử f : R → R liên tục và f(x,.) là hàm không tăng với mỗi x2 ∈R Chứng minh nếu

hai nghiệm y1, y2 của phương trình y′ = f x y( , ) thoả mãn y x1( 0)= y x2( 0), thì y x1( )= y x2( ) với mọi x ≥ x0

2.5 Cho phương trình y′ = f x f x1( ) ( )2 , trong đó f f liên tục trên 1, 2 D =[ , ]a b ì[ , ]c d Chứng

0 0

( ,x y )∈R có một và chỉ một đường cong tích phân của phương trình đi qua

f x y y y dx

dy

f x y y y dx

dY

F x Y dx

(a, b), Y(x) v¹ch nªn mét ®−êng cong trong U, gäi lµ ®−êng cong tÝch ph©n cña hÖ (1.1) hay (1.2)

phụ thuộc n hằng số bất kì c1, c2, …, c n sao cho

α) Với mọi (x, y1, y2, …, y n ) ∈ U từ hệ (1.4) có thể giải đ−ợc các

c i = ψ(x, y1, y2, …, y n ) , i = 1, n (1.5)

β) Hệ (1.4) thoả mãn (1.1) với mọi giá trị của các hằng số c i , i = 1, n, nhận đ−ợc từ (1.5)

Nghiệm riêng của (1.1) là nghiệm mà tại mỗi điểm của nó bài toán Cachy tồn tại duy nhất

Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm Y = Y(x) của bài toán (1.2) – (1.3)

xác định trong khoảng (x0 – h, x0 + h) ⊂ (x0 – a, x0 + a)

n

x x h i

f t y t dt , i = 1, n là ánh xạ co từ C′ vào C′ Khi đó theo nguyên lí

ánh xạ co, bài toán (1.2) – (1.3) tồn tại duy nhất nghiệm

Chú ý. Điều kiện (β) của định lí có thể đ−ợc thoả mãn nếu i

j

f y

∂

′

∂ , i, j = 1, n bị chặn trên H

§2 HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt

dx

dy dx

c¸c a ij , f i lµ c¸c hµm liªn tôc trªn (a, b)

NÕu c¸c f i = 0(i = 1, n), ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt

( ) ( )

n i

DÔ dµng kiÓm chøng c¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña L

α) L[Y1 + Y2] = L[Y1] + L[Y2]

β) L[cY] = cL[Y], c lµ h»ng sè phøc hay thùc

Với các giả thiết a ij , f i liên tục trên (a, b), thì rõ ràng trong đoạn bất kì [α, β] ⊂ (a, b), các điều

kiện của định lí tồn tại duy nhất nghiệm được thoả mãn và hệ (2.1) tồn tại duy nhất nghiệm thoả

mãn điều kiện đầu Y(x0) = Y0 = (y10, y20, …, y n0) Một số đặc điểm của hệ phương trình vi phân

tuyến tính là nghiệm này tồn tại và duy nhất trên (a, b) (xem chứng minh [1])

2.2 Không gian nghiệm và hệ nghiệm cơ bản

2.2.1 Định nghĩa 1 Các vectơ hàm Y1, Y2, …, Y m gọi là độc lập tuyến tính trên (a, b) nếu :

( )

1

m

i i i

0

m

i i i

Định lí 1 Nếu Y1, Y2, …, Y n phụ thuộc tuyến tính trên (a,b) thì W(x) = 0,

với mọi x ∈ (a, b)

Chứng minh Theo giả thiết tồn tại các hằng số α1, …, αn không đồng thời bằng không sao cho :

( )

1

0

i i i

Chứng minh Giả sử tồn tại x0 ∈ (a, b) sao cho W(x0) = 0

Xét hệ 0 , hệ tồn tại nghiệm không tầm thường α

ta suy ra Z = 0 Vậy Y1, … , Y n phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả Giả sử Y1, Y2, …, Y n là nghiệm của hệ (2.1) :

1) Nếu tồn tại x0 ∈ (a, b), W(x0) ≠ 0 thì W(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b)

2) Y1, Y2, …, Y n độc lập tuyến tính trên (a, b) ⇔ W(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b)

Định lí 3 Tập N các nghiệm của hệ (2.1) là một không gian tuyến tính n chiều (trên trường số