Chuyên đề Lim có loi giai

Chuyên đề Lim có loi giai tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực ki...

Hiện tại trên mạng đang rao bán lại tài liệu của Tôi với giá 600k

khá cao, họ mua lại của Tôi và bán lại giá cao quá, đây là tài liệu

của Tôi, bạn nhầm lẫn mua lại tài liệu giá cao thì thiệt thòi cho

bạn, Tôi chia sẻ giá rẻ bèo chủ yếu góp vui thôi

Tôi làm tài liệu này gồm các chuyên đề toán 11 có giải chi tiết, cụ

thể, bạn chỉ lấy và dạy, tài liệu gồm rất nhiều chuyên đề toán 11,

lượng file lên đến gần 3000 trang ( gồm đại số và hình học ) bạn

nào muốn tài liệu của Tôi thì nạp thẻ cào Vietnam Mobile giá 100

ngàn, rồi gửi mã thẻ cào + Mail, gửi qua số điện thoại

0169 763 7278 rồi tôi gửi tài liệu cho bạn, chủ yếu góp vui thôi…

Tiến sĩ Hà Văn Tiến Xin Giới Thiệu Chuyên Đề Giới Hạn MỤC LỤC PHẦN I – ĐỀ BÀI 3

GIỚI HẠN DÃY SỐ 3

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 3

B – BÀI TẬP 3

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 3

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 6

GIỚI HẠN HÀM SỐ 13

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 13

B – BÀI TẬP 14

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 14

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 16

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH   21

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 25

DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC 27

HÀM SỐ LIÊN TỤC 30

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 30

B – BÀI TẬP 30

DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 30

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH 34

DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 38

ÔN TẬP CHƯƠNG IV 39

PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI 47

GIỚI HẠN DÃY SỐ 47

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 47

B – BÀI TẬP 47

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 47

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 52

GIỚI HẠN HÀM SỐ 73

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 73

B – BÀI TẬP 73

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 73

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 80

DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH   89

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 99

DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC 103

HÀM SỐ LIÊN TỤC 110

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 110

B – BÀI TẬP 110

DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 110

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH 117

DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 124

ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV 126

PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ

thì a  0 và lim u n  a

c) Nếu u n v n,n và lim vn = 0

thì lim un = 0

d) Nếu lim un = a thì limu n  a

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1

1

u q

 q 1

1 Giới hạn đặc biệt:

lim n  limn k  (k ) limq n (q1)

neáu a v neáu a v

 d) Nếu lim un = +, lim vn = a thì lim(un.vn) = 0

0

neáu a neáu a

 Để chứng minh limu n l ta chứng minh lim( u n l) 0

 Để chứng minh limu n   ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n M

sao cho u n M  n n M

 Để chứng minh limu n   ta chứng minh lim(u n) 

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Câu 1 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu n  , thì limu n   B Nếu limu n  , thì limu n  

C Nếu limu n 0, thì limu n 0 D Nếu limu n  a, thì limu n a

Câu 2 Giá trị của lim 1

1



n bằng:

n bằng:

Câu 14 Giá trị của

21lim

bằng:

Câu 19 Giá trị của lim 0

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI

 Khi tìm limk f n( )m g n( ) trong đó lim ( )f n lim ( )g n   ta thường tách và sử dụng

phương pháp nhân lượng liên hơn

+ Dùng các hằng đẳng thức:

;

a b a b  a b a b a  ab b  a b

 Dùng định lí kẹp: Nếu u n v n,n và lim vn = 0 thì lim un = 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa

cao nhất của tử và của mẫu

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử

và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

Câu 1 Cho dãy số  u n với

Câu 3 Giá trị của lim2 1





n n B

n là:

A  B  C 3

Câu 7 Chọn kết quả đúng của

1

n n

bằng :

n n

Câu 32 Cho các số thực a,b thỏa a 1;b 1 Tìm giới hạn

Câu 46 Giá trị đúng của lim   1 1

2





n B

Câu 61 Tính giới hạn của dãy số 2

1

q q

Câu 62 Tính giới hạn của dãy số 2

n u

Câu 72 Tìm limu biết n

2

1 1 khi 0( )

c x

0

1lim

x  x ;

0

1lim

0

lim ( )lim ( ) ( )

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM

Phương pháp:

+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số

+ Nếu f x là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng ( ) f x( )0

+ Nếu f x cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái ( )

bằng giới hạn phải)

Câu 1 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của

5 1

Câu 12 Tìm giới hạn hàm số

2

3 1lim

4lim

A  B  C 3 3 9

4 2 D 23 5

Câu 26 Tìm giới hạn hàm số

3 1

Q x với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu

2 1lim

ax A

3 2lim

1 1lim

Câu 22 Tìm giới hạn

2

3 2

Câu 33 Tìm giới hạn

3 4

2lim

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x

– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lƣợng

a x a x a

nxlà:

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC

Phương pháp:

1 Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương

2 Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn

Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đưa về

1lim

1)

x

1lim

tan 2lim

sin 2limsin 3





x

x D

x :

9

sin 2limsin 3





x

x D

lim ( )



x x f x với f(x0) và rút ra kết luận

2 Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

 Hàm số đa thức liên tục trên R

 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x 0 Khi đó:

 Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0

 Hàm số y = ( )

( )

f x

g x liên tục tại x0 nếu g(x0)  0

4 Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0.

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b)

Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] Đặt m =

k x x liên tục tại xx0 khi và chỉ khi

0

lim ( )

x x f x k

 Hàm số 0

0

( ) khi ( ) khi

g x x x liên tục tại xx0 khi và chỉ khi

f x x Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f x liên tục tại x2

(II) f x gián đoạn tại x2

(III) f x liên tục trên đoạn 2; 2

Câu 7 Cho hàm số   sin 55 0

( )

1 khi 44

f x

x

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục tại x4

B Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhƣng gián đoạn tại x4

C Hàm số không liên tục tại x4

B Hàm số liên tục tại mọi điểm

C Hàm số không liên tục tại x1

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục tại tại x1và x 1

B Hàm số liên tục tại x1, không liên tục tại điểm x 1

C Hàm số không liên tục tại tại x1và x 1

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục tại tại tại x0  1

B Hàm số liên tục tại mọi điểm

C Hàm số không liên tục tại tại x0  1

D Tất cả đều sai

Câu 15 Cho hàm số 3

3

khi 0( )

B Hàm số liên tục tại mọi điểm nhƣ gián đoạn tại x0 0

C Hàm số không liên tục tại x0 0

D Tất cả đều sai

Câu 16 Cho hàm số

31 khi 11

( )1 khi 13

f x

x

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục tại x1

B Hàm số liên tục tại mọi điểm

C Hàm số không liên tục tại tại x1

B Hàm số liên tục tại mọi điẻm

C Hàm số không liên tục tại x0 2

( )

( 2)

khi 13

f x

a x

x x

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH

Phương pháp:

+ Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

+ Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia

x liên tục với mọi x1

 II f x sinx liên tục trên

 II f x  gián đoạn tại x 3

 III f x  liên tục trên

C Chỉ  I và  III D Cả  I , II , III đều đúng

Câu 4 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 I f x x5 –x21 liên tục trên

 II  

2

11





f x

x

liên tục trên khoảng –1;1

 III f x  x2 liên tục trên đoạn 2;

A Chỉ  I đúng B Chỉ  I và  II C Chỉ  II và  III D Chỉ  I và  III

Câu 5 Cho hàm số  

, 0 9 , 03

x x

Câu 6 Cho hàm số

65

1)

x x

f .Khi đó hàm số y f x  liên tục trên các khoảng nào sau đây?

B Hàm số liên tục tại mọi điểm

C Hàm số không liên tục trên 2 :

D Hàm số gián đoạn tại điểm x2

Câu 8 Cho hàm số

3

3

1 khi 11

( )

khi 12

f x

x

x x

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục trên

B Hàm số không liên tục trên

C Hàm số không liên tục trên 1:

D Hàm số gián đoạn tại các điểm x1

Câu 9 Cho hàm số   tan , 0 2 ,

, 0 11

A f x  liên tục trên B f x  liên tục trên \ 0 

C f x  liên tục trên \ 1  D f x  liên tục trên \ 0;1 

Câu 14 Cho hàm số f x( )2sinx3tan 2x Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục trên B Hàm số liên tục tại mọi điểm

f x

a khi x

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục trên B Hàm số không liên tục trên

C Hàm số không liên tục trên 1: D Hàm số gián đoạn tại các điểm x1

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục trên B Hàm số không liên tục trên

C Hàm số không liên tục trên 0; D Hàm số gián đoạn tại các điểm x0

Câu 17 Cho hàm số 3

2 1 khi 0( ) ( 1) khi 0 2

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục trên B Hàm số không liên tục trên

C Hàm số không liên tục trên 2; D Hàm số gián đoạn tại các điểm x2

Câu 18 Cho hàm số

2

2 1 khi 1( )

x x Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A Hàm số liên tục trên B Hàm số không liên tục trên

C Hàm số không liên tục trên 2; D Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1

Câu 19 Xác định a b, để các hàm số   sin khi 2

10

20

DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp :

 Để chứng minh phương trình f x( )0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y f x( ) liên

tục trên D và có hai số a b, D sao cho f a f b( ) ( )0

 Để chứng minh phương trình f x( )0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y f x( ) liên tục trên D

và tồn tại k khoảng rời nhau ( ;a a i i1) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho f a( ) (i f a i1)0

Câu 1 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I f x  liên tục trên đoạn  a b; và f a f b    0 thì phương trình f x 0 có nghiệm

II f x  không liên tục trên  a b; và f a f b    0 thì phương trình f x 0 vô nghiệm

A Chỉ I đúng B Chỉ II đúng C Cả I và II đúng D Cả I và II sai

Câu 2 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

 I f x  liên tục trên đoạn  a b; và f a f b    0 thì tồn tại ít nhất một số c a b; sao cho f c 0

 II f x  liên tục trên đoạn a b;  và trên b c;  nhưng không liên tục  a c;

A Chỉ  I B Chỉ  II

C Cả  I và  II đúng D Cả  I và  II sai

Câu 3 Cho hàm số f x x3–1000x20,01 Phương trình f x 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các

khoảng sau đây?

I 1;0 II  0;1 III  1; 2

A Chỉ I B Chỉ I và II C Chỉ II D Chỉ III

ÔN TẬP CHƯƠNG IV Câu 1 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?

45

18

L

Câu 20 lim 4

1

n n

10 2

n n

 có giá trị là bao nhiêu?

Câu 28 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A

2

2

25

Câu 34 Tổng của cấp số nhân vô hạn 1 1; ; ; 1 1;

2 6 2.3n có giá trị là bao nhiêu?

; ; ; ;

n n

1 11; ; ; ; ;

n n

5 5

n

n u

n n





Câu 41 Trong các giới hạn sau đâu, giới hạn nào bằng ?

n n

2.5

3

5

3

Câu 52

4 1

3lim

2

2

7

Câu 53

4

4 2

13

6

Câu 54.

2 2

3

Câu 59.

2 2

35

Câu 60.

2 1

3

Câu 61.

3

2 1

1lim

3

Câu 62

1

2lim

10lim

9

11

A 5

5

1lim

1

y

y y

1.2

2.5

3 2lim

1

x

x x

Hàm số f x liên tục tại:  

A mọi điểm thuộc B mọi điểm trừ x0.

C mọi điểm trừ x1. D mọi điểm trừ x0 và x1.

Câu 91 Hàm số f x có đồ thị nhƣ hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?  

thì a  0 và lim u n  a

c) Nếu u n v n,n và lim vn = 0

thì lim un = 0

d) Nếu lim un = a thì limu n  a

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1

1

u q

 q 1

1 Giới hạn đặc biệt:

lim n  limn k  (k ) limq n (q1)

neáu a v neáu a v

 d) Nếu lim un = +, lim vn = a thì lim(un.vn) = 0

0

neáu a neáu a

 Để chứng minh limu n l ta chứng minh lim( u n l) 0

 Để chứng minh limu n   ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n M

sao cho u n M  n n M

 Để chứng minh limu n   ta chứng minh lim(u n) 

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Câu 1 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu n  , thì limu n   B Nếu limu n  , thì limu n  

C Nếu limu n 0, thì limu n 0 D Nếu limu n  a, thì limu n a

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Theo nội dung định lý

Câu 2 Giá trị của lim 1

n

Câu 4 Giá trị của

2sinlim

Ta có: 2n 1 2n M  1 M  n n M lim(2n  1)

Câu 6 Giá trị của

21lim n

 

M M

n

M n

242

Với mọi a0 nhỏ tùy ý, ta chọn 2 1 1

a

n a

n bằng:

Hướng dẫn giải:

Chọn C

a n

Câu 19 Giá trị của lim 0

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI

 Khi tìm limk f n( )m g n( ) trong đó lim ( )f n lim ( )g n   ta thường tách và sử dụng

phương pháp nhân lượng liên hơn

+ Dùng các hằng đẳng thức:

;

a b a b  a b a b a  ab b  a b

 Dùng định lí kẹp: Nếu u n v n,n và lim vn = 0 thì lim un = 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa

cao nhất của tử và của mẫu

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử

và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

Câu 1 Cho dãy số  u n với

n bằng:

3



n n B

2lim

n n

Câu 9 Giá trị của

2

2

2lim

B

n n

Câu 10 Giá trị của  2 4 9