Chuyen de hamso co loi giai chi tiet

Toạ độ các điểm cực trị là: 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.. Vậy A là trung điểm của PQ 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tìm trên đồ thị C điểm M c

Bài 1 Cho hàm số y x 3 3mx23(m21)x m 3 (1)m

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1

2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O

Ta có y, 3x26mx3(m21)

Để hàm số có cực trị thì PT y, có 2 nghiệm phân biệt0

� x22mx m 2 1 0 có 2 nhiệm phân biệt





 (1)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2) Tìm điểm M trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

Chuyên đề hàm số

Gọi M(x0, y0)  (C) , ( Trong đó 0

0

21

x y x





 và x0 ≠ -1)Gọi d1 là phương trình tiệm cận đứng: x + 1 = 0

Gọi d2 là phương trình tiệm cận ngang: y - 1 = 0

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất

Bài 6 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (C m ); ( m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.

2 Xác định m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m)

tại D và E vuông góc với nhau

2.PT hoành độ giao điểm x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 � x(x2 + 3x + m) = 0 � x = 0, f(x) = 0

thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 và y’(x1).y’(x2) = -1 0.25

Bài 7 Cho hàm số 3 2

y x 3x 1 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết nó song song với đường thẳng (d): 9x - y + 6 = 0

Bài 8 Cho hàm sốy x 3  2mx2  (m 3)x 4 có đồ thị là (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1

2) Cho (d) là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị của tham số msao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và d: x3  2mx2  (m 3)x   4 x 4 (1)

2

2

0 (1) ( 2 2) 0

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân

Hàm số có CĐ, CT khi m < 2 Toạ độ các điểm cực trị là:

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2) Chứng minh đường thẳng d: y = –x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm

m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

AB 2 = (x A – x B ) 2 + (y A – y B ) 2 = 2(m 2 + 12)

 AB ngắn nhất  AB 2 nhỏ nhất  m = 0 Khi đó AB 24

Bài 11 Cho hàm số y x 3  3m x2  2m (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

2) Tìm m để (C m) và trục hoành có đúng 2 điểm chung phân biệt

(C m ) và Ox có đúng 2 điểm chung phân biệt �

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3;0) và N(–1; –1)

Ta có A(x 1 ; 2x 1 + m), B(x 2 ; 2x 2 + m) với x 1 , x 2 là nghiệm của (1)

Trung điểm của AB là I 1 2

1 2

; 2

x (C)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tạiO

2) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): x2  (m 3)x   1 m 0, x� 1 (*)

(*) có 2 nghiệm phân biệt là x A và x B  A(x A ; x A + m), B(x B ; x B + m),

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và

B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

Ta có: , x 2

2x

3x

2x

1)

x('y

1y

:

0

0 0 2

2x2

;2

2x

3x2

yy

 M là trung điểm AB.

Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp IAB có diện tích:

Dấu “=” xảy ra khi 

1x)

2x(

1)

2x(

0

0 2

0

2

0  M(1; 1) và M(3; 3)

Bài 16 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m là số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điềukiện : x12x22x32 4

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành là :

x3 – 2x2 + (1 – m)x + m = 0  (x – 1) (x2 – x – m) = 0

 x = 1 hay g(x) = x2 – x – m = 0 (2) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (2) Với điều kiện 1 + 4m > 0 ta có :

x1 + x2 = 1; x1x2 = –m Do đó yêu cầu bài toán tương đương với:

m 0(x x ) 2x x 3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình

8 osc x9 osc x m 0 với x�[0; ] Xét phương trình 8 osc 4x9 osc 2x m 0 với x�[0; ] (1)

Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D)

Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền  � � 1 t 1

Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

� : Phương trình đã cho có 4 nghiệm

 0  m 1 : Phương trình đã cho có 2 nghiệm

 m0 : Phương trình đã cho có 1 nghiệm

m < 0 : Phương trình đã cho vô nghiệm

Chuyên đề hàm số

Bài 18 Cho hàm số y x 3  3x2  4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 1200

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

2) Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y

Với m� 0 thì y’ đổi dấu khi đi qua các nghiệm do vậy hàm số có CĐ,CT.

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là: 1 3

2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a Tiếp tuyến tại Acủa (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tíchtam giác IPQ.

Giao điểm I(1; –2) ;2 1





a a

Giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến tại A: 1; 2

a

Giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến tại A: Q(2a – 1; –2)

Ta có: x P + x Q = 2a = 2x A Vậy A là trung điểm của PQ

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –2.

2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B

vuông góc với nhau.

Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0) Ta có: y�4x32mx.

 Các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau  y� �  (1) ( 1)y 1  (4 2 ) m21

 m

m

3252





 .1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Tìm trên đồ thị (C) điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn: IA2IB240.

;

1  (C), (x0 > 0).

Chuyên đề hàm số

 PTTT với (C) tại M: y x x x x

x

0 0 2

0 0

3

1( 1)

0 0

36

4( 1) 40( 1)





 .1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI.

Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2) Gọi M(a; b)  (C)  b a

a

2 11





 (a  1)Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y x a a

a

1( 1)





Phương trình đwòng thẳng MI: y x

1( 1) 2( 1)

Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có:

Bài 27) : Cho hàm số y f x( ) x3 mx22m (1) ( m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm.

� � thì đồ thị của (1) cắt Ox tại duy nhất một điểm.

Bài 28) : Cho hàm số y 2x3 9mx2 12m x2  1 (m là tham số).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.

2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2C�x CT

y�6x218mx12m26(x23mx2 )m2

Hàm số có CĐ và CT  y 0� có 2 nghiệm phân biệt x x1 2,   = m2 > 0  m 0�

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),biết hệ số gĩc của tiếp tuyến bằng -5

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0, có hệ số góc bằng –5

0

5

5(x 2)

  

  x0 = 3 hay x0 = 1 ; y0 (3) = 7, y0 (1) = -3Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 7 = -5(x – 3) hay y + 3 = -5(x – 1)

9

'  2  

03)

;(      

Chuyên đề hàm số

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y2(m22m 2)x4m1

Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt y x

2

1

 ta có điều kiện cần là

2

1 ) 2 2

(

1 2 2

2  























3

1 0

3 2

2

m

m m

m

Theo định lí Viet ta có:













 3

) 1 ( 2 2 1

2 1

x x

m x

x

Khi m = 1  ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:

y = - 2x + 5 Tọa độ trung điểm CĐ và CT là:































1 2

10 ) (

2 2

2 2

4 2

2 1 2

1

2 1

x x y

y

x x

Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng y x

2

1

  m 1 thỏa mãn

Khi m = -3  ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11 Tọa độ trung điểm CĐ và CT là:































9 2

10 ) (

2 2

2 2

2 1 2

1

2

1

x x y

y

x

x

Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (-2; 9) không thuộc đường thẳng y x

2

1

  m3 không thỏa mãn Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài

Bài 32) Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất

1 Pt : x3 + mx + 2 = 0

x x

m 2  2

2 ) ( '

2

x x x

f x

x

x 



Ta có x - 0 1 +

f’(x) + + 0

f(x) + -3

- - -

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất  m  3

( ) 1

x

x





1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M.

a

a a

Giao điểm với tiệm cận ngang y  2 là B a  2  1;2 

Giao hai tiệm cận I(-1; 2)

Bài 34) Cho hàm số yx3  3(m1)x2 9x m, với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m 1

2 Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 x2 2

31

2 Xác định m để đường thẳng y2x m cắt  C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của  C

tại A và B song song với nhau.

� phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1

Vậy  d luôn luôn cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B

Gọi x x1, 2 x1 �x2 lần lượt hoành độ của A và B thì x x1, 2 là nghiệm của phương trình (1) Theo định líVi-et, ta có: 1 2  

132

x  x m

Chuyên đề hàm số

Tiếp tuyến    1 , 2 tại A, B có hệ số góc lần lượt là :

Vì  2

2'

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + )

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + )  y’ = – 3x 2 – 6x + m  0,  x > 0

 3x 2 + 6x  m,  x > 0 (*)

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 3x 2 + 6x trên (0 ; + )

Từ đó ta được : (*)  m  0.

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 1

2.Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

 Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

0; 1 ,  ; 2 1 ,  ; 2 1

A m B  m m  m C m m  m

21

.2

ABC B A C B

SV  y y x x m m; AB AC  m4m BC, 2 m

3 2

12

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độbằng 8

Tiếp tuyến () của (C) tại M:

x





 .1)Khảo sỏt và vẽ đồ thị  C của hàm số trờn

2)Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và cú hệ số gúc k Tỡm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và

( 1) 1

x

k x

I x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I(1;2)tới tiếp tuyến của (C)tại M là lớn nhất

1

32

;

0

x x

31

3

0 0

x x x

4 0

0 4

0

0 0

)1()1(9

6)

1(9

161

9

)1(3)1(3

x

x x

x x

d

Theo bất đẳng thức Côsi ( 1) 2 9 6

)1(

0 2 0

Chuyờn đề hàm số

)1(

2 0





 cú đồ thị ( C ).

a) Khảo sỏt và vẽ đồ thị ( C )

cho tam giỏc OAB cú diện tớch bằng 2 3 (với O là gốc tọa độ)

+) PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm: x2(m4)x2m 3 0 (*) coự hai nghieọm PT �

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0.

2 Tỡm cỏc giỏ trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phõn biệt cú hoành độdương

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Tỡm cỏc giỏ trị của m để hàm số cú cực đại, cực tiểu Với giỏ trị nào của m thỡ đồ thị hàm số cú

Để ĐTHS (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng, ta phải có :

Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = 0  x = 0 v x = 2m.

Hàm số có cực đại , cực tiểu  phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  m  0

Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1)

Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến đi qua điểm A 6;5  

Phương trình đường thẳng đi qua A 6;5  là  d : y k x 6     5

(d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :





 (1) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

2 Viết pht tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tt song song với đường thẳng d : 3x4y21 0

3

f x  x mx   x m có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất

Giải: Do f x�   x2  2mx  1 0 có   �m2   1 0 nên f (x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt

cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là A x y 1 , 2 ; B x y 2 , 2 Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

f x  x mx mx đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 x2 � 8.

Giải: HS có CĐ, CT  f x�   x2  2mx m  0 có 2 nghiệm phân biệt

   �m2  m 0 � �m D  � , 0 U 1,  � (*)

Với điều kiện này thì f x�    0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2 Theo định

lý Viet ta có: x1 x2  2 ;m x x1 2 m suy ra: 2  2

Giải: Hàm số có CĐ, CT  f x�    3x2  2mx  7 0 có 2 nghiệm phân biệt    �m2  21 0  � m  21

Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

Giải: Hàm số có CĐ, CT  f x�    3x2  6x m 2  0 có 2 nghiệm phân biệt

    � 9 3m2  0 � m  3 Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

0

0 5

1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

2, Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại,cực tiểu A,B của đồ thị hàm sốcùng với điểm M(-2;2) tạo thành góc 0

y  x  mx m  để hs co CĐ,CT y' 0 có 2 nghiệm phân biệt �   ' 0 � m

Khi đó A(m-1;-3m+3) B(m+1;-3m-1) là các điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số, để góc

Ta có  

2

2 2

0

14 5

Vẽ bảng biến thiên ta có m�(min ( )�,0)g x    g( 1) 3

Kết luận: Với m�3 thì điều kiện bài toán được thỏa