Bài tập phương pháp lũy thừa giải hệ phương trình có lời giải - TOANMATH.com HPT PP LUYTHUA tài liệu, giáo án, bài giảng...
Trang 11.PHƯƠNG PHÁP LŨY THỪA
Giải:
Điều kiện : x y 0
Nhận xét : Vế trái của phương trình (1) không âm
Bình phương 2 vế từng phương trình ta được
2
2 8
2
Điều kiện : 0 x 2 2
Phương trình 2 2
3 x y 4 4xx y 4x 4
Phương trình 4 2 2 4
4 x y 64 16 x x
2
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 5; 6
2
Giải:
Điều kiện : 1
1
x y
Bài toán 1.
2 (1)
x y x y
x y x y
Bài toán 3.
5
2
3
4
Trang 2Phương trình 2 2
2 2x2 x 4y 4 2 2
Điều kiện tương đương : x 2 Phương trình 2 2 2
3 x 4y 4 4xx
Thế (4) vào phương trình (3) ta được :
y y y y y y
4 13 2 2
Xét phương trình : 4 3 2
Nếu y 0 x 1, không thỏa hệ
Xét y 0 :phương trình 2
2
Đặt t y 1,t 2
y
Phương trình trên trở thành : 2
1 0
t t , vô nghiệm
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1; 2
Giải:
Điều kiện :
Phương trình 2 xy 1 3x2y
2 x y 2x y 1 3
Điều kiện : 2xy 1
Thế (3) vào phương trình (1) ta được :
Bài toán 5.
0 (1)
3 2 1 2
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Trang 3
4xy 1 0 y 4x 1 4
Thế (4) vào phương trình (3) ta được :
2 5x 1 6x2
2
1 3
x
2
,
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1;3
Giải:
Điều kiện : 1
1
y x
Phương trình 1 2x2 1y 5
2 1 y 2x 5
5 2
x
Phương trình 2 4y 4 8x3 1x 1 4
Thế (3) vào phương trình (4) ta được :
2
4x 20x24 8 x3 x 1 0 4x3x28x3 x 1 0
3 3
4
5
2
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 3; 3
4
Bài toán 6.
5
1 (1)
2
3
4
Trang 4Giải: Hệ phương trình
1
- 12y 2
= 9 + y
3 - 3x = -6y
x x
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta được :
x x x y y y x 13 y 23
3 3
y x
Thế Phương trình (3) vào Phương trình (1) ta được
3
9x 27x 18 0
Hệ phương trìnhcó 2 nghiệm 1; 2 , 2; 1
Giải: Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) ta được :
2 x y x y 250
2 23
125
5 3
Thế Phương trình (3) vào Phương trình (1) ta được
5 25 xy = 185 xy = 12 Khi đó ta có hệ phương trình :
2 2
2 2
12
5 5
x
xy
y x
Bài toán 50
3 3
= 9 = x - 4y
- y + 2y
x x
185 1
65 2
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Trang 54 2
12
y
x
2 2
16
9
12
x
x
y
x
Hệ phương trình có 4 nghiệm 4;3 , 3; 4 , 3; 4 , 4; 3
Giải: Điều kiện :
0 0
x y
Vì : x x 0y x y x0
Suy ra, vế trái của (2) dương.Bình phương 2 vế 2 phương trình của hệ ta được :
2
2
1 2y+
2 2
2 3
3
4 4
x
x
1 0
2 4
y
1 0
2
y
2
1
0
2
y
1 0
2 ,
6
y
loai y
Hệ phương trìnhvô nghiệm
2 1
1 2
Trang 6Giải:
Do phương trình(1) x y x y y y y 0
Điều kiện : xy 0
Bình phương 2 vế từng phương trình ta được
2 2
2 2
Điều kiện : 0 1
2
x
Phương trình 2 2 2
2 4 x y 1 4x 4x
2
4y 4x 1
4 4
x
Thế (4) vào phương trình(3) ta được :
2
4
x
x x
2
16
8
Suy ra 2 3 3
y y
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 5; 3
8 2 2
Giải: Phương trình 2 2
1 x y 2 x 3
= 1 1
1 2
1 2 1
y + xy = 3x - 1 2
x
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Trang 7Thế (3) vào (phương trình(2) ta được :
2x xy3x 14x2xy 3 0 Ta có x = 0, loại
Xét x 0:
2
4x 3
y
x
Thế
2
4x 3
y x
vào (1) ta được :
2 2
x
x
16x 23x 7 0
2
2
1
7
16
x
x
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm 1;1 , 1; 1 , 7; 5 , 7; 5
Giải: Thế phương trình(2) vàophương trình (1) ta được :
2x 9y xy 2xyx xyy
8 3
Ta có y = 0 thì x = 0, không thỏa (2), loại
Xét y 0: phương trình
3
Thế x 2y vào phương trình(2) ta được :
1
y
- xy + y = 3 2
x
Trang 8Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm1; 2 , 1; 2
Giải: Điều kiện : x y 0
Bình phương 2 vế của phương trình (1) ta được :
2
3x 10xy 3y 0 3
TH 1 : y 0 x 0: không thỏa hệphương trình
TH 2 : y 0: phương trình
2
3
3
3
x
y
y
x = 3y
: phương trình 2
2 y 6y 8 0 4 12
y = 3x
: phương trình 2
2 9x 2x 8 0 , vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm12; 4 , 6; 2
Giải: Điều kiện : x y Bình phương 2 vế củaphương trình (1) ta được :
4 2x 2 x y y 3
Thế phương trình (2) vàophương trình (3) ta được : 2
8x 24 y 4
2
3 x - y = 2 1
2 8 2
xy
x y
2 2
2 - = y 1
9 2
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Trang 9Điều kiện : x 3 Thế (4) vàophương trình (1) ta được :
4 2x 2 x 8x 24 8x 24 2
2
8 15 0
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm :5; 4 , 3;0 , 5; 4
Giải: Điều kiện : 2 2
y x Bình phương 2 vế của phương trình (1) ta được :
72 12 3
Thế (3) vào phương trình (2) ta được : 12 72 12 y y 5
Bình phương 2 vế của phương trình (2) ta được :
144
2 2
16
9
x
x
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm : 3;5 , 3;5 , 4;5 , 4;5
Giải: Điều kiện : xy x 1 0
TH 1 : x 0: không thỏaphương trình (2)
TH 2 : x 0: phương trình
2 1
x
Thế (3) vào phương trình (2) ta được :
2 2
2 2
= 12 - y 1
= 12 2
2
1 1 =3x - 4x +1 1
1 2
Trang 102 2
2 2 2
5 2
2
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm1; 1 , 2; 5
2
Giải: Điều kiện : 2 2
0
x y
2 2
3 = 0 2
Xét x 0:hệ phương trình trở thành :
2
3
0
3 = 0
y
, loại
Xét y 0:hệ tphương trình rở thành :
3 3 = 0
0 -x = 0
x
, loại
Xét x y , 0: Hệ phương trình
3 = 0 4
Cộngphương trình (3) và phương trình (4) lại với nhau ta được :
2xy x y y x 3y x y
Bài toán 99.
2 2
2 2
3
=3 3 = 0
x
y
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Trang 11 2 2
2xy 3y 1 x y 0
2
y
y
Thế (5) vào phương trình (2) ta được :
2 2
4y 9y 6y 1 2 3y 1 12y 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1;1
Giải: Hệ phương trình trở thành
Cộng phương trình (1) và phương trình (2) lại với nhau ta được :
Xem x là ẩn của phương trình, y là tham số
Phương trình có nghiệm :
: Phương trình
, vô nghiệm
2
16 4 = 12 1
32x 2 6y28 xy 10y240
2y 42
6
6 4 4
4
y x
x
6 4
1 16x 4x 6 4 x 6 4 x 12 0
2
16x 24x 24 0
Bài toán 104(HSGHCM 2013-2014).
2
16 4 = 12 1
Trang 12: Phương trình
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Ta thấy nếu x = 0 thì không thỏa hệphương trình Vậy
TH 1: y = 0 : Hệ phương trình (I)
TH 2: x = 1: Hệ phương trình (I)
Vậy (1; 0) là một nghiệm của hệ phương trình
TH 3: x = -1: Hệ phương trình (I)
Vậy (-1; 0) là một nghiệm của hệ phương trình
TH 4: : Lấy phương trình (1) chia cho phương trình (2), vế theo vế, ta được :
Thế (3) vào phương trình 2) ta được :
4 4
1 16x 4x 4 4 x 4 4 x 12 0
2
1
; 2 2
2
- 1 2
x y x - y = x 1 2
y x + 1 = x - 1
x
0
x
4 2
1 0
1
1 0
x
x x
1 0
0
y y
0
y y
1
0
x
y
2
1
x
1
Bài toán 107.
4- x y + x y = 13 2 2
3y - x + xy = -1 2
x x
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Trang 13, vô nghiệm
Hệ phương trình đã cho có nghiệm :
Giải : Dễ thấy y = 0 không thỏa hệphương trình Vậy
Hệ phương trình
Từ phương trình (2) Phương trình (2)
Thế (3) vào phương trình (1) ta được :
1;0 , 1;0
0
y
3 3 2
2
8
2 4
+ = x + 6 = 1
x y x
3
2
2 3
2 2x
+ =
+ = 1
x
y x
2 2
2 3
=
+ = 1
x
x
0
x
2
y x
2
2
4
2 2
4
2
2
7 2
2
4
=
y
x x
x
2 2
7x = 4x y 6 x
y
4 xy 2 13xy + 9 = 0
Bài toán 111.
7
8 y
2
4 y
+ 27 = + 6x = y
x
Trang 14Phương trình (3)
(3)
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm :
Giải : Thế phương trình (2) vàophương trình (1) ta được :
Thế : x = 2y vàophương trình (2) ta được :
Hệphương trình đã cho có 2 nghiệm :
Giải: Điều kiện :
Phương trình (1) (3)
1
9
4
xy
xy
1
9 4
y x xy x
1
:
y
x
2
x x
9
:
4
y
x
3 x 8x
3 3
3
3
3
2x - 9y = xy x + y + xy
2x - 9y = x - y
x3 = 8 y3 x = 2 y
2
3y 3 y 1 x 2
2;1 , 2; 1
= + = 3
Bài toán 151
2
1
= 2
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Trang 15Xem phương trình (3) là phương trình theo ẩn y, còn x là tham số
Nghiệm là :
, thế vào phương trình 2) ta được : ,loại
, thế vào phương trình (2) ta được :
Hệ phương trình có 2 nghiệm :
Giải : Ta có :
y = 0 không thỏa hệ
Xét Chia 2 vế của phương trình (2) cho y, ta được :
Hệ phương trình có 2 nghiệm :
2 1
4
2
x
4 3
y x
y = x + 4
=
y = 3 - x
=
2
9 6x x = x - 1
x x
5; 2 ; 2;1
0 2
1
0 1 2
2
y y
x x
y x y
2 2
1
2
2
1
0 1
1 2 2
y x
y x y x
1
1
2
y
x
y x y
x
1
1 2
y x
y x
x
y
x x
1
1
1
2
x y
x x
1
0 2
x y
x x
1
1 0
0;1 ; 1; 2
2 2
1 0 1
Trang 16Giải : Điều kiện :
Hệ phương trình
Từ phương trình (1) ta có :
y = 0 không thỏa hệ
Xét Chia 2 vế của phương trình (2) cho , ta được :
Thế vào phương trình (1), ta được :
Hệ phương trình có nghiệm :
2
x y
2
2
3 3
2 3 2 3 3 2 1
3
2
0 4
1 3
1
2
2 3
y
x y
x
2
1
y
x
x y
2
4y 6y 4 3 2y
2
14 5
;
9 18
Bài toán 182.
2
2
3 3
2 3 2 3 0
7 1
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Trang 17Giải : Phương trình (2)
Xem đây là phương trình theo ẩn x, còn y là tham số
Nghiệm là :
,thay vào phương trình (1) ta được :
, thay vào phương trình (1) ta được :
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm :
Giải : Điều kiện :
Xemphương trình (3) là phương trình theo ẩn y, còn x là tham số
Nghiệm là :
,t hế y = 2x -2 vào phương trình (1) ta có phương trình :
(4)
2
(3y 1)
1
2
y
1
2;1 ; 2; 1 ; 2; 3 ; 3; 2
2
2
1
2
2
x
x
4x x 1 4x x 2 3x
3
3
x
2 2
4 4 6 3 2 0 2
Trang 18(5)
Do nên từ phương trình trên ta có : x > 0
Cộng phương trình(4) và phương trình(5), vế theo vế, ta được :
, thỏa phương trình
,thế y = 2x -1 vào phương trình (1) ta có phương trình :
(6)
Điều kiện :
Vì không thỏa phương trình nên
Cộng phương trình(6) và phương trình(7), vế theo vế, ta được :
, thỏa phương trình Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm
1
0
x
4x x 1 4x x 2
x
4x x 1 4x x 2, x
2 4x x 1 3x
x
2
4 4x x 1 3x
x
7x 4x 2x 1 0
4x 1 4x 3x 2 3x 1
2
0 8
x x
1
x
x
x
x
x
x
2
x
2
3 1
3 1
x
x x
7x 4 3x 1 16 24x 3x 1
63x 42x 29x 12 0
3
3 3
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com