Cho tam giác ABC ,chứng minh rằng: 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sin = trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp ,R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.. Câu IV: Cho hìn
Trang 1ĐỀ THI ĐH (02) & ĐÁP ÁN Câu I :
Cho hàm số 3 2
3( 1) 3(2 1) 4
y= − +x m+ x − m+ x+ ( m là tham số )
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1
2 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và hai điểm đó đối xứng qua điểm I(0,4)
Câu II:
1 Giải hệ phương trình :
( 1)( 1) 4
xy x y
+ − − =
2 Giải bất phương trình :16 3x− ≤x 4x+9x
Câu III:
1 Giải phương trình 3tgx+2cotg3x = tg2x
2 Cho tam giác ABC ,chứng minh rằng:
2 sin 2 sin 2 sin 2
sin sin sin
=
trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp ,R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC
Câu IV:
Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc Đặt SA= a,SB= b, SC= c Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
1 Tính độ dài đoạn SG theo a,b,c
2 Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N
a Chứng minh rằng AB AC 3
AM + AN =
b Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S,A,B,C có tâm O thuộc mặt phẳng (P) Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a,b,c khi mặt phẳng (P) song song với BC
Câu V:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= 2−2x+3 ;
y = 2x-1; x = 0
DAP AN CÂU I:
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
y= − +x3 6x2−9x+4
• TXĐ: D = R
2 ' 3 12 9
1 ' 0
3 '' 6 12
x y
x
= − + −
=
= ⇔ =
= − +
y = ⇔ = ⇒ = ⇒x y điểm uốn (2, 2).
Trang 2• BBT:
• Đồ thị:
Cho x = 0, y = 4
x = 4, y = 0
2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng nhau qua điểm I(0, 4)
Ta có: y= − +x3 3(m+1)x2−3 2( m+1)x+4
3
3
2 2 1 2 1 0 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ ∆ = ' 0
3
⇔ + − − > ⇔ > ⇔ ≠
⇒
Tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là:
3 (1, 3 3), (2 1, 4 3 3)
1
M Và 2 M đối xứng nhau qua I ⇔ I là trung điểm 1M M2
Trang 3
1 2
3
1 2
1 1
3
m m
+ =
= −
= −
− − =
1
m
⇔ = − (nhận)
ĐS: m= −1
CÂU II:
1) Giải :
( 1)( 1) 4
xy x y
+ − − =
Hệ phương trình ( ) ( )
( )( )
⇔
− = = − ∨ =
⇔ − = ⇔ = − ∨ = Vậy hệ có 4 nghiệm (-1, -1), (-1, 2), (2, -1), (2, 2)
2) Giải: 16x− ≤3x 4x+9x
Bất phương trình: ⇔16x ≤3x+4x+9x
3 1 9 1 (*)
⇔ + + ≥
Xem hàm số ( ) 3 1 9
f x = + +
⇒ y = f(x) Là hàm số liên tục giảm trên ¡
Do đó: (*) ⇔ f x( )≥ f(1)
⇔ ≤x 1
CÂU III:
1) Giải phương trình 3tgx + 2cotg3x = tg2x
Điều kiện:
2
3 cos 2 0
2
x
k
π
π π
≠ +
≠
≠ +
Ta có: sin cos sin sin cos cos
tga tgb
+
cos( ) cos cos
a b
−
=
Aùp dụng vào phương trình ta được:
Phương trình ⇔ 3(tgx+cot 3g x) =tg x2 +cot 3g x
Trang 4(cộng 2 vế cho cotg3x)
3cos 3 cos(2 3 )
cos sin 3 cos 2 sin 3
3cos cos cos cos 2
1 cos 2
3cos 6cos 2 cos 2 1 0
2 1
cos 2 cos
1 cos 2 cos
3
( 3
2
x
x
x
π α
π
α
+
⇔
= − =
= ± +
thỏa điều kiện)
x= ± +π kπ x= ± +α kπ (với 1
cos
3
α= − và k∈¢ ) 2) Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
2 sin 2 sin 2 sin 2
sin sin sin
=
+ +
Ta có: sin 2A+sin 2B+sin 2C=sin 2A+2sin(B C+ ) cos(B C− )
2sin cos 2sin cos( ) 2sin cos cos( ) 2sin cos( ) cos( ) 2sin 2sin sin( ) 4sin sin sin
Vế phải: sin 2 sin 2 sin 2
sin sin sin
=
+ +
4 4sin sin sin 2 2 2 sin sin sin
2
2
a b c
Mặt khác: diện t ích S = pr =
4
abc R
⇒abc=4prR=2(a b c rR+ + )
Do đó:vế phải= 2(2( ) ) 2
R
R a b c
+ +
+ + (điều phải chứng minh)
CÂU IV:
1) Tính SG:
Trang 5Gọi I là trung điểm BC.
2 2
⇒ = = (do SBC∆ vuông)
ASI
∆ có AI2 =SA2+SI2
4
SGI
∆ có:
2 2 2 2 cos
SG =SI +IG − SI IG− I
36
1 2 2 2 3
SI
AI
a
2) a) Chứng minh rằng AB + AC = 3
2
S S AMG 13AM AB
ABC
Tương tự: S S ANG 13 AN AC
ABC
=
Trang 61 3
3
ABC
ABC
+
+
b) Tam giác SBC có I là tâm
Trong mặt phẳng (SA, d) (d là trục SBC∆ )
Gọi O là giao điểm SG và d
2
1 2
OS OA
⇒ =
⇒ =
Vậy O là mặt cầu đi qua S, A, B, C
( )
⇒ ∈ ⊂
Khi (P) // BC ta có MN//BC ⇒ MN ⊥SO
1 2 2 1 2 2 2
6
Vẽ AK SO⊥ ta có MN ⊥ AK⇒AK ⊥(SMON) Vậy chiều cao hình chóp ASMON là AK
SA SI
AK
+
3
abc
SG
+
CÂU V:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P):
y= x2 – 2x + 3, (d): y = 2x –1, x = 0; Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
Trang 7Vậy: 2 ( 2 2 3) (2 1) 2( 2)2
S= ∫ x − x+ − x− dx= ∫ x− dx
0
= = (đvdt)