Phương pháp phân tích thành nhân tử

Như chúng ta đã biết, phương trình và hệ phương trình là một dạng toán hay và khó, được rất nhiều bạn học sinh và thầy cô giao yêu thích. Nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi HSG, tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng, …Tuy nhiên, để giải một phương trình hay hệ phương trình, nhiều khi chúng ta cần phải nhóm, phân tích hợp lý để có nhân tử, tạo điều kiện dễ dàng hơn trong việc giải toán. Đó là một điều khá khó, không hẳn ai cũng làm được, không có phương pháp chung để giải. Mình xin trình bày ý tưởng của mình về phương pháp phân tích thành nhân tử trong Phương trình vô tỷ và Hệ phương trình có hệ số nguyên.

Phương pháp phân tích thành nhân tử

Như chúng ta đã biết, phương trình và hệ phương trình là một dạng toán hay và khó, được rất nhiều bạn học sinh và thầy cô giao yêu thích Nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi HSG, tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng, …Tuy nhiên, để giải một phương trình hay hệ phương trình, nhiều khi chúng ta cần phải nhóm, phân tích hợp lý để có nhân tử, tạo điều kiện dễ dàng hơn trong việc giải toán Đó là một điều khá khó, không hẳn ai cũng làm được, không có phương pháp chung để giải Mình xin trình bày ý tưởng của mình về phương pháp phân tích thành nhân tử trong Phương trình vô tỷ và Hệ phương trình có hệ số nguyên

I Phương trình vô tỷ:

Như chúng ta đã biết, việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ thường được đưa về dạng:

Phương pháp phân tích:

f + k √ g = (a + k1√ −− g1)(b + k2√ −− g2)

1 Tìm nghiệm của phương trình

2 Ta chia làm hai trường hợp:

a) Nghiệm của phương trình là số vô tỷ

Phương pháp được thể hiện qua ví dụ sau:

VD1: Giải phương trình:

Hướng giải:

Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình:

Bước 2: Tại giá trị là nghiệm thì giá trị của căn thức là bao nhiêu:

Điều này chứng tỏ sau khi phân tích thành nhân tử thì sẽ có nhân tử là

Bước 3: Xét tổng, hiệu để làm mất căn thức:

Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử ở bước 2:

Suy ra:

f(x) = x2 + 1 − (x + 1) √ − x −−−−−−−2 − 2x + 3 − = 0

S = {1 ± √ 2 } x

x = 1 + √ 2 → √ − x −−−−−−−2 − 2x + 3 − = 2

x = 1 − √ 2 → √ − x −−−−−−−2 − 2x + 3 − = 2 ( √ − x −−−−−−−2 − 2x + 3 − − 2)

f(x) + (x + 1)( √ − x −−−−−−−2 − 2x + 3 − − 2) = x2 − 2x − 1

( √ − x −−−−−−−−2 − 2 x + 3 − − 2) ( √ − x −−−−−−−−2 − 2 x + 3 − + 2) = x2 − 2 x − 1

Bài giải: Bạn đọc tự giải

Nhận xét: Phương pháp này áp dụng cho các bài phương trình vô tỷ mà chỉ có chứa một căn thức và nghiệm của phương trình là số vô tỷ Tuy nhiên, để mở rộng phạm vi của phương pháp thì hãy xét ví dụ sau:

VD2: Giải phương trình:

Hướng giải: (tương tự VD1)

Bước 1: Tập nghiệm của phương trình là

Bước 3: Do hệ số của phương trình vô tỷ đều là số nguyên nên giả sử sau khi phân tích thành nhân tử thì trong nhân tử đó có dạng

với là các số nguyên Do đó, ta chỉ cần tìm mối liên hệ giữa các căn thức:

f(x) = ( √ − x −−−−−−−2 − 2x + 3 − − 2)( √ − x −−−−−−−2 − 2x + 3 − + 2)

− (x + 1)( √ − x −−−−−−−2 − 2x + 3 − − 2) f(x) = ( √ − x −−−−−−−−2 − 2 x + 3 − − 2) ( √ − x −−−−−−−−2 − 2 x + 3 − + 2) − (x + 1)

( √ − x −−−−−−−−2 − 2 x + 3 − − 2) = ( √ − x −−−−−−−−2 − 2 x + 3 − − 2)

( √ − x −−−−−−−−2 − 2 x + 3 − − x + 1)

f(x) = 5x + 7 + 13 √ − − x − 1 −−− − 9 √ − − x + 1 −−− − 7 √ − x −−−2 − 1 − = 0

S = 20 − 4 7 √ ,

9

35 + 9 5 √ 8

x = 20 − 4 7 √

9 √ − − x − 1 −−− =

−2 + 7 √ 3

=

x + 1

− − −−−

√ −1 + 2 7 3 √

f(x)

a √ − − x − 1 −−− + b √ − − x + 1 −−− + c a, b, c

− 2 − 1 = 0

x + 1

− − −−−

√ √ − − x − 1 −−−

x = 35 + 9√

Tương tự với nghiệm thì mối liên hệ giữa các căn thức là:

(nếu không thì từ các nhân tử, ta biến đổi dần dần thành các cụm chứa nhân tử đó)

Bài giải: Bạn đọc tự giải

b) Nghiệm của phương trình là số nguyên:

TH1: Phương trình vô tỷ chỉ có một căn thức, biểu thức trong căn có dạng

Lưu ý: Kể cả khi nghiệm của phương trình là số vô tỷ vẫn có thể áp dụng được phương pháp này

VD3: Giải phương trình:

Hướng giải:

Bước 1: Đặt

Bước 2: Thế vào phương trình, ta được:

Bước 3: Thay ngược trở lại: và vào các nhân tử,

x = 35 + 9 5 √

8

− 3 + 6 = 0

x − 1

− − −−−

√ √ − − x + 1 −−−

f(x) ( √ − − x + 1 −−− − 2 √ − − x − 1 −−− − 1)

x − 1

− − −−−

√ √ − − x + 1 −−−

f(x) = ( √ − − x − 1 −−− − 3 √ − − x + 1 −−− + 6) (2 √ − − x − 1 −−− − √ − − x + 1 −−− + 1)

f(x)

ax + b

− −−− −

√

f(x) = 2 − 3x + 2 − x x2 √ − 3x − 2 −−− − = 0

t = √ − 3x − 2 −−− − → x = t2 + 2

3

x = t2 + 2

3 f(x) = 2 ( 1 + ) − − ( + )t

3 t2

2 3

2

t2 1

3 t2

2 3

= 1 (t − 1)(t − 2)(2 + 3t + 4)

t = 3x − 2 √ − −−− − t2 = 3x − 2

ta được:

Từ đó ta có thể phân tích thành nhân tử

TH2: Phương trình vô tỷ chứa 1 căn thức nhưng biểu thức trong căn thức là đa thức bậc cao.

VD4: Giải phương trình:

Nhận xét: Phương trình này khá khó phân tích thành nhân tử vì nó chỉ có nghiệm

nên căn thức và biến khó có mối liên hệ nào Do đó, ta sẽ nghĩ tới việc tìm nghiệm phức của phương trình

Bước 1: Từ giải thiết ta có:

Ta không quan tâm đến nghiệm mà quan tâm đến nhân tử

f(x) = 1 ( − 1)( − 2)(2(3x − 2) + 3

9 √ − 3x − 2 −−− − √ − 3x − 2 −−− − √ − 3x − 2 −−− −

+ 4) f(x) = 1 ( − 1) ( − 2)

9 √ − 3 x − 2 −−−− − √ − 3 x − 2 −−−− − (2(3 x − 2) + 3 √ − 3 x − 2 −−−− − + 4) = 1 ( − 1)

3 √ − 3 x − 2 −−−− − ( √ − 3 x − 2 −−−− − − 2)(2 x + √ − 3 x − 2 −−−− − )

f(x) = 2 x3 + x − 2 − (4 x2 − x + 2) √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − = 0

x = 2

0 = (2 x3 + x − 2)2 − (4 x2 − x + 2)2( − x − 1) x2

= −(x − 2) (3 x2 − 3 x + 2) (4 x3 + 4 x2 + 3 x + 2)

x = 2

3 − 3x + 2 x2

x 3 − 3x + 2 = 0 x2

= i = 1 − 2x

− x − 1

x2

− −−−−−−− −

3

( − 2 x + 1)

Do đó sẽ có nhân tử là

Bước 3: Xét tổng, hiệu với nhân tử để làm mất căn thức:

Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử tìm được ở bước 2:

Từ đó ta được:

TH3: Phương trình vô tỷ chứa nhiều căn thức và các hệ số là các số nguyên nhỏ

Lưu ý: Trường hợp này cũng áp dụng cho VD2

VD5: Giải phương trình:

Giả sử sau khi phân tích thành nhân tử, trở thành:

f(x) ( √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − − 2 x + 1)

f(x) + (4 − x + 2)( x2 √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − − 2 x + 1) = −2

x(3 x2 − 3 x + 2)

( √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − − 2 x + 1) ( √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − + 2 x − 1) = −3 x2 + 3

x − 2

f(x) = 2x( √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − − 2x + 1)( √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − + 2x − 1)

− (4 − x + 2)( x2 √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − − 2x + 1) f(x) = 2 x( √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − − 2 x + 1) ( √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − + 2 x − 1)

− (4 x2 − x + 2) ( √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − − 2 x + 1)

= ( √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − − 2 x + 1) (2 x √ − x −−−−−−−2 − x − 1 − − x − 2)

f(x) = 8 − 8 − 8x − 127 + 73 x3 x2 √ − − x + 1 −−− + 39x √ − − x − 1 −−− = 0

f(x) (a + b √ − − −−− + c) (d + e √ − − −−− + f)

Do mất hệ số , hệ số của chỉ là , không chứa hệ

là một số nguyên, và cũng là các số nguyên nên là các số nguyên

Dễ thấy là nghiệm của phương trình nên tồn tại một nhân tử nhận

làm nghiệm

Nếu

Suy ra có nhân tử là

Dễ dàng phân tích được

Khi đó có nhân tử

Suy ra nhân tử còn lại là

Thành thử thấy không thỏa mãn Vậy $

$

Lưu ý: Cách làm trên chủ yếu dựa vào đánh giá, không khái quát được cách làm,

(a √ − − x + 1 −−− + b √ − − x − 1 −−− + c) (d √ − − x + 1 −−− + e √ − − x − 1 −−− + f)

f(x) √ − x −−−2 − 1 − √ − − x − 1 −−− 39x

b = ux, e = vx du + av = 0 u, v

x + 1

− − −−−

f(x) (k √ − − x + 1 −−− + kx √ − − x − 1 −−− + m) (t √ − − x + 1 −−− − tx √ − − x − 1 −−− + n)

x = 5

4

x = 5

4

(k √ − − x + 1 −−− + kx √ − − x − 1 −−− + m) = 0

x = 5

4 k + m = 0

17

17 8

k √ − − x + 1 −−− + kx √ − − x − 1 −−− + m = k( √ − − x + 1 −−− + x √ − − x − 1 −−− − 17 )

8 f(x) (8 √ − − x + 1 −−− + 8 x √ − − x − 1 −−− − 17)

f(x) = (8 √ − − x + 1 −−− + 8 x √ − − x − 1 −−− − 17) ( √ − − x + 1 −−− − x √ − − x − 1 −−− − 7) (t √ − − x + 1 −−− − tx √ − − x − 1 −−− + n) = 0 x = 5

4 n = − t

7 8 f(x) 8 √ − − x + 1 −−− − 8 x √ − − x − 1 −−− − 7

8 √ − − x + 1 −−− + 8 x √ − − x − 1 −−− − 7 f(x) = (8 √ − − x + 1 −−− + 8 x √ − − x − 1 −−− − 17) ( √ − − x + 1 −−− − x √ − − x − 1 −−− − 7)

dễ nhầm lẫn Do đó, ta có thể biến đổi phương trình thành

TH4: Phương trình vô tỷ có nhiều căn thức, có nhiều hơn hai nghiệm hữu tỷ:

Lưu ý: Trường hợp này hiếm gặp

VD6: Giải phương trình:

Hướng giải:

Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình:

Bước 2: Xét từng giá trị của nghiệm để tìm hai số thỏa mãn:

Ta được

Chứng tỏ có một nhân tử

Bước 3: Chia đa thức ta được

Tóm lại: Việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ sẽ dễ dàng hơn trong việc tìm được nghiệm của phương trình Việc tìm nghiệm còn giúp ích trong việc giải hệ phương trình, do đó kỹ năng nhẩm nghiệm cũng khá quan trọng

II Hệ phương trình hệ số nguyên

Sau đây là một phương pháp mới em tự nghĩ ra cho việc giải hệ phương trình với

8 − 8 − 119 + 73a + 39b = 0 b2 a2

a = √ − − x + 1 −−− , b = x √ − − x − 1 −−−

8 − 8 − 119 + 73a + 39b = −(8a + 8b − 17)(a − 7 − b) = 0 b2 a2

f(x) = 11 x + 47 − √ − x −−−2 − 1 − − 6 √ − − x − 1 −−− − 38 √ − − x + 1 −−− = 0

S = { , 5 }

4

325 36

a, b + a + b = 0

x − 1

− − −−−

√ √ − − x + 1 −−−

a = − , b = 7

5

8 5 (5 √ − − x − 1 −−− − 7 √ − − x + 1 −−− + 8) f(x) = (5 √ − − x − 1 −−− − 7 √ − − x + 1 −−− + 8) (2 √ − − x − 1 −−− + 3 √ − − x + 1 −−− − 2)

hệ số nguyên Phương pháp này yêu cầu phải biết trước một vài cặp nghiệm của

hệ phương trình và cũng yêu cầu sự chăm chỉ trong việc phân tích thành nhân tử

Để hiểu được phương pháp, ta thử làm một ví dụ sau:

VD7: Giải hệ phương trình sau:

Hướng giải:

Cách 1: Từ giả thiết ta có:

Cách 2: Từ giả thiết ta có:

Từ các cách trên ta có thể thế vào một trong hai phương trình

hoặc Lời giải dành cho bạn đọc

Nhận xét: Theo cách 1, nhiều người có thể nghĩ tới việc phân tích nhân tử

Tuy nhiên, nếu làm theo cách 2 thì tại sao lại xuất hiện việc phân tích thành nhân tử , tại sao lại không lấy các hệ số khác mà lại lấy hệ số

? Do đó phương pháp này giúp các bạn tìm các hệ số cần biến đổi để phân tích được thành nhân tử

Như phương pháp phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ, ta chia phương pháp này làm các trường hợp khác nhau:

TH1: Hệ phương trình hai ẩn dạng:

{ +3xy − 9 + 23y − 17 = 0 y2 − 2xy + 3 − 6y − 3 = 0 x2 y2

a = x2 + 3xy − 9 + 23y − 17 y2 b = x2 − 2xy + 3 − 6y − 3 y2

0 = a + b = (x + 2y − 5)(2x − 3y + 4)

0 = 33a + 59b = (23x + 24y − 123)(4x − 5y + 6)

x = my + n

a = 0 b = 0

a + b

33a + 59b (33, 59)

{ A = a1x2 + b1y2 + xy + x + y + c1 d1 e1 f1 = 0

B = a2x2 + b2y2 + xy + x + y + c2 d2 e2 f2 = 0

Ta cần tìm hệ số sao cho có thể phân tích thành nhân tử

Cách 1: Đặt

Khi đó là nghiệm của phương trình sau với

hoặc có thể viết gọn hơn thành:

Cách 2: Tìm ít nhất hai cặp nghiệm của hệ phương trình, giả sử đó là

Khi đó hai điểm thuộc đường thẳng

Cho là một điểm khác thuộc đường thẳng này

VD8: Giải hệ phương trình sau:

Hướng giải:

a) Theo cách 1 thì là nghiệm của phương trình: Với

k A + kB

a = a1 + k , b = a2 b1 + k , c = b2 c1 + k , c2

a = a1 + k , b = a2 b1 + k , c = b2 c1 + k , d = c2 d1 + k , e = d2 e1

+ k , f = e2 f1 + k f2

(cd − 2ae = ( − 4ab)( − 4af) )2 c2 d2 cde + 4abf = a + b + f e2 d2 c2

(x, y) = (m, n); (p, q) (m, n); (p, q)

(n − q)x − (m − p)y + mq − np = 0 (a, b) (x, y) = (m, n); (p, q)

(x, y) = (a, b) A = A1, B = B1

k = − A1

B1

{ + 8 − 6xy + x − 3y − 624 = 0 x2 y2

21 − 24 − 30xy − 83x + 49y + 585 = 0 x2 y2

k cde + 4abf = a + b + f e2 d2 c2

Ta

được

Từ đó ta được 3 cách làm cho bài toán này

b) Theo cách 2, ta tìm trước các nghiệm của hệ phương trình:

Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là:

Do đó, điểm thuộc đường thẳng này Tại điểm này thì ,

Vậy

Tức là phân tích thành nhân tử đa thức , ta được

Lưu ý: Theo cách 2 thì sau khi tìm được và phương trình đường thẳng đi qua 2

điểm nghiệm thì sau khi phân tích thành nhân tử, sẽ có một nhân tử chính là phương trình đường thẳng đó

TH2: Hệ phương trình hai ẩn hệ số nguyên có dạng khác TH1

Ở đây, hệ số cần nhân thêm vào không phải là một hằng số mà là một biểu thức chứa biến

Cách làm sẽ có một số sự khác biệt so với TH1 Hãy xem cách làm một bài hệ phương trình sau đây, nó sẽ khiến một bài Hệ phương trình có khá nhiều cách làm

a = 1 + 21k, b = 8 − 24k, c = −6 − 30k, d = 1 − 83k, e = −3

+ 49k, f = −624 + 585k

(9k − 11)(31k − 1)(5265k − 227) = 0

( 13 , − ); (−222, − ); (− , )

3

169 24

897 8

131 72

1201 144 ( 13 , − ); (−222, − ) 3

169 24

897 8 26x − 56y − 507 = 0

( 39 , 0)

897 4

B = 27807

4

k = − A =

B

1 31

31A + B (2x − 4y + 37)(26x − 56y − 507) = 0

k

k

VD9: Giải hệ phương trình:

Hướng giải:

Đặt

Bước 1: Tìm nghiệm của hệ phương trình, cần ít nhất là hai bộ nghiệm hữu tỷ hoặc một bộ nghiệm vô tỷ

Phương trình trên có 2 cặp nghiệm dễ thấy nhất là

Ngoài ra còn các cặp nghiệm

Bước 2: Chọn 2 cặp nghiệm bất kì, ví dụ như Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là

Vậy để sau khi phân tích thành nhân tử có nhân tử là thì cần lấy

rồi phân tích thành nhân tử

Tức là:

Bước 3: Xét hệ mới:

{ 3 x2 + xy − 9 x − y2 − 9 y = 0

2 x3 − 20 x − y − 20 y = 0 x2

a = 3 x2 + xy − 9 x − y2 − 9 y = 0; b = 2 x3 − 20 x − y − 20 y x2

= 0

(x, y) = (0, 0); (2, −1)

(10, 15); ( 15 + 145 2 √ − − − , 11 + √ − − 145 − ); (10, 15);

15 − 145 √ − − −

(x, y) = (0, 0); (2, −1)

x + 2y = 0

x = −2y a = 9y(y + 1) b = −20y(y + 1)(y − 1)

(x + 2y) 20(y − 1)a + 9b = 0

20(y − 1)a + 9b = (x + 2 y) (18 x2 + 15 xy − 60 x − 10 y2 − 80 y)

{

Theo TH1 ta sẽ tìm được các cách khác nhau để phân tích nhân tử hệ mới này.

Nhận xét: Với mỗi 2 cặp nghiệm, ta có được khoảng 3 cách cho mỗi trường hợp

Do đó bài toán trên có khoảng hơn 10 cách làm, nhưng hầu hết cách làm đều giống nhau Với những cách làm kiểu như này, khá khó khăn cho người chấm thi,

và cũng khá khó khăn cho cả người làm bài vì dễ viết sai Tuy nhiên, phương pháp này có thể giải quyết được nhiều hệ phương trình hệ số nguyên Xét ví dụ sau:

VD10: Giải hệ phương trình:

Hướng giải:

Gọi là VT của PT(1), là VT của PT(2) Dễ thấy hệ có nghiệm

nên theo phương pháp thì chúng ta nghĩ tới việc cho ,từ đó lấy Tuy nhiên, cách này khá dài, không khả quan vì hai phương trình không chứa hệ số xy Ta sẽ đặt

để PT(1) giảm bậc xuống còn bậc 3, PT(2) vẫn là bậc 3, thuận tiện trong việc tìm hệ số là một hằng số chứ không phải là một biểu thức nữa Do hệ

hoặc

Và

Duy ra

{ 3 x2 + xy − 9 x − y2 − 9 y = 0

18 x2 + 15 xy − 60 x − 10 y2 − 80 y = 0

{ x4 − y4 − 240 = 0

− 2 − 3( − 4 ) + 4(x − 8y) = 0

x3 y3 x2 y2

(x, y) = (4, 2); (−4, −2)

x = 2y 5( + 4)a − 2yb = 0 y2

x = ±y + k

k (x, y) = (4, 2); (−4, −2) (x + y − 6) (x + y + 6)

x = 6 − y a = −24(y − 2)( − 7y + 22) y2

b = −3(y − 2)( − 7y + 22) y2

k = −8

P T(1) − 8P T(2)

(x + y − 6)(x − y + 2)((x − 2 + (y − 4 ) = 0 )2 )2

x = −6 − y a = 24(y + 2)( + 7y + 22) y2

2

Khi đó không phải là hằng số nên loại

Vậy ta có thể phân tích nhân tử bằng cách trên

VD11: Giải hệ phương trình:

Hướng giải:

Gọi a, b là VT của PT(1), PT(2)

Dễ thấy HPT có nghiệm nên ta nghĩ tới việc thay

Vậy ta phân tích thành nhân tử đa thức: , ta được:

Xét hệ mới:

Trong các nghiệm của HPT này, có một cặp nghiệm mà ta phải để ý tới:

Do đó, đường thẳng đi qua 2 điểm này là Tại thì HPT trở thành 2

PT bậc 2 nên ta cho (hoặc bao nhiêu cũng được), khi đó

đó , nên cộng 2 PT này với nhau, ta được:

b = −3(y + 2)( + y + 58) y2

k

{ x2y2 + 3x + 3y − 3 = 0

y − 4xy − 3 + 2y − x + 1 = 0

(x, y) = (0, 1); (1, 0)

x = 1 − y

x = 1 − y a = (y − 1 y2 )2 b = (y − 1) y2 k = 1 − y

a + (1 − y)b (x + y − 1)(3 + xy − 2y + 2) = 0 y2

{ 3 + xy − 2y + 2 = 0 y2

y − 4xy − 3 + 2y − x + 1 = 0 x2 y2

(x, y) = (3, −1 ± √ −− 23 i )

6

x = 3 x = 3

y = 0 3y 2 + xy − 2y + 2 = 2 ^ x2y − 4xy − 3 + 2y − x + 1 = −2 y2