Sử dụng máy tính cầm tay hổ trợ phân tích thành nhân tử trong việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.. Đào Văn Chánh Trường THPT Trần Quốc Tuấn, Hòa Định Đông, Phú Hòa
Trang 1Sử dụng máy tính cầm tay hổ trợ phân tích thành nhân tử trong việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
Đào Văn Chánh
Trường THPT Trần Quốc Tuấn, Hòa Định Đông, Phú Hòa, Phú Yên
rong Đề thi Đại học và Cao đẳng môn
Toán từ 2014 trở về trước, Đề thi
TNTHPT (Từ 2015 đến nay), có câu giải phương
trình, hệ phương trình Đại số, (thường đánh số 7
hay 8), là câu tương đối khó đối với đa số học
sinh Để giải được câu này, việc phân tích thành
nhân tử một vế của phương trình (vế còn lại là
zero) là cách đầu tiên nghĩ tới, trước khi quan tâm
tới các cách khác Vấn đề là rất khó để biết được
nhân tử là gì Nếu biết được thì cũng rất “hên
xui” Bài viết này này nhằm giúp học sinh dùng
Máy tính cầm tay (MTCT) (Loại mà Bộ giáo dục
cho phép vào phòng thi, gần như học sinh nào
cũng có) để hổ trợ việc phân tích thành nhân tử (ở
những bài giải được bằng cách phân tích thành
nhân tử) một cách chắc chắn và nhanh gọn, không
phải mò mẫm mất thời gian và sức lực Sau khi đã
dự đoán được một nhân tử, việc tìm ra nhân tử
còn lại cũng có rất nhiều con đường, cả dễ lẫn
không dễ, mà tôi tạm phân loại và trình bày sau
đây:
T
I. Phân tích thành nhân tử đa thức 1 biến
bậc bốn
Ví dụ 1: Ví dụ phân tích thành nhân tử biểu thức
(2x − −x 3) − +2 x
Nhập trực tiếp phương trình vào MTCT và ra lệnh
giải với nghiệm ban đầu là x0∈ −{ 2,0, 2} ta được
nghiệm x1≈ −1.322875656, x2≈ −0.6180 ,
3 1.618033
x ≈ Rồi lưu các nghiệm đó lần lượt
vào các ô nhớ A,B,C(Chỉ có các MTCT plus mới
có tính năng này) Muốn lưu nghiệm x1 vào ô
nhớ A chẳng hạn thì sau khi MTCT tìm ra x , ta
bấm các phím < = (Để lưu vào bộ nhớ tạm X) rồi các phím: ALPHA X SHIFT RCL ( )−
(Máy hiện X→A) Sau đó nhập vào MTCT: AB:AC:BC rồi bấm dấu “=” nhiều lần để kiểm tra tích nào “chẵn” Ở đây ta có BC= −1, kiểm tra tiếp B C+ =1 Vậy B, C là nghiệm phương
trình x2− − = ⇒x 1 0 dự đoán nhân tử là
x − −x Để tìm nhân tử còn lại ta nhập vào MTCT:
2
1
x x
− − Dễ thấy số hạng
có bậc cao nhất của thương là 4x2 nên ta sửa vào MTCT:
2 2
4 1
x
x x
với x=1000 ta được kết là là − =7 0.x−7 Kết quả :(2x2− −x 3)2− + =2 x (4x2−7)(x2− −x 1)
Ví dụ 2: Giải 3x2+ + =x 3 (8x−3) 2x2+1
2
2
PT
⇔
Ta sẽ cố gắng phân tích thành nhân tử
3x + +x 3 −(8x−3) (2x +1)bằng cách nhập
như thế vào MTCT và ra lệnh giải với nghiệm
ban đầu là x0∈ −{ 2, 2} ta được nghiệm : x1=0;
2 0.85714
x = Nghiệm x2 khi nhớ vào B trở thành 2 6
7
x = Vậy nó có thừa số là 7x2−6x Tìm thừa số còn lại bằng cách nhập vào MTCT
2
x x
dễ thấy số hạng có bậc cao nhất của thương là
2
17x
− nên ta sửa vào MTCT:
Trang 2( 2 )2 2 2
2 2
17
x
x x
+
lệnh tính với x=1000 ta được kết là là
9 0.x 9
3x + +x 3 −(8x−3) (2x +1)
(7x 6 )(17x x 9)
Việc giải tiếp theo không có gì khó, dành cho bạn
được
Nhược điểm : Không thể áp dụng nếu phương
trình vô nghiệm và chỉ có các máy PLUS mới có
chức năng nhớ các nghiệm, đặc biệt là các nghiệm
“lẻ” !
II. Phân tích thành nhân tử đa thức bậc
hai hai biến ax2+by2+cxy dx ey+ + + f
Ta xem nó như tam thức bậc hai của x
(hoặc y) Ta tìm x (hoặc y) theo biến còn lại
Nguyên tắc là thế nhưng áp dụng không dễ, do
phải đối mặt với các phép tính bằng tay cồng
kềnh, rất dễ sai sót
Ta cũng làm như thế, nhưng không biến
đổi gì cả mà ra lệnh cho MTCT giải Do máy chỉ
giải được với hệ số là các số cho nên ta gán 1 biến
cho 1000 chẳng hạn, và giải biến còn lại theo
1000 này Ví dụ ta gán 1000 cho biến y và giải
được x=1001 chẳng hạn thì ta đoán được
1
x= +y và ta có thừa số là (x y− −1)
Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử biểu thức
( , ) 2 3 3 2 1
f x y = x +y − xy+ x− y+ (Đề ĐH
khối B 2013)
Giải: Ta xem f x y( , ) như là một tam thức bậc hai
của x: f x y( , ) 2= x2+ − +( 3y 3)x y+ 2−2y+1
Gán y=1000 Giải phương trình bậc hai tìm x ta
y
x= = −y x= = −
Vậy đoán f x y( , ) (= − +x y 1) 2( x y− +1)
Ví dụ 4: Phân tích thành nhân tử biểu thức
( , ) 2 ( 2 ) 2 ( 1) 1
g x y = xy x− y + y x+ − −x Ta cũng làm như trên, ta có
1999 2 1;
2000 2
y
g x = xy− − + +y x
Việc kiểm tra các điều dự đoán (thường đúng) bên trên không có gì khó khăn !
giác.
Ví dụ 5: Giải: 8sin3x−9sinx+5cosx=0
Giải : Dùng MTCT giải được nghiệm
4
x=π nên
đoán nhân tử có thể là sinx=cos , tanx x=1, 2sinx= 2, Nếu đi theo hướng nhân tử là sinx=cosx, ta phân tích được phương trình tương đương:
2
(sinx−cos )(2sin 2x x−4cos x− =1) 0 Giải tiếp theo dành cho bạn đọc
Nếu đi theo hướng nhân tử là tanx=1, ta có
8sin x−9sinx+5cosx=8sin xtanx−9 tanx+ =5 0 (do cosx=0 không thỏa) Đặt t=tanx,
2 2
1
1
t
+
Ví dụ 6: (Đề AA1-2014): Giải :
sinx+4cosx= +2 sin 2x
Giải: Dùng MTCT nhẩm nghiệm được
3
x=π nên
đoán nhân tử là 2cosx−1,sinx− 3 cos , x và ta được kết quả là PT ⇔(sinx−2)(2cosx− =1) 0
IV. Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa căn bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn:
Trang 3Ví dụ 7: Giải phương trình
3x + + −x 3 (8x−3) 2x + =1 0(1)
Đặt t= 2x2+ ⇒ =1 t2 2x2+1 Bây giờ ta giải t
theo x PT (1) trở thành
Vấn đề quan trọng ở đây là tìm
[ 3; 2; 1;1;2;3]
m∈ − − − để giải được t theo x “chẵn”
(Còn nếu như “lẻ” thì coi như “bằng không” !)
Sử dụng MTCT :
Với mỗi m∈ − − −[ 3; 2; 1;1;2;3], ta giải phương
trình bậc hai Ax2+Bx C+ =0 với ba hệ số:
A m B= = x− C= x + + −x m x +
Để giải tự động, ta nhập vào máy như sau:
2
(8 3) (8 3) 4
:
2
M
(không nhập được nghiệm thứ hai
2 2
(8 3) (8 3) 4
2
t
M
không đủ bộ nhớ)
Bấm phím CALC , cho m= −5(tùy) và
1000
x= rồi bấm dấu “=” nhiều lần Nếu với m
nào đó gặp thông báo “Math ERROR” thì bấm
phím < hoặc > (để “go to” vượt qua) rồi lại
theo” Ta thấy chỉ có khi A m= =3 thì phương
trình có hai nghiệm “đẹp” là 1 1000
x
t = − = − và
2 2999 3 1
t = = x− (cũng dễ tìm ra t2 sau khi đã
biết 1 1000
3
t = − )
Vậy ta có dự đoán:
3
x
Ví dụ 8: Giải
(7x−2) x + =1 2x +6x −3x+2(2)
Đặt t= x3+1 Phương trình viết lại
mt − x− t+ x + x − x+ −m x + =
Sử dụng MTCT :
Với mỗi m∈ − − −[ 3; 2; 1;1;2;3], ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số:
; (gan 1000), 7 2,
Để giải tự động, ta nhập vào máy:
2
(7 2) (7 2) 4 :
2
M
Ta tìm được khi m=2 thì được nghiệm “chẵn”
là 1 1500 3000 3
x
t = = = và t2=1999 2= x−1 (cũng dễ tìm ra t2 sau khi đã biết t1=1500)
Vậy ta có dự đoán:
(2)⇔ 2 x + −1 3x x + −1 2x+ =1 0
Ví dụ 9: Giải hệ
(1 ) 2 2 3 (1)
1 2 2 (2)
y x y x y xy
Đặt t= x2+2y2 , ta có
(1)⇔ −mt +(y−1)t+x+2y+3xy m x+ ( +2 )y =0
Sử dụng MTCT :
Với mỗi m∈ − − −[ 3; 2; 1;1;2;3], ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số:
A= −m B= −y C= +x y+ xy m x+ + y
Ta tìm được khi m=1 thì được nghiệm “chẵn” là
t= − = − − −x y và t=1200= +x 2y
Vậy ta có dự đoán :
(1)⇔ x +2y + + +x y 1 x +2y − −x 2y =0 Kiểm tra dự đoán thì khá dễ dàng (và thường là đúng) Việc giải tiếp theo dành cho bạn đọc
V. Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa căn bằng cách nhân liên hiệp.
Ví dụ 10: Giải 3 8 1 5
2 11
x
−
Trang 4ĐK: 8, 11
x≥ x≠
2 11
x
PT
x
−
−
5 3x 8 x 1 4x 40x 99
Dùng MTCT giải phương trình cuối thì nó có
nghiệm là x=3,x= ⇒ −8 (x 3)(x− =8) 0
x x
⇒ − + = Vậy dự đoán nhân tử là
x − x+ Trước hết ta tìm a b, ∈¡ sao cho
5 3x− +8 ax b+ =0có nghiệm là x∈{ }3;8 , có
Tương tự cho 5 x+ + + =1 cx d 0 có nghiệm là
{ }3;8
Ta viết phương trình lại :
2
2
9( 11 24) ( 11 24)
11 24 0
4(4')
Dễ thấy phương trình (4’) vô nghiệm vì điều kiện
8
3 4 0, 7 0
3
x≥ ⇒ x− > x+ >
Ví dụ 11: Giải
2
(1 ) 2 ( 1) (a)
2 3 6 1 2 2 4 5 3 (b)
y x y x x y y
(ĐH khối B năm 2014)
Giải: ĐK:
0 2
x y
x y
x y
≥ ≥
≥
≥ +
Ta phân tích thành nhân
tử (a) Cho x=1000 Cho máy giải phương trình
tìm y được hai nghiệm là y=1,y=999= −x 1
Vậy ta dự đoán (a) có nhân tử là (y−1)(x y− −1)
( )a ⇔ −(1 y) x y− − = − −1 (x y 1) y−1
1
1
y
y x
=
−
=
Nếu y=1 thì đơn giản Bạn đọc tự giải Nếu y x= −1 thì ĐK trở thành x∈[ ]1;2 và (b) trở thành 2x2− − =x 3 2−x
2
x x
⇔
2
x x
⇔
(Xem ví dụ Phân tích thành nhân tử đa thức một biến bậc bốn)
Để kết thúc bài viết, xem như rèn luyện, mời các bạn giải các phương trình, bất phương trình và
hệ phương trình sau:
1) 4 x+ +2 22 3− x=x2+8 (THTT)
2
x x
x
3
2 2 (2 1)( 1) 1
4)
3x y 3xy 2x 3xy 2y 2 0
x y x y
5) (x+3) (4−x)(12+x) 28− + =x 0 6) 2x4−2x3−9x2−14x−12 0=
7) x2+ =2 3x2−6x 8)
2
2
x y x y xy y
x y x y y
9) (4x+7) x2+ =1 x2+2x−5 MTCT không chỉ hổ trợ có bấy nhiêu vấn đề trong bài viết, bạn đọc có thể tìm thấy nhiều sự hổ trợ khác của MTCT trong giải toán